吳 凱,楊 藝,姚雪蓮

(江蘇理工學(xué)院汽車與交通工程學(xué)院,江蘇 常州 213001)

0 引言

由于具有操作靈活、低電磁反射、低噪聲、隱蔽性高、保養(yǎng)維修更加高效便捷等優(yōu)點，多旋翼無人機已成為空天戰(zhàn)場的重要組成部分［1-3］。當無人機在戰(zhàn)場上執(zhí)行高危任務(wù)時，執(zhí)行器更容易發(fā)生不確定性故障，如今，四旋翼無人機的容錯控制研究相對成熟，文獻［4］采用積分反演控制方法設(shè)計基礎(chǔ)控制器，然后利用時延控制的逼近能力來補償執(zhí)行器可能出現(xiàn)的不確定故障，實現(xiàn)了對四旋翼無人機執(zhí)行器常值故障進行容錯控制，具有較強的魯棒性。文獻［5-6］均采用模型參考自適應(yīng)的控制方法，文獻［5］結(jié)合干擾觀測器和切換控制策略，解決了四旋翼無人機的外部干擾問題，但對外部條件有一定要求。文獻［6］則結(jié)合滑?？刂苼硪种仆饨绺蓴_和模型不確定性造成的影響。文獻［7-10］分別采用自適應(yīng)模糊滑?？刂?、自適應(yīng)容錯控制策略、基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反演控制等多種方法實現(xiàn)對四旋翼無人機容錯控制，但其討論的故障類型都相對單一，在實際應(yīng)用中具有一定的局限性。

與四旋翼無人機相比，六旋翼無人機具有結(jié)構(gòu)冗余，可靠性更高，當執(zhí)行器發(fā)生故障時，可以通過自身調(diào)節(jié)使無人機仍能穩(wěn)定飛行［11-12］。文獻［13］提出了一種迭代修正方案，當六旋翼無人機飛行時，利用交互多模型濾波器對無人機的飛行狀態(tài)進行故障診斷，在發(fā)生故障時，通過調(diào)用控制效率矩陣進行控制分配，從而實現(xiàn)容錯控制。該方法需要額外進行故障診斷，且只考慮完全失效下的故障情況。文獻［14-15］分別設(shè)計了基于滑模變結(jié)構(gòu)控制和應(yīng)用權(quán)重矩陣的自適應(yīng)容錯控制方法，這兩種控制方法都能有效降低執(zhí)行器失效和卡死故障對無人機飛行的影響，保證了無人機的穩(wěn)定飛行與安全著陸，但都只考慮執(zhí)行器失效的情況。文獻［16-17］針對六旋翼無人機執(zhí)行器故障均通過觀測器獲取故障信息，然后隔離電機故障進行容錯控制，雖具有良好的魯棒性，但加入觀測器后容錯控制系統(tǒng)過于復(fù)雜，現(xiàn)實中難以實現(xiàn)。文獻［18］考慮了無人機電機卡死和失效兩種故障類型，提出一種基于自適應(yīng)滑模的執(zhí)行器故障容錯控制方法，該方法保證了六旋翼無人機在發(fā)生執(zhí)行器故障時仍能穩(wěn)定飛行。文獻［19］采用自適應(yīng)反步滑模控制方法，實現(xiàn)了六旋翼無人機姿態(tài)和位置控制，控制系統(tǒng)對擾動和參數(shù)變化都具有很強的魯棒性。文獻［20］通過狀態(tài)反饋設(shè)計了一種自適應(yīng)控制器，使無人機電機卡死時仍能正常懸停和推進，該算法利用線性矩陣不等式方法的框架，提高了系統(tǒng)的安全性和魯棒性，雖未使用觀測器，但只能用于電機卡死故障。

