摘要：粗糙集理論是一種用于處理不確定性和模糊知識(shí)的數(shù)學(xué)工具，其基本思想是在保持系統(tǒng)分類(lèi)能力不變的前提下，通過(guò)知識(shí)約簡(jiǎn)，導(dǎo)出問(wèn)題的分類(lèi)規(guī)則。集值信息系統(tǒng)使得粗糙集理論得到更廣泛的應(yīng)用。提出了具有協(xié)調(diào)性的優(yōu)化容許關(guān)系，并討論了基于該關(guān)系的粗糙集模型，證明了相關(guān)性質(zhì)。討論了不確定性度量問(wèn)題，提出了優(yōu)化容許關(guān)系下集值信息系統(tǒng)基于粗糙熵的屬性約簡(jiǎn)，并給出了屬性約簡(jiǎn)算法。

關(guān)鍵詞：粗糙集；集值信息系統(tǒng)；優(yōu)化容許關(guān)系；粗糙熵；屬性約簡(jiǎn)

一、前言

波蘭數(shù)學(xué)家Z Pawlak在1982年提出了一種新的數(shù)據(jù)分析理論——粗糙集理論（Rough Set），由此打開(kāi)了一扇粗糙集研究的大門(mén)。此后，很多數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和計(jì)算機(jī)專(zhuān)家對(duì)此進(jìn)行了深入的研究。作為一種新的處理模糊性（Vagueness）和不確定性（Uncertainty）問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具，粗糙集理論的基本思想是在維持系統(tǒng)分類(lèi)能力不變的基礎(chǔ)上，借助于知識(shí)約簡(jiǎn)，給出問(wèn)題的分類(lèi)規(guī)則。模糊集理論、證據(jù)理論和概率統(tǒng)計(jì)等也是處理不確定性問(wèn)題的較為常用的數(shù)學(xué)工具。兩相比對(duì)，粗糙集理論與它們聯(lián)系較為緊密，但也同時(shí)具有它獨(dú)有的優(yōu)越性：在處理不確定性問(wèn)題時(shí)，模糊集理論離不開(kāi)隸屬函數(shù)，證據(jù)理論離不開(kāi)基本概率賦值，統(tǒng)計(jì)學(xué)離不開(kāi)概率分布，而粗糙集理論則不需要任何關(guān)于數(shù)據(jù)和相應(yīng)問(wèn)題間的先驗(yàn)知識(shí)或附加信息，而僅僅通過(guò)數(shù)據(jù)自身的不可區(qū)分關(guān)系，在保持信息系統(tǒng)分類(lèi)能力不變的前提下，對(duì)屬性和屬性值進(jìn)行約簡(jiǎn)，從而得到保持知識(shí)能力不變的決策規(guī)則。

經(jīng)典粗糙集以完備信息系統(tǒng)為研究對(duì)象，以等價(jià)關(guān)系（滿足自反性，對(duì)稱(chēng)性，傳遞性）為基礎(chǔ)。而在現(xiàn)實(shí)生活中，由于數(shù)據(jù)測(cè)量的誤差、對(duì)數(shù)據(jù)理解或獲取的限制等原因，使得在數(shù)據(jù)獲取時(shí)往往面臨的是不完備信息系統(tǒng)，這就限制了Z Pawlak（經(jīng)典）粗糙集理論的應(yīng)用范圍。定義適合不完備信息系統(tǒng)的粗糙集模型是粗糙集理論能廣泛應(yīng)用的基本問(wèn)題之一，集值粗糙集模型是對(duì)未知屬性值賦予了它所有可能的取值，即給它賦予了該屬性值域的一個(gè)子集，進(jìn)而將不完備信息系統(tǒng)向集值信息系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這樣，集值信息系統(tǒng)就提供了一種卓有成效的方法用來(lái)處理不完備信息系統(tǒng)。本文基于改進(jìn)容許關(guān)系的集值粗糙集模型，繼續(xù)研究，提出新的具有協(xié)調(diào)性的優(yōu)化容許關(guān)系，建立新的模型。優(yōu)化容許關(guān)系除了具備改進(jìn)容許關(guān)系RB（α，β）[1]所具備的性質(zhì)和優(yōu)點(diǎn)外，還有其自身的優(yōu)點(diǎn)，它的分類(lèi)精度不低于改進(jìn)容許關(guān)系的分類(lèi)精度，并且它是一個(gè)協(xié)調(diào)的二元關(guān)系，因此它在集值信息系統(tǒng)中能夠得到更為廣泛應(yīng)用。

