摘要：為提高機(jī)械加工車間在動(dòng)態(tài)生產(chǎn)環(huán)境下的效率和穩(wěn)定性，建立了考慮機(jī)器與工人約束的柔性機(jī)械加工車間逆調(diào)度問(wèn)題模型。該模型以最小化完工時(shí)間、機(jī)器能耗和逆偏差指數(shù)為目標(biāo)，通過(guò)調(diào)整工件排產(chǎn)、工人作業(yè)以及機(jī)加工工藝參數(shù)對(duì)原始調(diào)度方案進(jìn)行優(yōu)化。針對(duì)問(wèn)題特征，提出了一種差分進(jìn)化算法。在算法中，設(shè)計(jì)了混合雙層編碼方式以降低搜索難度；提出了兩種基于調(diào)度規(guī)則的初始化方式以提高種群質(zhì)量；為加強(qiáng)和平衡全局與局部搜索，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)遺傳操作以及基于精英選擇的局部搜索策略；改進(jìn)了哈明距離，并提出了一種擁擠度算子以反映種群真實(shí)多樣性。在實(shí)驗(yàn)中構(gòu)建了33組測(cè)試算例，并將所提算法與其他7種算法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提算法性能。最后，分析了某液壓缸生產(chǎn)車間在兩種不同動(dòng)態(tài)環(huán)境下的真實(shí)逆調(diào)度案例，結(jié)果表明，所提算法能夠在較小程度改變?cè)颊{(diào)度的情況下縮短4.2%的完工時(shí)間、降低20.2%的機(jī)器能耗。

關(guān)鍵詞：雙資源約束柔性作業(yè)車間調(diào)度；機(jī)械加工車間；逆調(diào)度；多目標(biāo)優(yōu)化；差分進(jìn)化算法

中圖分類號(hào)：TP278

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.03.008

0引言

目前我國(guó)機(jī)械加工車間在生產(chǎn)管理、智能決策等方面還存在不足［1］。研究實(shí)際機(jī)械加工車間生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題，探索新型調(diào)度方法，對(duì)提高車間產(chǎn)能、實(shí)現(xiàn)制造模式升級(jí)具有重要意義。機(jī)械加工車間具有離散、柔性制造特點(diǎn)，同時(shí)生產(chǎn)過(guò)程受機(jī)器、工人等資源約束。當(dāng)前，考慮機(jī)器與工人雙資源約束的柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題已成為研究熱點(diǎn)。在問(wèn)題特征方面，TAN等［2］針對(duì)工人疲勞特性，研究了機(jī)器、工人聯(lián)合調(diào)度問(wèn)題；梁向檁等［3］構(gòu)建了考慮工人配置的柔性作業(yè)車間調(diào)度模型；FABIAN等［4］研究了具有不確定加工時(shí)間的雙資源約束調(diào)度問(wèn)題；易茜等［5］討論了工人作業(yè)能力對(duì)生產(chǎn)調(diào)度的影響。在調(diào)度目標(biāo)方面，多數(shù)研究以完工時(shí)間為目標(biāo)，部分研究?jī)?yōu)化了機(jī)器能耗［6］、拖期［3］、工件加工質(zhì)量［7］等，然而，現(xiàn)有研究較少考慮機(jī)械加工參數(shù)對(duì)生產(chǎn)的影響，導(dǎo)致模型不完全符合實(shí)際。更重要的是，機(jī)械加工生產(chǎn)環(huán)境并不總是穩(wěn)定的，動(dòng)態(tài)事件（如機(jī)器故障、緊急訂單等）常導(dǎo)致原始調(diào)度方案不再是最優(yōu)的甚至不可行［8］，因此，有必要在實(shí)際多資源約束下研究機(jī)械加工車間動(dòng)態(tài)調(diào)度方法。

在柔性作業(yè)車間動(dòng)態(tài)調(diào)度問(wèn)題中，當(dāng)前多數(shù)研究采用重調(diào)度方法獲得新調(diào)度方案。盡管重調(diào)度可以滿足全局最優(yōu)，但由于它改變了原始生產(chǎn)方案，故往往伴隨高昂運(yùn)輸成本，并且難以實(shí)施。實(shí)際機(jī)械加工車間存在重型、大型工件及材料搬運(yùn)困難、輔助生產(chǎn)資源多等問(wèn)題，重調(diào)度策略勢(shì)必會(huì)對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)整體造成更大的負(fù)面影響［9］。為了最大限度地保持原始調(diào)度方案，同時(shí)獲得接近最優(yōu)的調(diào)度方案，逆調(diào)度成為了一種必要方法。目前關(guān)于逆調(diào)度的研究報(bào)道較少。KOULAMAS［10］最早研究了具有可控作業(yè)參數(shù)的流水車間逆排序問(wèn)題，并設(shè)計(jì)了多項(xiàng)式求解方法，成功解決了小規(guī)模問(wèn)題。BRUCKER等［11-12］分別建立了不確定交貨期的單機(jī)逆調(diào)度，以及具有不確定加工時(shí)間的雙機(jī)流水車間逆調(diào)度模型，并證明了問(wèn)題的NP-hard屬性。范洪長(zhǎng)等［13］提出了相同并行機(jī)逆調(diào)度模型，通過(guò)最小程度改變加工時(shí)間和權(quán)重來(lái)優(yōu)化總加權(quán)完工時(shí)間，采用二次規(guī)劃法求得最優(yōu)解。早期的逆調(diào)度研究側(cè)重于理論，近年來(lái)，一些學(xué)者設(shè)計(jì)了優(yōu)化算法來(lái)解決實(shí)際逆調(diào)度問(wèn)題，取得了良好效果。牟健慧等［14］將遺傳算法與變鄰域搜索算法相結(jié)合，提出了三種混合算法求解具有可調(diào)整交貨期的單機(jī)逆調(diào)度問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，交替與協(xié)同搜索效果優(yōu)于單一算法求解效果。WANG等［15］探討了焊接車間的逆調(diào)度問(wèn)題，通過(guò)調(diào)整焊機(jī)數(shù)量來(lái)改變焊接時(shí)間，并在改進(jìn)灰狼算法中設(shè)計(jì)了矩陣編碼方式，同時(shí)采用外部檔案機(jī)制，有效提高了算法收斂速度。ZHANG等［16］針對(duì)汽輪機(jī)裝配問(wèn)題，采用調(diào)整工人加班的方式進(jìn)行逆優(yōu)化，并設(shè)計(jì)了結(jié)合禁忌搜索的粒子群優(yōu)化算法，通過(guò)實(shí)際案例分析驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性。牟健慧等［17］建立了分布式流水車間逆調(diào)度模型，以最小化資源調(diào)整量和機(jī)器能耗為目標(biāo)，并設(shè)計(jì)了基于啟發(fā)式規(guī)則的混合遺傳算法進(jìn)行求解，在多規(guī)模的算例下，該算法的表現(xiàn)均優(yōu)于傳統(tǒng)遺傳算法和粒子群算法。針對(duì)柔性作業(yè)車間逆調(diào)度問(wèn)題，WU等［18］開(kāi)發(fā)了一種離散粒子群優(yōu)化算法，并設(shè)計(jì)了混合初始化方式，該算法與NSGA-Ⅱ和SPEA-Ⅱ等算法相比具有優(yōu)勢(shì)。

