? 安微省合肥市第四十八中學(xué) 陶興高 丁永愿

?浙江省杭州市海辰中學(xué) 程龍軍

1 單元復(fù)習(xí)教學(xué)現(xiàn)狀

復(fù)習(xí)課的主要功能是將學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理,提高學(xué)生的綜合能力,發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì).但復(fù)習(xí)課也是典型的“三無”課型,即沒有明確的教學(xué)目標(biāo),沒有具體的教學(xué)內(nèi)容,沒有固定的教學(xué)策略,給復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)帶來了挑戰(zhàn).目前復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)存在以下問題:忽視教學(xué)目標(biāo),重難點(diǎn)不突出;復(fù)習(xí)內(nèi)容單調(diào),基本上都是“知識(shí)+習(xí)題”,導(dǎo)致了知識(shí)的碎片化,不利于知識(shí)認(rèn)知的整體構(gòu)建;復(fù)習(xí)方法以講練為主,機(jī)械重復(fù),學(xué)生喪失復(fù)習(xí)主動(dòng)性.

2 問題鏈的相關(guān)概念

2.1 問題鏈的內(nèi)涵與特征

“問題鏈”就是教師為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),根據(jù)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知障礙,將教材知識(shí)深化整合,推廣綜合,逐漸轉(zhuǎn)化為具有層次性和系統(tǒng)性的問題序列[1].問題鏈具備以下特征:①有序性.問題鏈的有序性是知識(shí)有序和認(rèn)知有序的整合,問題遵循從易到難、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則循序漸進(jìn)依次展開.②指引性.問題鏈中的每一個(gè)問題都是一個(gè)“腳手架”,引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)表達(dá),促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.③靈活性.由于課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程,這就要求問題鏈中的問題不能一成不變地呈現(xiàn)給學(xué)生,其呈現(xiàn)的跨度、方式及內(nèi)容等要因情施策.

2.2 基于問題鏈的單元復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)路徑與原則

以建構(gòu)主義理論和最近發(fā)展區(qū)理論為支持,構(gòu)建基于問題鏈的學(xué)習(xí)活動(dòng)路徑,如圖1所示.

圖1

2.2.1 教學(xué)目標(biāo)的高階性和指向性

教學(xué)目標(biāo)是問題鏈的目的地,也是問題鏈的導(dǎo)航儀,在教學(xué)目標(biāo)的追求上,問題鏈的教學(xué)不僅要關(guān)注基本知識(shí)、基本技能的掌握,也要關(guān)注思想方法的領(lǐng)悟、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.在教學(xué)目標(biāo)的制定上,教師要明晰知識(shí)結(jié)構(gòu)、調(diào)研學(xué)生認(rèn)知障礙,以課標(biāo)為參考,確保后續(xù)的每個(gè)問題都有明確的指向性,避免“問無實(shí)質(zhì)”“隨意提問”的現(xiàn)象,使得問題鏈有計(jì)劃、有步驟、有目的地依次展開.

2.2.2 問題鏈設(shè)計(jì)的邏輯性和啟發(fā)性

問題鏈的邏輯性包括知識(shí)邏輯和認(rèn)知邏輯.一方面,問題鏈應(yīng)體現(xiàn)“低起點(diǎn)、分層次、高落點(diǎn)”,實(shí)現(xiàn)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)的過渡.另一方面,教師在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)應(yīng)順應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的展開規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知順序,確保問題間有順序地銜接,有邏輯地漸進(jìn),使問題鏈成為促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的有效階梯.問題鏈的啟發(fā)性就是要求教師根據(jù)學(xué)生的差異性,在學(xué)生的思維障礙處或興趣點(diǎn)處搭建“腳手架”,設(shè)計(jì)符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的預(yù)設(shè)問題,盡可能地對(duì)原有問題進(jìn)行拓展、延伸.

2.2.3 評(píng)價(jià)分析的伴隨性

評(píng)價(jià)分析包括問題功能和學(xué)生反饋兩個(gè)維度,一是在教師設(shè)計(jì)完問題鏈之后,分析每個(gè)主干問題完成了哪些教學(xué)目標(biāo),在教學(xué)過程中教師及時(shí)記錄出現(xiàn)的預(yù)設(shè)問題,優(yōu)化問題鏈.二是問題鏈的教學(xué)是一個(gè)不斷提出問題、解決問題的過程,在教學(xué)過程中教師可以不斷評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況,診斷出學(xué)生的知識(shí)盲區(qū),以便及時(shí)指導(dǎo).

3 “直線與圓的位置關(guān)系”單元復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)實(shí)施

3.1 “直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)目標(biāo)

“直線與圓的位置關(guān)系”單元包括滬科版第24章的第4,5兩個(gè)小節(jié),是在圓的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步延續(xù)和發(fā)展.本單元內(nèi)容包括直線與圓的位置關(guān)系,切線的性質(zhì)與判定,切線長(zhǎng)定理,內(nèi)切圓等知識(shí).從教材的脈絡(luò)來看,首先分類討論直線與圓的三種位置關(guān)系,突出特殊的位置關(guān)系——相切,探究切線的性質(zhì)和判定定理,再利用尺規(guī)作圖作已知圓的切線,引出切線長(zhǎng)定理,最后學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)切圓(即切線長(zhǎng)的應(yīng)用與延續(xù)).因此,切線是貫穿單元內(nèi)容的主線,以切線的條數(shù)逐步增加作為橫向脈絡(luò),以相應(yīng)的圖形結(jié)論作為縱向脈絡(luò),形成了如圖2的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖.

