摘 要：作為“問題（任務）鏈”的基礎，“境脈”是“情境”與“脈絡”的合并，即通過整體把握知識的相關情境，以一定的脈絡串聯(lián)整個課堂教學的情境，從而有效化解傳統(tǒng)教學情境創(chuàng)設的弊端。大概念統(tǒng)攝、關聯(lián)、遷移的本質(zhì)特征能為境脈的搭建提供有利的線索與依據(jù)。在數(shù)學教學中，可以大概念為認知基點把握境脈，以大概念為知識節(jié)點規(guī)劃境脈，最終，以大概念為思維生長點設計境脈。

關鍵詞：高中數(shù)學；大概念；情境；境脈；平面向量基本定理

雖然“核心素養(yǎng)是通過情境的實踐發(fā)展起來的”^［1］觀點已經(jīng)成為共識，但在實際教學中，情境的創(chuàng)設普遍存在形式單一、內(nèi)容碎片化以及為情境而情境等問題。于是，學術界提出了“境脈”的概念。顧名思義，就是“情境”與“脈絡”的合并^［2］，即通過整體把握知識的相關情境，以一定的脈絡串聯(lián)整個課堂教學的情境，從而有效化解傳統(tǒng)教學情境創(chuàng)設的弊端。因為情境通常是問題（任務）的背景，所以，“境脈”通常是“問題（任務）鏈”^［3］的基礎。

那么，情境的脈絡如何搭建？這就離不開大概念的支持。大概念又稱學科大觀念，是指從學科內(nèi)容中抽象概括出來的具有廣泛聯(lián)系整合作用并能夠廣泛遷移應用的概念或觀點^［4］。它處于學科的中心位置，對學科其他內(nèi)容具有統(tǒng)攝力、關聯(lián)性，集中反映學科的本質(zhì)，體現(xiàn)學科的思想方法（也即學科專家的思維方式），凸顯學科的價值，兼具認識論、方法論和價值論三重意義。^［5］大概念統(tǒng)攝、關聯(lián)、遷移的本質(zhì)特征能為境脈的搭建提供有利的線索與依據(jù)。下面以“平面向量基本定理”為例，談談筆者對此的看法。

一、境脈的把握：以大概念為認知基點

境脈的創(chuàng)設不是“無本之木、無源之水”，首先需要解決的是知識的本原性問題，即對學習內(nèi)容的充分理解和本質(zhì)把握。這就要求教師對學習內(nèi)容有全面、深刻（關聯(lián)性、統(tǒng)攝性）的認知。大概念源于學科中的各種概念、原理以及解釋體系，是知識和技能的抽象與提煉，是思想方法的整合，是核心素養(yǎng)的表征，是學生在遺忘大部分細節(jié)后仍然能保留下來的重要理解。^［6］毫不夸張地說，大概念就是學習內(nèi)容的高度凝練。因此，以大概念為認知基點，有助于教師擴大對學習內(nèi)容認知的視域，提升對學習內(nèi)容認知的高度。

很多教師對平面向量基本定理缺乏全面而深刻的認知。比如，只知道平面中任意的向量都能夠用兩個不共線的向量來表示，平面向量基本定理為平面向量（乃至平面上的點）的坐標表示做了鋪墊。對此，可以大概念為認知基點來豐富、深化認識。首先，思考“學什么”的大概念。平面向量基本定理本質(zhì)上就是向量的線性運算，是由“向量是一種運算”這一大概念衍生出來的。其次，思考“為什么學”的大概念?！捌矫嬷腥我獾南蛄慷寄軌蛴脙蓚€不共線的向量來表示”背后體現(xiàn)的是“用有限來表示無限”這一大概念。擴大視域來看，“用有限來表示無限”是自然的選擇，比如，紅、黃、藍三種顏色構成所有的色彩，物質(zhì)幾乎都是由原子、分子、離子構成的，動植物都是由細胞構成的等?！坝糜邢迊肀硎緹o限”也是人類的生活追求，比如，用若干尺碼來表示所有衣服的大小，用若干面值來表示所有貨幣的金額，用7個音符來表示所有的樂曲，用26個字母來組成所有的單詞，用不多的筆畫來組成各種漢字。“用有限來表示無限”更是數(shù)學發(fā)展的基本訴求，比如，用10個阿拉伯數(shù)字來表示所有的數(shù)，用銳角三角函數(shù)來表示任意角三角函數(shù)，用圓心和半徑兩個要素來表示任意圓等，甚至哥德巴赫猜想、四色定理等著名數(shù)學難題研究的也是“用有限來表示無限”。感悟這兩個大概念是“平面向量基本定理”重要的教學目標，或者說育人價值。因此，應該圍繞這兩個大概念創(chuàng)設“平面向量基本定理”教學的境脈。

