? 湖北省隨州市廣水市永陽學(xué)校 尚衛(wèi)成

? 山東省煙臺經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第二初級中學(xué) 譚曉玲

問題是認(rèn)識世界和改造世界的原始動力,數(shù)學(xué)學(xué)科也不例外.克萊因強(qiáng)調(diào):“每一個數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問題發(fā)展起來的.”惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院王海青副教授也曾表示:“高質(zhì)量的數(shù)學(xué)活動總是從特定的數(shù)學(xué)問題開始的.”可見,問題是數(shù)學(xué)工作開展的基礎(chǔ),合乎邏輯的數(shù)學(xué)教學(xué)工作也應(yīng)該圍繞著問題逐步展開[1].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確指出要堅持以問題為導(dǎo)向,全面梳理課程改革的困難與問題,明確修訂的重點和任務(wù),注重對實際問題的有效回應(yīng).為此,教師要充分圍繞問題設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué),為學(xué)生提供真實的問題情境,引領(lǐng)學(xué)生圍繞問題展開數(shù)學(xué)探究,以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,推動數(shù)學(xué)教學(xué)從“形式化”教學(xué)模式向“實質(zhì)化”教學(xué)模式轉(zhuǎn)型.

1 在現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題

問題法驅(qū)動下的數(shù)學(xué)教學(xué)遵循“從問題到理論”的具體教學(xué)原則.教師要從現(xiàn)實情境出發(fā)完成數(shù)學(xué)教學(xué).這里的“現(xiàn)實”主要有兩方面的含義:一是數(shù)學(xué)各個分支產(chǎn)生的歷史背景,二是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與學(xué)生日常生活實踐的聯(lián)系.問題法驅(qū)動下的數(shù)學(xué)教學(xué)活動,其驅(qū)動模式的關(guān)鍵在于教師是否在教學(xué)組織時充分考慮到學(xué)生的主體地位以及數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)設(shè)能否符合真實的現(xiàn)實情境[2].

教學(xué)片段1：

師:面對大數(shù)學(xué)家泰勒斯的侃侃而談,國王又對泰勒斯發(fā)問道“我想知道希臘基菲索斯河的寬度,你不過河可以做到嗎?”泰勒斯點了點頭.同學(xué)們知道泰勒斯是怎么解決這一問題的嗎?

生1:應(yīng)該是運(yùn)用相似三角形的判定定理吧?

生2:可以在河岸取一條與河道垂直的垂線,再運(yùn)用相似三角形的判定定理證明兩個三角形的相似關(guān)系,進(jìn)而解出河道的具體寬度.

師:兩位同學(xué)說得都很正確,那大家一起嘗試著將真實情境具體到簡單的幾何圖形中吧.我們可以取河岸對面一點A,在河岸邊取點B和C,使點A,B,D共線且直線AD與河岸垂直,過點D作AD的垂線交直線AC于點E,如圖1,AB為河的寬度.那怎么求出線段AB的長度呢?

圖1

生9:因為△ABC∽△ADE,在測量出BD,BC,DE的長度后就可以求出AB的長度了.

師:很好,那接下來我為這些線段賦值,大家一起嘗試著做一下.已知BC=120 m,BD=90 m,DE=240 m,則河道的寬度AB是多少?

教學(xué)反思：教師以真實情境作為問題的支撐,為學(xué)生提供了更加形象而具體的想象空間.引導(dǎo)學(xué)生展開頭腦風(fēng)暴,提高學(xué)習(xí)積極性和主動性.

2 利用新舊知識間的聯(lián)系生成和解決問題

初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,問題法在實際運(yùn)用時,學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)是非常重要的.因為初中數(shù)學(xué)的很多知識前后聯(lián)系性較強(qiáng),如果沒有以前的知識基礎(chǔ),在采用問題法引導(dǎo)時,學(xué)生會感到有較大難度.因此,在進(jìn)行問題法教學(xué)時,一定要注意新舊知識之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生回憶,在原有知識基礎(chǔ)上運(yùn)用問題法實現(xiàn)知識的深化和遷移.

教學(xué)片段2：

師:我們已經(jīng)跟泰勒斯學(xué)會了用相似三角形解決生活中的實際問題,那么老師現(xiàn)在想知道我們學(xué)校的旗桿的高度,哪位同學(xué)有辦法解決呢?

生4:可以利用光線,測量出自己的身高、自己影子的長度以及旗桿影子的長度,這樣就出現(xiàn)了兩個直角三角形.根據(jù)相似三角形的判定定理——兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似,就可以知道由旗桿和旗桿的影子構(gòu)成的三角形與自己身高和自身影子構(gòu)成的三角形是相似三角形.再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例這一性質(zhì),就可以得出旗桿的高度了.

師:這位同學(xué)講得非常正確,可以看出同學(xué)們已經(jīng)基本掌握了相似三角形的相關(guān)性質(zhì),通過情境思考,利用光線構(gòu)建相似三角形解決問題.

