武旦珠

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)是對傳統(tǒng)教學(xué)的一次變革，擺脫了過去以課時(shí)為單位的傳統(tǒng)范式，推崇以單元為整體的設(shè)計(jì)理念。這種變革體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯關(guān)系的深層次思考，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該體現(xiàn)單元整合教學(xué)內(nèi)容。這種教學(xué)設(shè)計(jì)旨在通過深入挖掘數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系，為學(xué)生提供更為系統(tǒng)和全面的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

教學(xué)設(shè)計(jì)要充分考慮核心素養(yǎng)的重要性，確保在整個(gè)教學(xué)過程中的指導(dǎo)作用。教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是全面的、有層次的，可以涵蓋知識、技能和態(tài)度的培養(yǎng)，以確保學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得全面的發(fā)展。教師要考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、創(chuàng)造力、批判性思維等方面的發(fā)展。在每個(gè)課時(shí)中，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)展開教學(xué)，能夠更好地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【教材分析】

北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊“直角三角形三邊的關(guān)系”，是“勾股定理”章節(jié)的主要內(nèi)容，重點(diǎn)講解了勾股定理的證明過程。教材通過兩個(gè)例子“正方形的瓷磚”和“試一試”來發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊之間的關(guān)系。接著，通過“做一做”的實(shí)踐驗(yàn)證，學(xué)生先獲得直接的經(jīng)驗(yàn)，再進(jìn)行總結(jié)和歸納，證明勾股定理。

勾股定理是幾何學(xué)中最為重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。直角三角形中斜邊較長，而另外兩條邊較短，該定理證明它們之間有著精確的數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)解直角三角形問題奠定基礎(chǔ)。因此，探索直角三角形三邊的關(guān)系對學(xué)生來說非常重要，既能使學(xué)生更好地理解直角三角形，又能培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。

【學(xué)情分析】

八年級學(xué)生已經(jīng)具備了一定的邏輯思維和抽象思維能力，并且掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方法。直角三角形是他們非常熟悉的圖形，因此，通過自主探索、合作互助、交流分享的方式來驗(yàn)證和應(yīng)用勾股定理是非常適合的。通過這樣的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生能夠輕松、愉快地完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.育人目標(biāo)

（1）通過探究、驗(yàn)證、證明和應(yīng)用勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意識和能力。通過自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、分析和解決問題的能力。

（2）通過勾股定理的證明，讓學(xué)生知道勾股定理是中國古代數(shù)學(xué)的杰出成果之一，還被廣泛應(yīng)用于日常生活和工程技術(shù)中。通過學(xué)習(xí)勾股定理，學(xué)生將不僅僅掌握數(shù)學(xué)知識，還能夠認(rèn)識到中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和作用，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的情感。

2.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

（1）通過對勾股定理的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)在人類文明進(jìn)程中的重要性，了解中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和影響力，激發(fā)學(xué)生對祖國的熱愛。

（2）通過勾股定理的探索和應(yīng)用，培養(yǎng)創(chuàng)新思維的種子。他們將學(xué)會從不同的角度思考問題，尋找創(chuàng)新的解決方法，為將來的學(xué)習(xí)和生活奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過這些努力，學(xué)生將更加熱愛祖國的傳統(tǒng)文化，為祖國未來的發(fā)展做出積極貢獻(xiàn)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.經(jīng)歷勾股定理的探索過程，親身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和證明過程。

2.掌握勾股定理原理，并能夠靈活運(yùn)用該定理解決一些簡單的實(shí)際問題。

【教學(xué)難點(diǎn)】

勾股定理的探究和解決相關(guān)的實(shí)際問題。

【內(nèi)容與中考分析】

本節(jié)的內(nèi)容是探究、驗(yàn)證、證明和應(yīng)用勾股定理。勾股定理是各類考試命題中的熱門內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識進(jìn)行綜合考查，其所占比例不少于10%，這體現(xiàn)了勾股定理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。因此，學(xué)生需要充分掌握勾股定理的原理，并能夠熟練應(yīng)用于解決相關(guān)問題，以應(yīng)對中考。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（5分鐘）