二、基本概念

定義1[2]稱(chēng)（U，A，F(xiàn)）是集值信息系統(tǒng)，若U={x1，…，xn}是對(duì)象集，每一個(gè)xi（i≤n）叫做一個(gè)對(duì)象；A={a1，…，am}是屬性集，每一個(gè)al （l≤m）叫做一個(gè)屬性；F={fl：l≤m}是對(duì)象屬性值映射，其中fl：U→P0 （Vl）（l≤m）， Vl是屬性al的值域，P0（Vl）表示Vl的非空子集全體。

在粗糙集理論中，一種關(guān)系是否為協(xié)調(diào)關(guān)系，對(duì)分類(lèi)結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生重要影響。協(xié)調(diào)二元關(guān)系的定義如下：

定義2信息系統(tǒng)S=（U，A，V，f），R是其上的二元關(guān)系，?x∈U，若滿足?P，Q?A，P?Q，都有RQ（x）?RP（x），或者滿足?P，Q?A，P?Q，都有RQ（x）?RP（x），則稱(chēng)二元關(guān)系R是協(xié)調(diào)的，否則，稱(chēng)之為不協(xié)調(diào)的。

雖然改進(jìn)容許關(guān)系RB（α，β）有很多的優(yōu)越性，但是它是一個(gè)非協(xié)調(diào)的二元關(guān)系，我們舉例說(shuō)明：在表1中，取B={a1，a2，a3，a4}，B?A，取α=1/3，β=3/5，

得每一對(duì)象的相容類(lèi)分別為：

[x1]RA（α，β）={x1，x2，x4}，[x2]RA（α，β）={x1，x2，x4}，

[x3]RA（α，β）={x3，x6，x9，x10}，[x4]RA（α，β）={x1，x2，x4}，

[x5]RA（α，β）={x5，x6，x10}，[x6]RA（α，β）={x3，x5，x6，x9，x10}，

[x7]RA（α，β）={x7}，[x8]RA（α，β）={x8}，[x9]RA（α，β）={x3，x6，x9}，

[x10]RA（α，β）={x3，x5，x6，x10}。

[x1]RB（α，β）={x1，x2，x4}，[x2]RB（α，β）={x1，x2，x4}，

[x3]RB（α，β）={x3，x6，x9，x10}，[x4]RB（α，β）={x1，x2，x4}，

[x5]RB（α，β）={x3，x5，x6，x9，x10}，[x6]RB（α，β）={x3，x5，x6，x9，x10}，

[x7]RB（α，β）={x7}，[x8]RB（α，β）={x8}，[x9]RB（α，β）={x5，x6，x9}，

[x10]RB（α，β）={x3，x5，x6，x10}。

顯然，[x3]RA（α，β）?[x3]RB（α，β），并且[x3]RB（α，β）?[x3]RA（α，β），所以RA（α，β）是集值信息系統(tǒng)（U，A，F(xiàn)）上的不協(xié)調(diào)的二元關(guān)系。

