收稿日期：2021-11-16""" 修回日期：2022-11-30

基金項目：國家自然科學基金資助項目（No.12072300）

通信作者：袁衛(wèi)鋒，教授。E-mail： yuanweifeng@swust.edu.cn

引用格式：袁迪，袁衛(wèi)鋒. 輪-阜機構的動力學模擬［J］.應用力學學報， 2024， 41（3）：659-665.

YUAN Di，YUAN Weifeng.Dynamics modelling of the wheel-hump mechanism［J］.Chinese journal of applied mechanics， 2024，41（3）：659-665.

文章編號：1000-4939（2024）03-0659-07

摘" 要：受滾木運輸?shù)膯l(fā)，設計了一種輪-阜復擺互動機構，通過在兩個平面上分別構造擺輪和凸臺陣列，可實現(xiàn)平面之間的平穩(wěn)滑動。為了研究滑動中接觸面間法向力和切向力的關系，建立了輪-阜機構的系統(tǒng)動力學微分方程，并基于Runge-Kutta方法提出一種迭代算法對之求解，計算擺輪和凸臺相互碰撞所產(chǎn)生的滑動阻力。數(shù)值仿真結(jié)果表明，合理設置輪-阜機構的幾何參數(shù)，可以減少接觸面相互滑動中的能量損耗，從而大幅提高法向載荷和等效切向阻力之間的比值。在理論分析的基礎上，制造了相應的實物模型進行實驗驗證，結(jié)果顯示該機構可以實現(xiàn)平穩(wěn)的滑動，且切向驅(qū)動力可低于法向載荷的百分之一，從而驗證了該機構的可行性。

關鍵詞：剛體碰撞；動力學仿真；輪-阜結(jié)構；Runge-Kutta方法；摩擦副

中圖分類號：TB122;TH122" 文獻標志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.019

Dynamics modelling of the wheel-hump mechanism

YUAN Di，YUAN Weifeng

（School of Manufacturing Science and Engineering，Southwest University of Science and Technology，Mianyang，621010，China）

Abstract：Inspired by transportation using rolling logs，a compound-pendulum-hump interaction mechanism was designed.Through constructing an array of pendulum wheels and humps on the two surfaces，respectively，smooth relative sliding between the surfaces can be achieved.To investigate the relationship between the normal force and the tangential force in the sliding，the dynamical differential equations of the wheel-hump mechanism were established.An iterative algorithm was proposed based on Runge-Kutta method to solve the equations to calculate the sliding resistance induced by the collision between the pendulum wheels and the humps.The simulation results indicated that the energy loss in the sliding could be reduced by setting proper geometrical parameters of the proposed mechanism，so that the ratio of the normal load to the equivalent transversal resistance could be improved significantly.Based on the theoretical analysis，a prototype was fabricated for experimental verification.The results showed that smooth sliding could be achieved.Meanwhile，the tangential driving force could be less than one percent of the normal load，verifying the feasibility of the mechanism.

Key words：rigid body collision；dynamics simulation；wheel-hump mechanism；Runge-Kutta method；friction pair

人類最早使用滾木運輸巨石是為了方便運輸［1］，減少運輸過程中的阻力，以達到使用較小的拉力來運送更重貨物的目的。滾木與木板之間相互作用的過程可以看作多剛體的相互碰撞。然而，滾木運輸有個比較嚴重的缺陷，如圖1（a），為保證運輸過程的連續(xù)性，需要在木板前進方向下部不斷投入滾木，而滾木移動后不能復位，既效率低下又損耗人力。輪子的出現(xiàn)極大地方便了重物運輸，和滾木相比，輪軸機構將輪子始終置于重物之下，不需要在重物移動的前方填放圓木，故而輪-軸組合的應用一直延續(xù)到今。滾木和輪-軸機構以滾動接觸代替了滑動接觸，減小了運動阻力，降低了材料磨損，提高了運輸效率。盡管如此，傳統(tǒng)的輪-軸機構中，因滑動接觸引起的磨損現(xiàn)象依然存在，導致材料和能源的損耗［2-3］REF_Ref94966839＼r＼h＼#\"0〗\"。

