鄧金棟，倪鶴鵬，姬 帥，梁 亮，鄒風(fēng)山，葉瑛歆

1) 山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，濟(jì)南 250101 2) 山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250061 3) 沈陽新松機(jī)器人自動化股份有限公司，沈陽110180

機(jī)器人一體化關(guān)節(jié)通常由伺服電機(jī)、諧波減速器、編碼器等組成，廣泛應(yīng)用于醫(yī)療、協(xié)作機(jī)器人等領(lǐng)域[1].實現(xiàn)機(jī)器人的高速、高精度及免力矩傳感器柔順控制，如拖動示教[2]、碰撞檢測[3]、力位混合控制[4]等，需要建立準(zhǔn)確的機(jī)器人動力學(xué)模型，而關(guān)節(jié)處的摩擦是影響動力學(xué)模型精度的關(guān)鍵因素[5].因此，建立準(zhǔn)確的關(guān)節(jié)摩擦模型對于實現(xiàn)機(jī)器人高性能平滑控制至關(guān)重要.

伺服電機(jī)和諧波減速器是機(jī)器人關(guān)節(jié)中產(chǎn)生摩擦的主要單元.段書用等[6]采用Stribeck模型進(jìn)行了諧波減速器的摩擦建模，該類靜態(tài)摩擦模型能夠較準(zhǔn)確地描述混合潤滑狀態(tài)下摩擦力矩隨轉(zhuǎn)速增大而減小的特性，且易于辨識參數(shù).LuGre模型[7-9]和GMS[10-11]模型也被應(yīng)用于諧波減速器的摩擦建模，所構(gòu)建的動態(tài)模型能夠體現(xiàn)預(yù)滑動狀態(tài)下的摩擦特性，然而待定參數(shù)眾多，參數(shù)辨識難度大.針對諧波減速器摩擦力矩存在的周期波動特征，部分學(xué)者采用傅里葉級數(shù)模型[12-14]對波動摩擦力矩進(jìn)行了建模.然而，以上方法多采用恒定的幅值和相位參數(shù)，未考慮諧波減速器速度變化對力矩波動幅頻特性的影響，限制了最終模型的精度.

負(fù)載是導(dǎo)致關(guān)節(jié)摩擦力矩呈現(xiàn)復(fù)雜非線性特性的另一重要因素.Madsen等[15]與Gao等[16]建立了關(guān)節(jié)摩擦力矩與負(fù)載間的非線性映射模型，模型精度相對于線性模型有所提高，但僅體現(xiàn)了負(fù)載與庫倫摩擦力矩的關(guān)系，難以完整表征負(fù)載變化對摩擦力矩的影響規(guī)律.石崟等[17]指出負(fù)載對庫倫摩擦力矩以及黏性摩擦力矩均會產(chǎn)生影響，并通過經(jīng)驗公式描述了負(fù)載與黏性摩擦力矩的關(guān)系，但模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，存在黏溫、黏壓等眾多未知參數(shù)，辨識難度大，且對模型精度的提升有限.

以上考慮各類影響因素的關(guān)節(jié)摩擦機(jī)理建模方法，能夠保證模型參數(shù)具有一定的物理意義，便于分析特性的演變規(guī)律.然而，由于建模過程中存在對真實系統(tǒng)的簡化和假設(shè)，如線性化和忽略高階項等，模型誤差必然存在.同時，通過增加機(jī)理模型復(fù)雜度來提高準(zhǔn)確性的方式，不僅對模型精度的提升有限，而且顯著增大了參數(shù)辨識的難度.

近年來，具有強(qiáng)大非線性擬合能力的數(shù)據(jù)模型受到廣泛關(guān)注[18-21]，部分學(xué)者結(jié)合傳統(tǒng)機(jī)理模型與數(shù)據(jù)模型，并應(yīng)用到機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦建模中.張鐵等[22]認(rèn)為機(jī)理模型誤差主要源于摩擦力矩的波動，因此采用Back propagation (BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型補(bǔ)償傅里葉級數(shù)模型對波動摩擦力矩的建模誤差.賀苗等[23]僅考慮速度對摩擦力矩的影響，引入Radial basis function (RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，補(bǔ)償了機(jī)理模型的建模誤差.然而，以上混合驅(qū)動建模方法對關(guān)節(jié)摩擦特性的影響因素考慮不全面，雖簡化了機(jī)理模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)辨識過程，但增大了數(shù)據(jù)模型的擬合難度，精度提升有限.同時，以上方法均采用單個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型做誤差補(bǔ)償，面對具有不同特性的機(jī)器人關(guān)節(jié)，容易出現(xiàn)欠擬合或過擬合現(xiàn)象，魯棒性不強(qiáng).

