左朋, 石先杰

(1.中國工程物理研究院 總體工程研究所,四川 綿陽 621999; 2.中國科學技術大學 近代力學系,安徽 合肥 230026)

功能梯度材料(functionally graded material, FGM)通常由陶瓷和金屬組成的混合物制成,以獲得在一個或多個空間方向上具有漸變特性的功能性能。圓錐殼、環(huán)板以及圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)在火箭、飛行器、潛艇等裝備中被廣泛應用,例如飛行器頭部、潛艇艉部等。因此,FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)振動特性逐漸成為學者們的研究熱點,并在過去幾十年里取得了較為顯著的成果,并提出了一系列數(shù)值解法,如改進傅里葉級數(shù)法[1-5]、擬格林函數(shù)法[6]、微分求積法[7-10]以及無網(wǎng)格法[11]等。

此外,功能梯度材料克服了傳統(tǒng)材料的缺陷,具有耐高溫性能。因此,溫度場作用下的FGM結(jié)構(gòu)振動特性研究也一直是研究熱點。Malekzadeh等[12]采用微分求積法求解了熱力控制方程,獲得了溫度場影響下的FGM圓錐殼三維自由振動特性。在二維彈性理論以及Hamilton變分原理框架內(nèi),滕兆春等[13-14]推導了溫度場作用下FGM薄環(huán)板面內(nèi)自由振動控制方程,并采用微分求積法有效地求解了環(huán)板結(jié)構(gòu)的振動頻率特性。呂朋等[15]在平面彈性理論框架內(nèi)推導了溫度場影響下FGM薄環(huán)板的面內(nèi)振動能量方程,并應用改進傅立葉級數(shù)法求解獲得了面內(nèi)自由振動特性?？紤]沿厚度方向的非線性溫度分布,Mirtalaie[16]在經(jīng)典板殼理論基礎上,推導并建立了FGM薄環(huán)扇形板自由振動控制微分方程,并用微分求積法求解獲得了自由振動特性。在一階剪切變形理論框架下,Chen等[17]分別采用切比雪夫多項式和傅立葉級數(shù)表示殼段和環(huán)板的位移函數(shù),研究了溫度場影響下FGM階梯圓柱殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)的振動特性。

綜上可知,現(xiàn)有大多數(shù)研究是針對單一的圓錐殼或者環(huán)板結(jié)構(gòu)振動問題,關于圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)的振動特性研究卻少有涉及。隨著產(chǎn)品結(jié)構(gòu)朝著輕量化方向發(fā)展,FGM結(jié)構(gòu)的輕量化和力學性能可設計等顯著特征使得FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)在火箭、飛行器等回轉(zhuǎn)類裝備結(jié)構(gòu)設計中得到廣泛應用。

本文考慮材料參數(shù)與溫度相關,在一階剪切變形理論框架內(nèi)推導獲得了FGM圓錐殼以及環(huán)板結(jié)構(gòu)的能量方程表達式。利用人工邊界彈簧模擬圓錐殼、環(huán)板的邊界約束條件及組合連接關系。采用譜幾何法建立了溫度場影響下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)振動特性分析模型。在數(shù)值算例中,通過將本文求解結(jié)果與文獻解和有限元法結(jié)果進行對比,驗證了所構(gòu)建模型的正確性,并進一步分析了相關重要參數(shù)對FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)自由振動特性的影響規(guī)律。

1 FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)振動分析模型

1.1 FGM圓錐殼以及環(huán)板結(jié)構(gòu)能量方程

圖1(a)和(b)分別是FGM圓錐殼以及環(huán)板結(jié)構(gòu)模型示意圖,其中環(huán)板是圓錐殼半頂角θ=90°時的特殊情形。其中O為坐標原點,符號ζ=c,a為表示圓錐殼以及環(huán)板結(jié)構(gòu),(αζ,βζ,zζ)為建立在對應結(jié)構(gòu)的中性面zζ=0處的正交坐標系。h為結(jié)構(gòu)沿zζ方向的厚度,Lc為圓錐殼結(jié)構(gòu)沿αc方向的長度。R0c和R0a分別為圓錐殼的小端圓半徑以及環(huán)板的內(nèi)徑,而R1c和R1a則分別為圓錐殼的大端圓半徑以及環(huán)板的外徑。Uζ=(Uζ,Vζ,Wζ)T上任一點沿(αζ,βζ,zζ)方向的位移。基于一階剪切變形理論,位移變量為:

