楊海星，馬杰朋，吉正勇，劉清明，張習(xí)文，黎 浩

（四川志德巖土工程有限責(zé)任公司 成都 610095）

0 引言

近年來(lái)，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)展，出現(xiàn)大量人工開(kāi)挖形成的邊坡。為保障人民生命財(cái)產(chǎn)的安全，需對(duì)人工形成的邊坡進(jìn)行治理。其中錨桿（索）作為一種常見(jiàn)的土工結(jié)構(gòu)，經(jīng)常用于邊坡工程的治理過(guò)程中?！督ㄖ吰鹿こ碳夹g(shù)規(guī)范：GB 50330—2013》［1］附錄A 給出不同滑面形態(tài)的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算分析的方法，但其未給出加固治理后邊坡穩(wěn)定計(jì)算方法。目前存在不少數(shù)量的工程設(shè)計(jì)人員，在進(jìn)行邊坡設(shè)計(jì)時(shí)，主要利用商業(yè)軟件，將巖土參數(shù)及設(shè)計(jì)參數(shù)輸入軟件后，直接查看計(jì)算結(jié)果。若不滿足則重新調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，再進(jìn)行驗(yàn)算，直到計(jì)算結(jié)果滿足規(guī)范［1］要求。對(duì)商業(yè)軟件的計(jì)算過(guò)程（或計(jì)算書）缺乏解讀。

本文基于瑞典條分法及簡(jiǎn)化Bishop 邊坡穩(wěn)定性分析方法，推導(dǎo)出含錨桿（索）的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算公式。通過(guò)Excel 表格進(jìn)行對(duì)邊坡穩(wěn)定性中的抗力、下滑力及錨桿（索）作用力進(jìn)行分析，可直觀理解邊坡穩(wěn)定性計(jì)算中的瑞典條分法及簡(jiǎn)化Bishop 法分析方法。然后與理正邊坡商業(yè)軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證其正確性。最后對(duì)錨桿（索）產(chǎn)生的貢獻(xiàn)是作為增加抗力還是減少下滑力（即是敵是我）進(jìn)行探討。

1 穩(wěn)定性計(jì)算方法

瑞典條分法和簡(jiǎn)化Bishop 法邊坡穩(wěn)定性計(jì)算中常用的兩種極限平衡法。均是假設(shè)邊坡滑面為圓弧面，將滑動(dòng)土體豎向劃分為若干土條，把土條視為剛體，分別求出作用于各土條上的力對(duì)圓心的滑動(dòng)力矩和抗滑力矩，從而求得邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)。

把滑動(dòng)土體劃為n個(gè)土體后，對(duì)每個(gè)土條進(jìn)行受力分析，可知整個(gè)滑體存在（5n-2）個(gè)未知數(shù)，通過(guò)建立靜力平衡方程（3n）和極限平衡方程（n），可得4n個(gè)方程，要求求解穩(wěn)定系數(shù)，還差（n-2）個(gè)方程。使得穩(wěn)定性的求解成為一個(gè)高次超靜定問(wèn)題。為使問(wèn)題得以求解，需對(duì)條間力采取不同程度上可接受的簡(jiǎn)化假定，以減少未知數(shù)［2］?；诓煌募俣ǎ愕玫讲煌臈l分法。如瑞典條分法，不考慮條間力作用，簡(jiǎn)化Bishop法僅考慮條間力中的一個(gè)分量。

在條分法邊坡穩(wěn)定性分析中，安全系數(shù)是對(duì)土體抗剪強(qiáng)度指標(biāo)的折減程度，即：Fs=tanφ/tanφe=c/ce。式中φ、c為土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，φe和ce為折減后土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)。

1.1 瑞典條分法

瑞典條分法中，不考慮條間力的作用，土條僅受重力Wi、滑面以下土體對(duì)該土條的法向反力Ni=Wicosθi和切向作用力Ti三個(gè)力的作用。

其中根據(jù)極限平衡條件：

式中：ci為土體粘聚力（kPa）；φ i為土體內(nèi)摩擦角（°）；li=bi/cosθi為土體長(zhǎng)度（m）；bi為土條水平寬度（m）；θi為土條滑面傾角，滑面傾向與滑動(dòng)方向相同取正值，相反，取負(fù)值；Fs為安全系數(shù)。

