李紅偉 姜付錦

(1.杭州市余杭第一中學(xué),浙江 杭州 311100;2.黃陂一中試題研究中心,湖北 武漢 430300)

數(shù)值模擬技術(shù)起源于西方發(fā)達(dá)資本主義國(guó)家,全世界主要有以下四個(gè)數(shù)學(xué)軟件運(yùn)用得最多,它們分別是Mathematica(美國(guó))、Maple(加拿大)、Matlab(美國(guó))、Mathcad(美國(guó)).主要是用來(lái)做工程計(jì)算,普遍應(yīng)用于機(jī)器制造、建筑設(shè)計(jì)等領(lǐng)域.當(dāng)下高中物理中有一類(lèi)試題,可以用定性或半定量的方法來(lái)分析它,但是總覺(jué)得分析得不是很到位.若要定量研究則需要解高階微分方程或方程組,對(duì)一線(xiàn)物理老師來(lái)講有一些困難,但是我們可以用上面提到的數(shù)值模擬軟件來(lái)分析這些問(wèn)題,還可以讓結(jié)果與過(guò)程可視化.

1 題目

如圖1所示的電路中,三個(gè)相同的燈泡a、b、c和電感L1、L2與直流電源連接,電感的電阻忽略不計(jì).電鍵K從閉合狀態(tài)突然斷開(kāi)時(shí),下列判斷正確的有( ).

圖1 電路圖

A.a先變亮,然后逐漸變暗

B.b先變亮.然后逐漸變暗

C.c先變亮,然后逐漸變暗

D.b、c都逐漸變暗

1.1 定性分析

設(shè)電鍵S閉合時(shí)每個(gè)燈泡流過(guò)的電流為I,則流過(guò)電感L1的電流為2I,流過(guò)電感L2的電流為I.斷開(kāi)電鍵S的瞬間,通過(guò)電感上的電流不會(huì)發(fā)生突變,L1中的電流從2I減小到零,L2中的電流從I減小到零,b,c中的電流都從I減小到零,a中的電流從2I減小到零,故b,c逐漸變暗,a先亮一下后逐漸變暗,選項(xiàng)AD正確[1-2].

點(diǎn)評(píng)通電自感和斷電自感是較常見(jiàn)的現(xiàn)象,判斷在開(kāi)關(guān)通、斷的極短時(shí)間內(nèi)的電流的變化是難點(diǎn)所在.關(guān)鍵是要掌握電流變化的一般規(guī)律:電感線(xiàn)圈中的電流不能突變,因?yàn)樽愿须妱?dòng)勢(shì)總是在阻礙電流的變化,根據(jù)電流的變化規(guī)律,就可以順利地解決燈泡亮度變化的問(wèn)題.

1.2 一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)

假設(shè)電鍵S閉合時(shí)每個(gè)燈泡流過(guò)的電流為I,則流過(guò)電感L1的電流為2I,流過(guò)電感L2的電流為I,也就是斷開(kāi)電鍵S后兩線(xiàn)圈感應(yīng)電流的最大值.S斷開(kāi)瞬間,線(xiàn)圈L1、L2都產(chǎn)生自感電流,按照基爾霍夫定律來(lái)分析,流過(guò)a的電流最大值是5I/2,方向向上,流過(guò)b的電流最大值為I/2,方向向下,流過(guò)c的電流最大值為2I,方向向下,在此基礎(chǔ)上,各燈泡的電流都減弱,則結(jié)果應(yīng)是:a先變亮,然后逐漸變暗;b逐漸變暗;c先變亮,然后逐漸變暗,答案為AC.文中既沒(méi)有相應(yīng)的微分方程求解,也沒(méi)有認(rèn)識(shí)到電感線(xiàn)圈中的感應(yīng)電流不能突變[3],筆者認(rèn)為這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的,在下文會(huì)對(duì)其進(jìn)行理論分析.

2 定量分析

設(shè)S斷開(kāi)后某時(shí)刻L1中的電流為I1,L2中的電流為I2,三個(gè)燈泡的電阻均為R,電感線(xiàn)圈的電感分別為L(zhǎng)1、L2,則根據(jù)基爾霍夫定律可知[4]

由部分電路歐姆定律可知

電路的初始值狀態(tài)為I1(0)=2I,I2(0)=I

2.1 利用Maple13解方程組

利用Maple13強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算能力來(lái)求解上述方程很方便,如圖2所示.

圖2 用Maple13 求解方程組

方程組的解為

2.2 數(shù)值模擬

令L1=2 H,L2=1 H,R=10 Ω,I=1 A,數(shù)值模擬如圖3所示.

圖3 用Maple 13數(shù)值模擬

由圖3可知a中的電流先變大后逐漸變小,b,c中電流逐漸變小,答案AD正確.還可以知道b中的電流比c中的大,這是因?yàn)楫?dāng)電流變化時(shí)c所在支路中的電感有感抗.

2.3 拓展研究

研究電鍵S閉合后的三個(gè)燈泡中電流的變化規(guī)律,設(shè)電源的電動(dòng)勢(shì)為E,內(nèi)阻為r,三個(gè)燈泡中的電流分別為I1、I2、I3,根據(jù)基爾霍夫定律有

令L1=L2=1H,R=r=1Ω,E=1V,利用Maple13解方程和數(shù)值模擬如圖4所示.

圖4 Maple13解方程和數(shù)值模擬

由圖4可知,a的電流逐漸變小,b,c的電流逐漸變大,最后三個(gè)燈泡一樣亮.還可以知道b中的電流比c中的大,這是因?yàn)楫?dāng)電流變化時(shí)c所在支路中的電感有感抗.

2.4 電感、電阻和電容在電路中作用

只有電阻的單棒或雙棒模型規(guī)律是以e為底的指數(shù)函數(shù),達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間理論是無(wú)窮大,在設(shè)定比較小的數(shù)據(jù)時(shí),物理規(guī)律很可能不自洽,所以在命題時(shí)最好用字母來(lái)表示.電磁感應(yīng)電路中電阻和電感是兩種非常重要的元件,電阻的作用類(lèi)似力學(xué)中摩擦力起耗散作用;電感的作用類(lèi)似力學(xué)中的彈簧,起儲(chǔ)存或釋放能量的作用;若兩者都沒(méi)有,則題目容易出問(wèn)題;若電路中只有電感,則電路中電流是簡(jiǎn)諧振動(dòng);若是電阻和電感組合,則電路中電流是阻尼振蕩.電容器在電磁感應(yīng)中的作用也類(lèi)似彈簧,電容必須與電阻或電感搭配起來(lái),否則電路不能工作,其本質(zhì)類(lèi)似一個(gè)質(zhì)量為C(BL)2的物體與真實(shí)的物體通過(guò)輕繩連接后作用過(guò)程,電容器上的電場(chǎng)能類(lèi)似這個(gè)物體上的動(dòng)能;若電路中有電阻沒(méi)有電感,則電容器充電完成或放電完成所需時(shí)間理論上是無(wú)窮大.

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究不難發(fā)現(xiàn),由圖3可知a中的電流先變大后逐漸變小,b,c中電流逐漸變小,最后三個(gè)燈泡一樣亮.還可以知道b中的電流比c中的大,這是因?yàn)楫?dāng)電流變化時(shí)c所在支路中的電感有感抗.現(xiàn)在高考題的趨勢(shì)是正在向大學(xué)物理題轉(zhuǎn)型,所在平時(shí)的教學(xué)中我們可以先對(duì)其進(jìn)行定性分析,然后借助專(zhuān)業(yè)軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證上面的定性分析,這對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力和研究能力是很有幫助的.