針對以上問題，本文提出了一種機(jī)理模型與集成學(xué)習(xí)混合驅(qū)動的機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦建模方法.首先，綜合考慮轉(zhuǎn)速、負(fù)載對關(guān)節(jié)摩擦特性的影響及其周期波動特性，基于經(jīng)驗知識與物理規(guī)律分別建立伺服電機(jī)與諧波減速器的參數(shù)化摩擦模型，進(jìn)而構(gòu)建機(jī)器人關(guān)節(jié)的整體參數(shù)化摩擦機(jī)理模型.然后，針對摩擦機(jī)理模型的計算殘差，提出基于eXtreme gradient boosting (XGBoost)方法建立數(shù)據(jù)驅(qū)動的殘差補(bǔ)償模型.XGBoost是一種采用boosting集成模式的集成學(xué)習(xí)方法，以分類與回歸樹(Classification and regression tree, CART)為基學(xué)習(xí)器，通過迭代增加CART共同構(gòu)建強(qiáng)學(xué)習(xí)器.相比于單個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，多CART集成的結(jié)構(gòu)使得XGBoost模型具有更好的泛化能力和魯棒性，且在表格數(shù)據(jù)的特征提取和預(yù)測方面，性能優(yōu)于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，適合本文對機(jī)理模型殘差的建模.最后，基于關(guān)節(jié)摩擦力矩測量實驗臺及工業(yè)機(jī)器人，通過對比實驗，驗證了所提出的混合驅(qū)動的機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦建模方法的有效性.

1 機(jī)理與數(shù)據(jù)混合驅(qū)動的機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦模型總體結(jié)構(gòu)

機(jī)理與數(shù)據(jù)混合驅(qū)動的機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦模型的總體結(jié)構(gòu)如圖1所示.模型的輸入u包括機(jī)器人關(guān)節(jié)的電機(jī)角位置、轉(zhuǎn)速和負(fù)載力矩參數(shù)，輸出為預(yù)測的關(guān)節(jié)摩擦轉(zhuǎn)矩Tf*.

圖1 混合驅(qū)動的機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦模型Fig.1 Joint friction model of a hybrid robot

伺服電機(jī)和諧波減速器是關(guān)節(jié)中產(chǎn)生摩擦的主要原件.因此，基于先驗知識和物理規(guī)律，機(jī)理模型包含了伺服電機(jī)和諧波減速器的參數(shù)化模型，是整體關(guān)節(jié)摩擦模型的基礎(chǔ)單元.建模過程需考慮影響伺服電機(jī)和諧波減速器摩擦特性的諸多因素，但過于復(fù)雜的模型結(jié)構(gòu)對計算精度的提升有限，且增大了參數(shù)辨識的難度.因此，本文綜合考慮了轉(zhuǎn)速、諧波減速器的齒間嚙合作用及負(fù)載力矩等影響摩擦特性的主要因素，建立了簡化的參數(shù)化摩擦機(jī)理模型.

由于線性假設(shè)和模型簡化，機(jī)理模型的未建模部分具有強(qiáng)非線性，因此，采用數(shù)據(jù)驅(qū)動模型補(bǔ)償機(jī)理模型的非線性殘差.為提高補(bǔ)償精度，需考慮兩方面的問題.首先，模型結(jié)構(gòu)是影響建模精度的關(guān)鍵因素，應(yīng)具備強(qiáng)非線性特征提取能力，以滿足擬合精度的要求.然后，模型超參數(shù)的選擇是影響精度的另一關(guān)鍵因素.對此，本文提出了基于集成學(xué)習(xí)的殘差補(bǔ)償模型建模方法，同時采用貝葉斯優(yōu)化的方法進(jìn)行模型超參數(shù)尋優(yōu)，保證模型的精度和魯棒性.

