摘要：在細(xì)觀尺度下，根據(jù)1種徑向軸紗的三維五向圓形編織紗線的空間結(jié)構(gòu)，考慮紗線相互擠壓后的截面形狀，通過(guò)引入圓形單胞的周期性邊界條件，建立了包含上、下表面子單胞以及內(nèi)部單胞的三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞模型。基于該單胞模型，采用剛度體積平均法，建立了三維五向圓形編織復(fù)合材料的剛度預(yù)測(cè)模型，對(duì)花節(jié)長(zhǎng)度分別為0.6、0.7、0.8 mm的三維五向圓形編織復(fù)合材料進(jìn)行剛度預(yù)測(cè)，并與復(fù)合材料力學(xué)剛度理論計(jì)算方法所得結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明：3種花節(jié)的纖維體積分?jǐn)?shù)分別為24.94%、2333%、22.04%，纖維體積分?jǐn)?shù)、編織角與花節(jié)長(zhǎng)度呈負(fù)相關(guān)；單胞模型的彈性模量預(yù)測(cè)結(jié)果分別為16.42、15.63、14.83 GPa，理論計(jì)算結(jié)果分別為16.96、16.25、15.34 GPa，縱向剛度與花節(jié)長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)；單胞幾何模型考慮了復(fù)合材料成型后紗線的相互擠壓，使得單胞模型中的纖維體積含量略小于理論計(jì)算方法，造成理論計(jì)算結(jié)果略大于單胞預(yù)測(cè)結(jié)果。研究結(jié)果能夠有效提高三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度預(yù)測(cè)精度，擴(kuò)展了細(xì)觀單胞法的應(yīng)用領(lǐng)域，為今后三維五向圓形編織復(fù)合材料的應(yīng)用提供必要的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：三維五向編織；圓形編織；三單胞法；剛度體積平均法；復(fù)合材料；剛度預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào)：TS101.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-265X（2024）02-0083-13

三維圓形編織結(jié)構(gòu)是三維編織復(fù)合材料實(shí)際應(yīng)用中最常見(jiàn)的形式之一，例如輸水輸油管、傳動(dòng)軸、航空相貫圓管接頭等［1］。三維圓形編織復(fù)合材料具有質(zhì)量輕、強(qiáng)度高、加工成型方便、彈性優(yōu)良等特點(diǎn)［2-3］。與三維四向編織相比，三維五向編織增加了一組特定方向的紗線，以增強(qiáng)該方向的強(qiáng)度。徑向軸紗三維五向編織圓形結(jié)構(gòu)由于在厚度方向（徑向）增加了增強(qiáng)纖維，不僅具有層合復(fù)合材料良好的面內(nèi)性能，同時(shí)在厚度方向上的力學(xué)性能也比層合復(fù)合材料有很大提高。因此，徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料具有廣闊的應(yīng)用前景。開(kāi)展徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度預(yù)測(cè)研究能夠?yàn)樵摬牧铣休d部件的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供必要的理論支撐，具有重要的理論意義。

三維編織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)復(fù)雜，現(xiàn)階段國(guó)內(nèi)外學(xué)者多以平板類結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，并多采用細(xì)觀單胞法開(kāi)展三維編織復(fù)合材料力學(xué)性能研究。張超等［3］、Gu等［4］基于三維五向復(fù)合材料預(yù)制體編織工藝方法和結(jié)構(gòu)形式，推導(dǎo)了三維五向編織平板試驗(yàn)件的細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立了三維五向編織平板試驗(yàn)件細(xì)觀單胞模型，該單胞模型將打緊后的紗線簡(jiǎn)化為矩形截面，預(yù)測(cè)結(jié)果存在較大誤差。Ge等［5］、Zhou等［6］、Zhang等［7］通過(guò)CT技術(shù)確定了三維四向編織復(fù)合材料細(xì)觀單胞結(jié)構(gòu)，結(jié)合漸進(jìn)損傷方法，預(yù)測(cè)了三維四向編織復(fù)合材料平板類試驗(yàn)件的強(qiáng)度。Maji等［8］推導(dǎo)了三維編織復(fù)合材料平板類試驗(yàn)件的剛度矩陣，采用體積平均法進(jìn)行計(jì)算，得到了三維編織平板類復(fù)合材料的等效剛度，預(yù)測(cè)了三維

編織復(fù)合材料平板類試驗(yàn)件的振動(dòng)特性。Jing等［9］、Mei等［10］考慮了紗線之間的相互擠壓，基于三維編織復(fù)合材料平板結(jié)構(gòu)，建立了紗線橫截面為六邊形的單胞模型，并基于Hashin失效判定準(zhǔn)則，預(yù)測(cè)了三維編織復(fù)合材料平板試驗(yàn)件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。Zuo等［11］基于三維五向編織工藝特點(diǎn)，建立了橢圓形纖維截面的單胞模型，預(yù)測(cè)了壓縮載荷下三維五向編織復(fù)合材料平板試驗(yàn)件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，該模型未考慮紗線之間的相互擠壓作用，使得該單胞模型計(jì)算的纖維體積含量大于實(shí)際值，從而造成剛度預(yù)測(cè)值大于實(shí)際值。

