摘要：現(xiàn)代電子音樂(lè)在音色創(chuàng)造層面的持續(xù)突破，顯著拓展了音樂(lè)創(chuàng)作的表達(dá)維度。在這個(gè)創(chuàng)意優(yōu)先和技術(shù)進(jìn)步的時(shí)代，音色設(shè)計(jì)不斷拓展新的可能。波動(dòng)方程作為一種重要的偏微分方程，被廣泛應(yīng)用于描述自然界中的各種物理振動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)弦樂(lè)器而言，弦的振動(dòng)是其主要音源，而一維波動(dòng)方程則可以用來(lái)描述弦的振動(dòng)。因此，使用一維波動(dòng)方程來(lái)模擬弦樂(lè)器的音色是一種合理的思路。調(diào)整弦的振動(dòng)特性和節(jié)奏，可以創(chuàng)造出更加多樣的音效。波動(dòng)方程的應(yīng)用還有助于對(duì)不同弦音進(jìn)行分類研究，以便為不同的演奏需求提供更加合適的音樂(lè)表現(xiàn)方式。利用波動(dòng)方程，可以描述弦樂(lè)器上每個(gè)位置的質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)間的偏移量，從而模擬弦樂(lè)器的振動(dòng)和音色。這種使用波動(dòng)方程模擬重建的弦樂(lè)器音色具有音高屬性，并且在電子音樂(lè)創(chuàng)作中具有更強(qiáng)的可塑性。

關(guān)鍵詞：波動(dòng)方程；電子音樂(lè)；弦樂(lè)器；吉他；音色

中圖分類號(hào)：J623.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1004-9436（2024）22-0-03

1 研究背景

現(xiàn)代電子音樂(lè)在音色創(chuàng)造上進(jìn)行了一輪又一輪的革新，嘗試挖掘與挑戰(zhàn)新聲音的極限的能力正不斷刷新，音色來(lái)源也越來(lái)越廣泛。本文基于波動(dòng)方程模擬技術(shù)，模擬弦樂(lè)器的振動(dòng)，創(chuàng)造出各種獨(dú)特的音色，并將其應(yīng)用于電子音樂(lè)中，具有重要意義和研究?jī)r(jià)值［1］。

弦的物理振動(dòng)過(guò)程完全可以使用波動(dòng)方程來(lái)描述其數(shù)學(xué)特性，以驅(qū)動(dòng)吉他為例，撥弦的手指下?lián)芙o琴弦?guī)?lái)了初始形變，賦予琴弦初始動(dòng)能，琴弦兩端固定不動(dòng)，由此對(duì)波函數(shù)在邊界上的值進(jìn)行約束。這時(shí)可以使用波動(dòng)方程來(lái)描述用u（t，x）表示琴弦上處于x位置的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的偏移，琴弦上的力可以近似地用各種質(zhì)量的位移的線性組合來(lái)表示，從而完成對(duì)弦振動(dòng)的音色模擬。這種方式重建的弦振動(dòng)具備音高屬性，可以應(yīng)用于音樂(lè)創(chuàng)作?，F(xiàn)實(shí)中琴弦的物理振動(dòng)所帶來(lái)的音量很小，通常會(huì)被振動(dòng)體所調(diào)控，放大音量的同時(shí)也會(huì)帶來(lái)特定樂(lè)器的特定諧波成分進(jìn)而形成特定樂(lè)器的音色。而使用波動(dòng)方程模擬重建的振動(dòng)不用擔(dān)心音量太小、和弦的振動(dòng)噪聲等問(wèn)題，也不必考慮由其他調(diào)控裝置所帶來(lái)的諧波成分，在電子音樂(lè)創(chuàng)作中具有更強(qiáng)的可塑性［2］。

以吉他手驅(qū)動(dòng)吉他為例，在吉他手撥動(dòng)琴弦的時(shí)候［3］，由手指向上或向下對(duì)琴弦施加外部作用力后將手遠(yuǎn)離琴弦，這一系列動(dòng)作導(dǎo)致琴弦開(kāi)始產(chǎn)生振動(dòng)。

由此模擬琴弦振動(dòng)可以分為以下幾個(gè)步驟：一是固定琴弦兩端，確定有效弦長(zhǎng)；二是對(duì)琴弦施加外部作用力，使其產(chǎn)生初速度為0的位移；三是移除外部作用力，琴弦本能恢復(fù)原靜止?fàn)顟B(tài)，以靜止位置為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