2 機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦機(jī)理模型建模

建立機(jī)器人關(guān)節(jié)的動力學(xué)模型如式（1）所示：

其中，Tm為伺服電機(jī)的輸出力矩,Jm為電機(jī)軸與波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動慣量,Jl為關(guān)節(jié)輸出端法蘭的轉(zhuǎn)動慣量，N為減速比，θ為電機(jī)軸角位置,Tf為關(guān)節(jié)摩擦力矩，Tload為關(guān)節(jié)輸出端的負(fù)載力矩.伺服電機(jī)和諧波減速器是產(chǎn)生摩擦的主要單元，因此Tf可表示為：

其中，Tmf為電機(jī)摩擦力矩，Trf為諧波減速器摩擦力矩.本章基于機(jī)器人關(guān)節(jié)的傳動原理，分析轉(zhuǎn)速、諧波減速器齒間嚙合及負(fù)載對摩擦的影響機(jī)制，并建立其參數(shù)化機(jī)理模型.

2.1 轉(zhuǎn)速對摩擦特性的影響分析與建模

轉(zhuǎn)速是影響伺服電機(jī)和諧波減速器摩擦的關(guān)鍵因素.伺服電機(jī)結(jié)構(gòu)簡單，不存在齒嚙合過程，摩擦力較小.因此，采用庫倫-黏性模型[24]對電機(jī)摩擦進(jìn)行建模.一定轉(zhuǎn)速下，其摩擦力矩可描述為：

其中，Tmc為電機(jī)庫倫摩擦力矩， σm為電機(jī)黏性摩擦系數(shù)，ω為電機(jī)的角速度，sgn(·)表示符號函數(shù).

相較于伺服電機(jī)，諧波減速器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，存在齒嚙合過程，具有更復(fù)雜的摩擦特性.由現(xiàn)有研究可知[25]混合潤滑狀態(tài)下，其摩擦力矩會隨轉(zhuǎn)速的增大而減小，這是由于剛輪與柔輪嚙合齒間的潤滑膜厚度隨著轉(zhuǎn)速的增大而增大，減小了嚙合齒的接觸面積，導(dǎo)致摩擦力矩減小；充分潤滑狀態(tài)下，嚙合齒間被潤滑膜全部充滿，摩擦力矩主要由潤滑油的流動速度和黏度決定，并隨潤滑油流動速度的增大而增大.因此，本文采用Stribeck模型描述不同轉(zhuǎn)速下的摩擦力矩，如下所示：

其中，Trc為庫倫摩擦力矩，Ts為最大靜摩擦力矩， ωs為Stribeck速度， σr為諧波減速器黏性摩擦系數(shù).

2.2 諧波減速器波動摩擦力矩建模

由于諧波減速器柔輪與剛輪齒的周期嚙合作用，其摩擦力矩呈現(xiàn)出周期性波動現(xiàn)象.如圖2所示，零差云控eRob80型機(jī)器人關(guān)節(jié)，空載狀態(tài)下電機(jī)指令轉(zhuǎn)速為50 rad·min-1(ωr=0.833 Hz)時，采集到的電機(jī)輸出力矩如圖3(a)所示，即摩擦力矩具有明顯的周期波動性.對摩擦力矩信號進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，頻率特征如圖3(b)所示.摩擦力矩包含的頻率分量主要有：諧波減速器輸入轉(zhuǎn)動頻率ωr的一次諧波(0.833 Hz)、二次諧波(1.667 Hz)、五次諧波(4.167 Hz)、十次諧波(8.333 Hz).

圖2 零差云控eRob80型機(jī)器人關(guān)節(jié)Fig.2 Zero difference cloud control eRob80 robot joint

圖3 機(jī)器人關(guān)節(jié)波動摩擦力矩及其頻譜分析.(a) 波動摩擦力矩; (b) 波動摩擦力矩主要頻率成分Fig.3 Fluctuating friction torque of the robot joint and its spectrum analysis: (a) fluctuating friction torque; (b) main frequency components of the fluctuating friction torque

對比現(xiàn)有研究結(jié)果可知[12,22]，由于諧波減速器制造精度的差異性，個體間呈現(xiàn)出不同的摩擦力矩波動特性.雖然主要諧波成分與輸入轉(zhuǎn)動頻率均呈現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，但其個數(shù)和倍數(shù)的大小是不確定的.因此，采用傅里葉級數(shù)對摩擦力矩的波動部分Trfp進(jìn)行建模，如公式5所示，其中cj、bj為每一項多項式的幅值.