接觸面間的滑動摩擦力和表面結(jié)構有關［4］，后者可以改變表面的摩擦特性，如受蓮花的自清潔效應［5］、壁虎腳的干黏附作用［6-7］和鯊魚皮［8-9］啟發(fā)而研制的仿生材料等［10］，在工業(yè)和日常生活［11］中具有不同方向的潛在應用。YUAN等［12］設計的力-構耦合表面微結(jié)構，能夠在宏觀尺度下觀察到負摩擦系數(shù)的出現(xiàn)。而本研究受滾木運輸?shù)膯l(fā)，改變表面結(jié)構設計了一種如圖1（b）所示輪-阜復擺互動結(jié)構。和傳統(tǒng)的滾木搬運巨石的原理相比，輪-阜互動機構在兩個相互運動的平面上構造不同的結(jié)構，其中主表面上有等間距排列的凸臺，從表面排列有圓形輪廓的擺輪。擺輪由彈簧和表面連接固定，彈簧既提供了連接作用又為擺輪偏轉(zhuǎn)時提供回復力，擺輪在彈簧拉力作用下做復擺運動并與從表面上排列的凸臺依次發(fā)生周期性接觸與分離，保證了運輸過程的連續(xù)性。輪-阜機構避免了軸的使用，不但有助于減少滑動摩擦磨損，而且放寬了輪子結(jié)構的尺寸下限，將輪-阜尺寸縮小至毫米、微米尺寸，使在接觸表面上制備輪-阜微結(jié)構成為可能。

帶有輪-阜結(jié)構的兩個表面相對滑動時，擺輪和凸臺之間發(fā)生周期性的接觸和脫離，二者之間的互動屬于碰撞問題［13］。碰撞問題是多體動力學中一個重要的研究方向，而多體動力學［14］是設計和控制復雜機械系統(tǒng)的重要理論基礎，在航空航天、車輛運輸、機械制造等［15］REF_Ref97021876＼r＼h等方面有重要的應用。研究多剛體碰撞問題［16-18］REF_Ref97023714＼r＼h的方法一般分為兩種：①動量平衡法或離散化方法［19］，利用各種恢復系數(shù)來模塊化碰撞過程中能量轉(zhuǎn)化的過程；②連續(xù)接觸模型法［20］，即將碰撞過程看成一個有限時間內(nèi)接觸碰撞力的作用過程，利用連續(xù)力-位移關系進行處理。動量平衡法計算較為簡單，對于單向滑動狀態(tài)，應用恢復系數(shù)可簡化計算，但對于其他碰撞狀態(tài)，計算恢復系數(shù)意義不大［21］REF_Ref97021886＼r＼h。隨著系統(tǒng)動力學的發(fā)展，N-E法［22］REF_Ref97021891＼r＼h、R-W法［23］、Kane法［24-25］REF_Ref97024531＼r＼h和L-E法［26］等建模方法逐步完善了碰撞問題的處理方法。碰撞又分為系統(tǒng)體外碰撞與體內(nèi)碰撞，而在實際的問題中，都可以進行簡化。對于剛體碰撞問題，可以采用實驗［27］、計算［28-29］REF_Ref97021905＼r＼h、有限元模擬［30］等方法進行處理。

本工作采用連續(xù)接觸模型法，使用拉格朗日方程推導了輪-阜機構的運動方程，并開發(fā)相應的計算程序求解。介紹滑動阻力的計算方法，定義運動過程中的等效阻力，并對計算結(jié)果進行處理，以研究能量與擺輪周期的關系。最后制造了相應的實物模型進行實驗，以期為設計超低摩擦系數(shù)滑動摩擦副提供參考依據(jù)。

1" 運動方程的建立

對圖1（b）中單個擺輪與軌道的結(jié)構化為力學模型，零件結(jié)構都視為剛體，添加彈簧與阻尼來模擬實際碰撞過程中材料的變形。按照接觸面劃分，可以分為兩個表面：主表面和從表面。圖2為輪-阜機構力學模型，從表面由平面、擺輪和彈簧k1組成，其中彈簧k1下端固定在平面上，上端和擺輪圓心相連接，并且限制彈簧k1兩端的平動自由度，使其只能進行旋轉(zhuǎn)與拉伸。在彈簧k1的拉力作用下，擺輪可以沿著平面進行往復滾動。主表面由平面、方形凸臺和彈簧k2組成，凸臺在x方向上由彈簧k2連接固定在平面上，同樣限制彈簧k2的平動自由度，在凸臺受到x方向的作用力時會發(fā)生左右振動。平面上的凸臺等間距排列，凸臺最低點與擺輪圓弧最高點y軸坐標相同。