通過展示一些直角三角形的實(shí)際應(yīng)用場景（如建筑、地理測量等），引起學(xué)生對直角三角形的興趣和重新認(rèn)識，了解學(xué)生對直角三角形的認(rèn)識程度。

1.一般三角形三條邊之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

2.直角三角形的三條邊除一般關(guān)系外，還存在特殊的數(shù)量關(guān)系嗎？

教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考，小組合作交流后，代表在全班分享交流。

教師出示學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握勾股定理的內(nèi)容和證明，能夠靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。

2.通過動(dòng)手操作、觀察分析、合作交流提升邏輯推理的能力。

二、實(shí)驗(yàn)探究，生成新知（15分鐘）

【探究1】直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系

學(xué)生自學(xué)：圖1是正方形瓷磚鋪成的地面，標(biāo)記了的著色正方形P、Q、R。那么，這三個(gè)正方形的面積之間是否存在特殊的關(guān)系呢？

問題1：觀察圖形，直接寫出三個(gè)正方形的面積，提示學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度思考，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

正方形P的面積為：SP=AC2=1

正方形Q的面積為SQ=BC2=1

正方形R的面積為SR=AB2=2

問題2：你能發(fā)現(xiàn)圖1中正方形P、Q、R的面積之間有什么關(guān)系嗎？

SP+SQ=SR

問題3：直角三角形三條邊長之間的關(guān)系如何呢？

讓學(xué)生在充分的思考和小組討論的情況下發(fā)言：

AC2+BC2=AB2

學(xué)生活動(dòng)：先觀察課本圖1，在探索記錄的過程中，要注意數(shù)形結(jié)合，思考直角三角形三邊的關(guān)系。

教師活動(dòng)：（1）明了學(xué)情：觀察學(xué)生在探究、驗(yàn)證結(jié)論的過程中所用的思路和方法以及過程的合理性和嚴(yán)密性，教師有針對性地進(jìn)行引導(dǎo)。

（2）差異化指導(dǎo)：在學(xué)生進(jìn)行探究時(shí)，教師積極參與、巡視、隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥，幫助他們更好地理解問題。

【探究2】引導(dǎo)學(xué)生觀察直角三角形的特點(diǎn)，介紹勾股定理的概念，探究：

1.圖2是利用更多的正方形地磚鋪成的地面，類比探究1，學(xué)生自主探究“直角三角形三邊長度之間關(guān)系”（過程寫在學(xué)案上）。

（由特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和方法，教師必要時(shí)給學(xué)生提醒）

分析：大正方形R的面積可以用“切割法”或“切補(bǔ)法”來計(jì)算。

∵Sp=AC2=9 SQ=BC2=16 SR=AB2=25

∴AC2+BC2=AB2

2.完成課本109頁“做一做”，讓學(xué)生動(dòng)手操作，能按照要求畫出圖形，獨(dú)立完成并驗(yàn)證：“直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方?！保ò褕D畫在學(xué)案上，小組內(nèi)交流討論后展示和分享）

學(xué)生在獨(dú)立思考和小組討論的過程中，可以用不同的方法驗(yàn)證勾股定理，嘗試給出勾股定理的證明過程，掌握一種證明勾股定理的方法，并能正確書寫邏輯推理過程，從而加深對勾股定理的理解。

【探究3】學(xué)生自學(xué)：（1）根據(jù)課本第110頁的“讀一讀”內(nèi)容，了解三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽深入研究《周髀算經(jīng)》，利用“弦圖”證明了勾股定理，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，培育學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、熱愛祖國的情懷。

【證明勾股定理】圖3是弦圖的示意圖，它是一個(gè)小正方形和四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大正方形，試證明：a2+b2=c2。

