李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué),廣東 中山 528454)

求曲線的軌跡方程問(wèn)題是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題(求曲線軌跡方程問(wèn)題和根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì))之一.求軌跡方程的方法很多[1],相對(duì)比較容易掌握,本文不再探討求軌跡方程的方法.在求軌跡方程時(shí),同學(xué)們面對(duì)的難點(diǎn)是軌跡方程中的變量取值范圍的確定,即軌跡方程的純粹性,這需要我們?nèi)矫?、?xì)致地考慮問(wèn)題.本文探討此類問(wèn)題的常見(jiàn)思考策略.

1 根據(jù)代數(shù)式、方程本身的意義或范圍確定軌跡的范圍

求軌跡方程時(shí)要考慮曲線本身的范圍或代數(shù)式的意義(比如斜率公式的分母不能為零).

為保證斜率存在,則x≠±2.

解析設(shè)M(x,y),P(x,y0),點(diǎn)P在橢圓C上,

整理,得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112.

由于點(diǎn)P在橢圓C上,故x∈[-4,4].

于是點(diǎn)M的軌跡方程為

(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,x∈[-4,4].

當(dāng)λ≥1時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓.

2 根據(jù)圖形中的特殊情形(特殊點(diǎn)、特殊位置)確定軌跡的范圍

在求軌跡方程時(shí),需要考慮幾何圖形中的一些特殊情形,比如三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線、雙曲線的漸近線對(duì)雙曲線的影響等.

例3 已知△ABC的頂點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),若頂點(diǎn)C在拋物線y2=6x上移動(dòng),求△ABC的重心的軌跡方程.

因?yàn)辄c(diǎn)C在曲線y2=6x上,所以有(3y)2=6×3x,即y2=2x.

因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不能共線,所以y≠0.

故△ABC的重心的軌跡方程為y2=2x(y≠0).

點(diǎn)評(píng)本題是典型的相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,題目中三點(diǎn)A,B,C要構(gòu)成三角形,因此三個(gè)頂點(diǎn)不能共線,這就對(duì)軌跡方程產(chǎn)生范圍.

例4 圓x2+y2=4,A(-1,0),B(1,0),動(dòng)拋物線過(guò)A,B兩點(diǎn),且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為_(kāi)___.

解析根據(jù)拋物線的定義,焦點(diǎn)F到A和B的距離之和等于A和B分別到準(zhǔn)線的距離和.如圖1,點(diǎn)A和B到準(zhǔn)線的距離分別為|AM|,|BN|,點(diǎn)O到準(zhǔn)線的距離為|OP|,由梯形的中位線知|AM|+|BN|=2|OP|=2r=4.

圖1 例4解析圖

故|FA|+|FB|=4.

由于點(diǎn)P(x1,y1),Q(x1,-y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P為左、右頂點(diǎn)A1,A2時(shí),P,Q重合,此時(shí)直線A1P與A2Q交點(diǎn)也為左、右頂點(diǎn)A1,A2,不符合題意;

①

下面根據(jù)求解過(guò)程確定軌跡方程的范圍:

3 根據(jù)幾何圖形的特征確定軌跡的范圍

一些軌跡問(wèn)題中,由于題中幾何圖形的特征,軌跡往往被限制在某部分,這時(shí)需要先作出題中的幾何圖形,然后細(xì)致觀察軌跡的大概分布情況.

解析設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點(diǎn)R(x,y),則

①-②,得

(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.

由題意知x1≠x2,則上式兩端同除以x1-x2,有

⑤

x+4y=0.

顯然中點(diǎn)在橢圓內(nèi),故所求軌跡方程為

例7求與⊙C1:x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切的圓的圓心M的軌跡方程.

解析設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,因?yàn)椤袽與⊙C1,⊙C2都外切,所以|MC1|=r+1,|MC2|=r+2.

所以|MC2|-|MC1|=1.

所以所求的雙曲線的方程為

圖2 動(dòng)圓外切圖

例8已知圓F1:x2+y2+4x=0,圓F2:x2+y2-4x-12=0,一動(dòng)圓與圓F1和圓F2同時(shí)內(nèi)切.求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

錯(cuò)解由圓F1:x2+y2+4x=0,得

(x+2)2+y2=4.

可知F1(-2,0),其半徑為2.

由圓F2:x2+y2-4x-12=0,得

(x-2)2+y2=16,

可知F2(2,0),其半徑為4.

設(shè)動(dòng)圓半徑為r,

圓M與圓F1和圓F2同時(shí)內(nèi)切,

故|MF1|=r-2,|MF1|=r-4.

于是|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=4.

上述解法是不完整的,原因是沒(méi)有結(jié)合具體圖形的位置考慮,需要畫出圖形,仔細(xì)觀察求解.

解析如圖3,需要分兩種情形討論:

圖3 動(dòng)圓內(nèi)切和外切圖

由圓F1:x2+y2+4x=0,得(x+2)2+y2=4,

可知F1(-2,0),其半徑為2.

由圓F2:x2+y2-4x-12=0,得

(x-2)2+y2=16,

可知F2(2,0),其半徑為4.

設(shè)動(dòng)圓半徑為r,

(1)當(dāng)動(dòng)圓M在圓F1,F2外面時(shí):

|MF1|=r-2,|MF1|=r-4,

故|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=4.

(2)當(dāng)動(dòng)圓M在圓F1,F2里面時(shí):

|MF1|=2-r,|MF1|=4-r,

故|MF2|-|MF1|=2<|F1F2|=4.

綜上,動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為

4 結(jié)束語(yǔ)

在求解軌跡問(wèn)題時(shí),需要考慮軌跡方程的純粹性和完備性,這可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和思維的嚴(yán)密性.對(duì)于軌跡方程的純粹性,要結(jié)合代數(shù)式、方程本身的意義或范圍、圖形中的特殊情形(特殊點(diǎn)、特殊位置)和幾何圖形的特征來(lái)細(xì)致考慮.