將每個(gè)土條受到的力，對(duì)滑弧圓心取距，使其整體力矩平衡：

式中：di=Rsinθi為土條重心距滑弧圓心的水平距離（m）；R為滑弧半徑（m）；因Ni方向通過(guò)圓心，故法向反力Ni未在式⑵中體現(xiàn)。將式⑴代入式⑵可得瑞典條分法安全系數(shù)，計(jì)算公式如下：

在瑞典條分法中，僅滿足滑動(dòng)土體整體力矩平衡條件。因其忽略了條間力的影響，致使土條所受3 個(gè)力（Wi、Ni、Ti）形成的力三角形一般不閉合，不滿足靜力平衡條件。直觀體現(xiàn)為：土體重力Wi的切向力Twi不等于滑面以下土體對(duì)土條的反力Ti。

1.2 簡(jiǎn)化Bishop法

為使土條滿足靜力平衡條件，Bishop 法中除考慮瑞典條分法中受到的3 個(gè)作用力外，再考慮條間法向力Pi、Pi+1和切向力Hi、Hi+1的作用。在Wi、Ni、Ti、△Pi=Pi+1-Pi、△Hi=Hi+1-Hi作用下，可形成閉合的力多邊形。根據(jù)豎向平衡條件，可得：

將式⑴代入式⑷可得：

將每個(gè)土條受到的力，對(duì)滑弧圓心取距，使其整體力矩平衡。因Pi和Hi成對(duì)出現(xiàn)，大小相等，方向相反，對(duì)圓心力矩和為0，Ni通過(guò)圓心，也不產(chǎn)生力矩。只有重力Wi和滑面上的切向力Ti對(duì)圓心產(chǎn)生力矩且力矩之和為0，同式⑵所示。將式⑸代入式⑴求得Ti再代入式⑵化簡(jiǎn)后可得Bishop 邊坡穩(wěn)定性計(jì)算公式如下：

式⑹為Bishop 的穩(wěn)定性計(jì)算一般公式，公式中含有未知數(shù)△Hi，為能求解，進(jìn)一步假定條間切向力相等，即△Hi=0，則式⑹可化簡(jiǎn)為：

式⑺為簡(jiǎn)化Bishop 法計(jì)算公式，因參數(shù)mθ i中含F(xiàn)s，為隱式解，需迭代求解Fs。

簡(jiǎn)化Bishop 法在不考慮條間切向力和的前提下，滿足整體力矩平衡條件，滿足條塊靜力平衡，但不滿足條塊力矩平衡，滿足極限平衡條件。因假設(shè)條間存在法向力，得到的安全系數(shù)較瑞典條分法略高［2］。

式⑺中若考慮地下水、地表超載、地震等作用，則可變?yōu)槲墨I(xiàn)［1］附錄A.0.1 所示圓弧滑動(dòng)邊坡穩(wěn)定性計(jì)算公式。

2 錨桿（索）在邊坡穩(wěn)定性中的作用

上述公式計(jì)算中的土體邊坡的穩(wěn)定性只要是靠土體自身的抗滑力距與下滑力距對(duì)抗，從而得到邊坡的穩(wěn)定。若邊坡過(guò)陡，土體自身的抗滑力距將無(wú)法對(duì)抗下滑力距，則邊坡的安全儲(chǔ)備（安全系數(shù)）不夠，邊坡處于不穩(wěn)定或欠穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，需引入土工結(jié)構(gòu)增加抗滑力距或減少下滑力矩，從而使邊坡滿足一定的安全系數(shù)。

在理正巖土商用軟件穩(wěn)定性模塊中，對(duì)錨桿（索）在邊坡穩(wěn)定性中的貢獻(xiàn)均按增加抗滑力（距）考慮［3］，即：

式中：Fi為錨桿（索）作用力，取材料抗拉、錨桿（索）與土體和錨固體的抗拔力的小值（kN）；αji為錨桿（索）與水平面的夾角（讀）；Tti-1和Tti-2分別為錨桿（索）提供的切向抗力和法向抗力（kN）；β為錨桿（索）調(diào)整系數(shù)；λ為錨桿（索）法向力發(fā)揮系數(shù)；其余參數(shù)同上。

