? 江蘇省江陰市敔山灣實驗學(xué)校 劉 軍

1 問題呈現(xiàn)

例1如圖1所示,在正方形ABCD中,G是BC邊上的任意一點,DE⊥AG,垂足為E,BF∥DE,且交AG于點F.

圖1

求證:AF-BF=EF.

例1是“正方形”一課的課后習(xí)題,該題是一道典型習(xí)題,涉及的知識點較多,可以很好地考查學(xué)生知識的遷移、重組能力,促使學(xué)生直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)的提升.

八年級的學(xué)生已經(jīng)擁有一定的知識儲備,具有一定的分析和解決問題的能力,也具有一定的邏輯推理能力,這些知識、經(jīng)驗、能力等為進一步的思考與探究創(chuàng)造了條件.在本題教學(xué)中,教師要充分發(fā)揮典型習(xí)題的作用,通過變式引領(lǐng)學(xué)生體會“趙爽弦圖”的運用,充分挖掘蘊含其中的規(guī)律、方法,提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、樂于探索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2 問題探究

根據(jù)已知條件不難發(fā)現(xiàn),將不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上是解決本題的關(guān)鍵.教學(xué)過程中,教師不要急于呈現(xiàn)解題過程,應(yīng)預(yù)留充足的時間讓學(xué)生思考與交流,引導(dǎo)學(xué)生從“看”“想”“得”三方面進行深層次的探究(如圖2).通過對已知條件和結(jié)論的深度剖析后,教師要啟發(fā)學(xué)生關(guān)注在同一直線上的線段AF和EF的關(guān)系.結(jié)合圖1不難發(fā)現(xiàn),EF=AF-AE,而結(jié)論為AF-BF=EF,這樣只要證明AE=BF,問題即可迎刃而解.這樣通過證明△ABF≌△DAE,找到線段之間的數(shù)量關(guān)系,問題順利獲證.

圖2

這樣通過深入分析,學(xué)生形成解題思路后,教師還應(yīng)預(yù)留時間讓學(xué)生將問題解決到底,以此規(guī)范解答,加強學(xué)生邏輯關(guān)系描述的準(zhǔn)確性.在講解例1后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將圖1中的弦圖補充完整,由此發(fā)現(xiàn)小正方形的邊長為Rt△DAE的兩條直角邊的差,為接下來的變式探究作鋪墊.

3 問題變式

為了進一步探究蘊含其中的數(shù)量關(guān)系,教師基于基本學(xué)情對題目進行改編,從而將一道題推廣至一類題,讓學(xué)生通過由特殊到一般的深入探究掌握問題的本質(zhì),提高分析和解決問題的能力.

變式1如圖1,在正方形ABCD中,G是BC邊上的任意一點,DE⊥AG,垂足為E,BF∥DE,且交AG于點F.請直接寫出DE,BF,EF存在的數(shù)量關(guān)系.

問題給出后,預(yù)留時間讓學(xué)生思考、交流,教師巡視,并在合適的時機進行適度的啟發(fā)和引導(dǎo).學(xué)生通過深入探究,得到如下結(jié)論:

(1)如圖1,當(dāng)點G在線段BC上時,DE-BF=EF.

(2)如圖3,當(dāng)點G與點C重合時,DE=BF,EF=0;如圖4,當(dāng)點G在BC延長線時,BF-DE=EF.

圖3

圖4

(3)如圖5,當(dāng)點G與B重合時,DE=EF,BF=0;如圖6,當(dāng)點G在CB延長線上時,DE+BF=EF.

圖5

圖6

這樣通過深度學(xué)習(xí),有效發(fā)散了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)了學(xué)生分類討論素養(yǎng),激發(fā)了學(xué)生的探究欲.

變式2例1中的已知條件不變,結(jié)論改為“求線段EF的取值范圍”.