三維編織圓形管狀構(gòu)件常常會(huì)受到拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)等［12］多向載荷的影響，在構(gòu)件內(nèi)部形成復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)與多種類型損傷，對(duì)其力學(xué)性能展開(kāi)研究尤為重要。陳利等［13］、李典森等［14］、Zhang等［15］通過(guò)研究三維圓形編織的空間紗線路徑以及紗線交織結(jié)構(gòu)，給出了三維圓形編織復(fù)合材料單胞的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及相應(yīng)的幾何參數(shù)，較為準(zhǔn)確地描述了三維圓形編織復(fù)合材料單胞中紗線的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但沒(méi)有考慮紗線截面形狀。Liu等［16］將三維圓形編織復(fù)合材料紗線走向和截面形狀進(jìn)行化簡(jiǎn)，建立了完整的三維圓形編織復(fù)合材料幾何模型，采用Hill失效準(zhǔn)則預(yù)測(cè)了三維圓形編織復(fù)合材料不同編織角度在壓縮載荷下的損傷演化過(guò)程；研究發(fā)現(xiàn)，小編織角的復(fù)合材料可有效承受壓應(yīng)力，大編織角的復(fù)合材料應(yīng)力分布無(wú)明顯變化。Gideon等［17］采用宏細(xì)觀結(jié)合的方法預(yù)測(cè)了三維圓形編織復(fù)合材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線，模擬了壓縮載荷下三維圓形編織復(fù)合材料管件的壓縮破壞過(guò)程。以上兩篇文獻(xiàn)的模型具有一定預(yù)測(cè)精度，但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，且通用性較差。Zhang等［18］建立了1種紗線截面形狀為圓形的徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞模型，并利用該模型計(jì)算得到了單胞長(zhǎng)度與纖維體積含量、編織角之間的關(guān)系；由于該單胞模型沒(méi)有考慮紗線之間的相互擠壓作用，使得預(yù)測(cè)結(jié)果偏低。綜上可知，三維編織復(fù)合材料的研究主要以平板類結(jié)構(gòu)為主，徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的文獻(xiàn)鮮有報(bào)道，相關(guān)的預(yù)測(cè)模型不能準(zhǔn)確地體現(xiàn)紗線的實(shí)際構(gòu)型以及受力狀態(tài)，因而模型的預(yù)測(cè)精度不高。

本文在Zhang等［18］研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，結(jié)合三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞的周期性，提出1種徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞模型。該模型考慮紗線打緊后的走向和橫截面形狀，單胞模型的周期性，并結(jié)合剛度體積平均法，建立三維圓形編織復(fù)合材料的剛度預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)碳纖維/樹(shù)脂基三維圓形編織復(fù)合材料的縱向剛度，并通過(guò)與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文預(yù)測(cè)模型的有效性。本文的研究，將提升徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度預(yù)測(cè)的精度，為今后徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的應(yīng)用提供必要的理論支撐。

1徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料紗線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

與矩形編織工藝相似，徑向軸紗三維五向圓形編織工藝同樣采用4步法完成，但圓形編織一般采用極坐標(biāo)系，且存在沿圓管方向加入1組紗線。編織機(jī)的攜紗器按照M×N的順序排列，其中：M為徑向的編織紗的數(shù)目，N為徑向的第五向紗線數(shù)目。

徑向軸紗三維五向圓形編織紗線的編織原理如圖1所示。編織原理由橫縱式4步法［19］演變來(lái)，以此反映徑向軸紗三維五向圓形編織運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖1中“”表示第五向紗線，方框代表編織紗，數(shù)字代表層數(shù)，不同層數(shù)的顏色不同，大寫(xiě)字母代表周向編織紗數(shù)目，以便于分辨編織紗的移動(dòng)位置。由圖1可知，編織工藝的4步法中第1步為第二層與第四層紗線沿角度負(fù)方向移動(dòng)，第三層紗線沿著角度的正方向移動(dòng)。第2步是在圖1（a）的基礎(chǔ)上，紗架相互移動(dòng)，A、C、E、G列紗線沿著層數(shù)遞減的方向移動(dòng)，B、D、F列紗線沿著層數(shù)遞增的方向移動(dòng)。第3步在圖1（b）的基礎(chǔ)上，第二層與第四層沿著角度遞增方向移動(dòng)，第三層沿著角度遞減方向移動(dòng)。第4步在圖1（c）的基礎(chǔ)上，A、C、E、G沿著層數(shù)遞增方向移動(dòng)，B、D、F沿著層數(shù)遞減方向移動(dòng)。運(yùn)動(dòng)后紗線位置如圖1（d）所示。攜紗器按照上述的4步法循環(huán)運(yùn)動(dòng)得到徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的預(yù)制體。攜紗器運(yùn)動(dòng)下紗線軌跡的水平投影如圖2所示，梯形框框住部分為單胞水平投影形狀。由圖2可知，該單胞具有周期性。

2徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度預(yù)測(cè)模型

2.1細(xì)觀單胞模型的基本假設(shè)

為了提高建模效率，對(duì)徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞進(jìn)行等效簡(jiǎn)化，化簡(jiǎn)后的單胞模型示

意圖如圖3所示，將六面體單胞的扇形截面簡(jiǎn)化為等腰梯形狀的截面。由式（1）—（2）可知，簡(jiǎn)化后的單胞的水平投影面積不變，從而總體積不變［20］。