二、境脈的規(guī)劃：以大概念為知識節(jié)點

數(shù)學有著嚴謹?shù)倪壿嫿Y構體系，由于這個體系比較抽象和枯燥，很難讓學生理解和掌握。這就需要通過創(chuàng)設境脈，促使學生認知結構中的有關知識建立起實質(zhì)性的和非人為的聯(lián)系，從而將知識的邏輯結構轉化為認知的發(fā)展（生長）脈絡。大概念居于學科中心，具有超越當下和自身的持久價值和遷移價值。因此，大概念可以作為建立知識之間聯(lián)系的關鍵節(jié)點，通過打破數(shù)學知識的原有邊界，實現(xiàn)對數(shù)學知識的優(yōu)化重組，從而打造出一個聯(lián)系緊密的教學境脈。

平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)與驗證是教學的重難點。通常的做法是，創(chuàng)設“力的分解”物理情境，通過類比聯(lián)想得到平面向量基本定理。但是，這樣做實際上并不嚴密。首先，“力的分解”往往指向正交分解，而平面向量基本定理指向的是任意分解；其次，由“力的分解”很難說明平面向量基本定理中參數(shù)λ₁與λ₂的存在性與唯一性。也就是說，單憑“力的分解”這個情境，很難讓學生體驗到平面向量基本定理發(fā)現(xiàn)與驗證的完整過程。因此，教學中應該以“向量是一種運算”“用有限來表示無限”這兩個大概念為節(jié)點，立足平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)與驗證，創(chuàng)設多個相互關聯(lián)的情境，形成一個完整的境脈。在“發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，創(chuàng)設現(xiàn)實情境與數(shù)學情境，分別讓學生體會“用有限表示無限”是自然的選擇、生活的追求與數(shù)學的訴求，從而認識定理的價值；在“驗證”環(huán)節(jié)，創(chuàng)設數(shù)學實驗情境和數(shù)學運算情境，分別讓學生體會“向量作為線性運算”的幾何意義與運算性質(zhì)，從而驗證定理的存在性、唯一性、任意性。

三、境脈的設計：以大概念為思維生長點

依循境脈中隱含的知識脈絡，期望學生可以像學科專家那樣去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，實現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”。專家思維的一個重要特征就是，其調(diào)動的認知結構中的知識是靠大概念組織起來的——這反映的是學科專家對學科理解的廣度與深度。因此，以大概念為思維生長點來創(chuàng)設境脈，可以把學習內(nèi)容、學習環(huán)境、學習條件、學習者自身狀態(tài)等構成境脈的諸多要素有機地融合在一起，從而讓學習者獲得更有意義的學習體驗。

以“向量是一種運算”“用有限來表示無限”這兩個大概念為思維生長點，可以創(chuàng)設如下引導學生發(fā)現(xiàn)與驗證平面向量基本定理的境脈：

情境1：如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b。

（1）用a、b表示向量AC、BD；

（2）若M是BC邊的中點，用a、b表示向量AM；

（3）若N是CD邊的一個三等分點，用a、b表示向量AN；

（4）若P是直線CD上的任意一點，能否用a、b表示向量AP？

（5）若P是平面ABCD內(nèi)的任意一點，能否用用a、b表示向量AP？

你有什么新的發(fā)現(xiàn)？你認為這個發(fā)現(xiàn)有什么價值？

情境2：公元前500年左右，希臘出現(xiàn)了一位哲學家，名叫德謨克利特。他是首個對自然界萬物的構成提出假想的人。他提出任何事物都是由無限不可分割的“原子”構成。隨著對微觀世界的了解，發(fā)現(xiàn)原子的世界居然別有洞天！原子可再分：原子由原子核和在其周圍的電子構成，原子核由質(zhì)子和中子構成，質(zhì)子和中子由夸克構成。目前研究發(fā)現(xiàn)，夸克是不可再分的粒子。原來夸克才是躲在原子核里的羞姑娘，夸克和電子才是構成物質(zhì)的基本。