接下來,我們通過案例解析熟練掌握相似三角形的判定定理并將其運(yùn)算原理遷移到其他生活情境中,在數(shù)學(xué)教材的支撐下,掌握其中的核心聯(lián)系.讓我們來具體聯(lián)系一下吧.

例1在同一時刻,物體的高度與它自身的影子成正比.在某一時刻,有人測得一高為1.5 m的竹竿的影子長5 m,某一高樓的影子長75 m,那么高樓的高度是多少m?

師:為了正確運(yùn)用相似三角形的判定定理,同學(xué)們應(yīng)當(dāng)在解答之前,先嘗試列舉已知、位置、常量、變量等條件,提取重點內(nèi)容,建立知識框架.

生5:物體的高度和它自身的影子成正比、1.5 m的竹竿影子長5 m、高樓的影子為75 m,以正比例為重點,找到竹竿和高樓之間的聯(lián)系,就能計算出最終答案.

師:嗯,特別棒.

師:不錯,看來同學(xué)們已經(jīng)掌握了此類題型之間的邏輯關(guān)系,能從中提取核心內(nèi)容.

例2如圖2,一名同學(xué)直立于旗桿影子的頂端B處,測得該同學(xué)的身高BD=1.8 m,其影長CB=2 m,又測得同一時刻旗桿的影長OB=18 m,根據(jù)測量數(shù)據(jù),求出旗桿的高度AO.

圖2

生7:根據(jù)圖2可以得出,這是相似三角形判定的經(jīng)典題型,只要找到兩個三角形之間的聯(lián)系,肯定能夠計算出結(jié)果.

師:非常正確,同學(xué)們要記住,數(shù)學(xué)知識間是互通的,在每次解題之前,要能找到問題與已學(xué)知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系,選擇性加以應(yīng)用,才能摸清問題的來龍去脈.

所以旗桿的高度AO為16.2 m.

師:有理有據(jù),因果明晰,運(yùn)算步驟不繁瑣,運(yùn)算結(jié)果精準(zhǔn),整體完整性較高,值得表揚(yáng).

教學(xué)反思：教師在引導(dǎo)學(xué)生解決樓房的高度問題后,逐步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用新學(xué)的知識解決問題.加深對所學(xué)知識的印象,幫助學(xué)生嘗試自主建新舊知識之間的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)知識框架,提高題解的準(zhǔn)確性.

教學(xué)片段3：

師:同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會運(yùn)用鏡子的反射原理,構(gòu)建相似三角形,并運(yùn)用相似三角形的判定定理解決數(shù)學(xué)問題.那接下來,我們一起來探討下面這道題吧.

例3如圖3所示,小明將一面鏡子放在離樹(CD)10 m的點O處,然后沿著直線CO后退到點B,這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點D,再用卷尺量得BO=3.2 m,而小明的身高為AB=1.6 m,則樹高是多少?你可以解決這個問題嗎?

圖3

圖4

師:很好,大家已經(jīng)充分掌握了運(yùn)用鏡子構(gòu)建相似三角形,并學(xué)會了運(yùn)用相似三角形的判定定理解決數(shù)學(xué)問題.

教學(xué)反思：教師以教學(xué)片段2中的數(shù)學(xué)問題為基礎(chǔ),并提出類似的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,以此提高學(xué)生對舊知識的應(yīng)用以及對相似三角形判定定理的理解.

教學(xué)片段4：

師:大家能否根據(jù)相似三角形的判定定理,幫助泰勒斯尋找其他求河的寬度的方法?

生10:我們可以在河岸邊設(shè)置一點A,連接河對岸上的點P與點A,交河岸BC于點O,再過點P和點A分別向BC引垂線,構(gòu)建相似三角形.

師:這位同學(xué)的想法很好,我們一起來實踐一下,看看可操作性強(qiáng)不強(qiáng).現(xiàn)在請大家判斷圖5中的△ABO與△PCO是否相似?并說明理由.

圖5

生11:△ABO∽△PCO.因為∠AOB=∠POC,∠ABO=∠PCO=90°,所以△ABO∽△PCO.

師:既然可以證明兩個三角形相似,那么能否運(yùn)用相似三角形的定義和性質(zhì),求出河道的寬度呢?

師:很好,大家已經(jīng)懂得了相似三角形判定定理的具體應(yīng)用方法.

教學(xué)反思：根據(jù)教學(xué)片段3的內(nèi)容,教師對河寬的求解方法提出了新的思路,在原有的解題方法上拓展了學(xué)生解決問題的思路.

設(shè)計并研究問題法教學(xué)在于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.一方面,教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生針對生活中的實際情況提出數(shù)學(xué)問題,以此引發(fā)思考,提高學(xué)生的自主探究能力.另一方面,教師要加強(qiáng)新舊知識之間的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的同時,拓展解題思路,活躍數(shù)學(xué)思維.教師要掌握問題法教學(xué)的核心,帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的真正魅力所在.