傅煥銘

一、教材分析

我們收集的原始數(shù)據(jù)往往多而雜，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、處理，找到數(shù)據(jù)背后蘊(yùn)藏的信息。對(duì)總體統(tǒng)計(jì)特征的刻畫(huà)包括兩個(gè)層面：一是總體統(tǒng)計(jì)特征的全面刻畫(huà)，即刻畫(huà)出總體中所有個(gè)體的取值規(guī)律，這個(gè)規(guī)律可以用總體的頻率分布表和頻率分布直方圖描述或近似描述；二是總體部分統(tǒng)計(jì)特征的刻畫(huà)，如平均數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）核心素養(yǎng)

學(xué)生初步習(xí)得科學(xué)處理數(shù)據(jù)的能力。

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等數(shù)據(jù)特征。

（2）學(xué)生能自行獨(dú)立計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差、方差，并知道分別刻畫(huà)統(tǒng)計(jì)的什么特征。

（3）學(xué)生會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本特征估計(jì)總體特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想，并能利用所學(xué)知識(shí)解決生活中的一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)生能從頻率分布直方圖上估計(jì)出樣本數(shù)據(jù)特征。

教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)生理解總體分布的概念，形成統(tǒng)計(jì)思維。

四、教學(xué)過(guò)程

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)研究過(guò)通過(guò)抽樣調(diào)查來(lái)研究數(shù)據(jù)的方法，了解了提高樣本代表性的一些具體方法，收集數(shù)據(jù)后，我們要從中找到數(shù)據(jù)背后包含的信息，方可達(dá)到用樣本估計(jì)總體的目的。今天我們就一起研究“用樣本估計(jì)總體”。

（一）課前導(dǎo)學(xué)

師：同學(xué)們，根據(jù)自學(xué)任務(wù)，思考下列問(wèn)題并完成檢測(cè)。

任務(wù)1：樣本數(shù)字特征有哪些？如何求？這些特征在頻率分布直方圖上如何估計(jì)？

任務(wù)2：樣本數(shù)字特征是如何反映樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度的？

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)出示自學(xué)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，相機(jī)進(jìn)行自學(xué)效果檢測(cè)。學(xué)生根據(jù)自學(xué)情況，檢測(cè)新知中還有哪些內(nèi)容沒(méi)有理解和掌握，從而有針對(duì)性地學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)。同時(shí)也旨在培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。）

（二）課堂設(shè)計(jì)

探究一：樣本的數(shù)字特征1

1.探究：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)概念解釋?zhuān)瓿筛拍蠲~的填空，并揣摩這些概念的含義。

（1）______：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。

（2）______：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）。

（3）______：指一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即■=■（x1+x2+…+xn）。

師指名學(xué)生匯報(bào)結(jié)果，說(shuō)出每個(gè)概念的關(guān)鍵詞，并分別進(jìn)一步解釋各概念。

2.探究：在頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛剛對(duì)這些概念名詞的理解和題后解釋?zhuān)瓿上旅娴奶羁?，并揣摩其含義。

（1）______：通常是指頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（2）______：頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等。

（3）______：平均數(shù)每個(gè)小矩形面積與小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之積的和。

師指名學(xué)生匯報(bào)結(jié)果，說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。

3.師：根據(jù)剛才我們對(duì)數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的理解，請(qǐng)嘗試解決下面的問(wèn)題。

例1.根據(jù)某城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖1），如何估計(jì)數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？

學(xué)生小組合作完成，指名小組代表匯報(bào)，師生共同評(píng)析。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)主要目的是引導(dǎo)學(xué)生探究樣本的數(shù)字特征1，也就是樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。首先，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)字面意思理解這些概念，然后再通過(guò)三個(gè)概念的解釋讓學(xué)生根據(jù)自己對(duì)概念的理解去匹配相應(yīng)的概念，達(dá)到加深理解概念的目的。其次，通過(guò)第二個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。最后，通過(guò)一個(gè)例題，加深鞏固所學(xué)知識(shí)，并應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。）

探究二：樣本的數(shù)字特征2

師：我們剛剛探究了樣本數(shù)字的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，有時(shí)候數(shù)據(jù)的這些特征不足以表征數(shù)據(jù)的隱含信息，比如，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，哪一組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定一些呢？這就需要我們探究樣本數(shù)字的其他特征——標(biāo)準(zhǔn)差與方差。我們繼續(xù)探究。

1.探究：標(biāo)準(zhǔn)差與方差。

師：請(qǐng)同學(xué)們完成下面的填空，并揣摩其含義。

（1）________：如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，x3，…，xn，則用■表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，s表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，則s=■。

（2）________：標(biāo)準(zhǔn)差s的平方s2=■［（x1-■）2+（x2-■）2+…+（xn-■）2］。

師指名學(xué)生匯報(bào)結(jié)果，說(shuō)說(shuō)是怎么理解的。

2.師：根據(jù)剛剛我們對(duì)一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的理解，請(qǐng)嘗試解決下面的問(wèn)題。