開始運動時，固定從表面，主表面以恒定的速度v沿x軸正方向移動，此時凸臺與附著平面保持相對靜止。在主表面移動一定的距離后，凸臺會與擺輪發(fā)生接觸，假定接觸過程中擺輪與凸臺不發(fā)生相對滑動，即保持純滾動狀態(tài)。在接觸階段，由于阻力的存在，擺輪會跟隨凸臺會發(fā)生滾動和偏轉(zhuǎn)，其中偏轉(zhuǎn)角為θ，當凸臺與擺輪分離時，擺輪頂部圓弧滾動過的弧長距離為2θR。分離之后，擺輪將作帶有阻尼的簡諧振動，直到下一次與軌道凸臺發(fā)生接觸。如圖1（b）所示，在實際應用中，可以并排有多個擺輪形成連續(xù)的滾動，保證整體的平衡和穩(wěn)定性。

對該結(jié)構進行靜力學分析：當擺輪和軌道凸臺相互接觸時，擺輪受阻力作用將發(fā)生偏轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角為θ。擺輪在y方向上受到來自凸臺的壓力N、彈簧拉力F在y方向分力和沿y軸正方向的支持力，所以在y方向擺輪所受到合外力為0。而在x方向上擺輪受到阻力f和彈簧拉力F沿x方向上分力的作用，當阻力f大于彈簧拉力F在x方向分力時，擺輪可以移動，所以擺輪偏轉(zhuǎn)滾動時受到的阻力主要來源于彈簧的拉力，而與正壓力N大小無關，即阻力與正壓力是相互獨立的，增大正壓力N的值并不影響x方向的阻力，即該結(jié)構可以實現(xiàn)使用較小拉力拉動質(zhì)量較大的載荷。

動力學分析系統(tǒng)內(nèi)各部件的運動方式：分別得到各自的動能與勢能，再使用拉格朗日方程求偏導，即可得到擺輪與凸臺的運動方程。由圖2幾何關系可知，圓心處平移速度與偏轉(zhuǎn)角關系為

Vc=Rθ·（1）

而擺輪運動可分解為沿x軸方向的平動和繞圓心的轉(zhuǎn)動，異形輪子轉(zhuǎn)動慣量與輪子形狀有關，記為Jc。所以擺輪的動能可表示為

E=12m1R2θ·2+12Jcv2R2（2）

勢能主要由彈簧的變形產(chǎn)生，而彈簧長度變形量與偏轉(zhuǎn)角關系為

ΔL=R1cosθ－1（3）

所以可以推導彈簧勢表達式，即

U=12k1R21cosθ－12（4）

式（2）減去式（4）即可得到拉格朗日函數(shù)

L=12m1R2θ·2+12Jcv2R2－12k1R21cosθ－12（5）

再分別對θ、θ·進行求導，并考慮廣義力和阻尼的存在，化簡后得出擺輪運動方程

m1Rθ··

+k1Rsinθcos3θ－sinθcos2θ=2f－c1θ·（6）

對于凸臺來說，其運動是典型的彈簧振子的運動，從圖2坐標與幾何關系可知，xj為第j個凸臺的實時坐標，Xj表示第j個凸臺原始位置的坐標，二者差值為凸臺的位移，因為凸臺與軌道所受阻力大小相等方向相反，所以凸臺的運動方程為

m2x··j+c2x·j－v+k2xj－Xj－vt=－f（7）

式中：m2為凸臺質(zhì)量；c2、k2分別表示凸臺上彈簧阻尼與剛度；v為軌道速度；設置彈簧k2不同的阻尼與剛度，可以模擬不同材料的凸臺對碰撞的影響。聯(lián)立式（6）、（7）可得到式（8），對式（8）求解即可得到系統(tǒng)任意時刻系統(tǒng)的運動狀態(tài)。

m1Rθ··+k1Rsinθcos3θ－sinθcos2θ=2f－c1θ·m2x··j+c2x·j－v+k2xj－Xj－vt=－f（8）

整個系統(tǒng)按照運動狀態(tài)可劃分為3個部分：擺輪、凸臺和軌道。其中擺輪和凸臺為含阻尼的振動，軌道為勻速運動狀態(tài)，不考慮外力對其速度的影響。因為擺輪的質(zhì)量較軌道質(zhì)量小，擺輪與凸臺發(fā)生接觸后，其線速度將與凸臺速度保持相同，擺輪與凸臺在阻力的作用下發(fā)生振動。若擺輪與凸臺沒有發(fā)生接觸時，兩者各自為帶有阻尼的自由振動狀態(tài)。

