張凌云，李鑾，賀曉瑩，劉忠，熊中剛

(1.桂林航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，廣西桂林 541004；2.桂林航天工業(yè)學(xué)院廣西特種工程裝備與控制重點實驗室，廣西桂林541004；3.福建船政交通職業(yè)學(xué)院汽車學(xué)院，福建福州 350007)

0 前言

電機(jī)與轉(zhuǎn)子通過齒式聯(lián)軸器相互連接，因此產(chǎn)生的不對中故障是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)眾多故障類型中較為常見的一種[1]。掌握多種故障耦合條件下旋轉(zhuǎn)機(jī)械的非線性動力學(xué)特性，對設(shè)備進(jìn)行預(yù)測診斷具有重大的理論意義和工程應(yīng)用價值。

國內(nèi)外學(xué)者針對不對中-碰摩耦合故障的發(fā)生機(jī)制和復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行了一系列研究。文獻(xiàn)[2-3]對不對中故障旋轉(zhuǎn)機(jī)械的安全運(yùn)行進(jìn)行了研究。肖漢等人[4]利用有限元法研究了非線性油膜力影響下不平衡-不對中-碰摩耦合故障的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，通過微分耦合模態(tài)對多重故障耦合條件下的頻率響應(yīng)疊加形式進(jìn)行分解，為多種耦合故障下的復(fù)雜系統(tǒng)求解提供了理論基礎(chǔ)。BOUAZIZ 等[5]以不對中故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力模型為研究對象，研究結(jié)果表明：存在角度不對中故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻譜圖響應(yīng)主要由2倍頻和4倍頻成分組成。PENNACCHI等[6]通過分析不對中轉(zhuǎn)子軸心軌跡響應(yīng)呈現(xiàn)出“8”字形的特點，揭示了該類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一些非線性動力學(xué)行為。韓捷、石來德[7]基于齒式聯(lián)軸器不對中的理論分析，建立聯(lián)軸器外殼質(zhì)心、瞬心以及嚙合線的運(yùn)動方程，提供了齒式聯(lián)軸器不對中故障特征識別以及頻率特征故障提取的理論依據(jù)。鐘志賢等[8]以滾動軸承支撐的多故障轉(zhuǎn)子為有限元模型，通過一系列響應(yīng)圖分析了多故障耦合轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中的故障特征。佘斌等人[9]通過試驗分析了聯(lián)軸器角度不對中工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特征，并與理論仿真進(jìn)行了對比分析。

綜上所述，以往的研究只考慮了轉(zhuǎn)子的周期運(yùn)動和臨界轉(zhuǎn)速，未對發(fā)生碰摩的軌跡進(jìn)行識別，也未對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生碰摩的時間占比進(jìn)行考慮。本文作者研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不平衡力、油膜力、齒式聯(lián)軸器不對中-轉(zhuǎn)盤碰摩共同作用下的非線性動力學(xué)響應(yīng)特性，采用變步長Runge-Kutta數(shù)值積分法進(jìn)行數(shù)值求解。同時，通過最大碰摩力和占空比對系統(tǒng)發(fā)生碰摩沖擊的嚴(yán)重程度和占比進(jìn)行量化表征。最后，通過改變轉(zhuǎn)盤主要參數(shù)偏心距e，辨識系統(tǒng)參數(shù)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)周期運(yùn)動合理的匹配區(qū)間。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

考慮齒式聯(lián)軸器不對中-碰摩耦合故障模型如圖1所示，質(zhì)量均考慮集中質(zhì)量，轉(zhuǎn)盤兩側(cè)通過對稱結(jié)構(gòu)的滑動軸承支撐。其中：O為參考系中心；O1為軸承內(nèi)徑幾何中心；O2為轉(zhuǎn)盤幾何中心；m1為轉(zhuǎn)盤集中在軸承處的質(zhì)量；m2為轉(zhuǎn)盤集中質(zhì)量；c1為軸承阻尼系數(shù)；c2為轉(zhuǎn)盤阻尼系數(shù)；e為轉(zhuǎn)盤偏心距；轉(zhuǎn)軸為剛度系數(shù)k的柔性軸；kc為碰摩剛度；δ1為轉(zhuǎn)盤與定子的徑向間隙。