?C?B?A，由于RB（α，β）的非協(xié)調(diào)性，使得我們不能夠斷定RA（α，β）與RB（α，β）的關(guān)系，也不能斷定RB（α，β）與RC（α，β）的關(guān)系，即RA（α，β）?RB（α，β）與RB（α，β）?RA（α，β）可能都不成立，RC（α，β）?RB（α，β）與RB（α，β）?RC（α，β）也可能都不成立。以上結(jié)果會(huì)造成我們?cè)谇蠡诟倪M(jìn)容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)屬性約簡(jiǎn)時(shí)的計(jì)算難度，從而限制了改進(jìn)容許關(guān)系在集值信息系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用。

為了彌補(bǔ)改進(jìn)容許關(guān)系的以上不足，下面我們?cè)诟倪M(jìn)容許關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)修改，把其擴(kuò)充為新的二元關(guān)系，以便新模型能在保持原有模型良好性能基礎(chǔ)上會(huì)有更廣泛的應(yīng)用。

三、集值信息系統(tǒng)中基于優(yōu)化容許關(guān)系的粗糙集模型

在集值信息系統(tǒng)（U，A，F(xiàn)）中，B?A，xi，xj∈U。記

，SB（xi，xj）={al∈B|fl（xi）=fl（xj），|fl （xi）|=1}。

我們將改進(jìn)容許關(guān)系RB（α，β）進(jìn)行修正，得到具有協(xié)調(diào)性的優(yōu)化容許關(guān)系。

定義3優(yōu)化容許關(guān)系RB（α，β）：

。

并記[xi]R'B（α，β）={xj∈U|（xi，xj ）∈R'B（α，β）}為xi的相容類(lèi)。顯而易見(jiàn)，優(yōu)化容許關(guān)系R'B（α，β）具備等價(jià)關(guān)系中的對(duì)稱(chēng)性和自反性，卻未必具備傳遞性。

優(yōu)化容許關(guān)系R'B（α，β），通過(guò)合理設(shè)置參數(shù)α，β的值，同樣能填充R*B[3]限制性太強(qiáng)、RB∩ [4]和RBα [5]限制性太寬的不足，這里不再舉例說(shuō)明。

定義4設(shè)（U，A，F(xiàn)）是一個(gè)集值信息系統(tǒng)，X?U，B?A。則對(duì)X的R'B（α，β）有以下概念：

—R'B（α，β）（X）={xi∈U│[xi ]R'B（α，β）∩X≠?}=∪{[xi ]R'B（α，β） |xi∈X}為上近似集，—R'B（α，β）（X）={xi∈U│[xi ]R'B（α，β）?X}={xi∈X│[xi ]R'B（α，β）?X}為下近似集，

posR'B（α，β） （X）=—R'B（α，β） （X）為正域，

negR'B（α，β）（X）=U-—R'B（α，β） （X）為負(fù)域，

bnR'B（α，β）（X）=—R'B（α，β）-（X）-—R'B（α，β） （X）為邊界。

由關(guān)系R'B（α，β）定義 X的近似精度ρR'B（α，β）為：

四、基于優(yōu)化容許關(guān)系的粗糙集模型的相關(guān)性質(zhì)

優(yōu)化容許關(guān)系R'B（α，β）的相關(guān)性質(zhì)除了具備改進(jìn)容許關(guān)系RB（α，β）所具備的性質(zhì)外（這里不再一一列舉），還具有下面的性質(zhì)：

性質(zhì)1 設(shè)（U，A，F(xiàn)）是一個(gè)集值信息系統(tǒng)，則?B'?B?A，有

R'B'（α，β）?R'B（α，β）?R'A（α，β）。

證明：?（xi，xj ）∈R'B'（α，β），有clij ≥α，且；

因?yàn)锽'?B，所以|SB' （xi，xj）|≤|SB （xi，xj）|，

從而，

于是（xi，xj）∈R'B（α，β），R'B'（α，β）?R'B（α，β）。

同理可證R'B（α，β）?R'A（α，β）。從而R'B'（α，β）?R'B（α，β）?R'A（α，β），結(jié)論成立。

優(yōu)化容許關(guān)系R'B（α，β）的近似分類(lèi)精度不小于改進(jìn)容許關(guān)系RB（α，β）的近似分類(lèi)精度，即：

定理1集值信息系統(tǒng)（U，A，F(xiàn)），?X?U，?B?A，RB（α，β）、R'B（α，β）分別是其上的改進(jìn)容許關(guān)系和優(yōu)化容許關(guān)系，則ρR'B（α，β） （X）≥ρRB（α，β），其中