“用有限表示無限”是自然界的選擇，你還能舉出其他的例子嗎？

情境3：鞋碼，通常也稱鞋號，是表示鞋大小和肥瘦的一種標志。它是一個地區(qū)、一個國家腳型特點和腳型規(guī)律的反映。世界各國采用的鞋碼標準并不一致，但一般都包含長、寬兩個測量量。長是指穿者腳的長度，而且一般都設置約12個不同的尺碼來滿足所有正常人的需求，例如表1所示的歐美男鞋鞋碼標準。

“用有限表示無限”也是生活的追求，你還能舉出其他的例子嗎？

情境4：請在白紙上，以直尺和筆為工具，驗證“平面中任意一個向量都能用兩個不共

線的向量來表示”這一結論。請設計實驗方案，并說明實驗的合理性與科學性。

情境5：能否利用幾何畫板或GeoGebra來進一步驗證你的猜想。

情境6：對于a=λ₁e₁+λ₂e₂，如何借助運算來確認λ₁、λ₂的唯一性？如果改變e₁、e₂的

方向，平面中的任意向量a還能夠用e₁、e₂表示嗎？如何通過運算來證明？

情境7：在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b。

（1）若P是線段BD上的一個動點，用a、b表示向量AP；

（2）若P是線段BD外的一個動點，用a、b表示向量AP。

你有什么新的發(fā)現(xiàn)？能否利用向量運算來驗證？

情境1是數(shù)學情境，改編自人教A版高中數(shù)學教材中的例題。經(jīng)過之前向量線性運算（加法、減法和數(shù)乘）的學習，學生已具備解決第（1）、第（2）問的經(jīng)驗。通過從特殊到一般的問題設計，引導學生獨立思考、大膽猜想，初步感知、發(fā)現(xiàn)“對于平面中三個共起點的向量，其中一個向量能夠用另外兩個向量來表示”這一結論，展現(xiàn)學生對平面向量基本定理最樸素的理解。通過對定理價值的思考，初步體悟“用有限來表示無限”的數(shù)學思想。

情境2和情境3分別是科學情境和生活情境，意在讓學生體會“用有限來表示無限”的自然意義和生活價值，感受數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，深度激發(fā)平面向量基本定理的學習動機。

情境4和情境5是數(shù)學（實驗）情境，意在通過實驗操作，引導學生認識到平面向量基本定理的運算背景是平行四邊形法則，物理背景是力的分解，并促使學生將“平面中任意一個向量都能夠用兩個不共線的向量來表示”抽象為“a=λ₁e₁+λ₂e₂”，從而將對定理的認識從模糊的感性上升到明晰的理性。

情境6和情境7是數(shù)學（運算）情境。前者引導學生通過合作學習，對平面向量基本定理的存在性、唯一性、任意性進行嚴格證明，展現(xiàn)數(shù)學推理的嚴謹性，讓學生感悟“向量是一種運算”這一大概念。后者組織學生探究平面向量共線定理，經(jīng)歷從特殊到一般再到特殊的專家思維過程，感受平面向量基本定理在研究平面位置關系中的作用。

實踐哲學認識論有一個重要的觀點：當認識用于指導人們的實踐時，需要經(jīng)歷一個再情境化、再具體化的過程。在這個過程中，境脈不但貫穿始終，而且實現(xiàn)了飛躍式發(fā)展。因此，境脈的創(chuàng)設不是一成不變的，而要在大概念的引領下不斷地“進化”，從而為后續(xù)學習的開展奠定基礎。

參考文獻：

［1］鐘啟泉.基于核心素養(yǎng)的課程發(fā)展：挑戰(zhàn)與課題［J］.全球教育展望，2016（1）：3-25.

［2］黎加厚.創(chuàng)感時代的境脈思維［J］.中國現(xiàn)代教育裝備，2009（10）：3-4.

［3］唐恒鈞，張維忠.數(shù)學問題鏈教學的內(nèi)涵與特征［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）：8-12.

［4］華志遠.落實“大概念”教學理念——對高中數(shù)學新教材中三角函數(shù)定義變更的思考與教學［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）：72-75.

［5］馬燕青，呂增鋒.圍繞學科大概念備好數(shù)學課［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（3）：27-30.

［6］宗德柱．大概念教學的意義、困境與實現(xiàn)路徑［J］．當代教育科學，2019（5）：25-28.