圖1 滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

1.1 不對中-碰摩耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程

設(shè)左端軸頸的徑向位移為X1和Y1，轉(zhuǎn)盤的徑向位移為X2和Y2，通過 Lagrange 方程確定不對中-碰摩耦合故障作用下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(1)

式中：PX2、PY2為碰摩力；FX1、FY1為軸承油膜力；FZX、FZY為不對中產(chǎn)生的作用力；g為重力常數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子的角速度(左視圖順時針為正轉(zhuǎn))。

1.2 非線性油膜力

文中所研究滑動軸承采用非線性較好的Capone短軸承的油膜力模型[10]，該模型的收斂性和精度較好。

量綱一化后的油膜力：

(2)

式中：σ為Sommerfeld修正系數(shù)。

(3)

式(3)中各參數(shù)表示為

(4)

式中：μ為潤滑油黏度；c為軸承間隙；x1和y1分別為軸承的內(nèi)徑幾何中心在X軸方向和Y軸方向的位移。

1.3 碰摩力模型

圖2所示為圖1轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的左視圖。轉(zhuǎn)盤中心的初始位置為O，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行時，當(dāng)轉(zhuǎn)盤徑向位移δr>δ1時，轉(zhuǎn)盤與定子產(chǎn)生碰摩作用，碰摩過程中產(chǎn)生徑向力Pn和切向力Pt可以表示為

(5)

圖2 碰摩力模型

將以上碰摩力分解到X軸方向和Y軸方向分別為

(6)

1.4 齒式聯(lián)軸器不對中模型

此齒式聯(lián)軸器模型考慮綜合不對中，其作用力模型如圖3所示。

圖3 齒式聯(lián)軸器綜合不對中作用力模型

圖3中聯(lián)軸器外殼與兩半聯(lián)軸器間存在相對運(yùn)動。設(shè)點A為電機(jī)主軸的軸心投影，點B為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的軸心投影，點C為外殼的動態(tài)中心，AC為外殼與電機(jī)主軸的連線，BC為外殼與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的連線，AC垂直BC。設(shè)AB長為ΔE，點C坐標(biāo)為C(x,y)，夾角不對中量為α，則當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)時，點C以綜合不對中量ΔE為直徑做圓周運(yùn)動，ω為轉(zhuǎn)速，則點C的坐標(biāo)可表示為

(7)

綜合不對中量ΔE由聯(lián)軸器間距ΔL、平行不對中量ρ以及不對中夾角α共同決定：

ΔE=ρ+ΔLtanα/2

(8)

隨后，由式(7)對時間t求二次導(dǎo)數(shù)，得到點C的加速度，即：

(9)

由式(9)可知，當(dāng)聯(lián)軸器存在不對中故障時，將會給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加一個額外的激振力F。若將其在o0-x和o0-y方向上做投影，其分量滿足：

(10)

為了進(jìn)行系統(tǒng)的動力學(xué)研究，引入以下量綱一化參數(shù)：xi=Xi/b(i=1,2)，yi=Yi/b(i=1,2)，τ=ωt，則式(1)可化為

(11)

2 數(shù)值仿真與分析

2.1 最大碰摩力與占空比

文中引入最大碰摩力和碰摩占空比來表征轉(zhuǎn)子與定子碰摩的激烈程度和持續(xù)時間。最大碰摩力表述了轉(zhuǎn)盤與定子在接觸過程中產(chǎn)生的最大作用力，碰摩作用是導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)異常振動的非線性因素之一，是決定軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)使用壽命的關(guān)鍵參數(shù)。文中將最大碰摩力定義為：在一個運(yùn)動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)，轉(zhuǎn)盤與定子水平豎直方向碰摩力合力的最大值，表示為

最大碰摩力的取值為Pmax≥0。另外引入電信系統(tǒng)中的“占空比(Duty Cycle)”，文中用δDC表示碰摩占空比，即轉(zhuǎn)子在一個運(yùn)動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)，轉(zhuǎn)盤與定子在各接觸階段所耗費(fèi)時間的總和與運(yùn)動周期的比值，表達(dá)式為

