劉士鋒 李士娟

作者簡(jiǎn)介：劉士鋒，高級(jí)教師，齊魯名師建設(shè)工程人選，臨沂市教學(xué)能手，曾榮獲山東省小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，華東六省一市小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)。

在學(xué)習(xí)整數(shù)除法和小數(shù)除法時(shí)，學(xué)生不僅要掌握算法，還要基于計(jì)數(shù)單位對(duì)算理進(jìn)行表達(dá)，也就是初步形成“算理+算法”的知識(shí)結(jié)構(gòu)和“基于計(jì)數(shù)單位對(duì)數(shù)進(jìn)行均分”的思維結(jié)構(gòu)。

一、激活已有經(jīng)驗(yàn)，生成新問(wèn)題

1.把8個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每人分得幾個(gè)？

師：怎樣列式？結(jié)果是多少？

生：8÷4=2（個(gè)）

生：就是把8個(gè)月餅平均分成4份，所以用除法，每份2個(gè)。

2.把1個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每人分得幾個(gè)？

生：1÷4=0.25（個(gè)）

師：你是怎樣想的？

生：把1個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每人分不到1個(gè)，所以商用小數(shù)表示。

師：是的，當(dāng)每人分不到1個(gè)月餅時(shí)，可以用小數(shù)來(lái)表示。除了用小數(shù)表示1÷4的商外，還可以用什么數(shù)來(lái)表示呢？

【思考】創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的分月餅情境，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的“總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，列出相應(yīng)的除法算式并用整數(shù)或小數(shù)表示結(jié)果，為后續(xù)學(xué)習(xí)運(yùn)算的一致性提供素材，同時(shí)生成新的問(wèn)題。

二、數(shù)形結(jié)合，尋求答案

1.用分?jǐn)?shù)表示1÷4的商

師：在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，我們有什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

生：畫(huà)圖或折一折。

師：那我們先用畫(huà)圖的方法來(lái)看一看。

（課件出示畫(huà)圖的過(guò)程）

生：把1個(gè)月餅平均分成4份，每份是這個(gè)月餅的，是個(gè)，所以1÷4=（個(gè)），每人分得個(gè)。

師：1份是這個(gè)月餅的，是個(gè)，那3份是多少個(gè)呢？

生：個(gè)。

師：看來(lái)1個(gè)月餅的幾分之幾，就是幾分之幾個(gè)。

【思考】在之前“分?jǐn)?shù)意義”的學(xué)習(xí)中，主要學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)對(duì)部分和整體關(guān)系的表達(dá)，缺少用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量的經(jīng)驗(yàn)，使得學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義認(rèn)識(shí)不全面，因此本環(huán)節(jié)借助畫(huà)圖和分?jǐn)?shù)的意義，除了直觀地得到1÷4的商外，還增加了1個(gè)月餅的幾分之幾就是幾分之幾個(gè)的表述與理解，初步感悟分?jǐn)?shù)既可以表示關(guān)系又可以表示具體的數(shù)量，為接下來(lái)的研究奠定知識(shí)基礎(chǔ)。

2.探究3÷4的商

課件出示：把3個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每人分得幾個(gè)？

學(xué)生借助學(xué)具，分一分，折一折，并進(jìn)行匯報(bào)。

生：把每個(gè)月餅都平均分成4份，分別拿出1份，每個(gè)人就分得3份，把這3份拼在一起，就是1個(gè)月餅的，是個(gè)，所以3÷4=（個(gè)）。

方法2：

生：我是把3個(gè)月餅疊在一起平均分成4份，每人分得，里面有3小份，把它們拼在一起，就是1個(gè)月餅的，也就是個(gè)，所以3÷4=（個(gè)）。

【思考】在以往的教學(xué)中，本環(huán)節(jié)通常會(huì)讓學(xué)生解釋其中道理，每人分得3個(gè)個(gè)，這樣學(xué)生在描述的過(guò)程中非常拗口，通過(guò)實(shí)踐來(lái)看，可以幫助學(xué)生清晰地理解算理，故而借助操作尋求算式的結(jié)果淡化了說(shuō)理。

