? 江西省萬安中學 胡大妹

? 江西省萬安縣教育體育局 游輝斐

借助一些典型的數(shù)學例(習)題,特別是高考真題、模擬題、自主招生題等,充分挖掘問題的已知條件與所求結論,剖析問題的內(nèi)涵與本質,在解題的基礎上合理進行“一題多變”,巧妙發(fā)散數(shù)學思維.通過典型問題的“一題多變”,基于一個基本點,往往可以實現(xiàn)“一題多得”,從而實現(xiàn)解題研究,從不同思維視角來挖掘問題的內(nèi)涵以及知識的聯(lián)系,全面提升綜合能力.

1 問題呈現(xiàn)

分析：該試題以三角形為場景,結合三角形的三內(nèi)角正切值的倒數(shù)之和、三角形三邊的平方和這兩個定值條件,進而確定相應三角形的面積.關鍵就是通過三角函數(shù)關系式與三角形面積之間的聯(lián)系來過渡與轉化,進而為問題的解決開拓空間.

于是,可得

①

點評：該題的兩個條件對應的等式分別是涉及角與邊的輪換對稱式,形式非常優(yōu)美,解答過程也非常完美.

基于此,借助三角函數(shù)的基本知識以及三角恒等變換公式等,通過三角形這一平面幾何場景,可以進一步深入探究與拓展,合理進行“一題多變”,提升問題的深度與難度,加以合理變式與應用,有效達到“一題多得”的目的,對于數(shù)學解題研究與數(shù)學學習具有一定的教學啟示.

2 一題多變

2.1 條件拓展

基于原問題的應用場景,通過三角形的三內(nèi)角所滿足的三角函數(shù)關系式加以合理變形與變式應用,借助“三內(nèi)角正切值的倒數(shù)之和”加以深入研究,綜合三角函數(shù)及三角恒等變換公式等的應用,從而得以巧妙變式拓展.

巧妙通過題設條件的拓展,由簡單的“三角形的三內(nèi)角正切值的倒數(shù)之和”進一步變形,借助“三角形的三內(nèi)角正切值平方的倒數(shù)之和”或“三角形的三內(nèi)角正弦值平方的倒數(shù)之和”等視角加以拓展與應用,變式轉化,創(chuàng)新應用.

2.2 轉換拓展

基于原問題的應用場景,合理通過題設條件與所求結論之間的轉換,由原來求解三角形面積問題轉化為求解三角形的三邊的平方和問題,改變問題場景與解題方向,從而得以巧妙變式拓展.

在變式3的基礎上,綜合變式1、變式2的變形條件,深入創(chuàng)新與應用,可以得到以下相應的變式問題.

以上變式4、變式5的解析過程,可以參考原問題的變式1、變式2的解析過程,并結合原問題的解析加以分析,這里不多加以展開與敘述.

巧妙通過題設條件與所求結論之間的轉換,在原問題與條件拓展的基礎上加以合理轉換與應用,使得數(shù)學思維得以更大層面的發(fā)散與拓展,給問題的研究與拓展提供更多的場景與應用.

2.3 應用拓展

基于原問題的應用場景,從另一個方面加以題設條件與所求結論之間的轉換,由三角形問題來確定相應的三角函數(shù)問題,拉開問題條件設置的難度,提升解題研究的維度,從而得以巧妙應用拓展.

從單純的三角形問題背景設置,合理創(chuàng)設條件,進而過渡到求解與三角形的三個內(nèi)角有關的三角函數(shù)的代數(shù)式的求值問題,實現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的交匯與融合,合理創(chuàng)新應用,提升數(shù)學能力.

3 教學啟示

基于相應的典型實例,巧妙合理進行“一題多變”,在一個簡單基本問題的基礎上,合理創(chuàng)設并設置一些相應的創(chuàng)新應用問題,給數(shù)學解題與研究開拓一個更加開闊的空間與研究場所.

其實,以上的6個變式問題,每一個都是很好的典型問題,既是改編的延續(xù),也是創(chuàng)新的成果,對于全面考查學習者的“四基”以及數(shù)學基本能力等方面,都可以作為考題來創(chuàng)設與應用.

基于以上問題的分析與剖析,合理進行“一題多變”,可以實現(xiàn)問題的“一題多得”,在考查數(shù)學知識、聚合數(shù)學思維等方面都是很有效果的.基于此,數(shù)學思維與數(shù)學能力等方面都可得以巧妙拓展.

基于問題的“一題多變”,合理變式與拓展,在變式過程中尋找“通性通法”,在探究中全面升華能力,數(shù)學解題研究之路一定會越鋪越遠,創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力也會得以一定程度的培養(yǎng)與提升.