δDC=(ΔtDC1+ΔtDC2+ΔtDC3+…)/Tn

其中：δDC∈[0,1)。

2.2 系統(tǒng)的Poincaré截面

文中采用p/n來研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性，其中p表示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在一個振動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)的轉(zhuǎn)盤與定子的碰撞沖擊次數(shù)(p=0,1,2,3,…)；n表示轉(zhuǎn)子在一個振動周期Tn=2nπ/ω內(nèi)的旋轉(zhuǎn)周期數(shù)(n=1,2,3,…)，反映在周期分岔圖。為了研究不對中-碰撞耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為與分岔特性，選擇系統(tǒng)的Poincaré映射圖截面[11]：

R8×T|mod(t=2π/ω)}。

基于表1所示的系統(tǒng)參數(shù)，采用四階變步長Runge-Kutta數(shù)值積分法對方程組(11)進(jìn)行積分求解，為了得到穩(wěn)定的響應(yīng)數(shù)值，舍去前500個周期的仿真結(jié)果，得到系統(tǒng)的一系列響應(yīng)圖。

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

2.3 不對中-碰摩耦合轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速變化響應(yīng)分析

為了研究不對中-碰摩耦合條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為，基于系統(tǒng)參數(shù)仿真得到不對中-碰摩耦合轉(zhuǎn)子的響應(yīng)圖，如圖4、5所示。其中，圖4所示為不同轉(zhuǎn)速對應(yīng)的響應(yīng)圖，圖5所示為系統(tǒng)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)最大碰摩力和占空比分布。

圖4 系統(tǒng)分岔圖及不同轉(zhuǎn)速對應(yīng)的響應(yīng)圖

圖5 系統(tǒng)最大碰摩力(a)和占空比(b)隨轉(zhuǎn)速變化分布

圖6 不同轉(zhuǎn)速對應(yīng)的頻譜圖

2.4 改變偏心距對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響

由式(1)可知：轉(zhuǎn)子偏心距e的改變會對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生直接影響，因此對轉(zhuǎn)子偏心距e=0.05 mm和e=0.1 mm進(jìn)行離散取值。計算不同e值對應(yīng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期分岔圖、最大碰摩力和占空比隨轉(zhuǎn)速改變的分布如圖7、8所示。同時，結(jié)合圖4中e=0.025 mm進(jìn)行對比分析。轉(zhuǎn)子偏心距e由小變大時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔特性變得簡單化，系統(tǒng)的振動幅值呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，同時偏心距的增大使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一、二階臨界轉(zhuǎn)速增大。當(dāng)偏心距e=0.05 mm時，通過圖7可知系統(tǒng)的振動幅值呈現(xiàn)連續(xù)變化的趨勢，并未出現(xiàn)δDC=1的全周期碰摩區(qū)域，系統(tǒng)在整個轉(zhuǎn)速窗口內(nèi)可平穩(wěn)運(yùn)行。當(dāng)偏心距e=0.1 mm時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在整個轉(zhuǎn)速窗口內(nèi)呈現(xiàn)周期運(yùn)動，同時轉(zhuǎn)子的振動幅值變化很大，在較大轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)出現(xiàn)了δDC=1的全周期碰摩運(yùn)動，特別是在一階臨界轉(zhuǎn)速前后，系統(tǒng)發(fā)生了跳躍分岔，導(dǎo)致最大碰摩力變化劇烈，嚴(yán)重威脅轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行和使用壽命。

圖7 e=0.05 mm時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

圖8 e=0.1 mm時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

通過以上分析可知，偏心距的改變對系統(tǒng)的運(yùn)動分布和幅值有顯著的影響，為了更直觀地說明偏心距對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響，在轉(zhuǎn)速ω=900 rad/s和ω=1 950 rad/s條件下，分別得到偏心距離散取值e=0.25 mm、e=0.05 mm和e=0.1 mm的相應(yīng)頻譜圖，如圖9所示。觀察圖9(a)可知：偏心距較小時，系統(tǒng)的運(yùn)動類型和分布主要受油膜渦動和油膜振蕩影響而發(fā)生轉(zhuǎn)遷；當(dāng)偏心距逐漸增大時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)頻分量占據(jù)主導(dǎo)，同時能有效地抑制油膜力的影響，進(jìn)而使系統(tǒng)運(yùn)動趨于穩(wěn)定，但偏心距的增大會導(dǎo)致一階臨界轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)轉(zhuǎn)頻的幅值急劇增大，而不會影響不對中產(chǎn)生的2×頻率幅值。