3.探究5÷6的商

出示：把5個(gè)月餅平均分給6個(gè)人，每人分得幾個(gè)？

師：剛才我們借助畫(huà)圖或折紙的方法分別找到了1÷4和3÷4的商，如果我們不畫(huà)圖、不折紙，你能用分?jǐn)?shù)表示5÷6的商嗎？

生：。

師：能說(shuō)一說(shuō)你是怎樣想的嗎？

生：我們可以把5個(gè)月餅分別平均分成6份，每個(gè)月餅?zāi)贸?份，拼在一起就是1個(gè)月餅的，是個(gè)，所以5÷6=（個(gè)）。

生：我們也可以把5個(gè)月餅疊在一起，平均分成6份，每人分得這樣的1份，然后把它們拼在一起，也得到1個(gè)月餅的，是個(gè)。

師：看來(lái)同學(xué)們很善于利用已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題，那究竟對(duì)不對(duì)呢？我們借助圖形來(lái)驗(yàn)證一下。（出示圖形驗(yàn)證答案）

【思考】本環(huán)節(jié)不再借助具體操作，而是利用前一環(huán)節(jié)中的單個(gè)分或者整體分的研究經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮想象，進(jìn)行推理，有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，同時(shí)在描述分月餅的過(guò)程中進(jìn)一步加深了理解。

三、觀察分析，探尋關(guān)系

師：如果把78個(gè)月餅，平均分給99個(gè)人，每人分得幾個(gè)呢？

生：

師：看來(lái)同學(xué)們已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)了，我們一起來(lái)看一看剛才的研究成果。

出示：1÷4=、3÷4=、5÷6=。

師：大家仔細(xì)觀察，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這3個(gè)算式都是整數(shù)除法，在計(jì)算時(shí)，如果商不能用整數(shù)表示，就可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

生：用分?jǐn)?shù)表示整數(shù)除法的商時(shí)，分子和被除數(shù)一樣，分母和除數(shù)一樣。

師：是的，整數(shù)除法運(yùn)算出現(xiàn)不夠除的時(shí)候，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，而且用分?jǐn)?shù)表示整數(shù)除法的商時(shí)，分子相當(dāng)于除法算式中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法算式中的除數(shù)?？梢赃@樣表示：被除數(shù)÷除數(shù)=。會(huì)用字母來(lái)表示它嗎？

生：a÷b=。

生：在除法里除數(shù)不能是0，還得補(bǔ)充上b≠0。

師：真好，考慮得非常全面。請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考兩個(gè)問(wèn)題：分?jǐn)?shù)和除法有什么區(qū)別？你對(duì)分?jǐn)?shù)有哪些新的認(rèn)識(shí)？

生：有區(qū)別，除法是一種運(yùn)算，而分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，不完全一樣。

生：我發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除了表示部分和整體的關(guān)系，還能表示一個(gè)具體的數(shù)量、除法計(jì)算的商。

生：我還有想法，如，原來(lái)只知道它表示把單位1平均分成4份，表示這樣的3份，大家看把3個(gè)月餅疊在一起平均分成4份的那個(gè)圖，它還可以表示把3平均分成4份，表示這樣的1份。

生：我來(lái)補(bǔ)充，看到還能想到3÷4這個(gè)算式。

【思考】通過(guò)觀察思考，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)分?jǐn)?shù)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，分?jǐn)?shù)既可以表示部分與整體的關(guān)系，又可以表示具體數(shù)量和商，從而實(shí)現(xiàn)了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)認(rèn)識(shí)的一致性。

四、對(duì)比聯(lián)系，感悟一致性

師：剛才我們通過(guò)研究不僅知道了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，還對(duì)分?jǐn)?shù)有了更全面的認(rèn)識(shí)，大家觀察下面幾個(gè)算式有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

