朱怡穎，索洪敏*，安育成, 張 鵬

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴州 貴陽 550025；2.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院,貴州 畢節(jié) 551700；3.遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州 遵義 563006)

一、引言和主要結(jié)果

文中我們在Heisenberg 群上考慮具有奇異和臨界增長的Schr?dinger-Possion 系統(tǒng)

Loiudice在文獻(xiàn)[2]中考慮了如下的次橢圓方程

最近, Heisenberg 群上的微分方程的研究已經(jīng)引起了許多學(xué)者的關(guān)注. 這是因?yàn)镠eisenberg 群在力學(xué),復(fù)變量,調(diào)和分析和偏微分方程中扮演了一個(gè)重要的角色,參見文獻(xiàn)[7-10,13,14].

特別地, 在文獻(xiàn)[1]中,An 等人在Heisenberg 群上研究了以下的Schr?dinger-Possion 型系統(tǒng)

值得一提的是,在文獻(xiàn)[21]中An 考慮了下列的奇異次橢圓方程

二、預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹Heisenberg 群的相關(guān)知識(shí), 更完整的敘述可以參見文獻(xiàn)[15,16].記是拓?fù)渚S度為3 的Heisenberg Lie 群,即以R3作為背景流形的Lie 群,賦予如下運(yùn)算法則

這里

其中

這里

左不變向量場的Lie 代數(shù)由以下向量場生成

在H1上的左不變距離dH定義如下

由文獻(xiàn)[22]知函數(shù)

是方程

的正解.設(shè)r0是一個(gè)固定的正常數(shù),使得,設(shè)

令

在證明定理1.1 之前,我們先回顧以下引理.

引理2.1[1]對每一個(gè),存在唯一解滿足

且有

(5)設(shè)是函數(shù)并且對任意的

設(shè)

令

并且

由上可得

設(shè),有

使得

并且

從(2.4)和(2.5)可得

另一方面,通過(2.6),有

引理2.3 泛函I 在N 中是強(qiáng)制的并且是有下界的.

使得

證明:證明的方法與文獻(xiàn)[20]的引理3.1 相似,下面給出證明.

成立.這里

由(2.8)式,有

并且

通過(2.14)式和Brézis-Lieb 引理可以得出

由Sobolev 不等式,有

一方面,通過(2.16)式和Young 不等式,得出

另一方面, 通過Brézis-Lieb 引理和(2.16)式, 有下式

由Fatou 引理,有

此外

系統(tǒng)1.1 存在第二個(gè)正解

證明：由[1]可知

可得

這里

由[1],有

設(shè)

有

使得

因此