扇形的橫截面面積：

S1=h2∫L10dx+∫L20dx=h2（L1+L2）（1）

梯形的橫截面面積：

S2=h2∫L10dx+∫L20dx=h2（L1+L2）（2）

式中：S1、S2為單胞扇形截面和梯形截面面積；h為花節(jié)長(zhǎng)度；L1、L2分別為截面底邊長(zhǎng)度。

簡(jiǎn)化以后的單胞模型有助于提高計(jì)算效率，從而有利于進(jìn)一步研究徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的力學(xué)性能。此外，本文還進(jìn)行以下假設(shè)：

a）編織工藝過(guò)程穩(wěn)定，編織結(jié)構(gòu)均勻；

b）編織紗線因選取單元較小，在空間中的走向保持直線型；

c）考慮紗線的相互擠壓，將紗線截面假設(shè)為六邊形。

2.2單胞模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

由圖1—圖3可知，在穩(wěn)定編織工藝環(huán)境下，徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的紗線結(jié)構(gòu)具有周期性，考慮徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料表面和內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同，可將單胞劃分為上表面單胞、內(nèi)部單胞、下表面單胞［21］，本文劃分的徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞模型示意圖如圖4所示。

根據(jù)紗線的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，Zhang等［18］將圖4中內(nèi)胞分成4個(gè)子區(qū)域，將4個(gè)子區(qū)域分別定義為A、B、C、D，如圖5所示，其中Rin為內(nèi)部單胞內(nèi)徑，Rout為內(nèi)部單胞外徑。這4個(gè)子區(qū)域沿徑向編織周期性向外延伸，由于在編織過(guò)程中4步為1個(gè)循環(huán)，因此取1個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)長(zhǎng)h作為內(nèi)胞的寬度，由圖4可知內(nèi)胞高度為2Wh，那么4個(gè)子區(qū)域中的任意1個(gè)子區(qū)域的高度就為Wh，內(nèi)胞4個(gè)子區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6中編織紗與編織成型方向的夾角為內(nèi)部編織角，用γ表示。由圖6中紗線的空間分布可知，每1個(gè)內(nèi)胞子域中都有4種不同走向的編織紗。內(nèi)部編織角沿徑向方向分布不同，軸紗與編織成型方向平行，并且分布在內(nèi)部單胞4個(gè)子域的邊角上。

將徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞的內(nèi)徑定義為Rin，外徑定義為Rout，則三維圓形編織的壁厚T可以表示為T=Rout－Rin，則徑向軸紗三維五向圓形編織紗線柱坐標(biāo)的參數(shù)方程可表示為：

r=r0±kΔr（3）

θ=θ0±kΔθ（4）

z=kwj2（5）

式中：Δθ=2πM；r0、θ0為編織紗初始位置的極坐標(biāo)值，r、θ為編織紗某一步的極坐標(biāo)值，且Rin－h(huán)4≤r≤Rout+h4；k為圓弧系數(shù)。當(dāng)對(duì)紗線進(jìn)行編織時(shí)，如果紗線是沿著半徑向外表面運(yùn)動(dòng)或者向內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)，且軸紗的方向沿徑向位置固定，則r=r0+kΔr或者r=r0－kΔr；如果紗線沿著周向順時(shí)針或者逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，則θ=θ0+kΔθ或者θ=θ0-kΔθ［22］。

為方便采用數(shù)學(xué)模型表達(dá)紗線的空間位置，令單胞中紗線的初始位置為單胞邊界處。由圖3可知，設(shè)三維圓形編織三維單胞模型內(nèi)徑為R1，外徑設(shè)為R2，單胞模型壁厚為1個(gè)花節(jié)長(zhǎng)度h，則h可表示為h=R2-R1，在柱坐標(biāo)系下，內(nèi)部單胞編織紗的初始位置可表示如下：

r01=R1+t4h

r02=R2－t4h（6）

θ0=±i2Δθ（7）

z=cwh2（8）

式中：t≥0，c取偶數(shù)，式（3）—式（8）為內(nèi)胞編織紗初始位置的軌跡方程。

內(nèi)部編織角可表示為：

cosγi=Lih4（9）

式中：Li為內(nèi)胞中編織紗在水平面內(nèi)的投影長(zhǎng)度，可通過(guò)式（10）計(jì)算得到。

Li=（xi+1－xi）2+（yi+1－yi）2+（zi+1－zi）2（10）

根據(jù)式（6）—式（8）可以推導(dǎo)出內(nèi)部編織紗在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值為：

x=r0cosθ0（11）

y=r0sinθ0（12）

內(nèi)胞的總體積Vin、內(nèi)胞中纖維體積Vins以及纖維體積含量vin可由內(nèi)胞的編織角及單胞幾何參數(shù)獲取，相關(guān)表達(dá)式如式（13）—式（15）所示：