即將錨桿（索）的作用分解為兩個(gè)力：①與滑面相切的切向力Fti=Fi·cos（αji+θi），即Tti-1；②與滑面垂直的法向力Fni=Fi·sin（αji+θi），滑體滑動(dòng)時(shí)，該力產(chǎn)生沿著滑面切線方向的摩擦力Fni·tanφ，即Tti-2。由法向力產(chǎn)生的摩擦力存在考慮去發(fā)揮程度，乘以0～1 直接的一個(gè)折減系數(shù)λ，在《建筑基坑支護(hù)技術(shù)規(guī)程：JGJ 120—2012》［4］中，折減系數(shù)為λ=0.5；考慮錨桿（索）作用，則邊坡穩(wěn)定性計(jì)算公式變?yōu)槿缦拢?/p>

瑞典條分法：

簡(jiǎn)化Bishop法：

式中：sx為錨桿（索）水平間距（m）。

3 算例驗(yàn)證分析

3.1 理正軟件計(jì)算

某均質(zhì)土層邊坡，坡高8 m，采用1∶0.5放坡，土層重度18 kN/m3，內(nèi)摩擦角為8°，粘聚力為20 kPa，土層與錨固體摩阻力極限標(biāo)準(zhǔn)值為42 kPa，無(wú)地下水。如圖1所示。

圖1 算例計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Example Calculation Diagram （mm）

不考慮地震作用和地面超載作用，利用理正軟件計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 理正巖土邊坡穩(wěn)定性模塊計(jì)算結(jié)果Tab.1 Lizheng Geotechnical Slope Stability Module Calculation Results

因土條劃分的寬度影響會(huì)對(duì)邊坡穩(wěn)定性計(jì)算精度產(chǎn)生影響，為方便手算對(duì)比，建立統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，將軟件條分法的土體劃分信息列出，如表2所示。

表2 土條劃分信息Tab.2 Soil Bar Division Information

根據(jù)計(jì)算邊坡安全系數(shù)小于1.30，采用錨桿進(jìn)行處治，錨桿參數(shù)如表3及圖2所示。

表3 邊坡治理錨桿參數(shù)Tab.3 Slope Treatment Anchor Parameter

圖2 治理后邊坡計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Slope Calculation Diagram after Treatment（mm）

將錨桿相關(guān)參數(shù)輸入軟件后（為方便對(duì)比，仍采用治理前的滑弧進(jìn)行計(jì)算說(shuō)明，實(shí)際過(guò)程中加入錨桿后，最危險(xiǎn)滑弧將通過(guò)搜索獲得，未必為上述滑?。?，計(jì)算結(jié)果如表4、表5所示。

表4 治理后邊坡安全系數(shù)（理正軟件）Tab.4 Slope Safety Factor after Treatment（Lizheng Software）

表5 錨桿作用貢獻(xiàn)Tab.5 Contribution of Bolt Action

3.2 表格計(jì)算

為和方便理解瑞典條分法及Bishop 法的計(jì)算機(jī)理及驗(yàn)證式⑽和式⑾與軟件計(jì)算的差別，采用編制表格計(jì)算的方法對(duì)上述計(jì)算過(guò)程進(jìn)行解讀，具體如表6所示。

表6 瑞典條分法（治理前）Tab.6 Swedish Sectional Law（before Treatment）

由表6 可得邊坡安全系數(shù)Fs=（251.90+65.16）/343.53=0.922 9，與表1中瑞典條分法軟件計(jì)算結(jié)果一致。

因Bishop 法為隱式解，需進(jìn)行多次迭代后方可得出結(jié)果，首先假設(shè)Fs1=1.0，Bishop 法表格計(jì)算結(jié)果如表7、表8所示。

表7 簡(jiǎn)化Bishop法（治理前，F(xiàn)s=1.0）Tab.7 Simplified Bishop Method（before Treatment，F(xiàn)s=1.0）

表8 簡(jiǎn)化Bishop法（治理前，F(xiàn)s=0.915 6）Tab.8 Simplified Bishop Method（before Treatment，F(xiàn)s=1.0）

由表7 可得Fs2=317.852/343.533=0.925 2，與Fs1=1.0 相差較大，令Fs=0.925 2，再次進(jìn)行迭代。依此類推，令Fs=0.916 7 進(jìn)行迭代。令Fs=0.915 6 進(jìn)行迭代，如表8所示。

由表8 可得Fs5=314.505/343.533=0.915 5，與Fs4=0.915 6基本相當(dāng)。則迭代完畢，用Bishop法計(jì)算所得邊坡安全系數(shù)Fs=0.915，與表1 中Bishop 法軟件計(jì)算結(jié)果一致。