出示：8÷4=2 1÷4= 3÷4=

師：我們先來(lái)看8÷4=2，大家能借助計(jì)數(shù)單位解釋其中的道理嗎？

生：我來(lái)說(shuō)8÷4，8表示8個(gè)一，把8個(gè)一平均分成4份，每份分得2個(gè)一，所以商是2。

師：說(shuō)得真不錯(cuò)，那剩下的2個(gè)算式中又有怎樣的道理呢？比如1÷4=，誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

生：把1個(gè)一平均分成了4份，每份是，這樣1個(gè)一就變成了4個(gè)，把4個(gè)平均分成4份，每份是，所以商是。

師：再看3÷4=，它的道理呢？

生：我們把1個(gè)一平均分成4份，就變成了4個(gè)，把3個(gè)一平均分成4份，就變成了12個(gè)，把12個(gè)平均分成4份，每份就是3個(gè)，也就是。

師：研究到這里，大家有什么想說(shuō)的？（學(xué)生陷入了短暫的沉默）

生：老師，我有發(fā)現(xiàn)，后面2個(gè)算式的商都不能用整數(shù)表示，這時(shí)就可以把幾個(gè)一平均分，這樣一來(lái)就變成了幾個(gè)幾分之一，就能用分?jǐn)?shù)表示了。

生：我給補(bǔ)充一下，平均分的時(shí)候，就產(chǎn)生了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)單位，如把1平均分成4份，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)單位，把1平均分成6份，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)單位，這樣計(jì)數(shù)單位小了，但是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)增加了，就夠分了。

師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)太重要了，當(dāng)商不能用整數(shù)來(lái)表示的時(shí)候，我們可以把大的計(jì)數(shù)單位，通過(guò)平均分產(chǎn)生新的小的計(jì)數(shù)單位，再進(jìn)行運(yùn)算。

出示：1÷4=0.25 1÷4=

師：這兩個(gè)算式都是計(jì)算1÷4，商一個(gè)是用小數(shù)表示，一個(gè)是用分?jǐn)?shù)表示，大家還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：用小數(shù)表示的時(shí)候，就是把大的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成了0.1和0.01，用分?jǐn)?shù)表示的時(shí)候是把大的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成了。

師：大家同意他的說(shuō)法嗎？

生：同意。

生：我還有個(gè)疑問(wèn)，要是這樣的話，8÷4的商是不是也可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示？

師：提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更有價(jià)值。那8÷4的商能不能用分?jǐn)?shù)來(lái)表示呢？

生：我認(rèn)為是可以的，1個(gè)一平均分成4份，就是4個(gè)，8個(gè)一就是32個(gè)，平均分成4份，1份就是8個(gè)，也就是。

師：理解得真透徹。我們一起來(lái)梳理一下，這些除法算式都是把什么進(jìn)行平均分的？

生：計(jì)數(shù)單位。

生：可以根據(jù)需要把計(jì)數(shù)單位進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

師：是的，整數(shù)除法無(wú)論是用整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)來(lái)表示商，均分的都是計(jì)數(shù)單位，它們是一致的。通過(guò)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)，我們知道數(shù)是對(duì)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)，現(xiàn)在看來(lái)數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算都是以“計(jì)數(shù)單位”為核心的。

【思考】在借助操作探尋出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系后，進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生從“計(jì)數(shù)單位”的角度，對(duì)除法算式進(jìn)行算理的解釋?zhuān)@樣學(xué)生在激活已有用整數(shù)表示商的基礎(chǔ)上，結(jié)合操作獲得直觀經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在平均分的時(shí)候，產(chǎn)生了新的計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）。在不改變數(shù)的大小的前提下，通過(guò)把計(jì)數(shù)單位進(jìn)行細(xì)分獲得新的小的計(jì)數(shù)單位，這樣新計(jì)數(shù)單位變小的同時(shí)，增加了新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，使得除法計(jì)算得以進(jìn)行，而且通過(guò)對(duì)8÷4的商既可以用整數(shù)表示又可以用分?jǐn)?shù)表示的對(duì)比，讓學(xué)生深刻體會(huì)到用分?jǐn)?shù)表示商的通用性。

（作者單位：1.臨沂岔河小學(xué)；2.臨沂第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

編輯：趙文靜