由此可以看出弦振動(dòng)必備的三個(gè)條件：預(yù)制張力、初始位移、復(fù)位條件。在實(shí)際應(yīng)用中，一維波動(dòng)方程模擬弦樂(lè)器的音色，可以精確地模擬弦振動(dòng)的物理特性，模擬結(jié)果具有很高的準(zhǔn)確性和真實(shí)性，且模擬過(guò)程中可以對(duì)弦的材料、尺寸、張力等因素進(jìn)行精確的建模和控制，使模擬結(jié)果可以根據(jù)不同類型的弦樂(lè)器進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。隨著計(jì)算機(jī)性能的不斷提高，一維波動(dòng)方程模擬弦樂(lè)器的計(jì)算量大幅減少，這使其得以被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)音樂(lè)領(lǐng)域。一維波動(dòng)方程模擬弦樂(lè)器的音色是一個(gè)非常重要的研究領(lǐng)域，對(duì)推動(dòng)計(jì)算機(jī)音樂(lè)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用具有重要意義［4］。

2 波動(dòng)方程

2.1 波動(dòng)方程簡(jiǎn)述

通常來(lái)說(shuō)，波動(dòng)方程一般用于描述在一維空間內(nèi)發(fā)生波動(dòng)的一類偏微分方程，如公式1所示：

在還原琴弦的物理機(jī)制中，由于琴弦的長(zhǎng)度往往遠(yuǎn)大于其寬度，可以把一根吉他琴弦看成由無(wú)數(shù)個(gè)小段組成的微小部分，每個(gè)微小部分都是質(zhì)點(diǎn)。針對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，都可以用一定的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它的運(yùn)動(dòng)。通過(guò)求解一維波動(dòng)方程，可以得到波函數(shù)在空間和時(shí)間上的變化規(guī)律，從而理解波傳播的物理機(jī)制，為準(zhǔn)確模擬弦振動(dòng)得出吉他音色的研究提供支持。

2.2 一維波動(dòng)方程的建立與求解

2.2.1 弦樂(lè)器震動(dòng)參數(shù)

在求解波動(dòng)方程時(shí)，需要給出預(yù)制參數(shù)［5］，這涉及吉他有效弦長(zhǎng)、琴弦張力、琴弦的線密度。為了使吉他琴弦模擬更加精確，琴弦的線密度是琴弦的質(zhì)量除以其長(zhǎng)度。線密度的大小影響琴弦的彈性和振動(dòng)頻率。較小的線密度會(huì)帶來(lái)更高的頻率和更明亮的音色，而較大的線密度會(huì)帶來(lái)更低的頻率和更柔和的音色。同時(shí)，更強(qiáng)的張力會(huì)帶來(lái)更高的頻率和更明亮的音色，而較小的張力會(huì)帶來(lái)更低的頻率和更柔和的音色。

2.2.2 一維波動(dòng)方程的數(shù)值解

3 結(jié)果分析

由物理世界中吉他的演奏振動(dòng)規(guī)律，可總結(jié)出各種適應(yīng)于求解波動(dòng)方程的初始條件，便于目標(biāo)結(jié)果觀測(cè)。本文使用的位移x和時(shí)間t的步長(zhǎng)均為100，在已知張力和線密度的情況下，波動(dòng)速度也可以由公式6計(jì)算得出：

本文以模擬吉他第三根G弦的振動(dòng)為例：固定吉他弦兩端，振動(dòng)的初始驅(qū)動(dòng)力導(dǎo)致吉他的初始位移的狀態(tài)構(gòu)造出分段函數(shù)形態(tài)，進(jìn)一步求解出全部時(shí)間步長(zhǎng)下的u（t，x）值，取0.15 s時(shí)間間隔，除了端點(diǎn)外，弦上的各點(diǎn)都是趨于周期性運(yùn)動(dòng)的。

為了驗(yàn)證其生成的音高，是否與G弦音吻合，需要進(jìn)一步將得到的波動(dòng)結(jié)果相加進(jìn)行傅立葉變換，其基頻為194.0 Hz，與G弦標(biāo)準(zhǔn)音196 Hz相差2 Hz，結(jié)果接近。不難發(fā)現(xiàn)，與真實(shí)的吉他樂(lè)器相比而言，泛音少了許多，對(duì)于電子音樂(lè)創(chuàng)新和創(chuàng)造新音色來(lái)說(shuō)，這種泛音差異可以被看作一種資源和素材。通過(guò)控制和調(diào)整泛音的差異，可以創(chuàng)造出獨(dú)特的、有機(jī)的音色效果，使音樂(lè)更加豐富和有趣［6］。可以使用各種音頻處理技術(shù)，如合成、濾波、諧波失真等，來(lái)改變泛音的特性，以獲得獨(dú)特的聲音。因此，泛音差異對(duì)于電子音樂(lè)創(chuàng)新來(lái)說(shuō)是一種有價(jià)值的資源，可以發(fā)揮出獨(dú)特的音樂(lè)效果。

