［摘" 要］ 數(shù)學概念是學生運用數(shù)學知識解決問題的基礎，提升數(shù)學概念教學的有效性，落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是課堂教學的重要目標. 研究者基于弗賴登塔爾教育思想探討數(shù)學概念課的教學應“立足學生的數(shù)學現(xiàn)實，創(chuàng)新課堂導入”“搭建學生再創(chuàng)造的平臺，開展課堂探究”“創(chuàng)設數(shù)學化的探究條件，提升思維認識”“建構反思性認知結構，進行課堂拓展”，以深化學生對數(shù)學知識的理解，提升學生的數(shù)學思維能力.

［關鍵詞］ 弗賴登塔爾教育思想；數(shù)學化；雙曲線

數(shù)學概念是用簡練的語言對研究對象的本質屬性的高度概括，是學生進行數(shù)學分析、推理想象、邏輯思考的基礎和前提. 因此，教師要加強數(shù)學概念的教學，深化學生對數(shù)學概念和數(shù)學思想的理解，帶領學生體驗知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，使學生真正實現(xiàn)知識結構的內化. 弗賴登塔爾是20世紀最有影響力的數(shù)學教育學家之一，他提出的教育思想所蘊含的數(shù)學現(xiàn)實、數(shù)學化和再創(chuàng)造等思想對數(shù)學概念教學具有重要的指導作用. 本文以“雙曲線的定義”為例，基于弗賴登塔爾的教育思想探討數(shù)學概念教學，以提高教學的有效性，落實課程教育目標.

闡釋弗賴登塔爾教育思想

弗賴登塔爾認為，數(shù)學教學的根本目標不是傳授數(shù)學知識，而是讓學生學會如何運用知識. 課堂教學應該創(chuàng)造機會，讓學生在學習活動中增強信心，體驗知識發(fā)生和發(fā)展的過程. 為此，教學應堅持“數(shù)學現(xiàn)實”“數(shù)學化”以及“再創(chuàng)造”.

“數(shù)學現(xiàn)實”是指學生已有的數(shù)學知識基礎和結構. 新知的學習是以學生原有的學習經(jīng)驗和知識為基本前提的. 基于數(shù)學現(xiàn)實展開教學活動，就必然密切聯(lián)系教學內容與生活實際. 教師連接教學內容邏輯的起點與學生已有經(jīng)驗的起點，從而創(chuàng)新設計情境，找到新知的生長點，在現(xiàn)實情境中開展學習活動，使學生將所學知識應用于生活實際.

“數(shù)學化”是指學生能夠用數(shù)學眼光去觀察世界，學會用數(shù)學思維去思考現(xiàn)實世界中的各種現(xiàn)象，將數(shù)學知識進行內化、組織和思考的過程. 由此教師要引導學生從具象的現(xiàn)實中抽象出數(shù)學符號，進入數(shù)學世界，形成數(shù)學概念或定理，并通過問題設計，引導學生將數(shù)學知識應用到實際問題的解決中，落實課程目標. 同時，教師還要引導學生在數(shù)學知識內部進行知識的分類與整合、遷移與深化，幫助學生建立數(shù)學知識體系，培養(yǎng)學生數(shù)學想象、數(shù)學分析和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

“再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾教育思想的核心. 有效教學的過程就是引導學生再創(chuàng)造的過程，因此教學目標不僅僅是傳授知識，還要創(chuàng)設學生進行學習活動的平臺，引導學生在數(shù)學現(xiàn)實的基礎上互動交流與反思，經(jīng)歷分析思考、推理判斷和總結歸納，以及知識發(fā)生、發(fā)展的過程，最終形成新的數(shù)學現(xiàn)實.

基于弗賴登塔爾教育思想的教學案例

1. 立足學生的數(shù)學現(xiàn)實，創(chuàng)新課堂導入

弗賴登塔爾強調數(shù)學教學應遵循數(shù)學現(xiàn)實原則，立足學生已有知識基礎開展學習活動，提高學習的有效性. 因此，在教學“雙曲線的定義”這節(jié)課時，筆者結合學生學過的有關橢圓的定義知識導入新課，從新舊知識的銜接點出發(fā)，在已有的數(shù)學知識結構上探尋思維的生長點，引導學生積極開放地投入新知的學習活動中.

師：很好，根據(jù)生1的解析，我們可得動點M的軌跡方程為+=1. 今天我們將要學習一個新的數(shù)學概念——雙曲線，它具有怎樣的特點呢？

設計意圖 弗賴登塔爾教育思想認為，數(shù)學教學活動離不開學生已有的數(shù)學現(xiàn)實，在學生已有的數(shù)學知識的基礎上，教師采取相應的教學方法豐富和拓展學生的認識，從而提升學生的認知水平，擴大學生的認知范圍. 在學生具備橢圓的定義及其標準方程等數(shù)學知識的基礎上設計問題，既幫助學生復習有關橢圓的知識點，又引導學生拓展和應用數(shù)學現(xiàn)實，提高學生的認知水平，為學生學習新課做好鋪墊，實現(xiàn)有效的課堂導入.

