在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式的性質(zhì)部分是十分基礎(chǔ)又十分重要的內(nèi)容。但傳統(tǒng)的教學(xué)模式達(dá)不到理想的教學(xué)效果，反而會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生在面對(duì)越來(lái)越復(fù)雜、越來(lái)越難的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)望而卻步。因此在教學(xué)中，教師要貫徹以生為本的理念，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律角度出發(fā)，以學(xué)生更易于接受、樂(lè)于接受的形式展開(kāi)教學(xué)。

一、教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

不等式的性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分，其本質(zhì)是式與式之間的數(shù)量關(guān)系，也是實(shí)數(shù)序關(guān)系的一般化表現(xiàn)。實(shí)數(shù)的大小關(guān)系往往是客觀的現(xiàn)實(shí)，無(wú)法更改，這也是不等式性質(zhì)的基本邏輯。雖然等式和不等式都是“式”，但不等式具有明顯的方向性，在運(yùn)算過(guò)程中更是如此。學(xué)生只有掌握不等式的基本性質(zhì)，才能為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.回顧等式的基本性質(zhì)，運(yùn)用類比的方式推理出不等式的性質(zhì)。

2.合理運(yùn)用不等式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)，以及作差比較法、函數(shù)圖象等方式來(lái)證明不等式。

3.在不等式的性質(zhì)知識(shí)中，通過(guò)推理、猜想、證明等方式，鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力。

4.掌握不等式的基本研究思路與方法。

5.通過(guò)該章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

二、教學(xué)實(shí)施

（一）課題導(dǎo)入

雖然高中生在數(shù)學(xué)方面已經(jīng)有了較為穩(wěn)固的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但也要采用相對(duì)靈活、有趣的方法來(lái)導(dǎo)入新課，本次教學(xué)利用了一個(gè)簡(jiǎn)單有趣的實(shí)物展示引起話題，之后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)事物內(nèi)在聯(lián)系推導(dǎo)出不等式的概念和性質(zhì)，從簡(jiǎn)單的概念入手，以更加具象化的方式將不等關(guān)系表達(dá)出來(lái)。如圖1所示，先為學(xué)生展示三個(gè)大小個(gè)不相等的圓柱體，并讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)這三個(gè)圓柱體的大小關(guān)系是怎樣的。學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察能夠快速答出agt;bgt;c的結(jié)論，其實(shí)這一結(jié)果就能體現(xiàn)不等式的傳遞性。之后讓學(xué)生根據(jù)圖片進(jìn)行總結(jié)，分別說(shuō)出其大小關(guān)系，如agt;b、bgt;c、agt;c、clt;a等，之后引入最基本的加減法運(yùn)算。a和b的數(shù)量關(guān)系不同，a-b的結(jié)果的符號(hào)也會(huì)不同，如圖2所示。在本課時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從大小對(duì)比的表面發(fā)現(xiàn)背后的秘密，如大于、小于符號(hào)與不等式的關(guān)系，等式與不等式的聯(lián)系與區(qū)別等。