證明：?（xi，xj）∈R'B（α，β），即clij ≥α，且，因?yàn)锽?A，所以? ?，因此（xi，xj）∈RB（α，β）。即，?xi∈U，R'B（α，β）（xi）?RB（α，β）（xi），

從而，—R'B（α，β） （X）?—RB（α，β） （X），—R'B（α，β） （X）?—RB（α，β） （X），故ρR'B（α，β） （X）≥ρRB（α，β）（X）。

即結(jié)論成立。

五、優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)中的不確定性度量

隨著粗糙集理論研究的深化，一種新的不確定性——粗糙性，即信息系統(tǒng)中存在的知識(shí)和概念的不確定性，逐漸被人們認(rèn)識(shí)和接受。信息系統(tǒng)的不確定性主要由兩個(gè)原因引起：一個(gè)原因來(lái)自論域上的二元關(guān)系及其產(chǎn)生的模塊，模塊的平均大小度量信息系統(tǒng)的不確定性，定義為知識(shí)的粗糙性；這種不確定性的另一個(gè)原因來(lái)自給定近似空間的粗糙集的邊界，邊界越大知識(shí)就越粗糙，處理這種不確定性可以使用粗糙度（或近似精度）來(lái)完成，稱(chēng)之為概念的粗糙性。

知識(shí)的粗糙性和概念的粗糙性是粗糙集理論中不確定性問(wèn)題研究的兩個(gè)主要方面。在粗糙集理論中，知識(shí)被認(rèn)為是信息系統(tǒng)中的一個(gè)屬性子集?；谥R(shí)是區(qū)分對(duì)象能力的思想，知識(shí)實(shí)質(zhì)上是由屬性子集決定的對(duì)象空間的劃分或覆蓋，因此知識(shí)的粗糙性可以被認(rèn)為是近似空間中基本知識(shí)粒的粗糙性。在粗糙集理論中，一個(gè)概念通過(guò)對(duì)象集來(lái)描述，如果概念不能被屬性所決定的基本知識(shí)粒精確描述，則稱(chēng)這個(gè)概念為粗糙的。對(duì)于一個(gè)概念，在一個(gè)近似空間中可能是粗糙的，但是在另一個(gè)近似空間卻可能是精確的。所以概念的粗糙性源于一個(gè)近似空間提供的基本信息粒度。所以概念的粗糙性最終受知識(shí)粗糙性的影響?？傊?，系統(tǒng)所有屬性所決定的基本知識(shí)粒的粗糙性決定了一個(gè)信息系統(tǒng)的粗糙性。

知識(shí)的信息熵和知識(shí)的信息粒度是知識(shí)的不確定性度量的兩個(gè)比較經(jīng)典的方法，目前已有各種各樣的知識(shí)信息熵和知識(shí)信息粒度的定義形式，它們?cè)诙攘恐R(shí)的不確定性方面也都有各自很好的表現(xiàn)。下面我們基于知識(shí)的粗糙熵來(lái)討論知識(shí)的不確定性度量。

先將完備信息系統(tǒng)中知識(shí)距離的定義推廣到優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)中。

（一）優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)中的知識(shí)距離

在上面討論的基礎(chǔ)上，我們給出優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)中的知識(shí)距離的定義：

定義5集值信息系統(tǒng)（U，A，F(xiàn)），R'A（α，β）是其上的優(yōu)化容許關(guān)系，?P，Q?A，知識(shí)P，Q之間的距離定義為：