學(xué)生先嘗試證明，教師可以提示：

圖形是拼湊而成的，既沒有重疊，也沒有空隙，所以面積不會變，因此用“等積法”證明。

（2）大正方形的面積=4個(gè)全等的直角三角形面積+小正方形面積。

4×ab+（b-a）2=c2，化簡得a2+b2=c2。

（3）學(xué)生歸納總結(jié)，教師點(diǎn)評和概括：

對于任意的直角三角形，如果a、b為兩條直角邊的長，c為斜邊的長，那么a2+b2=c2。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

定理變形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則

c2=a2+b2

a2=c2-b2

b2=c2-a2

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立嘗試用符號語言、文字語言兩種形式表達(dá)勾股定理的內(nèi)容。

教師活動(dòng)：關(guān)注學(xué)生在證明定理過程中對勾股定理的理解和運(yùn)用情況，以便及時(shí)引導(dǎo)與點(diǎn)撥。

三、應(yīng)用定理，鞏固新知（20分鐘）

教師采取學(xué)生板書和學(xué)案相結(jié)合的方法，完成后組內(nèi)互評，教師點(diǎn)評。

1.在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=7，BC=24，求AC。

分析：可以直接用公式計(jì)算，也可以用數(shù)形結(jié)合法。這里特別強(qiáng)調(diào)∠B=90°，防止定式思維的干擾。

分析：在Rt△ABC中

∵∠B=90°，AB=7，BC=24

根據(jù)勾股定理，得AC2=AB2+BC2

∴AC=25

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊為c

①已知a=5，b=12，求c。②已知b=2，c=3，求a。

師生之共同分析后，教師示范①，學(xué)生板書②。（要求規(guī)范推理過程）

解：①在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，a=5，b=12，

根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2。

∴c=13

②學(xué)生板書（要求規(guī)范推理過程），完成后師生共同進(jìn)行評價(jià)。教師用課件展示解題過程，讓學(xué)生對照自己的解題過程，特別強(qiáng)調(diào)幾何語言的表達(dá)及其邏輯推理的準(zhǔn)確性。

3.在操場上有兩棵古樹，但是不能直接測量它們之間的距離，請同學(xué)們利用勾股定理的知識，設(shè)計(jì)一個(gè)直角三角形，通過測量相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算出兩棵樹間的距離，把你的設(shè)計(jì)方案與同學(xué)們分享。

這是一道開放性題目，學(xué)生可以充分發(fā)揮自己的聰明才智，張開思維的翅膀，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上生生互動(dòng)、師生互動(dòng)，各自發(fā)表不同的見解，提出不同的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行研討。

四、課堂小結(jié)，升華新知（5分鐘）

1.這節(jié)課，我的收獲是？（問自己）

2.這節(jié)課，你最感興趣的地方是？（問同桌）

3.我們能進(jìn)一步研究的問題是？（問同桌）

五、作業(yè)設(shè)計(jì)與布置，內(nèi)化新知

1.基礎(chǔ)性作業(yè)（全體學(xué)生）

（1）課本117頁，習(xí)題14.1，第1、2題。

（2）閱讀教材118～119頁“閱讀材料”的內(nèi)容，體驗(yàn)勾股定理之美，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

2.拓展性作業(yè)（有余力的學(xué)生）：一個(gè)長方體的粉筆盒，它的長是10 cm、寬是6 cm、高是8 cm，一只螞蟻在粉筆盒的頂點(diǎn)P處，它想吃到與P相對的頂點(diǎn)Q處的蜂蜜，但只能沿著粉筆盒表面爬行，你知道螞蟻是怎樣爬行的嗎？請你求出它爬行的最短距離。

3.推薦性作業(yè)（有興趣的學(xué)生）：為了更好地理解勾股定理，建議有興趣的同學(xué)撰寫一篇以勾股定理為主題的小論文。

（設(shè)計(jì)意圖：按照“雙減”政策的要求，教師分層布置作業(yè)，以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和發(fā)展，逐漸提升學(xué)生的解題能力。）

（作者單位：甘肅省秦安縣興國鎮(zhèn)初級中學(xué)）

編輯：陳鮮艷