現(xiàn)有的逆調(diào)度研究主要針對(duì)單機(jī)和流水車間進(jìn)行建模，鮮有研究關(guān)注柔性作業(yè)車間。在參數(shù)或資源調(diào)整范圍的設(shè)定上，多數(shù)研究采用隨機(jī)生成或人為規(guī)定的方式，未能充分考慮實(shí)際生產(chǎn)環(huán)境、加工特征等限制因素，這可能導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不準(zhǔn)確或不可行。此外，工人作為生產(chǎn)系統(tǒng)中不可或缺的資源，在逆調(diào)度優(yōu)化中應(yīng)該被進(jìn)一步考慮。在逆調(diào)度模型求解方面，精確求解方法和智能算法是兩種常用的方法。然而，相比精確方法，智能算法在求解速度和魯棒性上更具優(yōu)勢(shì)，特別是在處理復(fù)雜、大規(guī)模問(wèn)題時(shí)能夠快速找到近似解。因此，有必要建立符合實(shí)際柔性作業(yè)車間特征的逆調(diào)度模型，并開(kāi)發(fā)高性能優(yōu)化算法。

本文考慮機(jī)器與工人資源約束，研究機(jī)械加工車間逆調(diào)度問(wèn)題，通過(guò)調(diào)整工件排產(chǎn)、工人作業(yè)以及機(jī)械加工參數(shù)來(lái)優(yōu)化原始調(diào)度。以最小化完工時(shí)間、機(jī)器能耗以及逆偏差指數(shù)為目標(biāo)建立多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型，并提出了一種改進(jìn)差分進(jìn)化算法。最后通過(guò)算例測(cè)試和實(shí)際案例分析來(lái)驗(yàn)證逆調(diào)度方法的有效性。

1問(wèn)題描述與模型的建立

本文研究的逆調(diào)度問(wèn)題描述如下：在機(jī)械加工車間內(nèi)，共有J個(gè)待加工工件，M臺(tái)加工機(jī)器以及W名工人。工件j具有θj道順序固定的工序，各道工序均需要選擇一臺(tái)可行機(jī)器加工，原始調(diào)度中第k道工序Ojk在機(jī)器m上的加工時(shí)間為Tjkm。機(jī)器加工需要工人輔助，工人可以在生產(chǎn)過(guò)程中操作多臺(tái)機(jī)器，但一次只能操作一臺(tái)，工人w在機(jī)器m上的加工效率為emw（emwSymbolNC@［0，1］）［7］。此外，機(jī)械加工參數(shù)同樣影響生產(chǎn)，與加工時(shí)間、機(jī)器能耗等指標(biāo)密切相關(guān)。工序Ojk在機(jī)器m上的主要加工參數(shù)包括進(jìn)給速度、主軸轉(zhuǎn)速、切削力及切削速度等。車間的原始調(diào)度方案包括各工序的加工機(jī)器、處理工人、加工參數(shù)（采用最優(yōu)參數(shù)加工），以及每臺(tái)機(jī)器上操作的處理順序。然而，該調(diào)度方案可能不是最優(yōu)的，甚至當(dāng)動(dòng)態(tài)事件發(fā)生時(shí)可能不再可行，因此需要采取逆調(diào)度策略進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于機(jī)械加工車間，工件的加工機(jī)器、加工順序不能隨意變動(dòng)，但工人作業(yè)可以靈活調(diào)整，同時(shí)部分機(jī)械加工參數(shù)也可以基于最優(yōu)參數(shù)在一定范圍內(nèi)進(jìn)行選擇。逆調(diào)度通過(guò)合理調(diào)整以上資源對(duì)原始調(diào)度進(jìn)行優(yōu)化，以提高車間整體生產(chǎn)水平。

為便于建立問(wèn)題模型，給出以下假設(shè)：①在零時(shí)刻，所有工件均可被加工、所有機(jī)器和工人都已準(zhǔn)備好；②一臺(tái)機(jī)器同時(shí)最多處理一個(gè)工件，一個(gè)工人同時(shí)最多操作一臺(tái)機(jī)器；③每道工序在一臺(tái)機(jī)器上由一名符合要求的工人加工，不能中斷；④不同工件的工序間沒(méi)有順序要求；⑤不考慮工件的轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)間以及機(jī)器的準(zhǔn)備時(shí)間。

