張景中
張院士給我們帶來了一些幾何推理常識,一起去看看吧.
回顧一下我們學(xué)過的幾何知識,它們常常用一些語句來表達(dá),現(xiàn)在來研究一下這些語句的特點,例如:
1.經(jīng)過兩點有一條,而且只有一條直線.
2.三角形兩邊之和大于第三邊.
3.三角形的面積等于底與高的乘積之半.
4.同一平面內(nèi),經(jīng)過一點有一條而且只有一條直線垂直于已知直線.
5.長方形的面積等于它的長與寬的積.
6.直角三角形的面積等于它的兩直角邊長乘積之半.
這些語句有一個共同的特點:它們都是判斷某一件事情的句子.這種判斷某一件事情的語句,叫作命題.
一個命題,可能是正確的,也可能是錯誤的,正確的命題叫真命題,錯誤的命題叫假命題.如果一個命題是真的,就說這個命題成立;否則,說它不成立.
命題可真可假,非真即假,不能含糊不清,“2+5 =7”“粉筆都是黑的…‘8比9大”,都是命題.其中有一個是真的,兩個是假的.
在數(shù)學(xué)里,特別是在幾何學(xué)里,為了突出一些重要的概念和使語言簡明,要引進(jìn)許多專用的術(shù)語和記號,對這些術(shù)語和記號所作的說明,叫作定義,例如,具有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫作角,就是角的定義.
在用定義說明術(shù)語時,又會用到原來已知的術(shù)語,例如,定義角時用到射線,原來已知的術(shù)語要用更早已知的術(shù)語來定義,那么,最早的術(shù)語怎么辦呢?只好約定一些最基本的、不加定義的術(shù)語.對最基本的術(shù)語,可以用日常語言描述一下,便于理解.在幾何學(xué)中,點、直線、點在直線上、直線上的兩點之間,都是基本術(shù)語.
有些真命題是從人們長期實踐中總結(jié)出來的規(guī)律.從這些規(guī)律中選出一些最簡單的、易于理解的基本規(guī)律,作為研究幾何圖形性質(zhì)的出發(fā)點,這些基本規(guī)律叫作公理.例如,“經(jīng)過兩點有一條,而且只有一條直線”就是公理,
公理都是真命題,
在數(shù)學(xué)中,特別是在幾何學(xué)中,以定義和公理為依據(jù),用推理的方法說明其為正確的命題為定理,在很多情況下,一個命題的正確性需要經(jīng)過推理,才能做出判斷,這個推理過程叫作證明.要說一個幾何命題是定理,就應(yīng)當(dāng)寫出證明.
如果一個幾何命題,它不是公理或定義,但看上去像是真的,實驗也表明它很可能是真的,我們可以說它是一個猜想,只有給出證明,才可以把它叫作定理.
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版2024年2期