定理2對(duì)于集值信息系統(tǒng)（U，A，F(xiàn)），R'A（α，β）是其上的優(yōu)化容許關(guān)系，K（U）是其中的所有知識(shí)組成的集合，則?P，Q?A，（K（U），d）也構(gòu)成距離空間，并且對(duì)于K（U）中的任意兩個(gè)知識(shí)P，Q，d（P，Q）有界，即：

（1）0≤d（P，Q）≤1；

當(dāng)且僅當(dāng)P≈Q時(shí)，d（P，Q）=0，當(dāng)且僅當(dāng)U/R'P（α，β）=ω，U/R'Q（α，β）=δ或者U/R'P（α，β）=δ，U/R'Q（α，β）=ω時(shí)，d（P，Q）=1（其中，ω是論域上的恒等關(guān)系，δ為論域上的全域關(guān)系）；

（2）d（P，Q）=d（Q，P）；

（3）d（P，R）≤d（P，Q）+d（Q，R）。

性質(zhì)2集值信息系統(tǒng)（U，A，F(xiàn)）中，若?B?A，P，Q?A且P≠Q(mào)，則在優(yōu)化容許關(guān)系R_B^（'（α，β））下，P，Q之間的最大距離為1，最小距離為—? |U|（1|U|-1）? ?。

證明：設(shè)U/R'P（α，β）={[u1]R'P（α，β），[u2]R'P（α，β），…，[u|U|]R'P（α，β）}，

U/R'Q（α，β） ={[u1]R'Q（α，β），[u2]R'Q（α，β），…，[u|U|]R'Q（α，β）。

當(dāng)U/R'P（α，β） =ω，U/R'Q（α，β）=δ或者U/R'P（α，β）=δ，U/R'Q（α，β）=ω時(shí)，d（P，Q）取到最大值1，其中，ω是論域上的恒等關(guān)系，δ為論域上的全域關(guān)系，即? U/R'P（α，β）={{u1}，{u2}…，{u|U|}}，

U/R'Q（α，β）={{u1，u2，…，u|U|}，{u1，u2，…，u|U|}…，{u1，u2，…，u|U| }}；d（P，Q）取到最小值—? |U|（1|U|-1）? ，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)i0∈{1，2，…，|U|}，有

|[ui0]R'P（α，β）⊕[ui0]R'Q（α，β）=1，且?i≠i0，i∈{1，2，…，|U|}，[ui]R'P（α，β）=[ui]R'Q（α，β）。證畢。

（二）優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)中的知識(shí)粗糙性

下面我們用知識(shí)距離定義知識(shí)的粗糙熵，并用知識(shí)的粗糙熵來(lái)度量知識(shí)的粗糙性。

定義6集值信息系統(tǒng)（U，A，F(xiàn)）中，R'A（α，β）是其上的優(yōu)化容許關(guān)系，?P?A，知識(shí)P的粗糙熵定義為：