由于波動的主要諧波成分集中在低頻段，高頻成分幅值較小，可忽略不計.因此J可取10.對式(5)進(jìn)行簡化，可建立以電機(jī)角度θ為自變量的波動摩擦模型

其中，θ為電機(jī)角度，Aj和φj分別為波動摩擦力矩的幅值和相位.

2.3 負(fù)載對摩擦特性的影響分析與建模

負(fù)載主要影響諧波減速器的接觸摩擦力，對伺服電機(jī)摩擦影響較小.接觸摩擦力與接觸表面之間的法向載荷有關(guān)，在關(guān)節(jié)末端施加負(fù)載力矩時，增大了嚙合齒對間的法向載荷，同時柔輪在法向載荷的作用下會發(fā)生彈性變形[26]，導(dǎo)致剛輪和柔輪的嚙合齒對數(shù)增加，進(jìn)一步影響摩擦特性.負(fù)載對諧波減速器的最大靜摩擦、庫倫摩擦和黏性摩擦均有影響[17]，且對庫倫摩擦影響較大，呈現(xiàn)冪函數(shù)變化規(guī)律.若同時考慮負(fù)載對最大靜摩擦、庫倫摩擦和黏性摩擦的影響，則最終的參數(shù)化機(jī)理摩擦模型過于復(fù)雜，容易降低參數(shù)辨識的精度，同時對模型整體精度的提升不大.因此，本文主要考慮負(fù)載對庫倫摩擦力矩的影響，建立如式（7）所示的簡化參數(shù)化模型：

其中，Trfτ為負(fù)載引發(fā)的庫倫摩擦力矩增量，a為負(fù)載力矩系數(shù)，λ為負(fù)載指數(shù)參數(shù).

2.4 機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦綜合參數(shù)化模型

綜合考慮轉(zhuǎn)速、負(fù)載對伺服電機(jī)和諧波減速器摩擦特性的影響及其周期波動特性，可建立伺服電機(jī)、諧波減速器及機(jī)器人關(guān)節(jié)的綜合摩擦模型，如下所示：

3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的殘差補(bǔ)償模型建模

機(jī)理模型雖考慮了影響關(guān)節(jié)摩擦的多種因素，但建模過程中線性假設(shè)和模型簡化不可避免，降低了模型的精度.針對機(jī)理模型計算存在的非線性殘差，本章建立了基于集成學(xué)習(xí)的殘差補(bǔ)償模型，同時采用貝葉斯優(yōu)化方法進(jìn)行模型超參數(shù)尋優(yōu)，以提高模型精度和魯棒性.

3.1 基于集成學(xué)習(xí)的殘差補(bǔ)償模型

已有學(xué)者將深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Deep neural networks,DNN)應(yīng)用到機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦建模中，大多采用單一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型方法.然而，單一網(wǎng)絡(luò)模型具有有限的非線性擬合能力，不合理的模型結(jié)構(gòu)及超參數(shù)容易導(dǎo)致模型過擬合或欠擬合.相比而言，集成學(xué)習(xí)方法[27-28]通過組合多個簡單的弱學(xué)習(xí)器以構(gòu)建強(qiáng)學(xué)習(xí)器，常用的基學(xué)習(xí)器包括迭代二叉樹(ID3)、分類與回歸樹(CART)等，模型集成策略及訓(xùn)練機(jī)制能夠有效地提高模型的泛化能力和魯棒性.集成學(xué)習(xí)方法有三種基本模式，即Bagging、Boosting和Stacking.如圖4所示，Boosting模式通過迭代使用弱學(xué)習(xí)器來補(bǔ)償上一個模型的預(yù)測殘差，最終各弱學(xué)習(xí)器的預(yù)測結(jié)果被加權(quán)作為模型的整體輸出，能夠有效地提高整體模型的預(yù)測精度.因此，本文采用Boosting模式構(gòu)建殘差補(bǔ)償模型.在實際應(yīng)用Boosting集成學(xué)習(xí)模型時，根據(jù)已有的數(shù)據(jù)資源和所針對的問題構(gòu)造訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，并通過特征重要性分析、數(shù)據(jù)濾波、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化等數(shù)據(jù)處理方法，增強(qiáng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的可靠性，提高模型精度.

圖4 Boosting集成學(xué)習(xí)模式Fig.4 Ensemble learning in the boosting mode

XGBoost[29-30]是一種基于分類與回歸樹的Boosting集成學(xué)習(xí)模型，用于解決分類和回歸問題，其模型結(jié)構(gòu)如圖5所示.相比于DNN，XGBoost在摩擦特性建模方面具有以下優(yōu)勢：首先，摩擦力矩殘差及其預(yù)測所依據(jù)的電機(jī)轉(zhuǎn)速、角度、力矩等數(shù)據(jù)共同構(gòu)建的數(shù)據(jù)集被稱為表格數(shù)據(jù)[31].相較于DNN，XGBoost已經(jīng)被證明在處理表格數(shù)據(jù)方面具有更優(yōu)異的性能.事實上，DNN模型通過時空建模以捕捉高維特征，更擅長處理圖像、自然語言等問題.其次，XGBoost采用了核外計算機(jī)制，對計算資源要求低，能夠允許用戶在普通計算機(jī)處理數(shù)億樣本數(shù)據(jù)，訓(xùn)練時間遠(yuǎn)小于DNN模型，更適合部署在機(jī)器人控制器端.因此，本文提出采用XGBoost構(gòu)建摩擦力矩的殘差補(bǔ)償模型.

圖5 XGBoost模型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of the XGBoost model

XGBoost的基本原理如下：對于給定的數(shù)據(jù)集D={(xi,yi)}(|D|=n,x∈Rp,y∈R)，其中xi為第i個樣本的特征向量，yi是對應(yīng)的標(biāo)簽，即真實值，n與m分別表示樣本數(shù)及特征數(shù)，XGBoost模型可表示為：

其中xi為輸入數(shù)據(jù)，為預(yù)測值，K為XGBoost模型中的CART數(shù)量，fk(xi)為第k棵樹對xi的預(yù)測值，F(xiàn)={f(x)=ωq(x)}(q:Rp→T,ω∈RT)表示CART的函數(shù)空間，q為每棵樹結(jié)構(gòu)，T為葉節(jié)點數(shù)量，每個fk都對應(yīng)一個獨立的樹結(jié)構(gòu)q和葉權(quán)重ω.XGBoost通過最小化如下正則化目標(biāo)函數(shù)來建立K棵樹結(jié)構(gòu)：

XGBoost通過迭代添加樹的方式實現(xiàn)訓(xùn)練，第t次迭代時第i個樣本的預(yù)測值可表示為

其中，為第t-1次迭代的預(yù)測值.此時，目標(biāo)函數(shù)可表示為

為快速優(yōu)化目標(biāo)，使用二階泰勒展開對式 (14)進(jìn)行近似處理，如式（15）所示

定義Ij={i|q(xi)=j}為葉節(jié)點j的樣本集，去除式 (15)中的常數(shù)項，并展開正則項，目標(biāo)函數(shù)可重寫為：

理想情況下，最優(yōu)權(quán)值ω*j可表示為

因此，式 (16)可寫為：

至此，式(18)可作為CART結(jié)構(gòu)的評價函數(shù)，數(shù)值越小，則表示樹結(jié)構(gòu)越好.然后，采用貪心算法[29]對樹進(jìn)行分支，從單個葉節(jié)點開始迭代，最終形成樹結(jié)構(gòu).

本文所構(gòu)建的XGBoost模型，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D的輸入包含采集到的電機(jī)角速度ω、電機(jī)角度θ和負(fù)載力矩Tl，即式(10)對應(yīng)的模型自變量，輸出為采集到的摩擦力矩與式(10)計算力矩之間的差值，即殘差力矩，模型所采用的基學(xué)習(xí)器為CART.為提高網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測精度，需要對訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，首先計算各特征平均覆蓋度(cover)，分析各特征對標(biāo)簽的重要性，然后采用高斯低通濾波方法對其進(jìn)行濾波處理，減少原始數(shù)據(jù)中的不確定因素，最后對其進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化.

3.2 基于貝葉斯優(yōu)化的超參數(shù)尋優(yōu)

超參數(shù)是影響模型精度和訓(xùn)練效率的重要因素.超參數(shù)尋優(yōu)即尋找一組使模型具有良好性能的超參數(shù)，可表示為：

其中?為超參數(shù)集， Δ?為最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)， Ψ為超參數(shù)的取值范圍， ?*為尋優(yōu)獲得的超參數(shù)集.XGBoost模型的待優(yōu)化超參數(shù)如表1所示.

表1 XGBoost模型的待優(yōu)化超參數(shù)Table 1 Hyperparameters to be optimized for the XGBoost model

在常規(guī)的參數(shù)優(yōu)化中，目標(biāo)函數(shù)往往具有顯式的數(shù)學(xué)表達(dá)形式.然而，在超參數(shù)優(yōu)化中， Δ?是黑箱目標(biāo)函數(shù)，增大了尋優(yōu)難度.網(wǎng)格搜索和隨機(jī)搜索是解決黑箱目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)的常用方法，但搜索效率較低，容易陷入局部最優(yōu).貝葉斯優(yōu)化[32]是一種基于概率分布的全局最優(yōu)化算法，首先基于假設(shè)的先驗分布，在獲得后驗分布后修改原分布置信度，能夠從黑箱目標(biāo)函數(shù)中獲取信息，迭代地找到下一個評估位置以逼近最優(yōu)解，收斂速度快.因此，本文選擇貝葉斯優(yōu)化方法進(jìn)行超參數(shù)尋優(yōu).

概率代理模型和采集函數(shù)是貝葉斯優(yōu)化的兩個核心部分[33].貝葉斯優(yōu)化通過有限的樣本點構(gòu)造概率代理模型，以近似代替黑箱目標(biāo)函數(shù)，降低計算目標(biāo)函數(shù)的成本.常用的概率代理模型包括高斯過程模型和隨機(jī)森林.采集函數(shù)將輸入空間、觀測空間和超參數(shù)空間映射到實數(shù)空間，并產(chǎn)生下一個待評估的觀測點.常用的采集函數(shù)包括Expected improvement (EI)[34]、Probability of improvement (PI)[35]、Upper bound confidence (UCB)[36]等.采用貝葉斯優(yōu)化方法進(jìn)行模型超參數(shù)尋優(yōu)時，模型輸入為圖5所示的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D和XGBoost模型，輸出為表1所示的XGBoost模型超參數(shù)集，利用高斯過程構(gòu)建概率代理模型，確定待優(yōu)化超參數(shù)集的先驗分布，并基于EI采集函數(shù)確定概率代理模型的最優(yōu)取值點，具體優(yōu)化過程如下：

Hyperparameter optimization process D={(xi,yi)}XGB(xi)=K∑Input: Sample Dataset ; XGBoost model fk(xi)k=1 Output: Optimal hyperparameter set ?*Ψ 1 Determine the search space for hyperparameter sets ;2 Initializing the Gaussian process model;3 for t=1,2,3,···, do 4 Optimizing the collection function to obtain the next evaluation point ?t Δ?t 5 Calculate objective function ;{?t,Δ?t}6 With Update Collection Function Dataset;7 Updating the Gaussian process Model;8 End for

4 實驗驗證

4.1 實驗環(huán)境與方案

搭建如圖6所示的摩擦力矩測量實驗臺，采集eRob80型機(jī)器人關(guān)節(jié)在不同電機(jī)位置、速度及負(fù)載下的摩擦力矩.加載伺服電機(jī)和行星減速器為測試關(guān)節(jié)提供負(fù)載力矩，可提供[0 , 20] N·m的動態(tài)力矩.實際施加在關(guān)節(jié)輸出端的負(fù)載力矩由動態(tài)扭矩傳感器測量，測量精度為0.01 N·m.摩擦力矩、速度、角位置和負(fù)載力矩的采樣頻率均為1 kHz.

圖6 機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦力矩實驗臺Fig.6 Friction torque measurement device for the robot joint

由式(1)可知，勻速狀態(tài)下折合到電機(jī)端的關(guān)節(jié)整體摩擦力矩Tf可由電機(jī)輸出力矩與負(fù)載力矩求得：

實驗環(huán)境溫度為25 ℃，選取的實驗參數(shù)如表2所示，在關(guān)節(jié)低速狀態(tài)下具有較小的速度間隔，以觀察Stribeck現(xiàn)象.同時采用傅里葉級數(shù)構(gòu)造關(guān)節(jié)輸入軌跡[22]并施加動態(tài)扭矩，測量對應(yīng)的摩擦力矩.為了減小測量誤差，每個實驗重復(fù)進(jìn)行三次，測量結(jié)果取平均值，同時采用高斯低通濾波器對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理.

