周宗杰 周鑫 濮偉宇

摘 要：“解析法”與“幾何法”是解決解析幾何問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)方法，也是解決解析幾何問(wèn)題的通性通法.文章結(jié)合2023年高考天津卷第18題對(duì)“解析法”與“幾何法”在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行分析，為我們的教學(xué)提供借鑒與參考.

關(guān)鍵詞：解析幾何；解析法；幾何法；2023年天津卷

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0069-03

“解析法”與“幾何法”是解決解析幾何問(wèn)題必不可少的重要數(shù)學(xué)方法，也是解決解析幾何問(wèn)題的通性通法，如果學(xué)生能夠?qū)@兩種方法熟練掌握，那么對(duì)于大部分解析幾何問(wèn)題都會(huì)迎刃而解.下面就結(jié)合2023年高考天津卷第18題對(duì)“解析法”與“幾何法”在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行分析，為我們的教學(xué)提供借鑒與參考，以期起到拋磚引玉的作用.

1 原題再現(xiàn)

（1）求橢圓方程及其離心率；

（2）已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線A2P交y軸于點(diǎn)Q，若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍，求直線A2P的方程．

2 解法分析

對(duì)于解析幾何問(wèn)題通?？梢詮摹敖馕觥焙汀皫缀巍眱蓚€(gè)角度進(jìn)行分析.從解析法來(lái)處理問(wèn)題，可以選擇“設(shè)點(diǎn)”為突破口，或者“設(shè)線”為突破口，下面就從“設(shè)點(diǎn)”和“設(shè)線”的角度，用解析法來(lái)處理該問(wèn)題.

解法1 解析法——“設(shè)點(diǎn)”.

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），

解法1從設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)為入手點(diǎn)，直接翻譯題目所給信息S△A1PQ=2S△A2FP，同時(shí)結(jié)合三角形面積公式，獲得關(guān)于x0的方程，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，最終求出直線A2P的方程.

解法2 解析法——“設(shè)線”.

設(shè)直線A2P的方程為y=k（x-2），令x=0，可得yQ=-2k，即點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（0，-2k）.

（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0.

解法2從設(shè)直線A2P的方程入手，由于該直線A2P與橢圓恒有一個(gè)交點(diǎn)A2（2，0），因此考慮聯(lián)立直線A2P與橢圓的方程，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，則xA2=2必為該方程的一解，由此結(jié)合韋達(dá)定理可以求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP，進(jìn)而結(jié)合三角形面積公式，直接翻譯S△A1PQ=2S△A2FP，獲得關(guān)于斜率k的方程，解得斜率，進(jìn)而寫(xiě)出直線A2P方程.

“解析幾何”問(wèn)題本質(zhì)上仍然是“幾何”問(wèn)題，“解析”只是解決“幾何”問(wèn)題的方法，因此很多情況下我們不妨返璞歸真，從幾何的角度來(lái)分析問(wèn)題，用“幾何法”來(lái)解決問(wèn)題.

解法3 幾何法.

即S△A2A1P=2S△A1PQ.

將△A1A2P與△A1QP看成以A2P和QP為底的三角形，則它們的高相同，結(jié)合S△A2A1P=2S△A1PQ，可知A2P=2QP.

解法3從幾何關(guān)系S△A1PQ=2S△A2FP出發(fā)，并結(jié)合橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行分析，獲得A2P與PQ的長(zhǎng)度關(guān)系A(chǔ)2P=2QP，接下來(lái)通過(guò)分類(lèi)討論來(lái)處理問(wèn)題，獲得問(wèn)題的解.

3追根溯源

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求直線l的方程.

本題中的直線l恒過(guò)定點(diǎn)F（1，0），該點(diǎn)是橢圓C的焦點(diǎn)，不在橢圓上.因此如果將直線l與橢圓C聯(lián)立，消掉y（或x），得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，該方程的兩個(gè)解均不易求出. 如果采用引例解法1和解法2處理該題，運(yùn)算量顯然比較大，而且不易解決.

由韋達(dá)定理可得

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)比引例和本題的解法可以發(fā)現(xiàn)，兩題的題干信息十分相似，在解決問(wèn)題的方法上也有一定的可借鑒性，但是，由于細(xì)微的差別，導(dǎo)致同一種方法在解決這兩個(gè)問(wèn)題時(shí)所面對(duì)的運(yùn)算量是不同的，這就要求我們要善于開(kāi)展數(shù)學(xué)變式教學(xué)，組織學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，關(guān)注問(wèn)題處理的通性通法和不同問(wèn)題的細(xì)微差別，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和運(yùn)算素養(yǎng)［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 周宗杰，張建明.例談數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力的培養(yǎng)：以2023年北京卷第19題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2023（05）：63-65.