基于以上描述和假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型。參數(shù)說(shuō)明如下：C′max為逆調(diào)度的總完工時(shí)間；Pm為機(jī)器m的待機(jī)功率；R′m為逆調(diào)度中機(jī)器m的運(yùn)行結(jié)束時(shí)間；T′jkm為工序Ojk在逆調(diào)度中的加工時(shí)間；P′jkm為逆調(diào)度中機(jī)器m加工Ojk的功率；r為調(diào)整加工參數(shù)的懲罰系數(shù)；T′jk為逆調(diào)度中Ojk的開(kāi)始加工時(shí)間；njkm為Ojk在機(jī)器m上的原始即最優(yōu)加工轉(zhuǎn)速；fjkm為原始即最優(yōu)進(jìn)給速度；n′jkm和f′jkm分別為逆調(diào)度中的主軸轉(zhuǎn)速和進(jìn)給速度；F′jkm和v′jkm分別為逆調(diào)度中的切削力和切削速度；A1和B1分別為與轉(zhuǎn)速相關(guān)的系數(shù)；［njkm，n-jkm］為逆調(diào)度中主軸轉(zhuǎn)速的調(diào)整區(qū)間；［f-jkm，f-jkm］為進(jìn)給速度的調(diào)整區(qū)間；xjkm為決策變量，若Ojk在原始調(diào)度中由機(jī)器m加工，其值為1，否則為0；yjkw為決策變量，若Ojk在原始調(diào)度中由工人w加工，其值為1，否則為0；x′jkm為決策變量，若Ojk在逆調(diào)度中在機(jī)器m上加工，其值為1，否則為0；y′jkw為決策變量，若Ojk在逆調(diào)度中由工人w加工，其值為1，否則為0；z′jkm為決策變量，若在逆調(diào)度中Ojk的加工參數(shù)發(fā)生變化，其值為1，否則為0；α（jklh）m為決策變量，若逆調(diào)度中Ojk為Olh在機(jī)器m上的緊前工序，其值為1，否則為0；β（jklh）m為決策變量，若逆調(diào)度中Ojk為Olh在工人w連續(xù)加工的前后兩道工序，其值為1，否則為0。

模型的目標(biāo)為最小化完工時(shí)間、機(jī)器能耗及逆偏差指數(shù)。機(jī)器能耗由待機(jī)能耗和加工能耗兩部分組成，由于能耗受加工參數(shù)影響，且在逆調(diào)度中加工參數(shù)應(yīng)盡可能保持不變，故在該目標(biāo)中額外考慮了參數(shù)調(diào)整懲罰。逆偏差指數(shù)用來(lái)約束逆調(diào)度與原調(diào)度間的差異，由工序開(kāi)始時(shí)間偏差ds、機(jī)器加工偏差dm及工人加工偏差dw組成。其中，ds為所有工序開(kāi)始時(shí)間偏差之和；dm為所有工序的加工機(jī)器改變量之和，以最大程度保留原始加工路徑；同理，dw為所有工序的操作工人改變次數(shù)之和，以最大程度保留原始工人作業(yè)。三個(gè)目標(biāo)的數(shù)學(xué)公式如下：

以上逆調(diào)度約束中，式（7）表示總完工時(shí)間為最后一個(gè)工件的加工完成時(shí)間；式（8）表示根據(jù)工人水平和加工參數(shù)計(jì)算各工序的加工時(shí)間；式（9）表示機(jī)器在加工完最后一道工序后停止運(yùn)行；式（10）用于計(jì)算各工序的加工能耗；式（11）表示各道工序必須在一臺(tái)機(jī)器上加工；式（12）表示各道工序必須有一名操作工人；式（13）表示同一個(gè)工件的相鄰工序需要滿足順序約束；式（14）表示一臺(tái)機(jī)器同時(shí)最多只能完成一個(gè)操作，且一個(gè)工人同時(shí)最多只能操作一臺(tái)機(jī)器；式（15）和式（16）表示主軸轉(zhuǎn)速和進(jìn)給速度只能在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)整。

上述模型中，針對(duì)不同機(jī)加工方式，需要分別計(jì)算切削力和切削速度。常見(jiàn)的機(jī)加工方法包括車削、銑削和鉆削加工。車削加工的切削力和切削速度的計(jì)算公式如下：

2改進(jìn)差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化（differentialevolutionalgorithm，DE）算法是一種基于群體差異的隨機(jī)搜索算法，包括交叉、變異、選擇等操作，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已成功應(yīng)用于車間調(diào)度問(wèn)題［19］。然而，現(xiàn)有差分進(jìn)化算法僅針對(duì)正向調(diào)度設(shè)計(jì)，不完全適用于逆調(diào)度問(wèn)題，同時(shí)傳統(tǒng)差分算法為連續(xù)型算法，不適用于離散問(wèn)題，因此，本文針對(duì)問(wèn)題特征改進(jìn)了差分進(jìn)化機(jī)制，并設(shè)計(jì)了編解碼、初始化、局部搜索等策略以高效求解問(wèn)題。改進(jìn)差分進(jìn)化（improveddifferentialevolution，IDE）算法流程如圖1所示。

2.1編碼與解碼

編碼和解碼是解決染色體與解之間轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。傳統(tǒng)調(diào)度問(wèn)題通常采用基于操作序列的編碼方式，即使用作業(yè)編號(hào)生成一組長(zhǎng)度為總工序數(shù)的序列OS，作業(yè)j在OS中出現(xiàn)的第k次代表工序Ojk，OS從左到右的順序表示工序的加工順序。此方法在正向調(diào)度中簡(jiǎn)潔有效，但在逆調(diào)度中需要考慮額外的資源約束，包括加工機(jī)器、操作人員和機(jī)加工參數(shù)，因此不再適用。為解決該問(wèn)題，本文提出了一種混合雙層編碼方式，采用序列OS來(lái)表示工序順序，同時(shí)設(shè)計(jì)了混合矩陣PM表示加工信息。這種編碼方式既保留了傳統(tǒng)編碼的優(yōu)點(diǎn)，又充分考慮了逆調(diào)度中的資源約束，為求解逆調(diào)度問(wèn)題提供了新思路。