圖2

直線與圓的位置關(guān)系是初中幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用,常與垂徑定理、圓周角、勾股定理、平行線、相似三角形等知識(shí)結(jié)合.本單元對(duì)發(fā)展學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、演繹推理、實(shí)踐操作能力有著重要的意義.

基于課標(biāo)要求,制定如下教學(xué)目標(biāo):

(1)回顧直線與圓的三種位置關(guān)系,體會(huì)用距離刻畫直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)形結(jié)合思想;

(2)掌握切線的性質(zhì)和判定定理,發(fā)展幾何直觀、演繹推理能力;

(3)了解切線長(zhǎng)定理、三角形內(nèi)切圓等知識(shí),在尺規(guī)作圖的過程中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);

(4)在解決具體問題的過程中提高分析問題、解決問題以及綜合運(yùn)用的能力.

3.2 “直線與圓的位置關(guān)系”問題鏈設(shè)計(jì)分析

3.2.1 問題鏈1:開放作圖,理清知識(shí)脈絡(luò)

問題1如圖3,⊙O外有一點(diǎn)P,過P作直線l,直線l與⊙O有哪些位置關(guān)系的?

圖3

問題1-1你是如何判斷直線與圓的位置關(guān)系的?

問題2如圖4,已知直線PA是⊙O的一條切線,切點(diǎn)為A,請(qǐng)用尺規(guī)過點(diǎn)P作⊙O的另外一條切線PB,并說明理由.

圖4

問題2-1你是怎么想到該作法的?

問題2-2所得到的圖形有什么結(jié)構(gòu)特征?

問題3如圖5,PA,PB與⊙O分別相切于A,B兩點(diǎn),C是⊙O上一點(diǎn).過C作⊙O切線,請(qǐng)你畫出圖形.

圖5

問題3-1你還能畫出其他圖形嗎?

問題3-2根據(jù)所畫出的圖形,你有什么結(jié)論?

教學(xué)預(yù)設(shè):

問題2的具體作法有如下幾種情況:

思路一：如圖6,以O(shè)P為直徑作⊙N,交⊙O于點(diǎn)B,則直線PB即為所作.

圖6

思路二：如圖7,以P為圓心,PA為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)B,則直線PB即為所作.

圖7

思路三：如圖8,作直線PM,使得∠OPM=∠OPA,則直線PM即為所作.

圖8

思路四：如圖9,過點(diǎn)A作PO的垂線段交⊙O于點(diǎn)B,則直線PB即為所作.

圖9

問題3所得到的圖形如圖10～12所示.

圖10

功能分析：?jiǎn)栴}1從數(shù)形兩個(gè)不同的角度復(fù)習(xí)回顧判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法,滲透數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)于問題2,學(xué)生已經(jīng)具備了教材的作法經(jīng)驗(yàn),思路一較易想到,但該法并未用到已知切線PA這一條件.可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合切線長(zhǎng)定理的內(nèi)容(過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,兩條切線相等,圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角)聯(lián)想構(gòu)圖,形成思路二、三.對(duì)于這幾種作法的證明,思路一、二、四應(yīng)用了切線的判定方法,即連半徑,證垂直;思路三應(yīng)用了切線的判定方法,即作垂直,證半徑.特別指出,思路三在教學(xué)過程中有學(xué)生用△PAO≌△PBO證明PM是⊙O的切線,通過對(duì)比彰顯運(yùn)用角平分線性質(zhì)證明的簡(jiǎn)潔性.本活動(dòng)在作圖中復(fù)習(xí)切線定理、切線長(zhǎng)定理的同時(shí),綜合運(yùn)用了垂徑定理、全等三角形、圓周角、角平分線的性質(zhì)等相關(guān)幾何知識(shí),提高了學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力.

問題3根據(jù)點(diǎn)C的位置分為圖10～12的三種情況,培養(yǎng)了學(xué)生分類討論能力.在圖10中復(fù)習(xí)三角形內(nèi)心的定義、性質(zhì)和求三角形內(nèi)切圓半徑的一般方法,在圖11中可證四邊形ACMP是直角梯形且PM=MC+PA,在圖12中可向?qū)W生補(bǔ)充旁切圓等知識(shí).在教學(xué)過程中可繼續(xù)追問學(xué)生:“如果再增加一條切線,你可以得到什么圖形?有什么結(jié)論?”該環(huán)節(jié)是切線長(zhǎng)定理運(yùn)用的延續(xù)與拓展,使得知識(shí)整理的過程變得有序和完整,也為后續(xù)學(xué)習(xí)正多邊形與圓的關(guān)系埋下伏筆.