表2 實驗參數(shù)設(shè)置Table 2 Experimental parameter settings

4.2 機(jī)理模型的參數(shù)辨識

機(jī)理模型的參數(shù)辨識分兩步進(jìn)行：首先，按照設(shè)定的各速度值，測量關(guān)節(jié)空載狀態(tài)下的摩擦力矩，此時與負(fù)載相關(guān)的摩擦力矩部分為零，進(jìn)而辨識式(3)～(4)及(6)中的未知參數(shù)；然后，按照各測量點設(shè)定的負(fù)載力矩，對關(guān)節(jié)進(jìn)行加載實驗，獲得不同負(fù)載下的摩擦力矩，辨識式(7)中的未知參數(shù).

關(guān)節(jié)空載狀態(tài)下，平均摩擦力矩隨電機(jī)轉(zhuǎn)速的變化如圖7所示.轉(zhuǎn)速小于40π rad·min-1時，平均摩擦力矩隨轉(zhuǎn)速的增大而減小，呈現(xiàn)出明顯的Stribeck現(xiàn)象.轉(zhuǎn)速大于40π rad·min-1時，平均摩擦力矩隨轉(zhuǎn)速的增大而增大.采用最小二乘方法對式(3)～(4)、(6)內(nèi)的未知參數(shù)進(jìn)行辨識，辨識結(jié)果如表3所示.由圖7可知，所建立的機(jī)理摩擦模型能夠較準(zhǔn)確地描述Stribeck現(xiàn)象，但由于黏性摩擦力矩與潤滑油流動速度間的線性假設(shè)，忽略了潤滑狀態(tài)的變化，使得模型在400π～800π rad·min-1階段的精度較差.

表3 參數(shù)辨識結(jié)果Table 3 Parameter determination results

圖7 空載、不同轉(zhuǎn)速下的平均摩擦力矩與機(jī)理模型擬合結(jié)果Fig.7 Fitting results of mean friction torque and mechanistic model under no-load and different motor speeds

不同電機(jī)轉(zhuǎn)速下，關(guān)節(jié)末端施加不同負(fù)載扭矩，平均摩擦力矩的變化如圖8所示，呈現(xiàn)冪函數(shù)變化趨勢.辨識式(6)中的未知參數(shù)，可得a=0.0575，λ=1.52.

圖8 不同轉(zhuǎn)速和負(fù)載力矩下的實際平均摩擦力矩與機(jī)理模型計算結(jié)果Fig.8 Mean of actual friction torque and torque calculated by the mechanistic model under different motor speeds and load torques

4.3 混合驅(qū)動摩擦模型的性能驗證

本節(jié)通過勻速加載實驗及機(jī)器人動態(tài)跟蹤實驗驗證所構(gòu)建的混合驅(qū)動模型的有效性，并與現(xiàn)有方法進(jìn)行對比，測試模型精度.在電機(jī)轉(zhuǎn)速為600π rad·min-1、負(fù)載扭矩為8 N·m的條件下，摩擦力矩的測量和不同建模方法的計算結(jié)果如圖9所示.

圖9 600π rad·min-1、8 N·m負(fù)載下的實際摩擦力矩、模型計算力矩及模型誤差.(a) 實際摩擦力矩與模型計算力矩; (b) 模型誤差Fig.9 Actual friction torque, torque calculated by the model, and model error under 600π rad·min-1 and 8 N·m load: (a) actual friction torque and torque calculated by the model; (b) model error

由圖7可知，機(jī)理模型在600π rad·min-1時具有較大的平均摩擦力矩誤差.加入基于集成學(xué)習(xí)的殘差補(bǔ)償模型后，在平均摩擦力矩和波動力矩方面精度提升明顯.如表4所示，峰值誤差、平均誤差和均方根誤差分別減小了70.4%、65.1%、66%.

