侯懷有 王志華

習(xí)題是教材的重要組成部分，是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固和深化，也應(yīng)當(dāng)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供平臺(tái)［1］.大量的習(xí)題是在典型例題的基礎(chǔ)上通過(guò)各種變式演變而成的，屬于數(shù)學(xué)通性通法的解題策略也不多，大部分屬于一題一用的解題技巧.因此，如果能夠優(yōu)化教科書習(xí)題的設(shè)計(jì)，聚焦核心的數(shù)學(xué)概念和通性通法，不僅有助于學(xué)生對(duì)核心數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，積累重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和理解重要的數(shù)學(xué)思想方法，而且可以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).本文對(duì)兩道例習(xí)題的解法進(jìn)行對(duì)比，引出對(duì)φ的范圍以及求解φ值的方法兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行探究，尋找求解φ值的通性通法.

一、問(wèn)題提出

普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)（人教A版）第245頁(yè)例1：如圖1，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b.

（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；

（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．

教科書給出的解答：（1）由圖1可知，這段時(shí)間的最大溫差是20℃.

普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)（人教B版）第68頁(yè)第8題：如圖2，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，且函數(shù)在6時(shí)與14時(shí)分別取得最小值（最低溫度）和最大值（最高溫度）.

（1）求這段時(shí)間的最大溫差；

（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．

教師教學(xué)用書給出的解答：（1）由題中圖2可知，這段時(shí)間的最大溫差是30-10=20（℃）.

二、問(wèn)題探究

1.φ有沒(méi)有取值范圍

φ有沒(méi)有取值范圍？φ的取值范圍是什么呢？筆者查閱了普通高中教科書（人教A版）和普通高中教科書（人教B版），以及相應(yīng)的教師教學(xué)用書，對(duì)于φ的取值范圍都沒(méi)有明確規(guī)定，深感失望.筆者從另一個(gè)角度出發(fā)，對(duì)教材中求解析式的習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表1所示，來(lái)尋找φ取值范圍的蛛絲馬跡.

由表可知，人教A版、人教B版、北師大版和蘇教版普通高中教科書涉及求解析式的問(wèn)題共18題，給出取值范圍有7題，約占38.9％，都是根據(jù)函數(shù)的圖像求函數(shù)的解析式；沒(méi)有給出范圍的有10題，約

由于例1和習(xí)題第8題沒(méi)有給出取值范圍，得到了兩種截然不同的正確結(jié)果.在給出范圍且區(qū)間長(zhǎng)度為2π的習(xí)題中，都會(huì)產(chǎn)生增根，原因在于在已知三角函數(shù)值求角，在一個(gè)周期內(nèi)一般總有兩個(gè)解.只有在有限的范圍才能得出一個(gè)解.

2.求φ值有沒(méi)有通性通法

對(duì)于φ值的求法，有多種雜志都刊載了這方面的文章.如文［2］中，逆用“五點(diǎn)法”確定初相φ的值；文［4］中，給出了單調(diào)性法、最值點(diǎn)法和五點(diǎn)法求φ的值；文［5］中，介紹了最值法、五點(diǎn)法、單調(diào)性法和平移法；文［6］中，指出非最值點(diǎn)+單調(diào)性、最值點(diǎn)法和五點(diǎn)作圖法是正確求解初相φ的必由之路.歸納起來(lái)，求φ值的主要方法有四種：非最值點(diǎn)+單調(diào)性、最值點(diǎn)法、五點(diǎn)作圖法和平移法.其中，單調(diào)性法（非最值點(diǎn)+單調(diào)性）、最值點(diǎn)法、平移法與五點(diǎn)作圖法有內(nèi)在的聯(lián)系，非最值點(diǎn)和最值點(diǎn)都是五點(diǎn)中的某個(gè)點(diǎn)，而平移法需要先判定起始點(diǎn).筆者根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，五點(diǎn)作圖法學(xué)生最容易接受，解題過(guò)程比單調(diào)性法、最值點(diǎn)法簡(jiǎn)便，且答案唯一，準(zhǔn)確率較高，比平移法思路更清晰.因此，我們認(rèn)為，解決求解正（余）弦型函數(shù)解析式或相關(guān)的問(wèn)題，五點(diǎn)作圖法最簡(jiǎn)便，可謂是通性通法.

我們通常用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜｜φ｜＜π）在一個(gè)周期上的圖像.

逆用“五點(diǎn)法”的關(guān)鍵是辨清起始點(diǎn)，即點(diǎn)P1，起始點(diǎn)清楚了，問(wèn)題中已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)五點(diǎn)中的第幾點(diǎn)便一目了然.這是一個(gè)難點(diǎn)，要向?qū)W生講清楚，學(xué)生要深刻體會(huì)，真正理解.

正弦型函數(shù)圖像的起始點(diǎn)就是與x軸的交點(diǎn)，位于y左側(cè)或右側(cè)，距離y軸最近且處于單調(diào)上升曲線中的點(diǎn).從起始點(diǎn)向右，依次是第二個(gè)點(diǎn)（最大值點(diǎn)），第三個(gè)點(diǎn)，第四個(gè)點(diǎn)（最小值點(diǎn)），第五個(gè)點(diǎn).

余弦型函數(shù)圖像的起始點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，位于y左側(cè)或右側(cè)，距離y軸最近的點(diǎn).從起始點(diǎn)向右，依次是第二個(gè)點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)（最小值），第四個(gè)點(diǎn)，第五個(gè)點(diǎn)（最大值點(diǎn)）.

弄清楚已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)五點(diǎn)中的第幾點(diǎn)后，將該點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入ωx+φ，解方程即可求出φ的值.

下面列舉數(shù)列予以說(shuō)明.

由此可見，逆用“五點(diǎn)作圖法”可以作為求解函數(shù)解析式以及相關(guān)問(wèn)題的通性通法，既避免了代入平衡點(diǎn)產(chǎn)生增根的弊端，又簡(jiǎn)化了代入最值點(diǎn)的解題過(guò)程，還克服了平移法中平移方向左、右不清和平移量不準(zhǔn)確的錯(cuò)誤.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，要優(yōu)化精選習(xí)題，提高練習(xí)的有效性，掌握核心概念和通性通法，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題的能力”，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀形象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020修訂版）［S］.北京：人民教育出版社，2020：93.

［2］翟洪亮，杜惠平．逆用“五點(diǎn)法”確定初相φ的值［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2023（4）：37-41．

［3］汪繼波．初相角有沒(méi)有取值范圍［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（7）：63-64．

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［6］秦文波．求解初相φ的錯(cuò)解辨析和模型建構(gòu)［J］．中學(xué)生理科應(yīng)試，2023（2）：14-16．