考慮在靜力狀態(tài)時，擺輪偏轉(zhuǎn)到最大角度，此時擺輪的角加速度θ··i+1和角速度θ·i+1都為零，式（6）中所有動力項可以消去化簡為

fmax=12k1Rsinθcos3θ－sinθcos2θ（9）

根據(jù)幾何關系，此時θ與凸臺寬度c的關系為

tanθ=c2R（10）

即fmax可以表示為

fmax=ck1R1－4R2+c24R2+c23（11）

由式（11）可知，當擺輪半徑R遠大于凸臺寬度c時，阻力最大值fmax可以繼續(xù)簡化為

fmax=－ck14R（12）

即最大阻力fmax可以達到極小值，這意味著使用極小的拉力就可以使輪-阜結(jié)構運動。從式（12）看出，最大的阻力fmax僅和表面結(jié)構的幾何和材料參數(shù)相關，其大小與法向力N無關。以上分析基于單個擺輪受力分析，實際在兩表面相互滑動過程中會有兩個擺輪同時與凸臺發(fā)生接觸，以保持凸臺表面的平穩(wěn)。

以上分析基于剛性接觸假設，在實際實驗中，材料受力將發(fā)生變形，擺輪的幾何尺寸會發(fā)生細微的變化，最大阻力fmax將受到法向力N的一些影響。然而，通過調(diào)整擺輪的幾何尺寸（如半徑）和材料的物理常數(shù)（如剛度），接觸區(qū)域結(jié)構的受力變形能夠被控制在很小的量級，fmax可以遠遠小于N，即實現(xiàn)極低的滑動阻力。

2" 程序設計與仿真

為了對本研究推導的運動方程進行驗證，編寫程序進行計算與仿真。程序利用Runge-Kutta方法求解運動方程的數(shù)值解，然后輸出位移并使用動畫的方式進行呈現(xiàn)，同時引入了迭代的方法計算碰撞過程中的相互作用力。

程序采用數(shù)值分析對二階微分方程進行求解，而且涉及到動力學接觸問題，時間步長應該足夠小，否則會產(chǎn)生非理想的接觸和能量損失。時間步長h與系統(tǒng)剛度、質(zhì)量的關系可表示為

f=12πk1m1，h=1nf（13）

式中：n為正數(shù)；f為擺輪的固有頻率；k1為擺輪上彈簧的剛度；m1代表擺輪的質(zhì)量；h為時間步長，當h小于等于1/nf時，計算結(jié)果才能較為準確，所以程序?qū)⑹紫葘Σ介L、分析時間、質(zhì)量和剛度等進行初始化。

軌道為勻速直線運動且上表面有多個凸臺，因此需要確定每個凸臺的坐標，根據(jù)幾何關系以判斷是否觸發(fā)了接觸條件。確定好位移參數(shù)后，程序每一次執(zhí)行需要對每個凸臺的位置進行判斷，以防止漏判。如果發(fā)生了接觸，首先假設初始條件，即

Fi+1=Fi+ΔF（14）

式中：Fi為擺輪與凸臺在水平方向的作用力，即阻力；ΔF為迭代過程中力的增量。

初始值可以設置為任意數(shù)值，后期程序會對其進行迭代更新。然后使用Runge-Kutta方法對式（7）進行求解，得到軌道上凸臺的加速度x··i+1、速度x·i+1和位移xi+1等參數(shù)。

根據(jù)圖2幾何與運動關系

x··i+1=2θ··i+1Rx·i+1=2θ·i+1Rxi+1=2Rθi+1－θi－c（15）

計算得到擺輪的角加速度θ··i+1、角速度θ·i+1和角位移θi+1，利用擺輪的運動參數(shù)，利用式（6）計算其受到的阻力F^。但是此時擺輪和凸臺所受到阻力Fi的大小還不一定相同，可以進行迭代處理，首先引入中間變量ΔF^，且

ΔF^=F^－Fi（16）

ΔF^為擺輪受到的阻力F^與凸臺的阻力Fi的差值，然后進行判斷。

ΔF^－ΔF≤ε（17）

當中間變量ΔF^與增量ΔF差值小于極小值ε（如1×10－5）時，認為擺輪與凸臺受到的阻力大小相同，退出迭代循環(huán)，否則ΔF取二者平均值。

ΔF=ΔF^+ΔF2（18）

再返回式（9）處繼續(xù)進行迭代循環(huán)，直到滿足接觸條件。如果沒有觸發(fā)接觸條件，則擺輪和凸臺各自為自由振動，二者之間沒有相互作用力，僅計算各自的位移。在程序運行過程中，擺輪的角位移θi+1和凸臺的位移xi+1同時輸出到動畫窗口，可以模擬其運動狀態(tài)，本程序的程序框圖如圖3所示。