本文針對六旋翼無人機研究其電機發(fā)生不確定故障下的控制問題，建立了六旋翼無人機的動力學(xué)模型和故障模型，并運用反步法對六旋翼無人機系統(tǒng)進行基本控制。設(shè)計了故障參數(shù)自適應(yīng)律對電機發(fā)生的不確定故障進行在線估計。在本文中，考慮六旋翼無人機的6個電機中至多有一個發(fā)生不確定故障，對電機在發(fā)生卡死故障和時變故障進行了研究，所設(shè)計的容錯控制方法與現(xiàn)有的六旋翼無人機容錯控制方法相比有以下特點：1）本文研究執(zhí)行器常值與時變兩種故障類型，且不依賴觀測器進行故障診斷，降低了系統(tǒng)的控制難度，解決的問題更貼近實際；2）本文深入考慮六旋翼無人機電機故障情況，基于Backstepping 進行理想反饋控制信號設(shè)計，并采用自適應(yīng)控制器進行故障補償，相較于滑?？刂?，避免了抖震，從而保證了無人機飛行時的穩(wěn)定性和安全性；3）該容錯控制方法亦可推廣到其他多旋翼無人機上，應(yīng)用的范圍更加廣泛。

1 問題描述

本文是基于圖1 的六旋翼無人機進行研究的。針對系統(tǒng)的復(fù)雜性，在建立模型之前，提出3個合理假設(shè)［18］：

圖1 地面坐標系和機體坐標系Fig.1 Coordinate systems of ground and airframe

1）對于機體坐標系，無人機重心和質(zhì)心以及坐標原點重合。如圖1 所示，Obxyz為無人機機體坐標系，無人機質(zhì)心處于坐標原點Ob的位置。無人機機頭所對方向與x軸正方向一致，z軸正方向始終與機體平面保持垂直，指向下方。對于Obx和Obz所構(gòu)成的平面，y軸與所構(gòu)成的平面垂直，即保證了任意兩個軸所構(gòu)成平面與另一個軸互相垂直。

2）無人機機體關(guān)于軸對稱且為剛體。六旋翼無人機結(jié)構(gòu)圖可簡化為，如圖2所示，根據(jù)對稱性可以看出1、4 號旋翼到M點距離為l2，3、6 號旋翼到N點距離為同樣為l2，2、5號旋翼到中心點O的距離為l1，2、5 號旋翼到中心點O的距離為l3；在6 個旋翼上面有各個方向的箭頭，代表了旋翼旋轉(zhuǎn)的方向；α代表了力臂和OM延長線之間的夾角。

圖2 六旋翼無人機簡化結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Simplified structural diagram of six-rotor UAV

3）無人機在飛行過程中，姿態(tài)角不會出現(xiàn)較大突變。

1.1 六旋翼無人機的動力學(xué)模型

考慮到六旋翼無人機的飛行和結(jié)構(gòu)特點，在不考慮陀螺效應(yīng)和環(huán)境因素對其的影響下，根據(jù)牛頓-歐拉方程，六旋翼無人機的運動學(xué)模型如下：

式中，γ=[φ,θ,ψ]為無人機的姿態(tài)角，φ,θ,ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角與偏航角；ω=[p，q，r]T表示無人機的角速度，p，q，r分別表示滾轉(zhuǎn)、俯仰與偏航角速度；j=diag｛Jx,Jy,Jz｝表示無人機三軸上的轉(zhuǎn)動慣量；機體坐標系三軸角速度與歐拉角向量轉(zhuǎn)換矩陣W ∈R3×3為：

根據(jù)圖2，由機體結(jié)構(gòu)得到矩陣L ∈R3×3為：

式中，b為升力系數(shù)；d為反扭矩系數(shù)。

u（t）為6個電機的控制輸入信號，u(t)=[u1(t),u2(t),u3(t),u4(t),u5(t),u6(t)]。

無人機在產(chǎn)生升力過程中，各個旋翼都會影響無人機的姿態(tài)角，用S ∈R3×6來表示：

根據(jù)式（1），定義第1 個子系統(tǒng)狀態(tài)向量x1=γ，和第2個子系統(tǒng)狀態(tài)向量x2=ω，則式（1）可表示成：

式中，x=[x1,x2]T；f1(x1)=W；f2(x)=-J-1ω×Jω；g2(x)=J-1LS。

1.2 六旋翼無人機電機故障模型

一種實際的六旋翼無人機的電機故障模型可以表示為：

式中，tj代表了故障時間；j為故障標號為未知常數(shù)，該故障可表示卡死故障，此時電機輸出為固定值；表示一類時變故障，其中，為未知故障參數(shù)，fji(t)(i=1,2,...,qj)為已知有界函數(shù)，例如正弦函數(shù)可用于模擬周期性的時變故障。