例2.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位同學(xué)的5次跳遠(yuǎn)測(cè)試成績(jī)（單位：厘米），如表1。

（1）甲、乙兩位同學(xué)成績(jī)的方差是多少？

（2）甲、乙兩位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差是多少？

（3）甲、乙兩位同學(xué)誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定？

提示：方差反映樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，方差越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)程度越大，方差越小，樣本波動(dòng)程度越小。

學(xué)生小組合作探究，然后派小組代表匯報(bào)，全班交流，師生共同評(píng)析。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生探究樣本的數(shù)字特征2，即樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差，要從字面意思理解這兩個(gè)概念很難，不像眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)那樣簡(jiǎn)單，但是，這次給出的概念解釋就很簡(jiǎn)單、明顯，學(xué)生通過(guò)這兩個(gè)概念的解釋很容易匹配相應(yīng)的概念。但是，學(xué)生不太容易理解標(biāo)準(zhǔn)差和方差。接下來(lái)，我通過(guò)一個(gè)例題，讓學(xué)生以小組合作的形式解決這個(gè)問(wèn)題，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中加深理解標(biāo)準(zhǔn)差和方差，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。）

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差這些特征的目的就是通過(guò)樣本數(shù)字的這些特征去估計(jì)總體數(shù)字的特征。接下來(lái)，我們就一起開(kāi)啟第三個(gè)探究活動(dòng)——用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征。

探究三：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征

師：（多媒體出示例3）請(qǐng)看例3，思考下面的問(wèn)題。

例3.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次的成績(jī)，每次命中的環(huán)數(shù)如表2：

思考：如果你是教練，如何評(píng)價(jià)這兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)呢？如果選拔一名運(yùn)動(dòng)員參賽，你將選誰(shuí)呢？

學(xué)生小組合作探究，然后派小組代表匯報(bào)，全班交流，師生共同評(píng)析。

師：我們順利地通過(guò)三個(gè)探究活動(dòng)完成了今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)，了解了樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差等特征，并能用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體數(shù)據(jù)特征。接下來(lái)，我們通過(guò)幾個(gè)題目來(lái)檢測(cè)一下你們究竟學(xué)得怎么樣。

（三）課堂檢測(cè)

1.下列說(shuō)法正確的是（? ）

A.在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)的大小決定其方差的大小。

B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動(dòng)大小。

C.方差是一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方之和。

2.已知一組數(shù)據(jù)是18，15，10，20，17，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差按從小到大的順序排列為（? ? ? ? ）。

3.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為（? ）

A．8? ? ? B.15

C.16? ? ? D.32

學(xué)生獨(dú)立完成后，教師指名學(xué)生匯報(bào)，師生共同評(píng)析。

（設(shè)計(jì)意圖：從“雙減”的角度，通過(guò)3個(gè)題目鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成情況。）

（四）課堂小結(jié)

1.梳理所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.交流學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)效果和教師教學(xué)效果，旨在促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生把零散的知識(shí)點(diǎn)形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)并內(nèi)化于心。讓學(xué)生交流學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)體驗(yàn)，目的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，總結(jié)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，同時(shí)讓學(xué)生分享學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的美好體驗(yàn)，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成為學(xué)生的一種享受，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。）

五、教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容中對(duì)統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，主要是通過(guò)一些實(shí)際問(wèn)題案例，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全部過(guò)程，在處理過(guò)程中理解統(tǒng)計(jì)的基本思想方法，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀(guān)念，使學(xué)生養(yǎng)成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)的生活態(tài)度，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。對(duì)于學(xué)科素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，我們應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

（一）設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)目標(biāo)要指向核心素養(yǎng)

在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，我們不能僅僅圍繞教授知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行，還要弄清楚核心素養(yǎng)是什么。這節(jié)內(nèi)容的核心素養(yǎng)就是數(shù)據(jù)分析，在例題教學(xué)時(shí)，我特別注重讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析處理的全過(guò)程，以提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。

（二）教學(xué)時(shí)活動(dòng)要指向核心素養(yǎng)

教學(xué)活動(dòng)要為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)，一切不為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的活動(dòng)都是無(wú)效的活動(dòng)，沒(méi)有任何意義。在本課教學(xué)活動(dòng)中，每一個(gè)探究活動(dòng)都指向了核心素養(yǎng)。如例1，讓學(xué)生根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，是提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的一種途徑；例2，讓學(xué)生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析樣本的特征，是在鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力；例3，讓學(xué)生通過(guò)分析樣本數(shù)據(jù)特征，挖掘數(shù)據(jù)背后的信息，從而科學(xué)、合理地對(duì)問(wèn)題做出決策。這樣，學(xué)生通過(guò)參與教學(xué)活動(dòng)，就可以在獲得新知的過(guò)程中有效提升核心素養(yǎng)。

（作者單位：紹興市陽(yáng)明中學(xué)）

編輯：溫雪蓮