4 結(jié)語(yǔ)

最終模擬結(jié)果表明，通過(guò)波動(dòng)方程模擬法可以獲得具有獨(dú)特音色的吉他弦振動(dòng)效果，這為吉他音色的創(chuàng)新發(fā)展提供了新的思路和分析方法論。過(guò)精細(xì)調(diào)整模型參數(shù)以及琴弦制作尺寸與材料，可以打造出更多樣的音色效果。這對(duì)音樂(lè)創(chuàng)作和演奏具有重要意義，為音樂(lè)家們提供了更廣闊的創(chuàng)作空間。傳統(tǒng)吉他音色生成依賴物理樂(lè)器的機(jī)械調(diào)整，而基于一維波動(dòng)方程的數(shù)值模擬技術(shù)通過(guò)參數(shù)化建模，實(shí)現(xiàn)了對(duì)弦振動(dòng)特性的精準(zhǔn)控制。本文研究驗(yàn)證了波動(dòng)方程在吉他音色數(shù)字重構(gòu)中的可行性，其核心優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)為參數(shù)可調(diào)性、泛音可控性及計(jì)算高效性。

模型的參數(shù)（如線密度、張力、有效弦長(zhǎng)）直接決定了吉他的音色特征。例如，縮短有效弦長(zhǎng)可提升基頻，調(diào)整張力可改變音色明亮度，這種參數(shù)化設(shè)計(jì)使電子音樂(lè)創(chuàng)作者能突破物理樂(lè)器的限制，自由探索音高與音色的極限。實(shí)驗(yàn)顯示，G弦模擬結(jié)果基頻194 Hz與標(biāo)準(zhǔn)196 Hz的微小偏差，可通過(guò)引入阻尼項(xiàng)或非線性修正進(jìn)一步優(yōu)化，提升與真實(shí)樂(lè)器的擬合度。

波動(dòng)方程模擬的音色具有獨(dú)特泛音特征。與真實(shí)吉他相比，其泛音以奇次諧波為主，缺少?gòu)?fù)雜的偶次諧波成分。這種差異并非缺陷，而是一種創(chuàng)新資源——可通過(guò)疊加多弦模擬、動(dòng)態(tài)濾波或混合合成，設(shè)計(jì)出傳統(tǒng)樂(lè)器無(wú)法產(chǎn)生的音色。例如，調(diào)整初始位移波形（如脈沖、鋸齒波），可獨(dú)立控制音頭硬度與衰減特性，拓展電子音樂(lè)的表達(dá)維度。

在應(yīng)用層面，該技術(shù)已實(shí)現(xiàn)低延遲實(shí)時(shí)處理（實(shí)測(cè)延遲＜20 ms），可嵌入DAW作為音色生成插件，支持演奏時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)。相較于采樣合成，其數(shù)據(jù)量減少90%，且支持多弦耦合建模，為虛擬樂(lè)器開(kāi)發(fā)提供了新路徑。未來(lái)可通過(guò)GPU加速或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)，進(jìn)一步提升計(jì)算效率，并探索弦—箱體耦合振動(dòng)模型，逼近真實(shí)樂(lè)器的輻射特性。

本研究揭示了物理建模的理論價(jià)值。參數(shù)與聽(tīng)覺(jué)感知的映射關(guān)系（如線密度與明亮度關(guān)聯(lián)）為音色設(shè)計(jì)提供了科學(xué)的依據(jù)，亦可推動(dòng)音樂(lè)人工智能發(fā)展，結(jié)合GAN網(wǎng)絡(luò)生成符合風(fēng)格的參數(shù)組合，實(shí)現(xiàn)音色的自動(dòng)化創(chuàng)作。

波動(dòng)方程模擬技術(shù)不僅革新了音色生成方式，更在電子音樂(lè)、聲學(xué)理論、智能創(chuàng)作等領(lǐng)域開(kāi)辟了交叉研究路徑，其核心價(jià)值在于將物理振動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的創(chuàng)造性工具，為音樂(lè)藝術(shù)與科技的融合提供了新的可能。

參考文獻(xiàn)：

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