(1)

圖1 圓錐殼以及環(huán)板結(jié)構(gòu)模型

式中:uζ=[uζ,vζ,wζ,φαζ,φβζ]T為結(jié)構(gòu)中性面處的位移向量,其中[uζ,vζ,wζ]T表示的是沿[αζ,βζ,zζ]方向的平移位移,而[φαζ,φβζ]T則對應的是繞β和α軸的旋轉(zhuǎn)位移。

基于小變形理論和線性應變-位移關系,結(jié)構(gòu)上任意點的應變分量(εαζ,εβζ,γαβζ,γαzζ,γβzζ)為:

(2)

根據(jù)FGM板殼結(jié)構(gòu)的力和力矩方程,可以得到矩陣形式表達式:

(3)

式中,Nζ=[Nαζ,Nβζ,Nαβζ]T是結(jié)構(gòu)的面內(nèi)合力向量,Mζ=[Mαζ,Mβζ,Mαβζ]T對應的是結(jié)構(gòu)的力矩向量,而Qsζ=[Qαζ,Qβζ]T表示的是橫向剪切力向量。κ=5/6為剪切修正參數(shù)。A、B和D為拉伸、拉伸-彎曲組合和彎曲剛度參數(shù)Ajk、Bjk和Djk組成的矩陣,具體表達式參見文獻[18]。Ajk、Bjk和Djk為:

(4)

式中:Qij是材料剛度系數(shù),為厚度z和溫度T的函數(shù),并與材料彈性模量E、泊松比μ等參數(shù)有關,其表達式參見文獻[19]。此外,本文研究還涉及到熱膨脹系數(shù)αT以及質(zhì)量密度ρ等材料參數(shù),上述材料參數(shù)C與溫度T的關系為:

C(T)=C0(C-1T-1+1+C1T+C2T2+C3T3)

(5)

式中:C0、C-1、C1、C2和C3為溫度相關系數(shù),材料不同,其取值也各不相同。另外,功能梯度材料通常由2種材料混制而成,其材料參數(shù)C與厚度方向z關系為:

(6)

式中:p為材料的冪律指數(shù);Cz0和Cz1分別為圓錐殼內(nèi)表面(或者環(huán)板下表面)以及圓錐殼外表面(或者環(huán)板上表面)的材料參數(shù)。

基于線彈性理論,FGM圓錐殼以及環(huán)板的結(jié)構(gòu)勢能Upζ為:

(7)

由于本文考慮了溫度環(huán)境對結(jié)構(gòu)動力學特性的影響,因此需要考慮引入溫度場時所產(chǎn)生的附加熱勢能UTζ,為:

(8)

式中ΔT=T-T0表示的是結(jié)構(gòu)溫度值T與參考溫度值T0之間的溫度變化值。

相應地,FGM圓錐殼以及環(huán)板的結(jié)構(gòu)動能TKζ為:

(9)

1.2 組合結(jié)構(gòu)能量方程及求解

在獲得FGM圓錐殼以及環(huán)板結(jié)構(gòu)能量方程的基礎上,進一步建立溫度場下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)的振動特性分析模型,如圖2所示,其中符號pc表示的是環(huán)板在圓錐殼上的連接位置,故有R1a=R0c+pcsinθ。

圖2 圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)模型

本文采用人工邊界彈簧模擬圓錐殼、環(huán)板的邊界約束條件以及組合連接條件[18]。用下標0、1和a0分別對應圓錐殼小端邊界、圓錐殼大端邊界和環(huán)板內(nèi)邊界,組合結(jié)構(gòu)的邊界勢能VB為:

(10)