在PM中，列和行分別表示工件和工序，每個(gè)元素的十位數(shù)字表示加工機(jī)器，個(gè)位數(shù)字表示操作工人，前兩位小數(shù)為進(jìn)給速度調(diào)整系數(shù)，后兩位小數(shù)為主軸轉(zhuǎn)速調(diào)整系數(shù)。這種編碼簡(jiǎn)單且高效，可以在一串字符中運(yùn)行6層信息，同時(shí)在迭代過(guò)程中無(wú)需修正，降低了計(jì)算復(fù)雜度。

對(duì)于車間調(diào)度問(wèn)題，半主動(dòng)解碼是一種簡(jiǎn)單有效的解碼方式［20］，已被廣泛使用。本文基于該方法進(jìn)行解碼，具體步驟如下：從左到右依次對(duì)OS中工序進(jìn)行解碼，工序的加工機(jī)器、處理工人以及加工參數(shù)由PM決定，各工序安排在最早可開(kāi)始時(shí)間加工，每當(dāng)一道工序完成后，相應(yīng)的機(jī)器、工人等資源立即轉(zhuǎn)移到下一道目標(biāo)工序。

為具體闡述本文編碼、解碼方法，舉例說(shuō)明。圖2中，PM中的第3列第2行的元素為工序O32的加工信息：十位數(shù)字2表示該工序由第2臺(tái)可行機(jī)器M3加工；個(gè)位數(shù)字2表示由2號(hào)工人加工；前兩位小數(shù)為0表示進(jìn)給速度與原調(diào)度保持一致；后兩位小數(shù)32表示主軸轉(zhuǎn)速需要調(diào)整。若32∈（0，100（n－n）/（n-－n）］，其中，n為原調(diào)度中主軸轉(zhuǎn)速，［n，n-］為逆調(diào)度轉(zhuǎn)速調(diào)整范圍，則降低轉(zhuǎn)速為n′=n－32［（n-－n）/100］；否則提高轉(zhuǎn)速為n′=n+32［（n-－n）/100］。

2.2種群初始化

初始種群質(zhì)量直接影響算法的搜索精度和收斂速度，對(duì)求解多目標(biāo)問(wèn)題至關(guān)重要。逆調(diào)度是對(duì)原始調(diào)度的調(diào)整，且目標(biāo)之一是減少更新調(diào)度與原始調(diào)度之間的偏差，因此，如果能夠合理利用原始調(diào)度信息初始化種群，則可以有效提高種群質(zhì)量?；诖耍疚脑O(shè)計(jì)了兩種初始化規(guī)則，同時(shí)為提高種群多樣性，部分初始個(gè)體隨機(jī)生成。

2.2.1基于原始關(guān)鍵路徑初始化

關(guān)鍵路徑是工件加工時(shí)間最長(zhǎng)的路徑，它決定了調(diào)度方案的完工時(shí)間。通過(guò)調(diào)整非關(guān)鍵路徑上的工序加工，可以在保持原始調(diào)度方案總體框架不變的前提下進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，從而提高整體效率。此方法能減少對(duì)原始調(diào)度的干擾，降低逆偏差指數(shù)。因此，本文提出了一種基于原始關(guān)鍵路徑的初始化策略，具體步驟如下：

（1）在逆調(diào)度中保留原始關(guān)鍵路徑，隨后隨機(jī)選擇一道非關(guān)鍵路徑上的工序，各工序最多被選擇一次。

（2）判斷該工序是否能在其他可選機(jī)器的加工空閑間隔內(nèi)加工（加工空閑間隔是指同一臺(tái)機(jī)器處理相鄰兩道工序的間隔時(shí)間），若是，則隨機(jī)選擇一個(gè)間隔安排該工件加工；否則隨機(jī)提高該工序加工參數(shù)或更換效率更高的工人。

（3）判斷是否所有非關(guān)鍵工序均被選擇，若是，則輸出當(dāng)前調(diào)度方案作為初始個(gè)體；否則返回步驟（1）。

圖3為該初始策略的示意圖，圖3中工序右上方數(shù)字為加工時(shí)間，中間數(shù)字為編碼，藍(lán)色工序?qū)儆陉P(guān)鍵路徑，可以看出，原始關(guān)鍵路徑為O11→O12→O21→O22。首先隨機(jī)選擇工序O41，將其插入M2的空閑時(shí)間加工，隨后選擇工序O31，由于該工序無(wú)法在其他機(jī)器的空閑時(shí)間內(nèi)加工，故隨機(jī)提高其加工參數(shù)，此時(shí)所有非關(guān)鍵工序均被選擇，輸出該解作為初始個(gè)體。

2.2.2基于原始加工狀態(tài)初始化

若在逆調(diào)度中完全改變?cè)紮C(jī)加工參數(shù)和工人安排，勢(shì)必會(huì)影響生產(chǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此，本文設(shè)計(jì)了基于原始加工狀態(tài)的初始化策略，同時(shí)兼顧了完工時(shí)間與能耗目標(biāo)，具體步驟如下：

（1）隨機(jī)選擇一個(gè)工序，并確保每個(gè)工序只被選擇一次。

（2）隨機(jī)改變當(dāng)前工序的進(jìn)給速度和主軸轉(zhuǎn)速，并計(jì)算新參數(shù)下的加工時(shí)間和加工能耗。

（3）比較原始參數(shù)和新參數(shù)，若新參數(shù)下的加工時(shí)間和能耗均優(yōu)于原始參數(shù)，則替換原始參數(shù)，轉(zhuǎn)到步驟（5）；否則轉(zhuǎn)到步驟（4）。