當系統(tǒng)發(fā)生不確定故障時，控制輸入u（t）可表示為：

式中，v（t）是需要設(shè)計的自適應(yīng)反饋控制信號，以補償不確定故障對系統(tǒng)性能造成的影響是故障值，為故障模式。當t時刻，第m（m=1,2,...,6）個電機產(chǎn)生故障時，，否則=0。

2 基于Backstepping 的非線性反饋控制信號設(shè)計

本文的控制目標是至多存在一個電機故障，且故障發(fā)生時間、故障模式與故障參數(shù)均未知的情況下，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)性以及輸出y（t）的漸近跟蹤期望信號ym（t），首先基于Backstepping 控制設(shè)計理想反饋控制律wd，定義，無故障時，系統(tǒng)輸入信號u（t）∈R6滿足：

wd設(shè)計步驟如下：

Step 1 引入誤差變量z1=x1-ym和z2=x2-α1，其中，α1為選定的設(shè)計函數(shù)，從式（5）第1 個方程可以得出：

定義誤差z1的李雅普諾夫函數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為：

設(shè)計穩(wěn)定函數(shù)為：

c1＞0 為控制器設(shè)計參數(shù)，并且將式（11）代到式（9）里面運算得出：

再結(jié)合式（10）和式（11）得：

因此，當z2=0 時，可通過α1來穩(wěn)定動態(tài)誤差；當z2≠0時，進行下一步設(shè)計。

方程（9）與式（14）可被視為一個二階系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以通過α1和反饋控制信號w(t)=g2(x1,x2)u（t）來穩(wěn)定。

則設(shè)計驅(qū)動信號w（t）對應(yīng)的理想反饋控制信號wd（t）為：

使得：

在系統(tǒng)無故障或故障信息已知情況下，結(jié)合式（7），系統(tǒng)的控制輸入可表示為：

其中，v*（t）為理想的故障補償控制器。則式（8）可表示為：

當發(fā)生不確定故障時，故障參數(shù)是未知的，因此無法得到v*（t），驅(qū)動信號w（t）不等于理想的反饋控制信號wd（t），此時基于Backstepping 設(shè)計的動態(tài)誤差方程式（14）可改寫為：

3 自適應(yīng)故障補償控制器設(shè)計

3.1 理想執(zhí)行器故障補償控制器設(shè)計

1）當無故障發(fā)生時，對所有時刻t≥0都有v（t）=v（t），由式（8）可知g2(x1,x2)v（t）=wd，由于g2(x1,x2)∈R3×6，無法通過求逆得到v（t），設(shè)計控制率v（t）為：

式中，K21(x1,x2)=（g2(x1,x2)h21(x1,x2))-1，選取的h21(x1,x2)∈R6×3非唯一且使得g2(x1,x2)h21(x1,x2)非奇異，故K21(x1,x2)也非唯一，當K21選定時，與均已知。

控制率v（t）設(shè)計為：

其中，h22(x1,x2)∈R5×5使得g2(2)(x1,x2)h22(x1,x2)非奇異，結(jié)合式（23）與式（24）通過求解：

計算可得：

當h22(x1,x2)選定時，通過求解式（25）可以確定K22與K221，進而可以通過式（24）與式（26）確定與。

3）當系統(tǒng)6 號電機故障時，u6=ū6，ui=vi(i=1,2,...,5)，g2=[g21,g22,...,g26]∈R3×6，令g2=[g2(1),g26]，g2(1)=[g21,...,g25]∈R3×5，v=[v1,v2...,v6]T=[v），v6]T∈R6，v6=0，va（3）=[v1,...,v5]T∈R5，則式（8）可表示成：