E（P）=d（P，ω）=—? |U|（1|U|-1）? ∑i=1i=|U||[ui]R'P（α，β）⊕{ui}|。

其中，U/R'P（α，β）={[u1]R'P（α，β），[u2]R'P（α，β），…，[u|U|]R'P（α，β）}，

U/R'ω（α，β），{u2}…，{u|U|}。規(guī)定，E（?）=0。

知識(shí)粗糙熵的性質(zhì)：

（1）有界性：0≤E（P）≤1。

（2）單調(diào)性：若P?Q，則E（P）≤E（Q）。

但是，E（P）=E（Q）推不出P=Q，也就是說(shuō)不同的知識(shí)可能有相同的粗糙熵。

定理3（知識(shí)的粗糙不變性[6]）信息系統(tǒng)中任意兩個(gè)知識(shí)P，Q?A，

U/R'P（α，β）={[u1]R'P（α，β），[u2]R'P（α，β），…，[u|U|]R'P（α，β）}，

UR'Q（α，β）={[u1]R'Q（α，β），[u2]R'Q（α，β），…，[u|U|]R'Q（α，β）}。

若存在一個(gè)一一映射f：U→U，，使|[ui]R'P（α，β）|=|[ui]R'Q（α，β）|，?i=1，2，…，|U|成立，則E（P）=E（Q）。

以上我們已經(jīng)詳細(xì)討論了優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)中知識(shí)的粗糙性問(wèn)題，給出了集值信息系統(tǒng)在優(yōu)化容許關(guān)系下的知識(shí)距離的定義，討論了其相關(guān)性質(zhì)，并用知識(shí)間的距離定義了知識(shí)的粗糙熵；用知識(shí)粗糙熵來(lái)度量信息系統(tǒng)中知識(shí)的不確定性。

六、集值信息系統(tǒng)在優(yōu)化容許關(guān)系下基于知識(shí)粗糙熵的屬性約簡(jiǎn)

作為粗糙集理論的其中一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題，約簡(jiǎn)包括屬性約簡(jiǎn)與屬性值約簡(jiǎn)等。通常情況下，信息系統(tǒng)中的各種屬性的重要性一般不一樣，某些條件屬性甚至是冗余的。冗余屬性會(huì)造成兩方面的不利影響：首先，由于它需要處理時(shí)間和存儲(chǔ)空間，從而對(duì)資源造成了一定的浪費(fèi)；其次，它會(huì)對(duì)研究人員做出正確、簡(jiǎn)潔的決策造成一定的困擾。這樣說(shuō)來(lái)，屬性約簡(jiǎn)在粗糙集理論中重要性就不言而喻了。

所謂屬性約簡(jiǎn)，是指在維持知識(shí)庫(kù)分類(lèi)能力不變的基礎(chǔ)上，去掉里面不相關(guān)或者不重要的屬性[2]。一般而言，屬性約簡(jiǎn)是由信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)和決策表的決策規(guī)則的約簡(jiǎn)組成的?？梢跃S持原系統(tǒng)特定信息的屬性叫做系統(tǒng)的約簡(jiǎn)。找出決策規(guī)則中對(duì)決策結(jié)論有影響的條件屬性叫做決策規(guī)則的約簡(jiǎn)，或者叫做對(duì)象的約簡(jiǎn)或值約簡(jiǎn)。

前面討論了基于知識(shí)信息熵和知識(shí)信息粒度的知識(shí)粗糙性的度量，接下來(lái)我們利用知識(shí)粗糙熵來(lái)討論信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)。

定義7集值信息系統(tǒng)S=（U，A，F(xiàn)），?B?A，R'B（α，β）是其上的優(yōu)化容許關(guān)系，屬性a∈A在A中的重要性sigA （a）表達(dá)式是：sigA （a）=E（A）-E（A＼{a}），它反映了從A中除去a的前后知識(shí)粗糙熵變化情況。

特別當(dāng)A={a}時(shí)，sig{a}（a）=E（{a}）-E（?）=E（{a}） 。

屬性重要性的性質(zhì)：

性質(zhì)1 sigA （a）≥0。

性質(zhì)2 屬性a∈A在A中是不可或缺的，當(dāng)且僅當(dāng)sigA （a）>0。

性質(zhì)3 CORE（A）={a∈A|sigA （a）>0}，稱(chēng)為A的核屬性，它由A中所有的必要的屬性組成。

下面來(lái)定義集值信息系統(tǒng)在優(yōu)化容許關(guān)系下基于知識(shí)粗糙熵的屬性約簡(jiǎn)中，屬性集外的屬性對(duì)屬性集的重要性，以方便在求出信息系統(tǒng)的核屬性后，能夠盡快的求出信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)。