結(jié)合變式1可知,當(dāng)點G與點C重合時,EF=0,此時EF最小;當(dāng)點G點B重合時,此時EF的長度等于正方形的邊長.接下來教師展示圖7,讓學(xué)生直觀感知隨著點G位置的變化,EF的長度隨之變化,滲透函數(shù)思想,從而為接下來研究“一次函數(shù)”作鋪墊.

圖7

這樣通過對教材問題的拓展研究,既有效溝通了全等三角形的相關(guān)知識,又讓學(xué)生在由內(nèi)弦圖到外弦圖的變化過程中形成新想法、新思路,充分感知“趙爽弦圖”的變化之美.同時,在拓展延伸中讓學(xué)生初步感受函數(shù)思想,充分感知知識間的內(nèi)在聯(lián)系,促進學(xué)生知識體系的建構(gòu)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

4 問題推廣

思考如圖8所示,當(dāng)四邊形ABCD是正方形時,則EF=AF-BF.如圖9,△ABC是正三角形,其中∠1=∠2,那么AF,BF,EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?如圖10,若將正三角形變?yōu)檎暹呅?∠1=∠2,此時AF,BF,EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?

圖8

圖9

圖10

教學(xué)過程中,教師在原有基礎(chǔ)上進一步推廣,將正方形背景下線段的數(shù)量關(guān)系推廣至正三角形和正五邊形中,讓學(xué)生充分體會探究方法的一致性,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決此類問題的方法,逐步幫助學(xué)生建構(gòu)“一線三等角”模型,提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

5 遷移應(yīng)用

談起中考試題,很多學(xué)生會用“新”“難”來概括,然深入探究不難發(fā)現(xiàn),有些題實則是教材原題,學(xué)生之所以感覺“新”“難”,是因為在平時教學(xué)中對教材內(nèi)容的理解不夠深刻、全面,因此略有變化就感覺無從入手.其實,中考試題中時常會出現(xiàn)基本圖形的變化一類問題,而這類問題往往與“趙爽弦圖”密切相關(guān).因此,在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生歸類,讓學(xué)生在變化中體會不變的本質(zhì),提高綜合解題能力.

例2如圖11所示,四邊形ABCD是邊長為6 cm的正方形,點E,F,G,H分別從點A,B,C,D同時出發(fā),以1 cm/s的速度向B,C,D,A勻速運動,當(dāng)點E達到點B時,四點同時停止運動.問點E運動幾秒時,四邊形EFGH面積取最小值?其最小值為何值?

圖11

分析：由題意可知,△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,根據(jù)已知條件可用含t的代數(shù)式表示AE與AH的長,由此得到關(guān)于t的二次函數(shù),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以求得當(dāng)點E運動3 s時,四邊形EFGH的面積最小,且最小值為18 cm2.

例3如圖12所示,在正方形ABCD中,點E在邊CD上,AQ⊥BE,垂足為Q,DP⊥AQ,垂足為P.

圖12

(1)求證:AP=BQ;

(2)在不添加輔助線的情況下,圖中各線段蘊含怎樣的數(shù)量關(guān)系?

分析：學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗易證△ABQ≌△DAP,問題(1)獲證.對于問題(2),根據(jù)研究弦圖的經(jīng)驗易得AQ-AP=PQ,AQ-BQ=PQ,DP-AP=PQ,DP-BQ=PQ.

例2、例3均為中考試題,均以正方形為背景,由基本圖形變換而來,若學(xué)生能夠認(rèn)清問題的本質(zhì),自然可以輕松獲解.在日常教學(xué)中,若不關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系,不重視揭示問題的本質(zhì),那么學(xué)生在面對“陳題”時也會感覺陌生,這樣在解題時出現(xiàn)“懂而不會”“一錯再錯”等情況也就不足為奇了.因此,在實際教學(xué)中,教師要充分挖掘教材資源,通過有效變式讓學(xué)生學(xué)懂、學(xué)透,切實提高學(xué)生解題能力.Z