Vin=4π（R22－R12）WhM+N（13）

Vins=∑S3hcosγi+4S4h（14）

vin=VinsVin（15）

式中：γi為內(nèi)胞4個(gè)子域的編織角；S3、S4為編織紗線和軸紗的截面積。

根據(jù)上表面單胞的編織角可推導(dǎo)得到上表面單胞的體積Vtop，上表面單胞中紗線體積Vtops以及上表面單胞中的纖維體積含量vtop：

Vtop=2π（R22－R12）WhM+N（16）

Vtops=S3hcosγtop+S4h2（17）

vtop=VtopsVtop（18）

根據(jù)下表面單胞編織角可以推導(dǎo)得到下表面單胞的體積Vlow、下表面單胞中紗線體積Vlows以及下表面單胞中纖維體積含量vlow：

Vlow=2π（R22－R12）WhM（19）

Vlows=S3hcosγlow+S4h2（20）

vlow=VlowsVlow（21）

徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的總纖維體積含量為每個(gè)單胞的纖維體積含量與每個(gè)單胞占整個(gè)單胞胞體積百分比的積之和，具體表達(dá)內(nèi)容如下：

Vf=Vivi+Vsvtop+Vcvlow（22）

式中：Vi，Vs，Vc為分別為內(nèi)胞、上、下表面單胞占整個(gè)單胞體積的百分比。

2.3單胞模型的細(xì)觀結(jié)構(gòu)

徐正亞等［23］給出了顯微鏡下的三維圓形編織復(fù)合材料紗線截面細(xì)觀結(jié)構(gòu)形貌，如圖7所示。由

圖7可知，編織紗截面呈近似六邊形，軸紗截面呈三角形。主要原因在于，紗線的截面形狀在紗線打緊后發(fā)生相互擠壓作用。打緊后的編織紗截面形狀可近似等效為打緊前橢圓形的內(nèi)切六邊形，軸紗的截面形狀為三角形，如圖8所示。

圖8（a）中橢圓的長(zhǎng)短半軸分別用a、b來(lái)表示。橢圓內(nèi)切六邊形的傾斜邊與y軸形成的角度等于編織角度γ［24］。

則內(nèi)切六邊形斜邊的直線方程可表示為：

y=xcotα+a1（23）

編織紗與軸紗的紗線截面積S3［25］、S4可以表示為：

S3=a1b22∑ni=1sinai（24）

S4=2a1b2（25）

式中：ai為橢圓內(nèi)切n邊形，n條邊所對(duì)的圓心角。

通過(guò)以上參數(shù)方程可以得到徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的細(xì)觀幾何建模參數(shù)。圖9為徑向軸紗三維五向圓環(huán)編織復(fù)合材料的上表面單胞、內(nèi)胞、下表面單胞幾何模型。上表面單胞、內(nèi)胞和下表面單胞紗線模型如圖10所示，基體模型如圖11所示。采用四面體10節(jié)點(diǎn)單元對(duì)幾何模型進(jìn)行劃分，相應(yīng)幾何模型如圖12所示。

2.4邊界條件處理

為建立符合徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的單胞模型，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)周期性特點(diǎn)，對(duì)三維圓形編織復(fù)合材料單胞模型施加合理的周期性邊界條件。Xia等［26］提出了1種能夠保證單胞模型在變形和應(yīng)力連續(xù)的周期性邊界條件，表達(dá)式如式（26）所示：

uj+i－uj－i=ik（xj+k－xj－k）=ikΔxjk（26）

式中：j+、j-表示單胞第j組的相對(duì)平行面，ik為單胞的平均應(yīng)變，Δxik為x方向的相對(duì)平行面距離，一般為常數(shù)。徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的單胞周期性邊界條件示意圖如圖13所示。

由圖13可知，徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞周向與軸向具有周期性，則圖13中平面ABCD與平面EFGH的邊界條件可以表示為：

urABCD－urEFGH=0

uθABCD－uθEFGH=0

uzABCD－uzEFGH=ik2Wh（27）

平面ADHE與平面BCGF的邊界條件可以表示為：

urABCD－urEFGH=0

uθABCD－uθEFGH=ikΔθ

uzABCD－uzEFGH=0（28）

式中：ur、uθ、uz分別為r、θ、z方向的位移。

上、下表面單胞的形狀與內(nèi)胞的形狀一致，內(nèi)胞的周期性邊界條件同樣適用于上、下表面單胞。2.5編織工藝參數(shù)對(duì)單胞幾何模型的影響

編織工藝參數(shù)變化對(duì)單胞幾何模型及力學(xué)性能有影響，編織角和纖維體積含量隨著花節(jié)長(zhǎng)度的變化而變化，并且與其成反比關(guān)系，即當(dāng)花節(jié)長(zhǎng)度越小時(shí)，編織角與纖維體積含量越大，如圖14所示。

徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的單胞等效剛度可以由單胞的平均應(yīng)力與單胞的平均應(yīng)變相除求得。單胞的平均應(yīng)力可通過(guò)式（29）求得：

σ=1V∫VσijdV=（pj）iSi（29）

式中：V表示單胞的體積，σij表示單胞內(nèi)每個(gè)單元的應(yīng)力，Si表示第i個(gè)表面面積，（pj）i表示第i個(gè)表面上所有節(jié)點(diǎn)在j方向上的節(jié)點(diǎn)力之和。