（二）化繁為簡(jiǎn)，理清知識(shí)概念

進(jìn)入高中階段以后，很多學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，隨著知識(shí)學(xué)習(xí)程度的加深，往往會(huì)接觸到越來(lái)越多的數(shù)學(xué)概念名詞。這些名詞是數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一種總結(jié)，但有時(shí)候也會(huì)讓學(xué)生將原本理解的知識(shí)或現(xiàn)象變得復(fù)雜起來(lái)，給學(xué)習(xí)造成障礙。而作為教師，我們需要讓學(xué)生的這種學(xué)習(xí)壓力最小化，盡量采用生活化的語(yǔ)言將知識(shí)化繁為簡(jiǎn)。在“不等式的性質(zhì)”的教學(xué)中，教師需要將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生易于理解的形式，通過(guò)生活化的表達(dá)降低理解難度，并讓學(xué)生在理解知識(shí)點(diǎn)時(shí)找到認(rèn)知基礎(chǔ)。在“不等式的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)接觸到很多類似agt;b、a+bgt;c、abgt;b+c的式子。對(duì)此，在教學(xué)中，我們可以用通俗易懂的方式引導(dǎo)學(xué)生。之后就可以代入到不等式的性質(zhì)1，運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言兩種方式闡述，在比較兩個(gè)不同且不為0的數(shù)時(shí)，一般通過(guò)大于或小于兩種關(guān)系進(jìn)行表示，要么這個(gè)數(shù)大于那個(gè)數(shù)，要么這個(gè)數(shù)小于那個(gè)數(shù)，這兩種說(shuō)法表達(dá)的意思相同，轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言即為如果agt;b，則blt;a;如果blt;a，則agt;b。在引入這一概念時(shí)，教師需要幫助學(xué)生理清前后的因果關(guān)系以及等效符號(hào)“”，這代表符號(hào)兩邊可互推，也就是可以通過(guò)等效符號(hào)左邊的不等式推導(dǎo)出右邊的不等式;不等式的性質(zhì)2：當(dāng)一個(gè)數(shù)大于另一個(gè)數(shù)，另一個(gè)數(shù)又大于第三個(gè)數(shù)，根據(jù)它們的關(guān)系可以得出第一個(gè)數(shù)大于第三個(gè)數(shù)，即如果agt;b，bgt;c，則agt;c;不等式的性質(zhì)3：在不等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)相同的數(shù)，不等式符號(hào)不會(huì)發(fā)生改變，即如果agt;b，則a+cgt;b+c;不等式的性質(zhì)4：在不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，若該數(shù)大于0則不會(huì)改變不等式方向，若該數(shù)小于0則改變不等式方向，即如果agt;b，cgt;0，則acgt;bc;若clt;0則aclt;bc。隨后，可以讓學(xué)生根據(jù)上述不等式性質(zhì)，以及基本的數(shù)理關(guān)系探討不等式的性質(zhì)5：如果agt;b，cgt;d，則a+cgt;b+d，其涉及了兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的整合?？梢酝ㄟ^(guò)表格的方式幫助學(xué)生掌握不等式的基本性質(zhì)，同時(shí)和等式的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比，理解兩者之間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，加深知識(shí)印象。

（三）層層遞進(jìn)，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

由于不等式的性質(zhì)中，性質(zhì)1到性質(zhì)3可以根據(jù)等式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)輕松理解，但性質(zhì)4和性質(zhì)5則有所不同，性質(zhì)4是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，所以可以采用層層遞進(jìn)的方式，帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)性質(zhì)3試著推導(dǎo)出性質(zhì)4。

方法一：假設(shè)alt;b，根據(jù)不等式性質(zhì)3，在不等式兩邊同時(shí)減去（a+b）即可得到a-（a+b）lt;b-（a+b），經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)能夠得到-blt;-a，也就是-agt;-b的結(jié)果。

由于-a=（-1）×a，-b=（-1）×b，因此不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向?qū)?huì)發(fā)生改變。通過(guò)性質(zhì)3，在原式中減去相同的（a+b），再將結(jié)果化簡(jiǎn)就能得到一個(gè)將不等號(hào)兩邊互換的結(jié)果，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化順利推導(dǎo)出性質(zhì)4。之后讓學(xué)生試著探索agt;b的情況是否能推導(dǎo)性質(zhì)4，其過(guò)程如下：

方法二：假設(shè)agt;b，根據(jù)不等式性質(zhì)3，在不等號(hào)兩邊同時(shí)減去（a+b），可得a-（a+b）gt;b-（a+b），經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可得-bgt;-a，也就是-alt;-b的結(jié)果。由于-a=（-1）×a，-b=（-1）×b，所以不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)相同且小于0的數(shù)，不等號(hào)的方向會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變，同樣能得到性質(zhì)4。