圖9 不同偏心距對應(yīng)的頻譜圖

2.5 定轉(zhuǎn)速下偏心距對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響

分析第2.4節(jié)分析可知，轉(zhuǎn)子的偏心距e變化對系統(tǒng)運(yùn)動類型、存在區(qū)域和分岔特性有較大影響。因此在轉(zhuǎn)速ω=900 rad/s和ω=1 950 rad/s下，得到偏心距持續(xù)改變對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響如圖10、11所示。當(dāng)ω=900 rad/s時，如圖10(a)所示，沿著偏心距e增大的方向依次經(jīng)歷了P1-P2-P1運(yùn)動，并且在e=0.065 mm時發(fā)生了跳躍分岔，系統(tǒng)的振動幅值急劇增大；通過圖10(c)可知系統(tǒng)進(jìn)入全周期碰摩狀態(tài)，對應(yīng)圖10(b)的最大碰摩力發(fā)生突變，說明偏心距e≥0.065 mm系統(tǒng)發(fā)生嚴(yán)重的全周期碰摩，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子在該轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)運(yùn)行的平穩(wěn)性。

圖10 ω=900 rad/s時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

當(dāng)ω=1 950 rad/s時，如圖11(a)所示，沿著偏心距e增大的方向依次經(jīng)歷了擬周期-P5-擬周期-P1運(yùn)動，系統(tǒng)的振幅呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，同時對應(yīng)的最大碰摩力和占空比整體同樣先減小后增大變化。當(dāng)偏心距離e在(0～0.027) mm時，由于油膜振蕩占據(jù)主導(dǎo)作用，導(dǎo)致系統(tǒng)的振幅較大，此時通過圖11(c)可看出系統(tǒng)處于δDC=1全周期碰摩狀態(tài)。當(dāng)e=0.068 mm時，系統(tǒng)通過Hopf Bif退出擬周期進(jìn)入P1運(yùn)動，觀察圖11(b)可知，系統(tǒng)偏心距離e在(0.068～0.08) mm時處于0/1無碰摩沖擊運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)偏心距進(jìn)一步增大時，系統(tǒng)的振幅持續(xù)增加，進(jìn)而進(jìn)入碰摩力和占空比持續(xù)增大的P1運(yùn)動。結(jié)合上述分析可知，偏心距能有效抑制油膜力對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，但過大的偏心距導(dǎo)致系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的振動幅值急劇增大，不利于系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行。綜上可知：此模型的偏心距e取值為(0.027～0.065) mm時，既能減小油膜力對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，同時在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)的幅值和對應(yīng)的最大碰摩力及占空比持續(xù)變化，進(jìn)而降低響應(yīng)突變的影響。

圖11 ω=1 950 rad/s時周期分岔圖(a)、最大碰摩力(b)和占空比(c)分布

3 結(jié)論

文中以不對中-轉(zhuǎn)盤碰摩耦合的滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，基于多參數(shù)、多目標(biāo)協(xié)同仿真得到關(guān)鍵參數(shù)與系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，并研究了偏心距對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的影響，得出以下結(jié)論：

(1)不對中的存在導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生了2×、4×等偶數(shù)倍頻率，系統(tǒng)的軸心軌跡圖呈現(xiàn)出“8”字形。

(2)偏心距的變化直接影響了系統(tǒng)的周期運(yùn)動類型和分布區(qū)域，主要原因是偏心距的增大能有效抑制油膜力對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

(3)偏心距由小變大時，系統(tǒng)的一、二階臨界轉(zhuǎn)速顯著提高，直接限制了油膜力的響應(yīng)幅值，但不會影響不對中產(chǎn)生的2×頻率幅值。最后，得到文中轉(zhuǎn)子模型偏心距e在(0.027～0.065) mm內(nèi)為合理的取值范圍。