楊文金
要學(xué)好“相交線與平行線”,就 要掌握住其要點.請看楊老師給我 們帶來的要點精析。
要點一:垂線
如果兩條相交直線所成的四個角中的任意一個角是直角,那么這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫作另一條直線的垂線,交點叫作垂足.
注意事項:(1)兩線段垂直,兩射線垂直,線段與射線垂直,均是指它們所在的直線互相垂直.
(2)在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
(3)兩條直線互相垂直,則它們所形成的四個角均為直角.
(4)在同一平面內(nèi),如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直,那么這條直線也與另一條直線垂直.
(5)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短.
(6)垂線是一條直線,而垂線段是一條線段.
例1(2023年雅安)如圖1,AB//CD,AC丄BC于點C.若∠1=65°,則∠2的大小為( ?)
A.65°
B.25°
C.35°
D.45°
分析:先根據(jù)“兩直線平行,同旁內(nèi)角 互補”可得∠ACD的度數(shù),再根據(jù)垂直的定義可得∠ACB=90°,然后根據(jù)∠2=LCD-∠ACB即可得出答案.
解:因為AB∥CD,L1=65°,所以人ACD= 180°-65°=115°.
因為AC丄BC,所以°ACB=90°,2=∠ACD-∠ACB=115 -90° =25°。故選B.
點評:本題考查了平行線的性質(zhì)以及垂 線的定義,熟知“兩直線平行,同旁內(nèi)角互 補”是解本題的關(guān)鍵.
要點二:相交線形成的角
兩個角有一條公共邊,它們的另一邊互 為反向延長線,具有這種位置關(guān)系的兩個 角,互為鄰補角.兩個角有一個公共頂點,并 且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的 反向延長線,具有這種位置關(guān)系的兩個角, 互為對頂角.
兩條直線被第三條直線所截,構(gòu)成八個 角,我們看那些沒有公共頂點的兩個角的關(guān) 系.兩個角在截線的同旁,且分別在被截兩 條直線同側(cè),具有這種位置關(guān)系的一對角 叫作同位角.如下頁圖2中的∠1和∠5.
兩個角分別在截線的兩 側(cè),且夾在兩條被截直線之 間,具有這種位置關(guān)系的一對 角叫作內(nèi)錯角.如圖2中的∠3 和∠5.
兩個角在截線的同旁,且在兩條被截直 線之間,具有這種位置關(guān)系的一對角叫作同 旁內(nèi)角.如圖2中的人3和人6.
注意事項:
(1)對頂角是成對出現(xiàn)的,對頂角是具 有特殊位置關(guān)系的兩個角.
(2)如果人a與人β是對頂角,那么一定 有∠a=∠β;如果∠a=∠β,那么∠a與∠β不一定是對頂角.
(3)如果人a與人β互為鄰補角,那么一 定有∠a+∠β=180°;如果∠a+∠β=180°,那么∠a與∠β不一定是鄰補角.
(4)兩直線相交形成的四個角中,每一 個角的鄰補角有兩個,其對頂角只有一個.
(5)兩條直線被第三條直線所截而形成 的八個角中,有四對同位角,兩對內(nèi)錯角,兩 對同旁內(nèi)角.
例2(2023年湘西) 已知直線a∥b,將一塊直 角三角尺按如圖3所示的 方式擺放.若∠1=40°,則 ∠2的大小是( ?).
A.40°
B.50°
C.14°
D.15°
分析:由a/∥b,人1=40°,得3=40°,進 而得到∠2的大小.
解:因為a∥b,人1=40°,所以人3=人1= 40°.因為人3+人2=180°,所以人2=180-40°=140°.故選C.
點評:本題主要考查平行線的性質(zhì)和鄰 補角的性質(zhì),掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
要點三:平行線
在同一平面內(nèi),不重合且不相交的兩條 直線叫作平行線,平行用符號“∥”表示.
判斷同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系 時,可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定:
①有且只有一個公共點,兩條直線相交; ②無公共點,兩條直線平行;
③有兩個或兩個以上公共點,兩條直線 重合.
注意事項:
(1)經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直 線與這條直線平行.
(2)如果兩條直線都與第三條直線平 行,那么這兩條直線也互相平行.
(3)兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯角相 等,同旁內(nèi)角互補.
(4)兩條直線被第三條直線所截,如果 同位角相等,那么這兩條直線平行;兩條直 線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯角相等,那 么這兩條直線平行;兩條直線被第三條直線 所截,如果同旁內(nèi)角互補,那么這兩條直線平行.
例3(2023年煙臺)一桿古秤在稱物時的 狀態(tài)如圖4所示,已知 ∠1=102°,則∠2的大小為________
分析:根據(jù)“兩直線平行,內(nèi)錯角相 等”即可求解.
解:如圖4所示,依題意,知AB∥DC,故∠2=∠BCD。因為∠BCD+∠1=180°,∠1=102°,所以∠BCD=180-∠1=78°,故∠2=78°.
故應(yīng)填“78°”.
點評:本題考查了平行線的性質(zhì),熟練 掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版2024年2期