（四）新知舊識(shí)結(jié)合，強(qiáng)化類比思維

新舊知識(shí)結(jié)合能夠讓學(xué)生鞏固舊知識(shí)，同時(shí)為學(xué)習(xí)新知識(shí)打下基礎(chǔ)。與不等式的性質(zhì)相關(guān)的過(guò)往知識(shí)有很多，如等式、方程等，需要根據(jù)學(xué)習(xí)的進(jìn)度和內(nèi)容選擇對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)。如將不等式部分與學(xué)生以往學(xué)習(xí)過(guò)的方程進(jìn)行結(jié)合，并提出問(wèn)題：類比方程x2-5x=0的根和函數(shù)y=x2-5x的圖象關(guān)系，分析不等式x2-5x≤0的解集。

首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目要求試著畫出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象中的零點(diǎn)和方程x2-5x=0的根有什么關(guān)系。零點(diǎn)和兩邊值的符號(hào)應(yīng)當(dāng)是什么？可以用這個(gè)方法求得不等式x2-5x≤0的解集嗎？經(jīng)過(guò)思考和運(yùn)算，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)是方程的根，也就是0和5，再根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)能夠了解到，0與5兩側(cè)的值分別大于0和小于0，所以不等式的解集為{x|0≤x≤5}。將方程知識(shí)與不等式結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生采用類比思維來(lái)探索新知識(shí)，可以培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，也可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣。

（五）練習(xí)反饋，繼續(xù)提升

1.假設(shè)agt;b，請(qǐng)將正確的不等號(hào)填入以下圓圈內(nèi)，并說(shuō)明解答該題引用了不等式的哪一條性質(zhì)。

（1）a-3 ○"b+2" " （2）-a ○ -b

（3）-3a ○ -3b" " （4）a-5 ○ b-5

（5）a/2 ○ b/2" " "（6）3a+3 ○ 3b+3

2.在下列橫線上填上正確的不等號(hào)，并說(shuō)明該題與不等式的哪一條性質(zhì)相關(guān)。

（1）若x+3gt;6，則根據(jù)不等式性質(zhì)可得x" " " " "3;

（2）若x-2lt;3，則根據(jù)不等式性質(zhì)可得x" " " """5。

3.如gt;0，求x的取值范圍。

前兩大題均與不等式的基本性質(zhì)有關(guān)，需要學(xué)生根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行解答，難度相對(duì)較低。第三題屬于拓展題，是一種關(guān)于分?jǐn)?shù)的不等式，也是學(xué)生后續(xù)會(huì)經(jīng)常接觸到的一種題型，該題涉及了分?jǐn)?shù)通分的知識(shí)點(diǎn)，所以首先要將分子和分母進(jìn)行通分，才能找到x的取值點(diǎn)，之后在數(shù)軸中將其標(biāo)出，如圖3所示。

由于不等式大于0，所以在4的右邊可以取任意一個(gè)數(shù)，如將5帶入式中，得到的結(jié)果大于0。在數(shù)軸中，曲線部分在4的右邊部分，以及-1的左邊部分均處在數(shù)軸的上方，根據(jù)這一規(guī)律以及不等式的性質(zhì)，就可以得知x的取值范圍為（-∞，-1）U（0，1）U（4，+∞）。

（六）創(chuàng)設(shè)生活情境，增進(jìn)知識(shí)理解

數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化設(shè)計(jì)能夠讓學(xué)生從生活的角度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，如此一來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程也是在解決生活問(wèn)題，能夠讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，并學(xué)會(huì)從多個(gè)角度思考。

如創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：小瑩和小光拿著一個(gè)水壺去打水，小瑩的水壺比小光的要小一些，假設(shè)兩個(gè)水壺裝滿水的時(shí)間分別為t1、t2，并且食堂只有一個(gè)水龍頭有熱水，如何安排順序才能讓他們的等候時(shí)間最少？最少總時(shí)間為多少？

首先提問(wèn)學(xué)生，如何將這個(gè)生活題轉(zhuǎn)換為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題？這一過(guò)程的本質(zhì)其實(shí)就是將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)變?yōu)榉?hào)語(yǔ)言，根據(jù)題目中兩個(gè)人的打水順序以及打水等候時(shí)間來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。之后再引導(dǎo)學(xué)生思考，總時(shí)間會(huì)有幾種情況？如何通過(guò)不等式將其表達(dá)出來(lái)？哪種情況下總時(shí)間會(huì)最少？