（4）隨機(jī)改變當(dāng)前工序的加工工人，并根據(jù)以下三種情況判斷是否保留新工人和新參數(shù)。

①若當(dāng)前工序在新參數(shù)下由新工人加工的加工時(shí)間和機(jī)器能耗均變優(yōu)，則保留；

②若新工人的加工效率為其他所有可選工人中最高的，則保留；

③若非以上兩種情況，則引入模擬退火Metropolis準(zhǔn)則，根據(jù)下式以一定概率接受新參數(shù)和新工人：

式中，p為接受概率；i為加工時(shí)間和機(jī)器能耗兩個(gè)目標(biāo)值的索引；fi（x）、fi（x）分別為新目標(biāo)值和原始目標(biāo)值；Ti為退火溫度。

（5）隨機(jī)選擇下一道工序，直到所有工序均被選擇，并輸出最終方案作為初始個(gè)體。

2.3變異與交叉

在差分進(jìn)化算法中，個(gè)體Xi通過(guò)DE/rand/1策略進(jìn)行變異，根據(jù)三個(gè)不同隨機(jī)數(shù)式中r1、r2和r（r1≠r2≠r3≠i）以及縮放因子F生成變異個(gè)體Vi：

上式適用于連續(xù)空間問(wèn)題，但逆調(diào)度問(wèn)題屬于離散優(yōu)化問(wèn)題，因此，需要對(duì)上式中相減、相加以及相乘運(yùn)算進(jìn)行離散化處理。兩層編碼采用相同的離散策略，具體定義如下。

定義1減法操作⊙：兩串編碼對(duì)應(yīng)位置處元素相減得到交換對(duì)，直至編碼相等。舉例如下：編碼X2={3，1，5，2，4}，X3={4，3，5，1，1}，X2與X3第一位元素不同，對(duì)X3執(zhí)行（3，4）交換操作，得到X′3={3，4，5，1，2}，再次對(duì)X′3進(jìn)行（1，4）位置交換，得到X″3={3，1，5，4，2}，最后交換X″3的（2，4）位置，此時(shí)X3=X2，減法運(yùn)算結(jié)束，如圖4所示。該減法操作表示如下：X2⊙X3={（3，4），（1，4），（2，4）}。

定義2乘法操作SymbolDC@：縮放因子F與減法運(yùn)算得到的交換對(duì)數(shù)量相乘，結(jié)果取整，得到新的交換對(duì)。以上述交換對(duì){（3，4），（1，4），（2，4）}為例，交換對(duì)個(gè)數(shù)為3，若F為0.6，則乘積為1.8，取整后為2，對(duì)應(yīng)交換對(duì)為{（3，4），（1，4）}，即FSymbolDC@

：依據(jù)乘法操作得到交換對(duì)，交換相應(yīng)位置處元素。例如：交換對(duì)為{（3，4），（1，4）}，對(duì)X1={5，3，2，4，1}進(jìn)行加法操作，得到X3SymbolEC@

{（3，4），（1，4）}={5，1，2，3，4}。

在搜索初始階段，大概率變異、小概率交叉能夠擴(kuò)大算法搜索范圍，從而提高種群多樣性，有更大機(jī)會(huì)獲得全局最優(yōu)解；而在搜索后期，小概率變異、大概率交叉能夠保留種群中優(yōu)秀基因，有利于局部搜索［21］。因此，本文設(shè)計(jì)了自適應(yīng)交叉、變異策略以平衡算法搜索與開(kāi)發(fā)能力。

在變異操作中，根據(jù)下式計(jì)算縮放因子F：

交叉操作具體步驟如下。

（1）設(shè)置交叉概率RC：

（2）生成與OS長(zhǎng)度相等的隨機(jī)序列si以及與PM大小相等的隨機(jī)矩陣mi，二者中元素均屬于0到1。

（3）比較si中元素與RC的大小，若元素小于RC則復(fù)制個(gè)體V的染色體中對(duì)應(yīng)位置基因到U；否則復(fù)制X的相應(yīng)位置基因到U。

（4）比較mi中元素與RC的大小，若元素小于RC則復(fù)制個(gè)體V的相應(yīng)位置基因到U；否則復(fù)制X的對(duì)應(yīng)基因到U。

2.4選擇操作

完成變異、交叉后，對(duì)種群進(jìn)行保留。傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法的貪婪選擇并不適用于多目標(biāo)問(wèn)題，因此引入非支配排序遺傳算法（non-dominatedsortedgeneticalgorithm，NSGA-Ⅱ）的選擇策略，優(yōu)先將Pareto個(gè)體加入新種群。對(duì)于互不支配的個(gè)體，NSGA-Ⅱ通過(guò)計(jì)算擁擠度距離進(jìn)行比較，但該方法在本文中并不適用。一方面，不同于傳統(tǒng)調(diào)度，逆調(diào)度的解均源于對(duì)同一原始調(diào)度的調(diào)整，且調(diào)整原則為最小限度改變?cè)假Y源或參數(shù)，因此存在擁擠度距離相差不大的情況；另一方面，決策空間兩個(gè)完全不同的解在目標(biāo)空間的適應(yīng)度仍可能相等。因此，本文設(shè)計(jì)了一種基于哈明距離（hammingdisdtance，HD）的擁擠度算子以反映種群的真實(shí)多樣性。

哈明距離是指兩條染色體中相應(yīng)位置上的不同基因的數(shù)量［22］。IHD（A，B）定義為個(gè)體A與B的PM層編碼中整數(shù)部分與小數(shù)部分的哈明距離之和，如圖5所示。個(gè)體xi的擁擠度值是該個(gè)體和其他個(gè)體之間兩個(gè)最小IHD的平均值，記為DIHD（xi），其計(jì)算公式為