3" 數(shù)據(jù)分析

將計算結(jié)果進行導出，可得阻力f隨時間t變化的規(guī)律。設置不同彈簧的剛度k1，擺輪擺動的固有頻率將發(fā)生改變。在軌道速度v保持不變的情況下，只改變剛度k1，碰撞結(jié)果會呈現(xiàn)不同的結(jié)果。

在不同擺動周期T1下，阻力f分別對位移x進行積分，即可得到阻力所做的功W。對于圖4的4種情況，各計算4個凸臺間隔周期T2的時間，對應阻力所做功分別為：W1=0J，W2=0.0029J，W3=0.0049J，W4=0.0063J。單純使用能量無法表示阻力的大小，此處，定義等效阻力f

的表達式為

f=∫t0f·vdt∫t0vdt（19）

同樣對前4個T2的時間進行積分，借助式（19）計算圖4中4種情況下的等效阻力：f1=0N，f2=0.0116N，f3=

0.0197N，f4=0.0253N。由圖4可知，當擺輪的擺動周期是軌道間隔周期的2倍時，等效阻力為0，阻力所做功也為零，即能量耗散最小，此時軌道凸臺對擺輪所做的功全部被擺輪反饋。

4" 實驗驗證

為了對輪-阜機構可行性進行驗證，制造了金屬模型進行實驗。因恒定大小的拉力較難實現(xiàn)，故搭建圖5所示的斜面實驗臺，利用重力沿斜面方向的分量提供穩(wěn)定的滑動驅(qū)動力。通過測量擺輪平面和凸臺平面發(fā)生相對平穩(wěn)滑動時的傾斜角α，可計算切向拉力和法向載荷的比值，即tanα。

實驗平臺由可調(diào)節(jié)傾角的斜面軌道和擺輪平面組成，擺輪沿著x、y軸方向的排列分布如圖5（a），既保證了平面滑行的穩(wěn)定又縮小了擺輪平面的尺寸。實驗中取擺輪個數(shù)N為12，保證前后排至少同時有4個擺輪與軌道接觸，裝置實物如圖5（b）所示。

斜面軌道長度為1m，底部兩側(cè)都有旋鈕可調(diào)整傾斜角α，試驗時測量兩側(cè)高度差h，即可得到tanα，進而求出切向力。在擺輪表面添加3種載荷進行實驗，結(jié)果列在表1中。

實驗數(shù)據(jù)表明，隨著法向載荷的增大，滑動所需的切向力幾乎沒有增加，所以切向力與法向力之比有減小的趨勢。通過使用該機構，使用較小的拉力即可以拉動上百倍大小的載荷，實驗結(jié)果也證明了該機構的確有減小阻力的作用，證明了模型的可行性。

5" 結(jié)" 論

本研究提出一種輪-阜復擺互動機構，利用系統(tǒng)動力學方法研究其運動，并通過程序模擬仿真與實驗的方法進行了驗證，得到以下結(jié)論。

1）本研究設計的輪-阜機構結(jié)構簡單、穩(wěn)定可靠，通過擺輪與軌道的相互配合，能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)的滑動過渡，并且拉力大小恒定與載荷重量無關，在凸臺和擺輪相對運動速度合適耦合狀態(tài)良好的條件下，對能量利用率較高。

2）在實際應用中，可利用該原理設計一種宏觀運輸機構，可以實現(xiàn)極小的拉力運輸較大的載荷，在倡導節(jié)能減排、增加能源利用率的當下，減少能源消耗具有非常重要的意義。輪阜機構還可縮小尺寸以應用于微觀表面，為固體超滑提供新的思路。

3）擺輪結(jié)構利用彈簧使其復位，但此處的彈簧僅為力學構件，可以替換為簧片等其他結(jié)構，甚至直接使用3D打印技術整體打印成型。

4）本研究目前還存在一些局限，該機構的動力學微分方程是基于輪-阜皆為剛體的假設上建立的，在實際應用中結(jié)構尺寸會發(fā)生形變，滑動阻力會因此受到法向載荷細微的影響。

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（編輯" 張璐）