學(xué)生會(huì)先從兩個(gè)假設(shè)的角度分別出發(fā)。

假設(shè)一：小瑩先打水，T1=t1+t1+t2=2t1+t2

假設(shè)二：小光先打水，T2=t2+t2+t1=2t2+t1

將兩個(gè)結(jié)果作差可以得到T1-T2=2t1+t2-（2t2+t1）=t1-t2。

由于t1lt;t2，所以可得T1-T2lt;0即為T1lt;T2，因此，小瑩先打水的情況下，兩人總共的等待時(shí)間更少。

生活化的情境探究活動(dòng)，能夠提高學(xué)生的探究興趣，在數(shù)學(xué)探索的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)與不等式相關(guān)的更多知識(shí)，以及知識(shí)在生活中的應(yīng)用。同時(shí)，這一教學(xué)過(guò)程更加側(cè)重知識(shí)的生成過(guò)程，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的趣味性和應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

三、教學(xué)反思

對(duì)于不等式的性質(zhì)，從學(xué)習(xí)難度上來(lái)看相對(duì)較為簡(jiǎn)單，但卻關(guān)系著學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，所以這也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)。不等式性質(zhì)的本質(zhì)其實(shí)就是對(duì)數(shù)的認(rèn)知，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)從小學(xué)就已經(jīng)開(kāi)始了，不管是認(rèn)識(shí)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)還是小數(shù)、百分?jǐn)?shù)，實(shí)數(shù)的大小是客觀的、既定的。在實(shí)數(shù)集中，規(guī)定一個(gè)關(guān)系時(shí)通常用不等號(hào)或等號(hào)來(lái)表示，不等式的基本性質(zhì)包括對(duì)稱性、傳遞性、加法單調(diào)性（同向不等式可加性）、乘法單調(diào)性、同向正值不等式可乘性、正值不等式可乘方、正值不等式可開(kāi)方、倒數(shù)法則等。例如，針對(duì)數(shù)集M的任意三個(gè)數(shù)a、b、c，若agt;b，則a+cgt;b+c，且cgt;0，而a×cgt;b×c。

在教學(xué)過(guò)程中，不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)比較考驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)大小的理解與判斷，直觀體現(xiàn)在不等號(hào)方向上，尤其是不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)4可以得知不等號(hào)的方向會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變，而學(xué)生在觀察或計(jì)算時(shí)往往難以體會(huì)到這一原理，因此對(duì)性質(zhì)4的理解可能會(huì)產(chǎn)生一些疑問(wèn)或不通的地方，從抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)中探索數(shù)學(xué)結(jié)論具有一定難度。數(shù)有大小之分，同樣也有正負(fù)的區(qū)別，需要從學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從知識(shí)形成過(guò)程著手干預(yù)，才能讓學(xué)生真正理解不等式的性質(zhì)，掌握知識(shí)遷移能力，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確方法。不等式的性質(zhì)是一個(gè)基礎(chǔ)概念知識(shí)，在教學(xué)過(guò)程中也要讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的形成過(guò)程，通過(guò)自己的思考和努力得到的答案，往往比教師直接說(shuō)出來(lái)更有價(jià)值，也能讓學(xué)生體會(huì)到自主學(xué)習(xí)的成就感與獲得感。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要重視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的積累與技巧的訓(xùn)練，為學(xué)生提供更自由的探索空間，安排適當(dāng)?shù)摹⒈匾挠懻撆c探究項(xiàng)目，讓他們對(duì)所學(xué)的內(nèi)容有比較深入的了解與把握，進(jìn)而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并在此過(guò)程中讓學(xué)生感受到“數(shù)式通性”，并訓(xùn)練類推思維。

（作者單位：陜西省渭南市杜橋中學(xué)）

編輯：常超波