其中,k=diag(ku,kv,kw,kα,kβ)分別為約束位移分量uζ=[uζ,vζ,wζ,φαζ,φβζ]T的彈簧剛度值。

下標c為耦合位置處的彈簧剛度,則組合結(jié)構(gòu)的耦合勢能Vc為:

kcv(va|α=R1a+vc|α=Roc/sin θ+pc)2+

kcw(wa|α=R1a-(uc-wc)α=Roc/sin θ+pccosθ)2+

kcα(φαa|α=R1a-φαc|α=Roc/sin θ+pc)2+

kcβ(φβa|α=R1a-φβc|α=Roc/sin θ+pc)2]dβ

(11)

式中:kcu、kcv、kcw為約束平移位移的線性耦合彈簧剛度值;kcα、kcβ為約束旋轉(zhuǎn)位移的扭轉(zhuǎn)耦合彈簧剛度值。

綜上,溫度場下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)的拉格朗日能量方程為:

(12)

由于圓錐殼以及環(huán)板結(jié)構(gòu)位移向量在周向方向上對稱,可將其沿β方向的位移分量采用正余弦級數(shù)展開,同時將其沿α方向的位移分量采用譜幾何法[20]展開,位移向量展開式進而可表示為:

(13)

將式(13)代入式(12),并采用Rayleigh-Ritz法[20-21]對未知級數(shù)展開系數(shù)求偏導,即可獲得溫度場下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)振動分析模型:

(K-ω2M)H=0

(14)

式中:K和M分別表示組合結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;H為未知級數(shù)展開系數(shù)向量矩陣。

2 數(shù)值算例與分析

本文利用振動分析模型進行溫度場作用下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析。由于參考文獻[18]中對彈簧剛度值的收斂性進行了充分分析,因此本文將組合結(jié)構(gòu)單位長度的彈簧剛度值設為:kcu=kcv=kcw=kcα=kcβ=1014N/m。本文可以通過設置不同彈簧剛度實現(xiàn)與之對應的邊界條件,其中自由F、第1種簡支S1、第2種簡支S2以及固支C邊界條件的彈簧剛度值設置如表1所示。用橫線連接字符的形式來表示組合結(jié)構(gòu)所受到的邊界條件,如C-S1-F表示組合結(jié)構(gòu)的左邊界為固支,右邊界為第1種簡支,環(huán)板內(nèi)邊界為自由。此外,除非特殊說明,本文FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)設置為:h=0.05 m,θ=30°,R0c=0.5 m,Lc=4 m,R0a=0.2 m,pc=Lc/2;溫度場參數(shù)設置為:參考溫度值T0=300 K, 結(jié)構(gòu)溫度值T=300 K。

表1 不同邊界條件對應的每組邊界彈簧的剛度值

2.1 模型驗證

圖3所示為C-C-C邊界下圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)在不同級數(shù)截斷數(shù)M下第1、2、4、6階的頻率參數(shù)收斂曲線。圓錐殼內(nèi)表面以及環(huán)板下表面的材料為金屬304不銹鋼,圓錐殼外表面以及環(huán)板上表面的材料為陶瓷氮化硅,冪律指數(shù)p=1,材料溫度相關系數(shù)見文獻[19]。圖中截斷誤差的定義為取M=30下的頻率結(jié)果為參考值,其他級數(shù)截斷數(shù)下的頻率結(jié)果與參考值之間誤差的絕對值。通過圖3可知,各階頻率參數(shù)的截斷誤差在M=24后便基本保持不變,此時計算結(jié)果已經(jīng)趨于收斂。因此,在后續(xù)算例中,截斷數(shù)統(tǒng)一選取為M=26。

圖3 不同級數(shù)截斷數(shù)M對FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)自由振動頻率的影響規(guī)律

