摘? ? 要：在磁場對運動電荷作用力的教學過程中，教材利用安培力表達式推導洛倫茲力表達式，指出導體中載流子受到的力等于洛倫茲力，這種簡單的推理過程在一定程度上可以降低洛倫茲力教學的難度，但容易忽略學生對已掌握的物理規(guī)律在新課教學中的深度理解，不利于學生形成正確的物理觀念和發(fā)展學生的科學思維能力。從2023年北京市高考物理第13題出發(fā)，進一步論述洛倫茲力教學中的深度思維問題。

關鍵詞：自由電子；晶格；霍爾電場力；洛倫茲力；安培力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）5-0066-4

1? ? 問題提出

原題（2023年北京市高考物理第13題） 如圖1所示，在磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場中，固定一內(nèi)部真空且內(nèi)壁光滑的圓柱形薄壁絕緣管道，其軸線與磁場垂直。管道橫截面半徑為a，長度為l（l>>a）。帶電粒子束持續(xù)以某一速度v沿軸線進入管道，粒子在磁場力作用下經(jīng)過一段圓弧垂直打到管壁上，與管壁發(fā)生彈性碰撞，多次碰撞后從另一端射出。單位時間進入管道的粒子數(shù)為n，粒子電荷量為+q，不計粒子的重力、粒子間的相互作用，下列說法不正確的是（? ? ?）

A.粒子在磁場中運動的圓弧半徑為a

B.粒子質(zhì)量為

C.管道內(nèi)的等效電流為nqπa2v

D.粒子束對管道的平均作用力大小為Bnql

分析 由于粒子源源不斷注入，每個粒子均沿半圓周運動，多次與筒壁碰撞，其運動軌跡如圖2所示。

長為l（l>>a）的筒，其四分圓個數(shù)為，粒子在筒內(nèi)運動的總路程為·=，因此筒內(nèi)粒子數(shù)為N=·n。一個粒子的碰撞頻率為f=，則一個粒子在Δt時間內(nèi)碰撞筒壁fΔt次。設一個粒子的撞擊力為F0，由動量定理得F0Δt=2mv·fΔt，則有F0=2mvf。考慮筒內(nèi)總共有N個粒子，結(jié)合每個粒子的撞擊力F0，N個粒子的總撞擊力為F=NF0=·n·2mv·=Bnql。

根據(jù)電流定義式I==nq，則總撞擊力為F=Bnql=BIl。因此，大部分學生都是直接利用安培力公式進行等效計算。但是，一些善于深度思考的學生不禁會想：通電導線受到的安培力是不是類似上面的情況，是載流子側(cè)移撞擊晶格造成的？

2? ? 碰撞觀點的問題所在

答案顯然是否定的。一般來說，金屬導體原子密度較高，電子在金屬中運動的平均自由程較短，因此碰到晶格的概率較大。按照碰撞觀點，首先，如果自由電子側(cè)向移動撞擊晶格的力宏觀表現(xiàn)為安培力，那么在無外磁場存在時，自由電子沿導體定向運動與晶格碰撞的力，在宏觀上肯定也表現(xiàn)為導體受力，但迄今為止未在實驗上測量到這個力的存在。其次，電子沿導體定向運動與晶格碰撞產(chǎn)生電阻，同時產(chǎn)生焦耳熱。在外磁場存在時，如果存在電子側(cè)向運動也會與晶格碰撞產(chǎn)生焦耳熱，則在相同電流情況下，有外磁場存在時導體電阻的焦耳熱比沒有磁場時大，但是這種增大未在實驗上測量到。最后，在外磁場存在時，定向運動的自由電子受洛倫茲力偏移，會產(chǎn)生一個霍爾電場，直到自由電子受到霍爾電場力和洛倫茲力平衡，達到穩(wěn)定狀態(tài)，后續(xù)電子不再做側(cè)向運動，就不存在側(cè)移碰撞情況。綜上所述，不能用類似上述撞擊筒壁的方法解釋。

人教版高中物理教材在處理磁場對運動電荷的作用力時，預設了定向運動的載流子受到洛倫茲力的宏觀合力就是通電導線受到的安培力，從而從安培力出發(fā)導出洛倫茲力公式。安培力是載流子受到的洛倫茲力的宏觀合力嗎？有一個事實顯然存疑，那就是安培力可以做功而洛倫茲力不能做功。

3? ? 從經(jīng)典微觀機制看洛倫茲力和安培力的本質(zhì)關系

如圖3所示，通電金屬導體單位體積中的自由電子數(shù)為n，自由電子定向運動速度為v，電流強度為I，磁感應強度為B。為分析方便，做如下約定：形成霍爾電場的晶格正離子和電子稱為霍場電荷；除形成霍爾電場的晶格正離子外的所有晶格正離子稱為有效晶格；除形成霍爾電場的電子外的所有定向運動的電子稱為自由電子（定向運動形成電流）。因金屬導體呈電中性，故有效晶格數(shù)等于自由電子數(shù)。為了理解洛倫茲力和安培力的內(nèi)在關系，從具體問題入手，分三種情況展開分析，如表1—表3所示。

綜合上面的分析，從經(jīng)典電磁學角度看，首先，安培力并不是載流子受到的洛倫茲力的宏觀合力，而是導體中晶格受力的宏觀表現(xiàn)。其次，當導體相對觀察者不存在電流方向分運動時，安培力是導體中晶格受到的霍爾電場力的宏觀合力；當導體相對觀察者存在電流方向分運動時，安培力是導體中晶格受到的霍爾電場力和洛倫茲力（平行電流方向分運動導致）兩者的宏觀合力。但是，晶格平行于電流方向的分運動產(chǎn)生的洛倫茲力Bqu恰與霍爾電場力-Bqu相抵消。所以，通電導體在磁場中受到的安培力，只決定于自由電子相對于導體的定向運動速度v所產(chǎn)生的霍爾電場力。

4? ? 洛倫茲力不做功和安培力做功的統(tǒng)一

安培力是作用在通電導體晶格正離子上的霍爾電場力。當導體沿安培力方向運動時，產(chǎn)生（電子偏移產(chǎn)生霍爾電場）安培力的洛倫茲力不做功，但安培力又在做功，這兩者如何統(tǒng)一呢？功是能量轉(zhuǎn)換的橋梁和量度，從能的轉(zhuǎn)化角度有助于對功的理解。這里引入一個簡單的情境：接恒流源I，長為l的通電直導線在垂直于自身的勻強磁場B中沿安培力方向以速度u運動，導線中自由電子定向運動速度為v，如圖4所示。

首先，分析自由電子受到的洛倫茲力的做功情況。穩(wěn)定后，自由電子定向運動速度v對應的洛倫茲力fly=Bev，與u同向，對電子做的元功為BevuΔt；自由電子隨導體棒移動速度u對應的洛倫茲力flx=Beu，與I同向，對電子做的元功為-BevuΔt，故總功為零。電子受到的洛倫茲力是flx和fly的合力，其方向與電子的合速度（u和v的合成）方向垂直，顯然洛倫茲力對自由電子不做功。

接著，分析安培力Fa的做功情況。安培力做功本質(zhì)上是導體中晶格正離子受到的霍爾電場力做功。設研究的導體微元Δl中晶格正離子總電量為Δq，則霍爾電場力對晶格做的元功為Δwa=BΔqvuΔt，即為安培力做的元功。電子隨導體棒運動產(chǎn)生向右的洛倫茲力flx=Beu，為維持電流不變，即電子定向運動速度v不變，須增加導體中的場強，滿足eEx=flx，得Ex=Bu，對應電動勢為Δε=BuΔl。從導體棒切割磁場產(chǎn)生電動勢角度看，恒流源增加電壓Δε用來克服反電動勢以維持電流I不變，因此恒流源需向電路多注入IΔεΔt的電能，結(jié)合I=nesv和Δq=nesΔl得恒流源增加的電能IΔεΔt=BΔqvuΔt=Δwa。由于電流強度不變，電路中焦耳熱不變，因此恒流源增加的電能全部用于安培力對導線棒做的功。

自由電子受到的洛倫茲力兩個分力做了等值異號的功，這對正、負功把電源注入電路的電能轉(zhuǎn)化為安培力對通電導線做的功。其具體機制是：恒流源注入導線中的電能，除轉(zhuǎn)化為焦耳熱外，另一部分用于克服作用于電子沿導線的洛倫茲力做功，以保持電子定向運動速度不變；由電子定向運動速度決定的垂直于導線的洛倫茲力則克服霍爾電場力對電子做功，從而維持霍爾電場強度不變，霍爾電場力則驅(qū)動導體中的晶格正離子隨導體運動，對導體做功，即安培力對導體做功。

5? ? 教學改進建議

基于發(fā)展學生的科學思維能力、形成正確物理觀念及提升學生科學質(zhì)疑精神的理念，從安培力出發(fā)推導洛倫茲力時，有必要引導學生進一步思考安培力背后的科學本質(zhì)。雖然安培力由洛倫茲力引起，但不能像教材上那樣直接認定安培力是載流子受到的洛倫茲力的宏觀合力?？紤]到普通高中課程標準的限定和學生認知發(fā)展水平，教學中可以只分析磁場中通電導體相對觀察者靜止的情況，分析中涉及的霍爾電場和受力平衡等知識均是高考考查的熱點，這對提高學生的科學思維能力大有裨益。

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2024-02-06

作者簡介：許文龍（1977-），男，中學正高級教師，主要從事物理（競賽）教學工作。