2.6剛度預(yù)測(cè)方法及其計(jì)算流程

本文基于上述建立的單胞模型，采用剛度體積平均法，對(duì)徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料進(jìn)行縱向剛度預(yù)測(cè)。具體方法及計(jì)算流程為：首先建立各細(xì)觀單胞幾何模型并進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后對(duì)以上各單胞模型施加周期性邊界條件以及相應(yīng)的位移載荷，之后開(kāi)展應(yīng)力分析，獲得相應(yīng)單胞的應(yīng)力-應(yīng)變場(chǎng)，進(jìn)而得到相應(yīng)單胞平均應(yīng)力，最后將平均應(yīng)力除以平均應(yīng)變即為該單胞在相應(yīng)方向的彈性模量，根據(jù)內(nèi)胞彈性模量Ei、上表面單胞彈性模量Et、下表面單胞彈性模量El與相應(yīng)單胞的纖維體積含量相乘后相加可計(jì)算出三維五向圓形結(jié)構(gòu)編織復(fù)合材料的彈性模量：

Etotal=vinEi+vtopEt+vlowEl（30）

該預(yù)測(cè)方法的計(jì)算流程圖如圖15所示。

3徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度理論計(jì)算方法

徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度理論計(jì)算方法同樣先將材料從細(xì)觀角度劃分為內(nèi)胞、上、下表面單胞，但計(jì)算過(guò)程未考慮紗線的細(xì)觀截面形狀，僅考慮紗線的宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的纖維體積含量受半徑和層數(shù)影響，剛度矩陣可以從內(nèi)胞、上、下表面單胞每一層紗線的徑向進(jìn)行推導(dǎo)［27］。通過(guò)局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換得到各周向單胞的等效剛度矩陣，通過(guò)體積平均法得到各單胞等效剛度矩陣，而整體復(fù)合材料的剛度矩陣可以通過(guò)將內(nèi)部區(qū)域、上下表面區(qū)域剛度矩陣經(jīng)體積加權(quán)平均得到。

各向異性復(fù)合材料的柔度矩陣S為：

S=1E11－v21E22－v31E33000

－v12E111E22－v32E33000

－v13E11－v23E221E33000

0001G2300

00001G310

000001G12（31）

則剛度矩陣Cf可以表示為：

Cf=Sf-1（32）

對(duì)不同走向紗線的局部坐標(biāo)系下剛度矩陣Ci進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可以得到全局坐標(biāo)系下的剛度矩陣Cik，如式（33）所示：

Cik=TkCfTkT（33）

式中：k取不同走向紗線數(shù)目，Tk為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣。

全局坐標(biāo)系下任意取向紗線的夾角可通過(guò)局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣獲取，圖16給出了全局坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系關(guān)系。

圖16中1方向表示紗束不同取向，x表示編織方向，則轉(zhuǎn)換矩陣為：

Ti=

l12m12n122m1n12n1l12l1m1

l22m22n222m2n22n2l22l2m2

l32m32n322m3n32n3l32l3m3

l2l3m2m3n2n3m2n3+m3n2n2l3+n3l2l2m3+l3m2

l3l1m3m1n3n1m3n1+m1n3n3l1+n1l3l3m1+l1m3

l1l2m1m2n1m2m1n2+m2n1n1l2+n2l1l1m2+l2m1

（34）

式中：li、mi、ni表示紗線的方向余弦，具體表達(dá)式如式（35）所示［28］：

l1=cosγ，l2=sinγcosβ，l3=sinγsinβ

m1=0，m2=sinβ，m3=－cosβ

n1=－sinγ，n2=cosγcosβ，n3=cosγsinβ （35）

式中：β=arccos2Whcosγhsinγ。

對(duì)所有單胞的剛度矩陣進(jìn)行體積平均后，可以得到內(nèi)胞第一層的等效剛度矩陣，本文對(duì)Jing等［9］的彈性性能推導(dǎo)進(jìn)行了修正。具體方程式如下：

Ci1=Vi1T1CfT1T+Vi2T2CfT2T+Vi3T3CfT3T+Vi4T4CfT4T+Vi5×Cf（36）

式中：Vik為內(nèi)胞中5種不同取向紗線占內(nèi)胞的體積比，當(dāng)k取1，2，…，4時(shí)，有：

Vik=S3h4cosγkS3h4cosγ1+h4cosγ2+h4cosγ3+h4cosγ4+S4h（37）

當(dāng)k=5時(shí)，

Vi5=S4hS3h4cosγ1+h4cosγ2+h4cosγ3+h4cosγ4+S4h（38）

式中：S3見(jiàn)公式（24）。

同理可知，內(nèi)胞的等效剛度矩陣為每層等效剛度矩陣的體積加權(quán)，具體表達(dá)式如式（39）：

Ci=V1∑m－1k=1VkCi1+

V2∑m－1k=1VkCi2+…+

Vm－1∑m－1k=1VkCi（m－1）（39）

式中：Vk=nS3h4cosγi+h4cosγi+1+h4cosγi+2+h4cosγi+3+S4h，k可取1，2，…，m-1，i可取1，5，…，1+（n-1）。

上表面單胞的等效剛度矩陣的表達(dá)式為：

Ctop=Vtop1×12×∑2k=1TkCfTkT+Vtop2×Cf（40）

式中：Vtop1和Vtop2為上表面單胞的編織紗和軸紗的體積比，且Vtop1=3h4/cosγt3h4/cosγt+h，Vtop2=h3h4/cosγt+h。

同理可得下表面單胞的等效剛度矩陣Clow，則徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料紗線總體等效剛度矩陣為：