表2 圓柱殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)的前6階無量綱固有頻率對比

表3所示為考慮溫度場影響的FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)在C-C-C、C-F-C以及S2-S2-C邊界下前7階固有頻率參數(shù)。材料參數(shù)及溫度相關系數(shù)與圖3算例保持一致,冪律指數(shù)p=1,2。由于此類FGM組合結(jié)構(gòu)振動特性研究的公開文獻較少,因此僅與有限元法結(jié)果進行比較分析,通過對比可以發(fā)現(xiàn),本文方法的計算結(jié)果與有限元法結(jié)果吻合較好。為了更好地展現(xiàn)本文方法有效性和適用性,圖4給出了C-F-C邊界下組合結(jié)構(gòu)模態(tài)振型對比情況。從圖4可以看出,本文方法不僅可以準確預測固有頻率參數(shù),還可以獲得結(jié)構(gòu)模態(tài)振型。綜上所述,本文構(gòu)建的FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)振動分析模型能夠有效預測溫度場作用下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)的自由振動特性。

圖4 溫度場影響下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)前5階模態(tài)振型對比

2.2 參數(shù)研究

在驗證本文構(gòu)建分析模型有效性基礎上,開展了FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)自由振動特性參數(shù)化研究。

圖5所示為結(jié)構(gòu)厚度h以及材料冪律指數(shù)p對FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻的影響規(guī)律。h的變化區(qū)間為[0.02 m, 0.1 m],p從0遞增至10,邊界條件定義為:C-C-C、C-C-S2以及C-C-S1,其余結(jié)構(gòu)參數(shù)以及溫度場的設置均與默認參數(shù)保持一致。從圖5可知,結(jié)構(gòu)基頻隨厚度h的增加可以明顯提高,而隨著冪律指數(shù)p的遞增會呈現(xiàn)下降的趨勢。

圖5 結(jié)構(gòu)厚度h和材料冪律指數(shù)p的變化對FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻的影響規(guī)律

圖6所示為環(huán)板內(nèi)徑R0a以及結(jié)構(gòu)溫度值T的變化對C-C-C、C-C-S2以及C-C-S1邊界下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻的影響規(guī)律。R0a從0.05 m遞增至0.5 m,T從300 K變化至400 K,其余參數(shù)與圖4算例參數(shù)保持一致。從圖6可以看出,保持參考溫度值T0不變,結(jié)構(gòu)基頻隨著溫度值T的增加而逐漸降低,隨著環(huán)板內(nèi)徑R0a的遞增會呈現(xiàn)先顯著增大后緩慢變化的趨勢。

圖6 環(huán)板內(nèi)徑R0a和結(jié)構(gòu)溫度值T的變化對FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻的影響規(guī)律

圖7所示為圓錐殼半頂角θ以及環(huán)板組合連接位置pc的變化對C-C-C、C-C-S2以及C-C-S1邊界下FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻的影響規(guī)律。半頂角θ的變化區(qū)間為[30°, 60°],pc從1 m向右移動至3 m,其余參數(shù)與圖4算例保持一致。從圖7可以看出,圓錐殼半頂角θ的增加會降低組合結(jié)構(gòu)基頻。而隨著環(huán)板組合連接位置pc向右移動,組合結(jié)構(gòu)基頻會呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢,在C-C-C邊界條件下,基頻在pc=1.9 m時達到最大,而對于C-C-S2和C-C-S1邊界條件而,基頻最大值出現(xiàn)在pc=1.7 m時。

圖7 半頂角θ和組合位置pc的變化對FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻的影響規(guī)律

3 結(jié)論

1) 譜幾何法具有良好收斂性和計算精度,且通用性好,當結(jié)構(gòu)材料或者幾何參數(shù)發(fā)生變化時,只需要修改相關初始參數(shù)即可,無需繁瑣推導公式,簡潔高效。

2) FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻隨厚度增加會呈現(xiàn)上升趨勢,隨著冪律指數(shù)、半頂角和溫度場參數(shù)增加會呈現(xiàn)下降變化趨勢。

3) FGM圓錐殼-環(huán)板組合結(jié)構(gòu)基頻隨環(huán)板內(nèi)徑R0a的遞增會呈現(xiàn)先顯著增大后緩慢變化的趨勢,隨環(huán)板組合連接位置pc會呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢。