黃昌雄，陳 耕，黃松華，張樂樂

1) 北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京 100044 2) 北京交通大學軌道車輛運用工程國家國際科技合作基地，北京 100044 3) 西交利物浦大學智能工程學院，蘇州 215123

高速列車座椅底架輕量化設計不僅要滿足座椅的實際承載要求，同時還需保證在列車長期服役中的交變載荷作用下不會發(fā)生顯著的變形.傳統(tǒng)座椅結構設計大多是基于現有構型進行尺寸優(yōu)化，受限于構型本身的約束，無法充分發(fā)揮結構的承載潛能，同時并未考慮交變載荷引起的失效[1-3].雖然拓撲優(yōu)化技術已相當成熟，且作為傳統(tǒng)設計方法可以不受限于現有構型[4]，但其普遍以靜力載荷條件下的結構剛度或局部應力水平為目標，無法得到交變載荷作用下效率最高的結構構型.因此，如何同時兼顧這兩個設計需求成為列車座椅輕量化設計的關鍵.

不同于采用高強度的輕質新材料設計 (如碳纖維復合材料[5])，拓撲優(yōu)化是指在給定邊界條件、滿足某種約束下尋求材料在設計域內達到某種目標的最優(yōu)分布.早期發(fā)展的拓撲優(yōu)化方法主要包括均質化方法、變密度法、雙向漸進結構優(yōu)化法、水平集方法以及相位場拓撲優(yōu)化法.拓撲優(yōu)化的均質化方法最初由Bends?e和Kikuchi[6]在1988年提出，自此拓撲優(yōu)化成為結構優(yōu)化設計中重要的一個分支.在變密度法領域，Bends?e和Sigmund[7]最早基于均質化原理進一步開發(fā)了基于固體各向同性懲罰微結構插值模型 (SIMP)；而Stolpe和Svanberg[8]提出的材料屬性有理近似模型 (RAMP)作為變密度法另一個重要的分支，能夠在零密度條件下得到非零靈敏度，并被證實可用于解決低密度值問題中的數值困難.不同于變密度法的優(yōu)化準則 (OC準則)，基于啟發(fā)式算法的漸進結構優(yōu)化方法 (ESO) 僅能夠在初始設計域較為理想的前提下獲得高質量構型，為此雙向漸進結構優(yōu)化方法[9](BESO) 將高靈敏度的“空單元”重新恢復，對低靈敏度的“實單元”進行消除，并以此實現了對ESO算法的改進.最初用于捕捉線彈性結構自由邊界的水平集方法[10]，被Osher和Sethian[11]用于開展對物理中移動界面“水平集”問題的研究，其最大優(yōu)勢是所得到的設計可直接用于制造，但也存在如高維水平集方程難于獲得、進入非線性領域后靈敏度難以求解等困難.此外，“相位場”方法由Bourdin和Chambolle[12]首次提出，Wang和Zhou[13]的研究進一步將其擴展至固體雙相/三相材料問題；由于這一優(yōu)化方法同樣采用了體積約束而并非嚴格意義上的“相位場”，因此“相位場”拓撲優(yōu)化方法與SIMP法之間存在密切關聯.在這些常用方法之外，近十幾年來出現的新型拓撲優(yōu)化方法還主要有Kobayashi[14]提出的基于細胞分裂理論的仿生布局拓撲優(yōu)化法，以及Luo和Bao等[15]提出的基于材料場拓撲算法.前者由遺傳算法驅動、能夠以相對較少的設計變量生成一組多樣化的設計.后者采用材料場級數展開技術將結構拓撲在特征映射空間進行降維表征，能夠大幅度減少設計變量.在上述算法中，SIMP算法相較于其他算法，在靈敏度計算相對簡易的同時還具有良好的收斂性而被廣泛采用.SIMP算法最具代表性的應用之一[16]是空客A380機翼結構的輕量化設計，通過該方法設計的前緣肋板在滿足了所有機械性能的同時重量顯著減少.此外，在航天領域Orme等[17]也基于SIMP法以第一頻率和應力水平作為設計約束，對以色列月球著陸器計劃 (GLPX) 的登月飛船發(fā)動機支架質量進行了優(yōu)化.拓撲優(yōu)化在工程中獲得了廣泛的應用，即使在對結構承載安全要求極為嚴苛的航空航天領域，結構輕量化設計同樣可以通過拓撲優(yōu)化來實現[18-19].

目前的強度拓撲優(yōu)化方法多以結構的應力水平不導致屈服為依據[20]，即局限于彈性設計.但大量的工程實踐[21-23]表明針對承受交變載荷作用的結構，其在彈性極限之上仍存在較大的載荷裕度.基于局部應力水平的優(yōu)化因未能充分利用結構的后屈服強度而無法有效實現結構減重.對結構承受交變載荷能力進行解析的常用方法之一是直接法 (DM) 安定分析[24-26]，該方法的優(yōu)勢主要有兩點：一是具有整體性，突破了對局部應力必須小于屈服強度的苛刻要求；二是具有路徑無關性[27]，可以不通過增量有限元迭代計算直接獲得結構的載荷域.在諸多工程領域中，安定理論和在其基礎上提出的直接法均得到了廣泛應用.例如，在壓力容器領域[28]，安定理論常被用于結構安全規(guī)范的制訂，現已成為多個國家設計規(guī)范中的重要判據[29-31].在鐵路軌道領域，安定理論也逐漸開始受到關注，并被用于研究材料的性能和厚度對多個載荷作用下無砟軌道強度的影響[32-33].

數值方法是安定理論實現工程應用的重要條件，近年來關于安定問題的求解算法也出現了諸多研究進展.如Chen和Ponter[34]、以及Chen和Chen[35]基于彈性補償法開發(fā)了更具普適性的線性匹配算法 (LMM)；Spiliopoulos和Panagiotou[36-37]應用傅里葉級數開發(fā)了殘余應力分解法 (RSDM)；Peng等[38]提出了一種通過多次求解彈性問題獲得自平衡殘余應力場的應力補償法 (SCM)，等等.此外，Qin等[39]運用均勻化理論，將安定性理論進一步擴展至復合材料領域.

將安定分析與參數、拓撲等優(yōu)化算法結合，實現以安定強度為目標的結構優(yōu)化是近年來的研究重點[40-43]，但相關的數值問題致使安定優(yōu)化在工程實際結構的應用普遍存在困難.為此，Huang[44]提出了一種安定性參數優(yōu)化數值法，即以安定極限來衡量結構強度，并充分利用遺傳算法的并行計算能力[45]，為密封艙結構少數關鍵設計參數的確定提供新方案；Chen等[46]又將安定分析方法成功應用于航天器密封艙艙體的大型可重復使用結構設計評估，研究表明所設計結構的安定強度為彈性極限的近兩倍，并通過水壓實驗驗證了其設計的正確性.

針對傳統(tǒng)設計方法受限于已有構型約束以及未考慮交變載荷作用的不足，圍繞高速列車座椅底架輕量化設計需求，依據TB/T 3263—2011[47]標準，對某型組合式座椅底架主結構進行了以剛度為目標的SIMP拓撲優(yōu)化，并采用前序研究[44]中提出的方法以結構承受交變載荷作用時的強度為目標對關鍵部件進行了安定參數優(yōu)化，通過將二者相結合形成了輕量化底架的完整設計方案.

1 面向剛度與強度的優(yōu)化設計方法

1.1 基于最小柔度的SIMP法

由于具有較高的迭代效率，SIMP方法在連續(xù)體拓撲優(yōu)化中受到廣泛關注.在對拓撲優(yōu)化設計域進行有限元網格離散后，基于最小柔度的SIMP法關于目標函數 (最小應變能) 和約束條件 (體積約束) 的拓撲優(yōu)化問題構造如式 (1) 所示，問題求解需要找到滿足優(yōu)化條件的單元相對密度場.值得注意的是，SIMP方法對于中間灰度單元的材料屬性由均質實體插值而得，如式 (2) 所示.

式 (1) 中，f(x)表示優(yōu)化問題的目標方程 (即最小化結構的應變能)，x表示結構的單元相對密度場，e表示單元編號，xe表示單元e的相對密度，xmin表示單元相對密度的最小值；U、F和K分別代表總位移、力載荷和總體剛度矩陣，ue和ke分別代表單元位移矢量和單元剛度矩陣，V0和V(x)分別代表結構初始時刻的體積和優(yōu)化過程中的體積，以及參數N、c和p分別代表單元數量、體積分數和懲罰因子.Bends?e和Sigmund[7]證明當p≥ 3時插值模型時數值效率較高，因此文中采用參數p= 3.同時，限制單元最小值密度xmin為0.001，以避免數值問題.

式 (2)中，E0為均質實體單元的彈性模量；E為單元e的插值彈性模量.

如圖1所示，基于最小柔度的SIMP法在計算靈敏度之后，對靈敏度進行修正，以避免棋盤格問題和使算法具有網格無關性.算法在確定靈敏度之后，采用OC優(yōu)化準則對設計變量進行更新，在結構單元相對密度場xnew與前一步迭代結果xold之間的最大誤差小于或等于給定容差值 (tol) 時，算法終止.

圖1 SIMP算法流程Fig.1 Flowchart for the solid isotropic microstructure with penalization algorithm

1.2 基于結構安定性參數優(yōu)化

為結構優(yōu)化開發(fā)的安定性參數優(yōu)化數值算法由內外嵌套循環(huán)組成，其中內循環(huán)采用內點法計算結構設計參數給定時的安定載荷因子，而外循環(huán)基于遺傳算法尋找在滿足約束條件時使安定載荷因子達到最大值的設計參數.

基于Melan下限定理[27]進行安定問題的構造.根據該定理，一旦結構經有限元方法離散后，其安定極限必須滿足如優(yōu)化問題 (3) 所示的條件.對該優(yōu)化問題的求解，本質是尋找與時間無關的自平衡殘余應力場和最大安定載荷因子α，使得經α放大后的彈性應力場在與疊加后處處滿足屈服條件.

式 (3) 中，i為高斯點編號，Ci為高斯點i的殘余應力場自平衡矩陣，σEik為彈性外載荷產生的彈性應力場，σYi為屈服強度，以及F(·) 為von Mises屈服函數；NG、NV分別代表有限元模型中的高斯點總數和載荷空間的載荷角點個數.

由 (3) 得到的安定極限標志著結構承受交變載荷的強度.因此，在前期研究[44]中提出了將設計參數向量γ作為變量，用于構造以表征結構承受交變載荷作用的安定強度為目標的參數優(yōu)化算法.將設計對象視為以γ表征的集合B={B1,B2, ···,Bn}，則該參數優(yōu)化問題如式(4)所示.

式 (4) 中，γmax和γmin分別代表設計參數向量γ的上下限；αB表示含參數的安定載荷因子.該優(yōu)化問題的本質是尋找使安定載荷取最大值的參數組合.由于目標函數和自變量之間存在的高度非線性關系，為了避免傳統(tǒng)的梯度算法易導致求解陷入局部最優(yōu)的缺點，將該問題重新進行構造并基于遺傳算法進行求解，其計算流程如圖2所示.

圖2 安定參數優(yōu)化流程Fig.2 Flowchart for the shakedown-based parameter optimization

2 座椅底架優(yōu)化設計

在滿足承載要求的前提下，拓撲優(yōu)化技術能夠在對復雜結構進行優(yōu)化時節(jié)省大量設計材料.然而，在結構本身存在交變載荷作用時，傳統(tǒng)的設計方法通常更注重局部薄弱位置的強度狀態(tài)，用最薄弱位置的局部強度來代表整體結構的承載能力，這往往無法滿足輕量化和可靠性的共同要求.相比之下，安定參數優(yōu)化則能夠充分發(fā)揮安定分析不允許結構發(fā)生持續(xù)塑形變形的特點，利用整體結構強度評估承載性能的優(yōu)勢，這對于作用載荷復雜的結構連接件優(yōu)化顯得格外的重要.

考慮到安定參數優(yōu)化對大型復雜結構的多參數優(yōu)化存在數值困難，座椅底架優(yōu)化設計中考慮主體結構拓撲優(yōu)化設計與關鍵部件安定參數優(yōu)化設計相結合，以達到在滿足承載性能前提下輕量化的設計需求.

2.1 現有座椅底架模型

高速列車座椅底架是連接座椅和車體的主要承載結構，其優(yōu)化設計需要在減少結構材料的同時滿足結構剛度和強度的需求.首先以結構剛度為目標對底架主結構進行拓撲優(yōu)化和再設計，確保底架整體具有足夠的剛度性能.其中，座椅模型依托于中車青島四方某型列車現有座椅結構，其幾何模型和相應的載荷條件如圖3所示.座椅模型的下半部分為座椅底架模型，其長寬高尺寸為972 mm×346 mm×226 mm，總質量約為14.72 kg，如圖3(b) 所示.

圖3 某型列車座椅模型.(a) 座椅載荷; (b) 底架載荷Fig.3 Train seat model: (a) loaded on seat model; (b) loaded on seat bracket

依據座椅設計規(guī)范TB/T 3263—2011，高速列車座椅坐墊強度設計需要滿足：在集中載荷F1(方向為垂直向下、大小為980 N) 的作用下，結構不出現裂痕及永久變形等缺陷并保持一定的剛度(圖3(a)).將該標準規(guī)定的載荷工況轉換至座椅底架結構中，確定均布載荷P1大小為0.15 MPa(圖4(a)).如圖4(b) 所示，進一步通過對整個底架解析計算得到L型連接件上的均布載荷P2大小為0.06 MPa.底架材料為碳鋼DP590，材料模型為理想彈塑性模型，相關參數如表1所示.

表1 碳鋼DP590材料參數Table 1 Material parameters of carbon steel DP590

圖4 現有座椅底架幾何模型.(a) 座椅底架簡化模型; (b) L型連接件Fig.4 Geometric model of the current seat bracket: (a) simplified seat bracket; (b) L-shaped connector

對座椅底架與車體連接邊界的有限元模型進行簡化: (1) 如圖4(a) 所示，在全局坐標系下，對底架與底板接觸面節(jié)點的位移分量uz1、螺栓孔圓周節(jié)點的位移分量ux1、uy1進行約束；(2) 如圖4(b) 所示，在L型連接件局部坐標系下，對底架與側墻接觸面節(jié)點的位移分量uz2、螺栓孔圓周節(jié)點的位移分量ux2、uy2進行約束.

2.2 基于SIMP的主結構拓撲優(yōu)化設計

基于現有座椅底架結構的幾何形式及邊界條件對稱性的特征，以底架幾何模型的最大外輪廓為基準，建立拓撲優(yōu)化設計域1/2有限元模型，采用八節(jié)點六面體線性縮減積分單元，模型如圖5所示.

圖5 拓撲優(yōu)化設計域Fig.5 Design domain of topology optimization

為得到有效傳力路徑最優(yōu)的承載結構，基于現有座椅底架的最大外輪廓建立了與設計域相對應的有限元模型.由于以設計域體積2%作為約束條件時需要大量迭代計算而SIMP算法具有迭代效率高的優(yōu)勢，因此選用該方法對主結構進行以柔度最小化為目標的拓撲優(yōu)化.優(yōu)化的目標函數及約束條件表述如式 (5) 所示.

如圖6(a) 所示，主結構剛度及體積在優(yōu)化進行5個迭代步后緩慢收斂，并在37步迭代停止時同時滿足約束與最優(yōu)條件.

圖6 主結構拓撲優(yōu)化.(a) 拓撲優(yōu)化歷程; (b)相對密度分布Fig.6 Topology optimization configuration of the main structure:(a) History of topology optimization; (b) Elemental density distribution

主結構拓撲優(yōu)化收斂結果模型的相對密度分布如圖6(b) 所示，結果表明：存在xe∈[0.001,1)的灰度單元；同時，在半徑R為690 mm的圓弧周圍分布的實單元(xe=1)占比最大.為此，將{xe=1}定義為主傳力路徑，并基于該路徑進行幾何重構設計.再設計后的構型如圖7所示，與圖4(a) 中現有底架主結構相比質量減小了17%.

圖7 主結構幾何重構Fig.7 Reconfiguration model of the main structure

2.3 L型連接件的安定參數優(yōu)化

在確保座椅底架主結構剛度設計的前提下，以表征結構交變載荷下的安定強度作為依據針對座椅底架關鍵部件L型連接件展開參數優(yōu)化，以實現結構輕量化設計并保證其關鍵區(qū)域的承載安全.

首先采用四節(jié)點四面體線性積分單元 (C3D4)對現有L型連接件進行建模分析，其應力及位移分布如圖8所示.結構彎角處出現應力集中，位移最大發(fā)生在L型連接件下部結構的邊緣.此外，L型連接件與車體側墻作用的上部結構的應力和位移均較小，存在較大的優(yōu)化裕度，因此選取該區(qū)域進行參數優(yōu)化.

圖8 L型連接件應力及位移分布.(a) 應力分布；(b) 位移分布Fig.8 Stress and displacement distribution of the L-shaped connector:(a) von Mises stress distribution; (b) displacement distribution

為此，以設計參數a和b驅動參數A、M和Q(如表2，表中的常數是與結構相關的尺寸參數)，對L型連接件進行參數化建模 (圖9(a)).以該模型為基礎構造安定性雙參數優(yōu)化問題，進而基于遺傳算法采用Matlab-Abaqus聯合仿真策略求解此問題.如圖9(b) 所示，考慮交變載荷的角點NV=2 (即載荷域為[0,P2]).如圖10所示，以a、b為7.5 mm(a、b∈[0,15] mm) 作為搜索起點進行安定雙參數優(yōu)化.

表2 L型連接件優(yōu)化參數Table 2 Some optimization parameters of the L-shaped connector

圖9 L型連接件幾何和載荷條件.(a) 參數化建模; (b) 交變載荷和載荷域Fig.9 Geometry and loads of the L-shaped connector: (a) parametric model; (b) cycled loads and load domain

圖10 L型連接件參數優(yōu)化Fig.10 Optimization process of L-connector parameters

可以發(fā)現隨著算法迭代，離散的樣本逐漸收斂至最優(yōu)解.為對該過程進行深入分析，以設計參數a、b為輸入繪制了L型連接件的安定響應面.如圖11所示，該響應面呈現高度非線性，因此進一步證實了選用遺傳算法進行參數優(yōu)化的合理性和必要性.在響應面上可以觀察到樣本群的收斂過程，且迭代最終得到的結構安定載荷因子α為13.40.

圖11 L型連接件安定響應面.(a) 第10代; (b) 第20代; (c) 第40代;(d) 第72代Fig.11 Shakedown response surface of the L-shaped connector: (a) 10th generation; (b) 20th generation; (c) 40th generation; (d) 72th generation

為了進一步證明結構安定性參數優(yōu)化算法的有效性，采用如圖12(a) 所示的加載路徑，基于增量有限元法對優(yōu)化后的L型連接件進行安定承載模擬驗證.圖12(b) 表明在幅值PSD為0.804 MPa的安定載荷作用下，塑性耗散功導數p˙逐漸收斂至零；第二個載荷周期開始不再有新的塑性變形發(fā)生，即塑性耗散功p維持不變.因此，增量法模擬證實L型連接件在PSD作用下發(fā)生安定行為.