Cf=CiCi+CtopCtop+ClowClow

Ci=∑m－1k=1Vk/∑m－1k=1Vk+2n3h4cosγt+h

Ctop=n3h4cosγt+h/∑m－1k=1Vk+2n3h4cosγt+h

Clow=Ctop=n3h4cosγt+h/∑m－1k=1Vk+2n3h4cosγt+h（41）

式中：上、下表面單胞的編織角一致。

則徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的總剛度矩陣C可以表示：

C=Cf×Vf+Cm×Vm（42）

式中：Cm為基體剛度矩陣（基體為各向同性材料），Vm為基體體積含量Vm=1－Vf。

4結(jié)果分析

表1給出碳纖維/樹(shù)脂基徑向軸紗三維五向圓形復(fù)合材料的組分性能參數(shù)［16］。

經(jīng)有限元計(jì)算完成上表面單胞、內(nèi)部單胞、下表面單胞的應(yīng)力分析，應(yīng)力云圖如圖17—圖18所示：

采用不同花節(jié)長(zhǎng)度分別進(jìn)行徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度的理論計(jì)算和細(xì)觀單胞仿真計(jì)算。3組數(shù)據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果如表2所示。

由計(jì)算結(jié)果可知：

a） 由圖17—圖18中各單胞應(yīng)力云圖可知，各單胞紗線具有較高的應(yīng)力水平，基體部分的應(yīng)力水平較低，但分布情況比較復(fù)雜。

b） 各單胞紗線與基體的應(yīng)力分布圖反映出雖然單胞模型的軸紗方向?yàn)閺较?，受力方向?yàn)榭v向，但是軸紗承載為主要承載紗線，且編織紗與軸紗交織部分以及紗線與基體相交處應(yīng)力集中現(xiàn)象明顯。

c） 結(jié)合圖14和表2中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)花節(jié)長(zhǎng)度越大時(shí)，各單胞編織角越小，纖維體積含量越小，縱向剛度值越小，由圖14可知，編織角度與纖維體積含量隨著花節(jié)長(zhǎng)度h的增加而遞減，表明花節(jié)長(zhǎng)度編織工藝參數(shù)的變化對(duì)縱向剛度有一定影響。

d） 對(duì)比理論計(jì)算結(jié)果與細(xì)觀單胞仿真計(jì)算結(jié)果可知，理論計(jì)算與細(xì)觀單胞仿真計(jì)算得到的縱向剛度隨花節(jié)長(zhǎng)度增大的變化趨勢(shì)一致，而理論計(jì)算的數(shù)值略大于細(xì)觀單胞仿真計(jì)算，主要原因在于本文建立的模型中考慮紗線相互擠壓，并且合理地假設(shè)了紗線截面形狀，使得理論計(jì)算模型得到的纖維體積含量大于細(xì)觀單胞模型計(jì)算結(jié)果，從而造成理論預(yù)測(cè)的剛度值大于細(xì)觀單胞模型仿真計(jì)算結(jié)果。

5結(jié)論

本文從細(xì)觀尺度出發(fā)，結(jié)合徑向軸紗三維五向圓形編織工藝特點(diǎn)，建立了徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的單胞模型，對(duì)單胞模型施加了相應(yīng)的周期性表結(jié)條件，基于剛度體積平均法，建立了徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料剛度預(yù)測(cè)模型，并進(jìn)行了縱向拉伸剛度預(yù)測(cè)，主要結(jié)論如下：

a） 基于徑向軸紗三維五向圓形編織工藝及其紗線的編織規(guī)律，考慮了紗線的相互擠壓，建立了由內(nèi)胞、上、下表面單胞組成的三維圓形編織復(fù)合材料的單胞模型。推導(dǎo)了單胞幾何尺寸、編織工藝參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系以及纖維體積含量計(jì)算公式。建立了徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料單胞模型周期性邊界條件，結(jié)合體積平均法，建立了三維圓形編織復(fù)合材料剛度預(yù)測(cè)模型。

b） 對(duì)比3組不同花節(jié)長(zhǎng)度的碳纖維/樹(shù)脂基徑向軸紗三維五向圓形編織復(fù)合材料的縱向剛度預(yù)測(cè)結(jié)果，結(jié)果表明：花節(jié)長(zhǎng)度越大，編織角和纖維體積含量越小，三維圓形編織復(fù)合材料的縱向剛度越大；細(xì)觀單胞計(jì)算值與理論計(jì)算值相差較小。

c） 理論計(jì)算得到的剛度值略大于細(xì)觀單胞計(jì)算值；從各單胞應(yīng)力分布圖軸紗承載較多載荷，反映出徑向軸紗使得復(fù)合材料軸向力學(xué)性能有所增強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］張徐梁.三維五向碳纖/玻纖混雜編織復(fù)合材料圓管的制備及能量吸收性能［D］.上海：東華大學(xué)，2021：6-10.

ZHANG Xuliang. Preparation and Energy Absorption of Three-dimensional Five Direction Carbon Fiber/Glass Fiber Hybrid Braided Circular Tube［D］. Shanghai： Donghua University， 2021： 6-10.