2.5局部搜索

在局部搜索中需要解決兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：一是如何選擇個(gè)體進(jìn)行搜索，二是進(jìn)行怎樣的搜索。針對(duì)問(wèn)題一，設(shè)計(jì)一種與文獻(xiàn)［23］類似的錦標(biāo)賽機(jī)制，主要步驟如下：

（1）根據(jù)下式生成一組符合均勻分布的權(quán)重標(biāo)量：

（2）隨機(jī)選擇一個(gè)向量λ，并從種群中隨機(jī)選擇st個(gè)個(gè)體。

（3）根據(jù)下式計(jì)算st個(gè)個(gè)體的臨時(shí)適應(yīng)度值：

（4）對(duì)臨時(shí)適應(yīng)度值最低的個(gè)體進(jìn)行局部搜索，并在種群中更新個(gè)體。

（5）重復(fù)步驟（2）～（4）|Pls·N|次，其中，Pls為局部搜索概率，N為種群大小，因此共有|Pls·N|個(gè)個(gè)體被更新。

針對(duì)問(wèn)題二，首先定義以下四種鄰域結(jié)構(gòu)：

鄰域1：在OS中隨機(jī)選擇三道工序，交換它們的位置，所有新序列構(gòu)成N1。

鄰域2：隨機(jī)選擇PM中的一道工序，更換其加工機(jī)器和工人，所有新組合構(gòu)成N2。

鄰域3：分別在區(qū)間［5，10］和［15，20］中隨機(jī)生成調(diào)整量SymbolDA@

鄰域4：隨機(jī)選擇PM中n個(gè)工件，即n列，然后該n列中的基因被種群中另一隨機(jī)非支配解的對(duì)應(yīng)位置基因隨機(jī)替換，所有新PM構(gòu)成N4。

隨后基于以上四種鄰域進(jìn)行局部搜索。需要說(shuō)明的是，逆調(diào)度的基本原則是最小化調(diào)整資源和參數(shù)，且在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)盡量保證生產(chǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此在局部搜索過(guò)程中，對(duì)于互不支配的兩個(gè)個(gè)體，本文優(yōu)先考慮逆偏差指數(shù)較小的解。局部搜索過(guò)程偽代碼如下：

3實(shí)驗(yàn)分析

3.1算例生成與評(píng)價(jià)指標(biāo)

由于本文首次研究機(jī)械加工車間逆調(diào)度問(wèn)題，無(wú)法直接使用已有測(cè)試集，故對(duì)柔性作業(yè)車間標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行拓展以驗(yàn)證算法性能。生成33組算例，其中算例IMK01～I(xiàn)MK15基于BRANDIMARE等［24］提出的MK01～MK15，算例I01a～I(xiàn)18a基于DAUZRE-PRS等［25］提出的01a～18a。算例生成步驟如下：工件和機(jī)器數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)算例一致；工人按加工能力分為初級(jí)、中級(jí)和高級(jí)，加工效率分別為0.8、1和1.2，各等級(jí)工人數(shù)量屬于離散均勻隨機(jī)數(shù)DU（1，m/2），其中m為標(biāo)準(zhǔn)算例中機(jī)器數(shù)量；加工直徑djk均勻分布于U［20mm，100mm］，加工深度屬于U［1mm，4mm］，機(jī)器待機(jī)功率屬于U［0.5kW，2.5kW］；各工序的基本進(jìn)給速度和主軸轉(zhuǎn)速分別屬于區(qū)間U［0.1mm/r，2.0mm/r］和U［300r/min，1800r/min］，隨后在此基礎(chǔ)上乘以隨機(jī)數(shù)rand（0.8，1.2）以生成各工序在各機(jī)器上的最優(yōu)加工參數(shù)njkm和fjkm。在實(shí)際生產(chǎn)中，并非所有工序的加工參數(shù)均能調(diào)整，因此對(duì)每道工序生成一個(gè)屬于0～1的隨機(jī)數(shù)，若小于0.5則設(shè)置對(duì)應(yīng)工序加工參數(shù)調(diào)整范圍為［0.7njkm，1.3njkm］以及［0.7fjkm，1.3fjkm］，否則相應(yīng)參數(shù)在逆調(diào)度中無(wú)法改變，即njkm=njkm=n-jkm，f-jkm=fjkm=f-jkm；算例中其他機(jī)加工參數(shù)依據(jù)文獻(xiàn)［26］設(shè)置。

算法運(yùn)行環(huán)境為Windows10操作系統(tǒng)，編程環(huán)境為MATLAB2017b。各算例下各算法均獨(dú)立運(yùn)行10次，且同一算例下運(yùn)行時(shí)間一致，為∑Jj=1θj（s）。采用三種指標(biāo)評(píng)價(jià)多目標(biāo)結(jié)果：SP、IGD以及HV。其中，SP值用于評(píng)價(jià)多樣性，SP值越小說(shuō)明解集多樣性越好；IGD值和HV值為綜合指標(biāo)，用于同時(shí)衡量多樣性和收斂性，IGD值越小、HV值越大，說(shuō)明算法綜合性能越好。在評(píng)價(jià)過(guò)程中，由于真實(shí)Pareto前沿可能是未知的，故將其設(shè)置為所有算法求得所有解的非支配解集，此外，為了消除不同目標(biāo)維度對(duì)指標(biāo)結(jié)果的影響，所有目標(biāo)值通過(guò)下式進(jìn)行歸一化：