表4 勻速加載實驗下的模型精度比較Table 4 Comparison of model accuracy under the uniform loading experiment

如圖10所示，將實驗使用的eRob80型關(guān)節(jié)安裝到水平關(guān)節(jié)機(jī)器人作為第一個關(guān)節(jié)，基于傅里葉級數(shù)構(gòu)造關(guān)節(jié)1的運動軌跡，如圖11所示.實驗過程關(guān)節(jié)2保持不動，采用基于PC的控制器實現(xiàn)關(guān)節(jié)1的運動控制和數(shù)據(jù)采集.

圖10 水平關(guān)節(jié)機(jī)器人Fig.10 Horizontal robot joint

圖11 關(guān)節(jié)1運動軌跡Fig.11 Joint 1 motion trajectory

建立水平關(guān)節(jié)機(jī)器人的動力學(xué)模型，關(guān)節(jié)的負(fù)載力矩可由動力學(xué)模型計算獲得.基于機(jī)器人動力學(xué)模型和關(guān)節(jié)摩擦模型，對關(guān)節(jié)1電機(jī)力矩進(jìn)行預(yù)測，不同摩擦建模方法的預(yù)測結(jié)果如圖12所示.由圖可知，本文所提出的混合驅(qū)動模型具有更高的預(yù)測精度和穩(wěn)定性.如表5所示，相比于機(jī)理模型，本文混合驅(qū)動模型峰值誤差減小了53.1%，平均誤差減小了65.5%，均方根誤差減小了62.9%.

表5 基于不同模型預(yù)測的電機(jī)力矩誤差Table 5 Motor torque error predicted based on different models

圖12 實際電機(jī)力矩與模型誤差.(a) 實際電機(jī)力矩; (b) 基于不同摩擦模型預(yù)測的電機(jī)驅(qū)動力矩誤差Fig.12 Actual motor torque and model error: (a) actual motor torque; (b) errors of motor torque prediction based on different friction models.

采用反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BP)、支持向量機(jī)(SVM)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)和長短時記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(LSTM)方法建立殘差補(bǔ)償模型，同時結(jié)合機(jī)理模型構(gòu)建不同的混合驅(qū)動模型進(jìn)行對比實驗，不同混合驅(qū)動模型的誤差對比如圖13所示.由表5可知，相比于其他混合驅(qū)動模型，本文模型在峰值誤差、平均誤差和均方根誤差方面具有更小的模型誤差，表明XGBoost模型具有更好的特征提取和非線性擬合能力，更適應(yīng)于摩擦建模.

圖13 基于不同混合驅(qū)動模型預(yù)測的電機(jī)力矩誤差.(a) BP+機(jī)理模型與本文模型誤差; (b) SVM+機(jī)理模型與本文模型誤差; (c) CNN+機(jī)理模型與本文模型誤差; (d) LSTM+機(jī)理模型與本文模型誤差Fig.13 Errors of motor torque prediction based on different hybrid models: (a) error between the BP + mechanistic model and the proposed model;(b) error between the SVM + mechanistic model and the proposed model; (c) error between the CNN + mechanistic model and the proposed model;(d) error between the LSTM + mechanistic model and the proposed model

5 結(jié)論

(1) 本文綜合考慮轉(zhuǎn)速、負(fù)載對關(guān)節(jié)摩擦特性的影響及其波動特性，分別建立了伺服電機(jī)與諧波減速器的參數(shù)化摩擦模型，進(jìn)而構(gòu)建了機(jī)器人關(guān)節(jié)的整體參數(shù)化摩擦機(jī)理模型.

(2) 針對機(jī)理模型計算存在的非線性殘差，提出了基于XGBoost方法的摩擦殘差補(bǔ)償模型.通過采用Boosting集成學(xué)習(xí)策略，提高殘差補(bǔ)償模型的泛化能力.同時，采用貝葉斯優(yōu)化方法進(jìn)行XGBoost模型的超參數(shù)尋優(yōu)，以提高模型精度和訓(xùn)練效率.

(3) 實驗驗證表明，本文提出的混合驅(qū)動模型相比于機(jī)理模型有更高的精度和魯棒性，其平均絕對誤差和均方根誤差均減小了60%以上.所采用的XGBoost模型與多種典型數(shù)據(jù)驅(qū)動方法相比具有更高的精度，其模型誤差多維持在±0.005 N·m以內(nèi)，且平均絕對誤差和均方根誤差均減小了40%左右.