2. 搭建學生再創(chuàng)造的平臺，開展課堂探究

弗賴登塔爾教育思想強調數(shù)學再創(chuàng)造原則，認為數(shù)學教學不是簡單地傳授已有知識，而是創(chuàng)造條件引導學生在思維活動中再創(chuàng)造相關的數(shù)學知識. 因此，在課堂導入的情境設計中，教師要重視引導學生觀察問題、思考問題，通過數(shù)學化的思考，探索數(shù)學規(guī)律，從而歸納數(shù)學結論，理解數(shù)學本質，體驗數(shù)學知識形成和發(fā)展的過程. 在深度的思維活動中，學生建構知識網(wǎng)絡，實現(xiàn)知識結構的完善和思維的再創(chuàng)造，從而發(fā)展學生思維的創(chuàng)新性，幫助學生建構新的知識體系.

設計意圖 教學過程是在學生的數(shù)學現(xiàn)實的基礎上進行的拓展和應用. 通過原有問題的變式練習，在學生原有知識的基礎上引發(fā)認知沖突，從而激發(fā)學生探究的好奇心，為進一步的深入探究做好準備.

3. 創(chuàng)設數(shù)學化的探究條件，提升思維認識

師：根據(jù)剛才的探求，我們由點M與兩個定點C，C的距離之和與距離之差可知點M運動的軌跡不是橢圓，那么它運動的軌跡是什么圖形呢？

生3：根據(jù)幾何畫板的演示，我們可以發(fā)現(xiàn)點M運動的軌跡靠近點C，并且關于x軸對稱，是一條曲線.

問題3 如圖3所示，將問題2中的“動圓M與圓C內切，與圓C外切”改為“動圓M與C外切，與C內切”，其余條件不變，則動圓M圓心運動的軌跡方程又是什么？

生4：根據(jù)題干條件我們可以求出動圓圓心M與點C，C的距離，通過作差法可知動點M與兩個定點C，C的距離之差是一個定值，此時動點M運動的軌跡和問題2中的軌跡是同樣一條曲線嗎？讓我們通過幾何畫板繼續(xù)演示一下.

生5：根據(jù)幾何畫板我們看到，問題3中的動點M的軌跡與問題2中的動點M的軌跡不同，這是一條相對靠近點C的關于x軸對稱的曲線.

師：同學們觀察一下這兩條曲線，它們有什么共同特征呢？

生6：動點M的這兩條軌跡關于y軸以及原點O對稱.

師：觀察得非常仔細，我們將這樣的曲線稱為“雙曲線”.

設計意圖 弗賴登塔爾教育思想強調“數(shù)學化”的原則，即將所學的數(shù)學知識進行分類組織，從而建構數(shù)學模型，在頭腦中形成數(shù)學概念的知識結構. 問題2和問題3在問題1的基礎上通過改變已知條件進一步引導學生探究動點的運動軌跡. 根據(jù)學生已有的關于圓和橢圓的知識進行探究，由動點與定點之間的距離判斷動點的運動軌跡，從而不斷深化學生的思維，實現(xiàn)深度學習. 在本例的教學中，充分借助幾何畫板進行動態(tài)演示，使得學生不僅從數(shù)據(jù)和圖形分析中了解了雙曲線的定義，還從直觀上感受到了雙曲線的結構，為下一步進行抽象的探究做好了準備.

師：根據(jù)問題2和問題3的探究，你能得到什么結論？

生7：若動點M與兩個定點C，C的距離之差的絕對值是一個定值，則動點M的軌跡為雙曲線.

師：很好，我們能否與橢圓的定義進行類比，嘗試將雙曲線的定義概括得更一般化呢？

學生通過討論交流，并在筆者的指導下完善定義.

生8：若平面內的點與兩個定點F，F(xiàn)的距離之差的絕對值為一個常數(shù)，則這個點的軌跡是雙曲線，定點F，F(xiàn)叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距.

設計意圖 在教學中，教師要為學生的再創(chuàng)造搭建平臺，促進學生思維的發(fā)展. 筆者通過連續(xù)追問，引導學生概括結論，并與橢圓的定義進行類比，將動點M的軌跡引申為一般性的雙曲線概念，幫助學生理解數(shù)學概念的本質，完善認知結構.

4. 建構反思性認知結構，進行課堂拓展

弗賴登塔爾教育思想認為，數(shù)學學習的核心是反思，提升反思能力是發(fā)展數(shù)學思維的重要環(huán)節(jié). 學生進行數(shù)學概念的學習是一個由淺入深、逐層遞進的過程，教師需要設計環(huán)環(huán)相扣的問題才能引導學生實現(xiàn)學習能力和反思能力的提升，從而發(fā)展學生思維的深刻性、發(fā)散性，并引導學生理解數(shù)學知識的本質. 因此，在數(shù)學概念的教學中，教師要精心設計教學活動，明確教學的重難點，并對學生進行針對性的指導，引導學生理解數(shù)學概念的內涵，體會數(shù)學概念形成和發(fā)展的過程，真正理解數(shù)學概念背后的邏輯和規(guī)律.

設計意圖 當學生掌握了雙曲線的本質屬性后引導學生反思自己給出的雙曲線的定義，最終完善雙曲線的定義. 此過程不僅幫助學生形成了反思性認知結構，還引導學生完整和準確地表達了數(shù)學概念.

綜上所述，在弗賴登塔爾教育思想的指導下開展數(shù)學概念教學活動，要依托學生的數(shù)學現(xiàn)實設計教學活動，使學生在已有經(jīng)驗的基礎上自然地展開新知的學習和探索. 教師要注重搭建知識“再創(chuàng)造”的平臺，引導學生理解數(shù)學本質，幫助學生建構和完善知識體系，促進學生數(shù)學思維能力的提升，真正落實課程目標對培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要求.