控制率v（t）設(shè)計為：

其 中，h23(x1,x2)∈R5×5使 得非 奇異，結(jié)合式（27）與式（28）通過求解：

計算可得：

當h23(x1,x2)選定時，通過求解式（29）可以確定K23與K236，進而可以通過式（28）與式（30）確定與。

則綜合控制器可表示為：

對于綜合控制器式（31），當v(t)=v*(t) 時，控制信號w(t)=wd(t)，從而獲得期望的系統(tǒng)性能。

3.2 自適應(yīng)執(zhí)行器故障補償器設(shè)計

當系統(tǒng)電機發(fā)生不確定故障時，故障參數(shù)(i=1,2,3)和(t)均未知，實際情況下無法得到理想的故障補償控制器v*(t)，為了解決故障的不確定性，建立如下自適應(yīng)故障補償控制算法：

根據(jù)式（31）可得自適應(yīng)控制器的結(jié)構(gòu)為：

結(jié)合式（40）～式（42）可得：

則：

其中：

定義：

為了保證設(shè)計參數(shù)的有界性，參數(shù)信息用含有投影算法的自適應(yīng)算法設(shè)計，則設(shè)計參數(shù)的自適應(yīng)律如下：

其中，Γ1i＞0與Γ6i＞0為自適應(yīng)增益矩陣，γ2i＞0與γ3i＞0為自適應(yīng)增益。

其中，η1i(j1)和hη1i(j1)分別為η1i和hη1i的第j1個分量，j1=0，1，...，q1，η6i(j1)和hη6i(j1)分別為η6i和hη6i的第j6個分量，j6=0，1，...，q6。

其他電機發(fā)生不確定故障情況下的自適應(yīng)設(shè)計過程與u1和u6故障情況下的自適應(yīng)補償控制算法相似。

3.3 性能分析

1）當無故障發(fā)生時，即σ(t)=diag｛0,0,...,0｝，定義正定方程：

對V0求導(dǎo)得：

2)當u1發(fā)生故障時，即σ(t)=diag｛1,0,...,0｝，定義正定方程：

對V1求導(dǎo)得：

3）當u6發(fā)生故障時，即σ(t)=diag｛0,0,...,1｝，定義正定方程：

對V2求導(dǎo)得：

針對可能發(fā)生不確定執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)式（1），在系統(tǒng)至多發(fā)生一個執(zhí)行器故障，且故障值、故障發(fā)生時間和故障模式均未知的情況下，通過采用基于Backstepping 所設(shè)計的反饋控制律式（43）和所設(shè)計的自適應(yīng)律式（49）～式（53），能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且其系統(tǒng)輸出漸近跟蹤給定指令。

4 仿真研究

在本文的仿真中，對于六旋翼無人機的3 種故障模式對應(yīng)的故障情況如下：

1）無故障發(fā)生，所有電機均正常工作：ui=vi（i=1，…，6），t＜10 s；

2）1號電機發(fā)生卡死故障，其他電機均正常：u1=2.5 N·m，ui=vi（i=2，…，6），10 s≤t≤25 s；

3）1號電機恢復(fù)正常工作，無故障：

ui=vi（i=1，…，6），25 s＜t≤40 s；

4）6號電機發(fā)生時變故障，其他電機均正常：u6=2sin（t）N·m，ui=vi（i=1，…，5），t＞40 s。

六旋翼無人機的數(shù)學(xué)模型參數(shù)如下［18］：

J=diag｛0.019，0.019，0.031｝；b=3.13*10-5；d=7.5*10-7；l1=0.285 1 m；l2=0.287 6 m；l3=0.048 07 m；m=1.7 kg；α=0.25πrad。