增加錨桿后，錨桿提供的抗力，根據(jù)式⑻、式⑼計(jì)算如下（見(jiàn)表9）：

表9 錨桿所提供的抗力Tab.9 The Resistance Provided by the Anchor Rod

F1=min（222，π×0.18×4.076×42=96.807）=96.807 kN

F2=min（222，π×0.18×5.295×42=125.759）=125.759 kN

F3=min（222，π×0.18×7.507×42=178.295）=178.295 kN

增加錨桿后，使用瑞典條分法計(jì)算邊坡安全系數(shù)為Fs=（251.90+65.16+116.433+16.427）/343.53=1.310，與表4中瑞典條分法軟件計(jì)算結(jié)果一致。

增加錨桿后，使用簡(jiǎn)化Bishop 法，利用迭代的方式計(jì)算邊坡安全系數(shù)如表10、表11所示。

表10 簡(jiǎn)化Bishop法（治理后，F(xiàn)s=1.312）Tab.10 Simplified Bishop Method（after Treatment，F(xiàn)s=1.312）

表11 簡(jiǎn)化Bishop法（治理后，F(xiàn)s=1.340）Tab.11 Simplified Bishop Method（after Treatment，F(xiàn)s=1.340）

首先令Fs=1.0，其計(jì)算計(jì)算數(shù)據(jù)與表7 相同。通過(guò)表7 可得，治理后，邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)為：Fs2=（317.852+116.433+16.427）/343.533=1.312，與Fs1=1.0相差較大，令Fs=1.312，再次進(jìn)行迭代，如表10所示。

通過(guò)表10 可得，F(xiàn)s3=（326.928+116.433+16.427）/343.533=1.338，與Fs2=1.312 相差較大，令Fs=1.338，再次進(jìn)行迭代。依此類推，令Fs=1.340進(jìn)行迭代，如表11所示。

通過(guò)表11 可得，F(xiàn)s5=（327.560+116.433+16.427）/343.533=1.340，與Fs4=1.340 基本相當(dāng)。則迭代完畢，用Bishop 法計(jì)算所得邊坡安全系數(shù)Fs=1.340，與表4中Bishop法軟件計(jì)算結(jié)果一致。

3.3 計(jì)算結(jié)果討論

⑴表格計(jì)算結(jié)果與理正軟件的計(jì)算結(jié)果一致，從而進(jìn)一步證明在理正軟件計(jì)算中，對(duì)錨桿作用的貢獻(xiàn)如式⑽和式⑾所示；

⑵瑞典條分法的安全系數(shù)求解為顯示解，可以一次求得結(jié)果，而簡(jiǎn)化Bishop 法中為隱式解，需多次迭代方可得出結(jié)果；

⑶瑞典條分法和簡(jiǎn)化Bishop 法中對(duì)下滑力的處理方法為相同的，其值不隨安全系數(shù)的變化而變化，均為343.5 kN；

⑷在簡(jiǎn)化Bishop 法中，安全系數(shù)與抗滑力成正比關(guān)系，即安全系數(shù)越大，抗力值越大；在本算例中，安全系數(shù)Fs與抗力值得對(duì)比關(guān)系如表12所示。

表12 簡(jiǎn)化Bishop法Fs與抗滑力的關(guān)系Tab.12 Relationship between Simplified Bishop Method Fs and Anti-sliding Force

⑸錨桿的作用貢獻(xiàn)，在瑞典條分法和簡(jiǎn)化Bishop法中均將其直接作為抗力，加到穩(wěn)定性計(jì)算的分子中進(jìn)行處理，其值為定值，不隨安全系數(shù)變化而變化。而在Bishop 法中，抗力與安全系數(shù)存在正比關(guān)系，所以軟件的處理方式是相對(duì)保守的做法。

⑹據(jù)表5 和表9 中，計(jì)算出每延米錨固段提供的抗力如表13所示。

表13 每延米錨固段提供的抗力Tab.13 The Resistance Provided by the Anchorage Section Per Meter

從表13中可發(fā)現(xiàn)，邊坡下排錨桿與滑動(dòng)面的夾角較上排錨桿小。隨之錨桿與滑動(dòng)面夾角的增大，每延米錨桿能提供的錨固力將大幅度減少。因此實(shí)際施工過(guò)程中，為保障錨桿貢獻(xiàn)最大，錨桿與滑動(dòng)面的夾角應(yīng)盡可能減少。