圖11

圖12

問題鏈1是知識(shí)梳理的過程,與機(jī)械式的復(fù)述回憶不同,該環(huán)節(jié)通過設(shè)計(jì)連續(xù)的作圖活動(dòng),從一條切線到兩條切線,再到三條切線,將其中的概念、定理以及內(nèi)在的聯(lián)系串聯(lián)形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.讓學(xué)生在經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程中,增強(qiáng)動(dòng)手能力,理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法,發(fā)展空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3.2.2 問題鏈2:問題探究,提高綜合能力

問題4如圖13,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm.點(diǎn)O在邊BC上,以O(shè)C為半徑作⊙O,⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D,交邊BC于點(diǎn)E,求⊙O的半徑.

圖13

問題4-1：如圖14,連接DE,CD,求線段DE,CD的值.

圖14

問題4-2：如圖15,連接OA交CD于點(diǎn)F,連接EF,判斷四邊形ADEF是不是平行四邊形.

圖15

問題5如圖16所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O在邊BC上,以O(shè)C為半徑作⊙O,⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D,交邊BC于點(diǎn)E,連接OA交CD于點(diǎn)F,連接EF,要使四邊形ADEF是平行四邊形,則Rt△ABC的三邊需要滿足什么條件?

圖16

教學(xué)預(yù)設(shè):

問題4求半徑的一般思路:

圖17

思路二：如圖17,連接OD,在Rt△BDO中,由BD2+OD2=OB2,得42+r2=(8-r)2,解得r=3.

圖18

問題4-1求線段長(zhǎng)的一般思路:

圖19

問題4-2的判斷思路:

思路二：F是CD的中點(diǎn),E不是CB的中點(diǎn),顯然EF和AB不平行.

問題5的求解思路:

已知ED∥AF,要使四邊形ADEF是平行四邊形,還需要ED=AF或AD∥EF.

圖20

功能分析：該環(huán)節(jié)以直角三角形和圓的綜合為背景設(shè)置問題鏈,將切線定理與相似三角形、平行線、勾股定理、平行四邊形等知識(shí)聯(lián)系起來,學(xué)生通過該題組掌握了求圓中線段長(zhǎng)度的一般方法,提高了分析問題、解決問題的能力.其中,問題5是問題4-2的逆向論證,從已知四邊形的形狀探究Rt△ABC的三邊關(guān)系,從有具體的數(shù)值到無數(shù)值,論證的過程更加抽象,使學(xué)生對(duì)圖形的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)更加深刻.該環(huán)節(jié)通過一題多問、一題多解的方式使得課堂內(nèi)容從冗長(zhǎng)走向簡(jiǎn)約,增強(qiáng)學(xué)生思維的連貫性、綜合性.

4 基于問題鏈的單元復(fù)習(xí)教學(xué)反思

問題鏈的教學(xué)模式可為教師提供一種復(fù)習(xí)課的教學(xué)方法,能夠引導(dǎo)學(xué)生樹立整體觀念,提高課堂參與度,發(fā)展核心素養(yǎng).

4.1 理清脈絡(luò),樹立整體觀念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化,整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,幫助學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題.問題鏈作為一個(gè)整體序列,問題與問題之間具有一定層次結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系,讓學(xué)生有機(jī)會(huì)借助邏輯思考建構(gòu)起知識(shí)體系.在本案例中,問題鏈1以切線的條數(shù)不斷增加作為主線,縱向?qū)卧獌?nèi)容串聯(lián)起來,使得知識(shí)梳理過程變得有序;問題鏈2橫向?qū)⑶芯€內(nèi)容與勾股定理、相似三角形、直角三角形等知識(shí)相結(jié)合,明晰本單元與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用.

4.2 以生為本,提高課堂參與度

唐恒鈞[2]教授指出:教師在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)應(yīng)激發(fā)學(xué)生解決問題的積極性;對(duì)于挑戰(zhàn)性問題,要在全體學(xué)生的認(rèn)知范圍內(nèi),讓每一位學(xué)生參與到其中,鍛煉學(xué)生解決問題的能力.在本案例中幾乎每個(gè)問題都有多種解法.其中,問題2方法的開放性讓學(xué)生更全面地掌握切線定理和切線長(zhǎng)定理,更深刻地認(rèn)識(shí)雙切圖的對(duì)稱性;問題3結(jié)論的開放性也會(huì)給學(xué)生帶來了“意外“內(nèi)容,拓展旁切圓等知識(shí);問題4題組探究過程的多樣性培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造思維.開放性的問題讓不同層次的學(xué)生都能參與,也使得知識(shí)方法的使用更加全面.

4.3 問題驅(qū)動(dòng),發(fā)展思維品質(zhì)

問題鏈教學(xué)將陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)去理解和認(rèn)識(shí),讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)的過程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu).問題鏈教學(xué)驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)展,表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是在內(nèi)容上給學(xué)生提供了充足的冷靜思考與自主探究的空間,讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下獨(dú)立探索,利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展;二是問題鏈間的關(guān)聯(lián)能揭示學(xué)習(xí)過程與思想方法,驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維發(fā)展經(jīng)歷“問題—方法—方法論”的數(shù)學(xué)化全過程,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).