六旋翼無人機容錯控制器參數(shù)如下：

c1=1.2；c2=4.8；W1(t)=W6(t)=［1,sin(t)］T；γ1i=10，i=1，2，…，6；γ2i=10，γ3i=10，i=1，2，…，5；Γ1i=48Iq1+1，Γ6i=48Iq6+1，i=1，2，…，5；y0=［0.56，0.43，-0.88］T；ym=［2，-1.5，1.36］T。

姿態(tài)角變化仿真結(jié)果如下頁圖3～圖5 所示，以圖3 為例進行說明，當t∈（0 s，10 s），系統(tǒng)屬于無故障模式，可以看出姿態(tài)角位置在較短時間內(nèi)收斂到期望值，在基于Backstepping 設(shè)計的基礎(chǔ)控制器中參數(shù)c1起到明顯作用，c1越大系統(tǒng)輸出收斂速度就越快，反之則收斂越慢，但c1過大時導(dǎo)致震蕩，無法穩(wěn)定跟蹤期望值。當t∈［10 s，25 s），σ（t）=σ1（t）（u1故障），t∈［25 s，40 s），σ（t）=σ0（t）（無故障）和t∈［40 s，60 s），σ（t）=σ6（t）（u6故障）時，結(jié)合下頁圖6 可以看出，由于系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變導(dǎo)致出現(xiàn)較大的控制器參數(shù)估計誤差，但在自適應(yīng)控制的作用下，隨著時間的增加控制器參數(shù)估計誤差會逐漸減小，從圖中也可以看出在第10 s，25 s 和40 s 滾轉(zhuǎn)角發(fā)生了瞬態(tài)變化，但能夠很快跟蹤到期望值。在無故障發(fā)生時，所有無故障電機重新分配轉(zhuǎn)動力矩保證無人機姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當發(fā)生故障后，其對應(yīng)的無故障電機對故障電機進行故障補償，以滿足發(fā)生故障時系統(tǒng)的動態(tài)性能，如圖7 所示。通過反復(fù)仿真調(diào)試表明，對于自適應(yīng)控制和估計，自適應(yīng)增益γ1i、γ2i與γ3i過小時系統(tǒng)輸出誤差無法收斂至0，而過大則會導(dǎo)致震蕩；自適應(yīng)增益矩陣Γ1i與Γ6i越大時，在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變情況下的系統(tǒng)輸出的突變值就越小，反之突變值就越大。因此，需要折衷選擇控制器參數(shù)以滿足期望的控制性能。

圖3 滾轉(zhuǎn)角φ實際值與期望值Fig.3 The actual and expected values of roll angle φ

圖4 俯仰角θ實際值與期望值Fig.4 The actual and expected values of pitch angle θ

圖5 偏航角ψ實際值與期望值Fig.5 The actual and expected values of yaw angle ψ

圖6 跟蹤誤差y（t）-ym（t）Fig.6 Tracking error y（t）-ym（t）

圖7 系統(tǒng)控制輸入曲線Fig.7 System control input curve

通過上述仿真結(jié)果及分析可以看出，所設(shè)計的Backstepping 自適應(yīng)容錯控制器能快速處理不確定故障對無人機系統(tǒng)帶來的影響，保證了期望的輸出跟蹤性能，實現(xiàn)了容錯控制目標。

5 結(jié)論

本文針對六旋翼無人機電機發(fā)生不確定故障問題，設(shè)計了一種基于Backstepping 的自適應(yīng)故障補償方法。通過建立能統(tǒng)一描述電機常值故障與時變故障的數(shù)學(xué)模型，降低了對不同故障類型進行差別處理的復(fù)雜度。在基于Backstepping 的自適應(yīng)故障補償控制器中，設(shè)計了對故障參數(shù)與故障指示函數(shù)進行在線估計的自適應(yīng)律，不用額外設(shè)計觀測器，而傳統(tǒng)的故障容錯方法需要先進行故障的識別，然后設(shè)計觀測器，因此，提高了整個容錯控制系統(tǒng)的設(shè)計復(fù)雜度。