3.2參數(shù)設(shè)置

改進(jìn)差分進(jìn)化算法中主要參數(shù)包括種群大小N，基于原始關(guān)鍵路徑的初始概率r1，基于原始加工狀態(tài)的初始概率r2，鄰域搜索概率Pls，以及鄰域搜索次數(shù)loop。本文自適應(yīng)變異與交叉概率上下界分別設(shè)為0.8和0.2，并在此基礎(chǔ)上采用田口法確定其他參數(shù)最佳組合，各參數(shù)合理設(shè)置四個(gè)水平：NSymbolNC@

每種參數(shù)組合均在算例IMK06上獨(dú)立運(yùn)行10次，使用IGD指標(biāo)對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，圖6為各參數(shù)水平趨勢(shì)圖，從圖6中可以選擇最佳參數(shù)組合：N=80，r1=0.2，r2=0.2，Pls=0.3，loop=20。

3.3策略有效性分析

為驗(yàn)證本文初始化、交叉變異，以及局部搜索的有效性，構(gòu)建三種變體算法與IDE算法進(jìn)行比較，其中，IDE-α為采用完全隨機(jī)初始化的IDE算法，IDE-β為缺少自適應(yīng)變異與交叉的IDE算法，IDE-γ為缺少局部搜索的IDE算法。采用三種指標(biāo)對(duì)算法進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果見(jiàn)表1，表1中最優(yōu)值加粗表示。

對(duì)比IDE算法與IDE-α算法可以看出，IDE算法在三個(gè)指標(biāo)上均顯著優(yōu)于IDE-α算法，這有力地證明了本文初始化方法的有效性。其原因是，兩種初始化策略能夠在降低偏差指數(shù)的基礎(chǔ)上同時(shí)優(yōu)化其他目標(biāo)，使得部分初始個(gè)體具有良好的適應(yīng)度值；此外隨機(jī)初始個(gè)體保證了種群整體的多樣性，避免算法過(guò)早收斂。

IDE算法相對(duì)于IDE-β算法的優(yōu)勢(shì)同樣明顯，其所有指標(biāo)在所有算例上均優(yōu)于IDE-β算法，

這是因?yàn)樽赃m應(yīng)交叉、變異在前期擴(kuò)大了算法搜索范圍，而在后期保留了較優(yōu)個(gè)體，有利于局部搜索。該結(jié)果同時(shí)也說(shuō)明局部搜索中精英選擇策略與全局搜索配合良好，能夠在節(jié)約搜索時(shí)間的同時(shí)為變異操作提供高質(zhì)量非支配解，有利于種群進(jìn)化。

對(duì)比IDE和IDE-γ算法可以發(fā)現(xiàn)，雖然IDE算法在指標(biāo)SP上稍遜于IDE-γ算法，但在所有算例上的IGD值和HV值均明顯優(yōu)于IDE-γ算法。這是因?yàn)樵谟邢薜乃阉鲿r(shí)間內(nèi)，相較于交叉與變異，局部搜索在一定程度上限制了算法擴(kuò)大搜索范圍，使得種群多樣性下降，但該策略卻能有效提高種群質(zhì)量，同時(shí)加快算法收斂。整體來(lái)說(shuō)，局部搜索策略對(duì)提高IDE算法的性能仍是關(guān)鍵且有效的。

對(duì)比三種變體算法可以看出，IDE-β算法的指標(biāo)結(jié)果相較于IDE-α和IDE-γ算法更具有優(yōu)勢(shì)，說(shuō)明自適應(yīng)變異、交叉策略對(duì)算法性能的改善效果最為顯著，而IDE-α和IDE-γ算法的指標(biāo)值相差不大，說(shuō)明在提高IDE算法性能方面效果大致相同。

3.4與其他算法對(duì)比分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法性能，同時(shí)驗(yàn)證本文選擇操作的有效性，將IDE算法與廣泛應(yīng)用的NSGA-Ⅱ算法［27］、NSGA-Ⅲ算法［28］進(jìn)行對(duì)比。由于這兩種算法均基于遺傳進(jìn)化原理，且采用不同的種群保留機(jī)制，故與IDE算法具有相似性和可比性。為公平比較，所有對(duì)比算法的參數(shù)以及編碼、解碼方式均與IDE算法一致，并且從本文中選擇相應(yīng)算子。

各算法獨(dú)立運(yùn)行10次后SP、IGD以及HV指標(biāo)均值統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2，可以看出，在33個(gè)算例上，IDE算法分別取得了23個(gè)最小SP值、29個(gè)最小IGD值，以及27個(gè)最大HV值，與NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法相比優(yōu)勢(shì)明顯。IDE算法的優(yōu)勢(shì)可歸于以下幾點(diǎn)：首先，IDE算法的自適應(yīng)交叉與變異策略很好地平衡了開(kāi)發(fā)和探索，能夠在有限時(shí)間內(nèi)合理利用計(jì)算資源；其次，IDE算法的搜索結(jié)構(gòu)加強(qiáng)了種群個(gè)體間的動(dòng)態(tài)交流，有效提高了搜索效率和精度；最后，IDE算法采取基于改進(jìn)哈明距離的種群保留策略，而非基于擁擠度距離或參考點(diǎn)選擇個(gè)體，這種方式更加符合問(wèn)題和編碼特征，可以在更大程度上保證種群質(zhì)量和多樣性。

4工程案例分析

我國(guó)某機(jī)械加工車間主要生產(chǎn)高端液壓缸設(shè)備，圖7所示為車間真實(shí)情況。圖8所示為該車間生產(chǎn)的一種夾緊缸，主要由油封口鋼板、缸蓋、缸體以及活塞桿四部分組成，四個(gè)工件的工藝信息見(jiàn)表3～表6，表中參數(shù)為原始加工方案中的最優(yōu)加工參數(shù)。本文以該夾緊缸生產(chǎn)為例，分析兩種不同動(dòng)態(tài)環(huán)境下的真實(shí)逆調(diào)度案例。