圖12 優(yōu)化設計結構循環(huán)加載.(a) 加載路徑; (b) 塑性耗散功Fig.12 Cyclic loading of the optimization configuration: (a) evolution of cycle loading and unloading; (b) plastic dissipation

表3詳細對比了L型連接件優(yōu)化前后承載性能.與優(yōu)化前相比，優(yōu)化后的L型連接件在結構質量減小12.5%的前提下，安定承載極限和結構效率分別提高了7.8%和23%.這表明，以結構安定強度為目標的參數優(yōu)化算法能夠有效地提高L型連接件的承載性能，同時減輕結構重量.

表3 L型連接件優(yōu)化前后的承載性能Table 3 Bearing capacity of the L-shaped connector before and after optimization

3 優(yōu)化設計結果與討論

圖13 座椅底架應力、位移分布對比.(a)應力分布; (b)位移分布
Fig.13 Comparison of the stress and displacement distributions of the seat bracket: (a) von Mises stress distribution; (b) displacement distribution

將優(yōu)化設計后的底架主結構與L型連接件進行組合，對其整體性能進行研究.在有限元仿真計算結果中提取二者間的接觸力P*2，其大小為2.4P2，并未超出L型連接件的安定承載極限13.4P2，證明了結構安定性參數優(yōu)化算法對L型連接件進行優(yōu)化設計的可行性.

優(yōu)化前后座椅底架應力、位移分布結果如圖13所示，以結構剛度和安定強度為目標的座椅底架優(yōu)化設計，整體相比于現有座椅底架結構重量減少17% (表4).同時，在最大等效位移不增加的前提下，優(yōu)化后構型中的關鍵應力水平得到了一定程度的降低，從而提高了結構的承載性能.

表4 座椅底架優(yōu)化前后Table 4 Some parameters of the original and optimized structures

列車車體設計通常采用模態(tài)分析對結構進行評價.座椅底架采用機械連接方式安裝到車體上，其作用主要有兩個：一是作為乘客在旅途中休息的場所；二是起到加強車體剛度的作用.為了評價座椅底架的模態(tài)指標，可以采用模態(tài)分析的固有頻率，特別是一階固有頻率.為此，對優(yōu)化前后的底架結構進行了模態(tài)分析，相應的模態(tài)頻率詳細對比如表5所示.

表5 座椅底架優(yōu)化前后模態(tài)頻率Table 5 Modal frequencies of the original and optimized structuresHz

由于減少了材料，優(yōu)化設計的底架一階固有頻率降至67.4 Hz，但其隨后的5階模態(tài)頻率，相比于現有座椅底架提升6% ～ 23%.雖然優(yōu)化設計的底架一階固有頻率不可避免地出現了下降，但其仍滿足車體一階固有頻率高于15 Hz的設計要求，同樣起到加強車體剛度的作用.而且，從圖14所示的Ⅰ階振形來看，相比于現有座椅底架，優(yōu)化設計的底架位移分布更為均勻.這表明優(yōu)化設計的底架可以更好地傳導結構受力，承載性能更優(yōu).

4 結論

(1) 針對高速列車座椅底架傳統(tǒng)輕量化設計方法的局限，提出了一種基于SIMP-安定的設計與分析方法，即對座椅底架主結構進行以結構剛度為目標的拓撲優(yōu)化設計，同時為了避免結構輕量化導致的強度下降問題，對關鍵部件L型連接件進行安定性參數優(yōu)化的設計方法.

(2) 在滿足TB/T 3263—2011行業(yè)設計要求的基礎上，高速列車組合式座椅底架優(yōu)化設計實現主結構減重17%，同時使L型連接件承載交變載荷的結構效率提高23%，為同類結構優(yōu)化設計提供參考.

(3) 為避免實際數值困難，綜合運用整體拓撲優(yōu)化設計和局部安定參數優(yōu)化的方法，能夠實現復雜工程結構的輕量化設計，同時保持整體結構的良好承載性能.