定義8優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)S=（U，A，F(xiàn)），B?A，a∈A-B，a對(duì)B的重要性定義為：B中添加a后引起的知識(shí)粗糙熵變化的大小，即：

sigB （a）=E（B∪{a}）-E（B）。

a對(duì)B是必要的，當(dāng)且僅當(dāng)sigA （a）>0。

下面給出集值信息系統(tǒng)在優(yōu)化容許關(guān)系下基于知識(shí)粗糙熵的屬性約簡(jiǎn)的定義：

定義9集值信息系統(tǒng)S=（U，A，F(xiàn)），B?A，R'B（α，β）是其上的優(yōu)化容許關(guān)系，稱(chēng)B是S的一個(gè)約簡(jiǎn)，如果E（B）=E（A），并且?b∈B，E（B＼＼）≠E（A）。

由以上討論我們給出基于知識(shí)粗糙熵的屬性約簡(jiǎn)算法：

輸入：一個(gè)優(yōu)化容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)S=（U，A，F(xiàn)）。

輸出：系統(tǒng)的約簡(jiǎn)。

第1步：計(jì)算系統(tǒng)的知識(shí)粗糙熵E（A）；

第2步：計(jì)算CORE（A）={a∈A|sigA（a）>0}，C?CORE（A）；

第3步：計(jì)算E（C），如果E（C）=E（A），那么算法結(jié)束，否則（E（C）

第4步：（1）對(duì)每個(gè)屬性a∈A-C，計(jì)算sigC（a）；

（2）選擇屬性重要性最大的屬性，即選擇屬性a滿足：

a'∈A-Cmax{sigC（a'）并C?C∪{a}；

（3）計(jì)算E（C）；

（4）如果E（C）=E（A），那么算法結(jié)束，否則，轉(zhuǎn)（1）。

以上給出了集值信息系統(tǒng)在優(yōu)化容許關(guān)系下，基于知識(shí)粗糙熵的屬性約簡(jiǎn)，并給出了約簡(jiǎn)算法，可以看出屬性約簡(jiǎn)在粗糙集理論中的重要地位。

七、結(jié)語(yǔ)

基于優(yōu)化容許關(guān)系，本文提出了一種新的集值粗糙集模型。這個(gè)模型填充了RBα未考慮取值明確且相等屬性對(duì)相容度影響、RB*限制性過(guò)高、RB∩寬松度過(guò)大的不足。由于改進(jìn)容許關(guān)系RB（α，β）的非協(xié)調(diào)性，往往會(huì)造成我們?cè)谇蠡诟倪M(jìn)容許關(guān)系下的集值信息系統(tǒng)屬性約簡(jiǎn)時(shí)的計(jì)算難度，從而限制了改進(jìn)容許關(guān)系在集值信息系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用。闡述了不確定性度量問(wèn)題的主要方法，提出了優(yōu)化容許關(guān)系下集值信息系統(tǒng)的基于知識(shí)粗糙熵的屬性約簡(jiǎn)，并給出了約簡(jiǎn)算法。

粗糙集理論從誕生到現(xiàn)在，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到許多領(lǐng)域。譬如在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、決策分析、智能控制、圖像處理、模式識(shí)別、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、故障診斷和數(shù)據(jù)挖掘等很多領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，不少研究者在粗糙集理論的應(yīng)用上繼續(xù)探究，譬如文獻(xiàn)[ 7]將粗糙集理論應(yīng)用在小區(qū)夜間用水量分析的漏損識(shí)別研究實(shí)際問(wèn)題上。

下一步工作是在本文提出的優(yōu)化容許關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不完備系統(tǒng)中屬性約簡(jiǎn)和規(guī)則抽取算法，為實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)開(kāi)發(fā)奠定理論基礎(chǔ)。

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[7]儲(chǔ)文強(qiáng)，陳功，胡鴻昊.結(jié)合粗糙集屬性約簡(jiǎn)和夜間用水量分析的漏損識(shí)別研究[J].科技通報(bào)，2021，37（9）：94-98+108.

基金項(xiàng)目：1.廣東省普通高校特色創(chuàng)新類(lèi)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2018KTSCX160）；2.廣州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：201804010088）

作者單位：廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院

責(zé)任編輯：尚丹