車間內(nèi)共有8名工人及8臺(tái)機(jī)器參與生產(chǎn)。工人包括3名初級(jí)工人、3名中級(jí)工人及2名高級(jí)工人，每名工人均能操作所有機(jī)器，但效率不同，三個(gè)等級(jí)依次為0.8、1、1.2。機(jī)器包括車床、銑床、鏜床、鉆床等類型，各機(jī)器待機(jī)功率見(jiàn)表7。

該車間需要同時(shí)生產(chǎn)三臺(tái)相同的夾緊缸，因此共有12個(gè)工件被加工，為便于說(shuō)明，對(duì)工件進(jìn)行編號(hào)如下：1～3號(hào)工件為封油口鋼板，4～6號(hào)工件為缸蓋，7～9號(hào)工件為缸體，10～12號(hào)工件為活塞桿。圖9為原始調(diào)度方案甘特圖，該方案的完工時(shí)間為4474.6min，機(jī)器能耗為6290.2kW·h，圖9中括號(hào)中數(shù)字表示操作的工件工序和工人等級(jí)（初級(jí)為1，中級(jí)為2，高級(jí)為3）。

機(jī)器故障是機(jī)械加工車間常見(jiàn)的動(dòng)態(tài)事件，在該車間，機(jī)器M4在2000～2500min發(fā)生故障，無(wú)法安排加工，在這種情況下，通過(guò)逆調(diào)度對(duì)原始調(diào)度進(jìn)行優(yōu)化。將IDE算法與NSGA-Ⅱ、NSGA-Ⅲ算法以及同樣基于遺傳思想的SPEA-Ⅱ算法［29］（strengthparetoevolutionaryalgorithm-Ⅱ）和NNIA算法［30］（non-dominatedneighborimmunealgorithm）進(jìn)行對(duì)比。圖10為5種算法分別獨(dú)立運(yùn)行10次得到的指標(biāo)箱線圖，可以看出，IDE算法在三個(gè)指標(biāo)上的平均值和穩(wěn)定性均明顯優(yōu)于對(duì)比算法，這說(shuō)明IDE算法的多樣性、均勻性以及收斂性更優(yōu)。圖11展示了5種算法在迭代過(guò)程中的最優(yōu)IGD值，其中IDE算法的初始解質(zhì)量更優(yōu)，且迭代過(guò)程中收斂速度最快。

圖12所示為Pareto前沿比較，IDE算法求得的解決方案更靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，特別在能耗指標(biāo)上具有優(yōu)勢(shì)。工人短缺同樣是影響機(jī)加工車間的重要?jiǎng)討B(tài)事件，當(dāng)各等級(jí)工人均減少1名即共有2名初級(jí)工人、2名中級(jí)工人以及1名高級(jí)工人參與生產(chǎn)時(shí)進(jìn)行逆調(diào)度時(shí)，此時(shí)5種算法的指標(biāo)對(duì)比箱線圖見(jiàn)圖13，可以看出，IDE算法的所有指標(biāo)結(jié)果均為最優(yōu)，說(shuō)明該算法搜索能力強(qiáng)、綜合性能好。圖14為IGD指標(biāo)迭代圖，5種算法的收斂性從大到小依次是：IDE，NSGA-Ⅲ，NSGA-Ⅱ，NNIA，SPEA-Ⅱ。圖15所示為5種算法輸出的一組Pareto前沿，可以看出在各目標(biāo)函數(shù)值整體上IDE算法均優(yōu)于對(duì)比算法，能夠有效解決實(shí)際問(wèn)題。

在機(jī)器故障下，IDE算法輸出的一個(gè)最優(yōu)逆調(diào)度甘特圖見(jiàn)圖16，圖中白色數(shù)字表示操作加工時(shí)間的改變量，該方案的逆偏差指數(shù)為379.2，完工時(shí)間為4120.7min，機(jī)器能耗為4969.8kW·h，相比原始調(diào)度分別減小7.9%和21.0%。圖17為工人短缺情況下通過(guò)IDE算法得到的逆調(diào)度甘特圖，該方案完工時(shí)間相比原方案完工時(shí)間減少0.5%，為4452.0min；機(jī)器能耗減少19.4%，為5072.0kW·h，同時(shí)逆偏差指數(shù)為408.5，可以在較小改變?cè)颊{(diào)度的情況下合理應(yīng)對(duì)動(dòng)態(tài)事件。

5結(jié)語(yǔ)

本文基于兩組標(biāo)準(zhǔn)算例構(gòu)建了33個(gè)擴(kuò)展算例，驗(yàn)證了IDE算法在指標(biāo)SP、IGD和HV上優(yōu)于其3種變體算法以及NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法。分析了兩個(gè)實(shí)際液壓缸生產(chǎn)車間逆調(diào)度案例，結(jié)果表明，相比NSGA-Ⅱ、NSGA-Ⅲ、SPEA-Ⅱ和NNIA算法，IDE算法的多樣性、均勻性和收斂性均為最優(yōu)，能夠在較小程度改變?cè)颊{(diào)度的情況下，平均縮短4.2%的完工時(shí)間、降低20.2%的機(jī)器能耗。

本文問(wèn)題源于工程實(shí)際，具有較強(qiáng)的理論意義和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值，但仍存在以下不足：首先，機(jī)械加工工藝復(fù)雜且多樣，可以進(jìn)一步針對(duì)工藝特點(diǎn)設(shè)計(jì)逆調(diào)度策略；其次，可考慮與機(jī)械加工車間其他重要系統(tǒng)（如輔助和搬運(yùn)系統(tǒng)）的聯(lián)合逆調(diào)度優(yōu)化；最后，結(jié)合強(qiáng)化學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)等技術(shù)可提高逆調(diào)度方法在動(dòng)態(tài)優(yōu)化方面的效率和適用性。

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