4 是敵是我

所謂敵軍即指荷載，我軍為抗力，某個(gè)力（力矩）作為抗力還是作為負(fù)的荷載，結(jié)果是完全不同的。一般來(lái)講，由于規(guī)定的安全系數(shù)大于1.0，所以荷載的權(quán)更重一些。例如毛澤東的戰(zhàn)略思想，就是“集中優(yōu)勢(shì)兵力，各個(gè)殲滅敵人”，在這樣的殲滅戰(zhàn)中，往往要求我軍人數(shù)為敵軍的數(shù)倍，這個(gè)“數(shù)倍”就是安全系數(shù)［5］。

在上述的計(jì)算和推導(dǎo)過(guò)程中（理正軟件的計(jì)算過(guò)程），對(duì)錨桿的貢獻(xiàn)作用均是簡(jiǎn)單直接的當(dāng)做抗力，直接加到分子中，這種處理方式顯得有點(diǎn)簡(jiǎn)單粗暴了，但是安全的，具體分析如下：

⑴在簡(jiǎn)化Bishop 法的推導(dǎo)過(guò)程中，每個(gè)土條的力多邊形是閉合的，理正軟件的處理方式顯然未將錨桿的作用力融合到力多邊形中，導(dǎo)致力多邊形不閉合，即加入錨桿后，土條的力多邊形不閉合。

⑵由于不確定性和可能存在風(fēng)險(xiǎn)，巖土工程需要安全系數(shù)。通過(guò)區(qū)分荷載與抗力，了解和確定工程結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的安全儲(chǔ)備，規(guī)定抗力與荷載二者的比值，保證工程的可靠性與安全性。如果問(wèn)題的有關(guān)作用都是準(zhǔn)確可知的；或者兩個(gè)作用具有同樣的邊界條件，采用相同的計(jì)算參數(shù)與計(jì)算方法，數(shù)值相等，方向相反，二者是可以相互抵消的，就無(wú)需區(qū)分荷載與抗力，也無(wú)需進(jìn)行穩(wěn)定性分析［5］。在錨桿（索）邊坡工程中，對(duì)于錨桿（索）均需要通過(guò)驗(yàn)收試驗(yàn)來(lái)確定其是否滿足設(shè)計(jì)要求，其值同重力一樣是準(zhǔn)確可知的［6］。因此邊坡穩(wěn)定性計(jì)算找那個(gè)錨桿（索）的切向分量應(yīng)該作為負(fù)荷載在分母扣除，而不是放在分子上作為抗力。

⑶考慮到土條力多邊形的閉合及敵我關(guān)系，含錨桿（索）的法穩(wěn)定性計(jì)算公式應(yīng)調(diào)整為：瑞典條分法：

簡(jiǎn)化Bishop法

式⒀與邊坡鑒定與《建筑邊坡工程鑒定與加固技術(shù)規(guī)范：GB 50843—2013》［7］附錄A原有支護(hù)結(jié)構(gòu)有效抗力作用下的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算方法相類似；

⑷按式⑿、式⒀計(jì)算，在本文算例，Bishop 法計(jì)算的安全系數(shù)將有大幅度的提高。但關(guān)于錨桿切向分力的處理方式，不同的規(guī)范有不同的處理方式，如文獻(xiàn)［4］就將錨桿的切向分力作為抗力放到分子上處理［8］，如式⑻所示。

⑸ 不同的規(guī)范對(duì)錨桿的貢獻(xiàn)有不同的處理方式，工程設(shè)計(jì)人員需要明確其計(jì)算原理。然后在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，采用合適的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算［9-10］。

5 結(jié)論

⑴本文基于瑞典條分法及簡(jiǎn)化Bishop邊坡穩(wěn)定性分析方法，推導(dǎo)出含錨桿（索）的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算公式。

⑵通過(guò)編制表格進(jìn)行對(duì)邊坡穩(wěn)定性中的抗力、下滑力及錨桿（索）作用進(jìn)行計(jì)算分析，對(duì)邊坡設(shè)計(jì)初學(xué)者理解邊坡穩(wěn)定性計(jì)算機(jī)理具有一定的參考意義。

⑶分析錨桿（索）作用在邊坡穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)，認(rèn)為切向力應(yīng)作為負(fù)荷載放到分母中扣除，簡(jiǎn)化Bishop法中，錨桿的法向力應(yīng)作為抗力，放在分子上，與重力一同進(jìn)行計(jì)算，保證土條力多邊形的閉合。