? 山東省東營市第一中學 林 翠 劉德金

解三角形試題一直是歷年高考命題的基本考點與熱點問題之一,有時以解答題的形式出現(xiàn),有時以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),簡單直觀,變化多端.此類問題可以很好實現(xiàn)初中數學與高中數學之間的無縫鏈接,綜合體現(xiàn)“在知識點交匯處命題”的高考命題指導思想,合理交匯與融合解三角形、函數、三角函數、平面幾何與平面解析幾何、基本不等式等相關知識,備受命題者青睞.

1 真題呈現(xiàn)

圖1

2 真題剖析

此題以浙江卷所特有的特色——“兩空”形式展現(xiàn),通過三角形一邊的中點引入,使得三角形“一分為二”,結合相關的邊長與角度來巧妙設置,進而求解對應的邊長與相應角的余弦值問題.

題目簡單易懂,條件簡明扼要,破解時,可以從解三角形問題的背景出發(fā),或借助解三角形思維來處理,或建立平直直角坐標系結合坐標法來運算,或通過平面幾何來直觀推理與運算等,都可以達到合理處理、巧妙破解的目的.

3 真題破解

思維視角一：解三角形思維.

方法1：“正弦定理+余弦定理”法.

所以∠BAM=90°,又M是BC的中點,所以BM=CM=4,則有BC=8.

點評：根據題目條件,結合“已知兩邊與一邊的對角”選擇正弦定理來切入,求得對應角的正弦值,并通過三角形的性質確定對應角,利用直角求得三角形一邊的長度,再利用余弦定理求得第三邊的長度,并確定對應角的余弦值.巧妙借助正弦定理與余弦定理的聯(lián)合應用來合理解決相關的解三角形問題.

方法2：誘導公式法.

點評：在求得三角形第三邊長度的情況下,通過正弦定理的轉化,并利用誘導公式的應用,進而確定對應角的余弦值.巧妙利用直角的轉化,通過誘導公式的應用來處理相應三角形內角的三角函數值.誘導公式法的應用,是在特殊角的背景下才可以實現(xiàn)的.

方法3：余弦定理法.

解析：在△ABM中,由余弦定理,得

AM2=BA2+BM2-2BA·BMcos 60°.

由于M是BC的中點,因此MC=4,BC=8.

在△AMC中,由余弦定理,得

點評：根據題目條件,結合“已知兩邊與一邊的對角”選擇余弦定理來切入,建立對應的方程來求得對應線段的長度,利用中點關系求得三角形一邊的長度,再利用余弦定理求得第三邊的長度,并確定對應角的余弦值.巧妙借助余弦定理來綜合處理形式各樣的解三角形問題,方程思想的應用有助于簡化解題過程,提升解題效益.

思維視角二：坐標思維.

方法4：坐標法.

圖2

設M(t,0)(t>0),則有AM2=(t-1)2+3=12,解得t=4或-2(舍去),所以M(4,0).結合M是BC的中點,可得C(8,0).

點評：根據平面直角坐標系的建立,結合條件確定相關點的坐標并設出對應點的坐標,利用兩點間的距離公式建立關系式確定對應的參數值,進而確定所設點的坐標,通過中點性質的應用確定相關點的坐標,利用兩點間的距離公式求得三角形第三邊的長度,并利用平面向量的數量積公式的變形來求解對應角的余弦值.借助坐標法,通過代數運算來解決對應的解三角形問題,對數學運算能力的要求較高.

思維視角三：平面幾何思維.

方法5：幾何法.

圖3

在△ABM中,利用余弦定理有AM2=BA2+BM2-2BA·BMcos 60°.

由于AB2+AM2=BM2,因此∠BAM=90°,則有MN⊥AM.

點評：通過平面幾何圖形的數形直觀,取相應邊的中點,利用三角形的中位線定理確定對應的線段長度,結合“已知兩邊與一邊的對角”選擇余弦定理來切入,建立對應的方程求得對應線段的長度;通過三角形中三邊長滿足勾股定理確定垂直關系,進而結合平行線的性質轉化垂直關系,確定對應的線段長度,進而求得三角形第三邊的長度,并利用直角三角形中三角函數的定義求解對應邊的余弦值.借助幾何法,合理添加輔助線,直觀形象,通過平面幾何知識來轉化與應用,邏輯推理能力強.

4 教學啟示

解決解三角形問題最常見的思維方式主要包括以下三種：

(1)解三角形思維,借助正弦定理、余弦定理以及三角形的基本性質、面積公式等加以轉化與應用.用此思維破解問題時,關鍵是通過正弦定理、余弦定理等合理溝通三角形的邊與角的聯(lián)系,實現(xiàn)條件與結論之間的相互轉化,或解方程,或解三角函數等,借助代數運算,進行必要的邏輯推理與代數運算等處理.

(2)坐標思維,借助平面直角坐標系的建立,通過坐標運算來轉化與應用.合理構建平面直角坐標系,把三角形放置其中,通過點的坐標的確定、向量的坐標的建立、直線方程的表示等,合理轉化,或利用距離公式、夾角公式等來轉化相應的長度、角的大小問題,將幾何問題抽象為純代數問題,利用平面解析幾何或平面向量的相關知識來分析與處理.

(3)平面幾何思維,借助平面幾何的直觀形象性加以轉化與應用.合理構建平面幾何圖形中的邊、角、線段等,添加相應的輔助線,通過平面幾何的相關知識來轉化邊、角關系,以初中平面幾何知識交匯高中三角函數等相關知識,合理邏輯推理,巧妙代數運算,綜合處理與巧妙應用.