［2］LI X， HE X， LIANG J， et al. Research status of 3D braiding technology［J］. Applied Composite Materials， 2022， 29（1）： 147-157.

［3］張超，許希武，嚴(yán)雪.三維五向及全五向編織復(fù)合材料的三單胞結(jié)構(gòu)模型［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45（2）：170-178.

ZHANG Chao， XU Xiwu， YAN Xue. Three unit-cell structure models of 3-D five-directional and full five-directional braided composites［J］. Journal of Nanjing University of Aeronauticsamp;Astronautics， 2013， 45（2）： 170-178.

［4］GU Q J， QUAN Z Z， YU J Y， et al. Structural modeling and mechanical characterizing of three-dimensional four-step braided composites： A review［J］. Composite Structures， 2019， 207： 119-128.

［5］GE L， LI H M， ZHENG H Y， et al. Two-scale damage failure analysis of 3D braided composites considering pore defects［J］. Composite Sciences， 2021， 260： 113556.

［6］ZHOU W， WANG H， CHEN Y， et al. A Methodology to obtain the accurate RVEs by a multiscale numerical simulation of the 3D braiding process［J］. Polymers， 2022， 14： 4210.

［7］ZHANG L， HU D Y， WANG R Q， et al. Establishing RVE model composed of dry fibers and matrix for 3D four-directional braided composites［J］. Journal of Composite Materials， 2019， 53（14）： 1917-1931.

［8］MAJI P， SINGH B N， SINGH D B. A third-order polynomial for the free vibration response of 3D braided curved panels using various boundary conditions［J］. Mechanics Based Design of Structures and Machines， 2023， 51（4）： 2279-2301.

［9］JING X， CHENG Z， TENG X F， et al. Reconstruction of meso-structure and numerical simulations of the mechanical behavior of three-dimensional four-directional braided ceramic matrix composites［J］. Ceramics International， 2020， 46（18）： 29309-29320.

［10］MEI H Y， HAN Z Y， LIANG S Q， et al. Process modelling of 3D hexagonal braids［J］. Composite Structures， 2020， 252： 112679.

［11］ZUO H M， ZHU H， LI D S， et al. Study on in-plane compression properties and numerical modeling of three dimensional five-directional braided composites［J］. Thin-Walled Structures， 2021，168： 108232.

［12］谷元慧，劉曉東，錢坤，等.三維編織復(fù)合材料圓管力學(xué)性能研究進(jìn)展［J］.化工新型材料，2020，48（2）：258-262.

GU Yuanhui， LIU Xiaodong， QIAN Kun， et al. Research progress on mechanical property of 3D braided composite circular tube［J］. New Chemical Materials， 2020， 48（2）： 258-262.

［13］陳利，李嘉祿，李學(xué)明.三維四步法圓型編織結(jié)構(gòu)分析［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2003，20（2）：76-80.

CHEN Li， LI Jialu， LI Xueming. Analysis of 4-step 3D tubular braiding structure［J］. Acta Materiae Compositae Sinica， 2003， 20（2）：76-80.

［14］李典森，盧子興，陳利，等.三維五向圓型編織復(fù)合材料細(xì)觀分析及彈性性能預(yù)測(cè)［J］.航空學(xué)報(bào)，2007，28（1）：123-129.

LI Diansen， LU Zixing， CHEN Li， et al. Microstructure analysis and prediction of the elastic properties of 3D and 5D tubular braided composites［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2007， 28（1）： 123-129.

［15］ZHANG Y Y， LI H M， GAO Y H， et al. Multi-scale modeling and elastic properties prediction of 3D four-directional tubular braided composites［J］. Composite Structures， 2022， 292： 115632.

［16］LIU T， WU X Y， SUN B Z， et al. Investigations of defect effect on dynamic compressive failure of 3D circular braided composite tubes with numerical simulation method［J］. Thin-Walled Structures， 2021，160： 107381.

［17］GIDEON R K， ZHOU H L， WU X Y， et al. Finite element analysis of 3D circular braided composites tube damage based on three unit cell models under axial compression loading［J］. International Journal of Damage Mechanics， 2016， 25（4）： 574-607.

［18］ZHANG W L， WANG X P， JI X M， et al. Parametric characteristics analysis of three cells in 3D and five-directional annular braided composites［J］. PLoS One， 2021， 16（8）： 254.

［19］梁雙強(qiáng).開(kāi)孔三維編織復(fù)合材料力學(xué)性能研究［D］.上海：東華大學(xué)，2020：13-16.

LIANG Shuangqiang. Mechanical Behaviour of 3D Braided Composites Containing an Open-hole［D］. Shanghai： Donghua University， 2020： 13-16.

［20］唐菲菲.機(jī)織管狀立體復(fù)合材料的仿真設(shè)計(jì)及其力學(xué)性能的數(shù)值分析［D］.上海：東華大學(xué)，2013：13-19.

TANG Feifei. The Simulation Design of the Three-dimensional Tubular Woven Composites and Its Numerical Analysis of the Mechanical Properties［J］. Shanghai： Donghua University， 2013： 13-19.

［21］WANG Y B， LIU Z G， LIU N， et al. A new geometric modelling approach for 3D braided tubular composites base on free form deformation［J］. Composite Structures， 2016， 136： 75-85.

［22］姜衛(wèi)平，楊光.三維五向管狀織物紗束軌跡及纖維體積分?jǐn)?shù)的分析與研究［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2004，21（6）：119-124.

JIANG Weiping， YANG Guang. Calculation model of 3D five-directional tubular braid's yarn trajectory and fiber volume fraction［J］. Acta Materiae Compositae Sinica， 2004， 21（6）： 119-124.

［23］徐正亞，陳利.三維五向編織復(fù)合材料中紗線排列形態(tài)的實(shí)驗(yàn)分析［J］.天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，26（3）：10-13.

XU Zhengya， CHEN Li. Experimental analysis on yarn's patterns of 3D five-directional braided composites［J］. Journal of Tiangong University， 2007， 26（3）： 10-13.

［24］劉佳.三維機(jī)織回轉(zhuǎn)體復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)及力學(xué)分析［D］.南京：南京航空航天大學(xué)，2009：33-37.

LIU Jia. The Micro Structure and Mechanical Properties of 3D Woven Rotation Composites［D］. Nanjing： Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2009： 33-37.

［25］LI Y D， YAN S B，YAN Y， et al. Modelling of the compressive behavior of 3D braided tubular composites by a novel unit cell［J］. Composite Structures， 2022， 287： 115303.

［26］XIA Z H， ZHANG Y F， ELLYIN F. A unified periodical boundary conditions for representative volume elements of composites and applications［J］. International Journal of Solids and Structures， 2003， 40（8）： 1907-1921.

［27］HONG Y， YAN Y， GUO F， et al. Predicting the elastic properties of 3D N-directional braided composites via a theoretical method［J］. Mechanics of Composite Materials， 2019， 55（1）， 95-106.

［28］WU D L.Three-cell model and 5D braided structural composites［J］. Composites Science and Technology， 1996， 56（3）：225-233.

Stiffness prediction of 3D five-directional circular braided composites with radial yarns based on microstructure

CHEN Bo， ZHANG Shengyu， YANG Xinglin， ZHANG Junmiao

（School of Energy and Power， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212100， China）

Abstract：

As one of the main load-bearing components， 3D five-directional circular braided composites have great advantages in mechanical properties， economy and structure， and have been gradually applied in aerospace， maritime transportation and other fields. They are a typical 3D multi-directional circular braided composite material. But due to the high complexity of the internal structure， the research on the mechanical properties of the material is not sufficient， the theoretical prediction is difficult， and the relevant research literature is seriously insufficient， which greatly limits the application and development of 3D five-directional circular braided composites. Therefore， it is of great significance to improve the theoretical research of mechanical properties by studying the mechanical property prediction and damage evolution law of 3D five-directional circular braided composites.

To effectively predict the mechanical properties of 3D five-directional circular braided composites， the topological structure of 3D five-directional circular braided composites with radial yarns was obtained based on the spatial structure of 3D five-directional circular braided yarns with radial yarns at the meso-scale， considering the cross-sectional shape of the yarns after squeezing each other. The periodic law of circular unit cell braiding was introduced， and the unit cell structure characteristics of 3D five-directional circular braided composites with radial yarns were obtained. The unit cell was divided into three seed cells including “the upper surface unit cell， the internal unit cell and the lower surface unit cell”. The unit cell geometric model and mesh model of 3D five-directional circular braided composites including upper and lower surface sub-unit cells and internal unit cells were established by ANSYS APDL. The appropriate periodic boundary conditions were applied to the geometric model. Starting from the unit cell model， based on the stiffness volume average method， the tensile stiffness prediction of 3D five-directional circular braided composites with pitch lengths of 0.6， 0.7 and 0.8 along the circular axis was carried out， and the results were compared with the results obtained by the theoretical calculation method of mechanical stiffness of composites. The results show that the fiber volume content of the three pitch lengths is 2494%， 23.33% and 22.04%， respectively. The fiber volume content and braiding angle are inversely correlated with the pitch lengths. The elastic modulus prediction results of the unit cell model are 16.42， 1563 GPa and 1483 GPa， respectively. The theoretical results are 16.96， 16.25 GPa， and 15.34 GPa， and the longitudinal stiffness is inversely related to the pitch lengths. In the unit cell model， the mutual extrusion of fiber bundles is considered， which makes the fiber volume content in the unit cell model slightly smaller than the theoretical calculation method， resulting in the theoretical calculation results being slightly larger than the unit cell prediction results. The stress distribution of fibers and matrix in the composite is analyzed.

In this paper， the geometric model of the unit cell of the 3D five-directional circular braided composite material of the radial shaft yarn is established based on the microscopic scale. Based on the unit cell model， the stiffness of the 3D five-directional circular braided composite material of the radial shaft yarn is predicted by the stiffness volume average method， and the mechanical properties of the 3D five-directional circular braided composite material are improved.

Keywords：

3D five-directional weaving; circular weaving; three-cell method; stiffness volume average method; composite materials; stiffness prediction

收稿日期：20230504

網(wǎng)絡(luò)出版日期：20230831

基金項(xiàng)目：江蘇科技大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（1142931905）

作者簡(jiǎn)介：陳波（1986—），男，內(nèi)蒙古烏海人，博士，講師，主要從事先進(jìn)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、力學(xué)性能預(yù)報(bào)方面的研究。