摘 要：碰撞過程憑借瞬時沖擊模型得以簡化，但采用經(jīng)典的Newton恢復(fù)系數(shù)模型為計算帶來了誤差。本研究引入修正的恢復(fù)系數(shù)模型取代經(jīng)典的Newton恢復(fù)系數(shù)模型，預(yù)測了一類寬帶噪聲激勵下雙邊碰撞振動系統(tǒng)的隨機動力學(xué)響應(yīng)。位移的碰撞條件借助自由振動系統(tǒng)被轉(zhuǎn)化為能量的碰撞條件。根據(jù)系統(tǒng)的能量水平，系統(tǒng)的運動可被分為雙邊碰撞和無碰撞振動兩類。進一步地，兩類運動的平均漂移系數(shù)和擴散系數(shù)可借助能量包線隨機平均法求解獲得。在此基礎(chǔ)上，建立并求解對應(yīng)的 Fokker-Plank-Kolmogorov （FPK） 方程，進而得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。最后，將所提方法應(yīng)用于 Duffing 振子，討論了屈服速度、擋板間距和噪聲激勵對響應(yīng)的影響，并用蒙特卡羅模擬驗證了所述方法的有效性。

關(guān)鍵詞：瞬時沖擊模型；恢復(fù)系數(shù)；雙邊碰撞振動；寬帶噪聲；隨機平均法

中圖分類號：TH212；TH213.3 文獻標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.01.012

Stochastic responses analysis of a class of vibro-impact systems with bilateral barriers

Abstract：The vibro-impact process is simplified by the instantaneous impact model，but the classical Newton’s restitution coefficient model adopted brings errors in the calculation.In this paper，a modified restitution coefficient model is introduced to replace the classical Newton’s model of restitution coefficient，and the stochastic response of a class of vibro-impact systems with bilateral barriers under broad-band noise excitation is investigated.Based on the energy levels of the system，its motion can be categorized into two types：non-colliding vibration and bilateral collision vibration.Subsequently，the average drift and diffusion coefficients for these two types of motion are determined using the energy envelope random averaging method.On this basis，the corresponding Fokker-Planck-Kolmogorov （FPK） equation is established and solved，leading to the steady-state response of the system.For illustration，the proposed method is applied to the Duffing oscillator.The effects of the yield velocity，interval and the noise excitations on the PDFs of stationary responses are examined，and the validation of analytical results is verified by the Monte Carlo simulation data.

Key words：the instantaneous impact model；restitution coefficient；vibro-impact；wide-band noise；stochastic averaging method

碰撞振動系統(tǒng)廣泛存在于機械、航空、交通以及諸多自然現(xiàn)象中。一方面，碰撞振動系統(tǒng)因其獨特的動力學(xué)原理被普遍的用于制造各種沖擊機械，例如振動落砂機、振動錘以及打樁機等，近年來更是與被動控制結(jié)合形成新興的減振技術(shù)裝置[1]；另一方面，碰撞的存在也會對系統(tǒng)的分析造成影響，例如火箭橇中滑靴與軌道之間頻繁高速的碰撞激勵軌道產(chǎn)生共振波，導(dǎo)致橇體結(jié)構(gòu)失效或軌道斷裂[2]，橋梁的梁端碰撞導(dǎo)致的開裂，衛(wèi)星帆板因碰撞引起的復(fù)雜動力學(xué)響應(yīng)等。因此，碰撞振動系統(tǒng)對生活以及生產(chǎn)的影響不言而喻。與光滑系統(tǒng)相比，碰撞振動系統(tǒng)由于不連續(xù)性和非線性特征呈現(xiàn)出了一系列復(fù)雜的動力學(xué)行為，如系統(tǒng)的分叉、顫振以及混沌等，且碰撞振動系統(tǒng)在模型建立、數(shù)值計算以及實驗研究等方面都面臨極大的困難?；谘芯康睦碚撾y度以及工程實際意義，碰撞振動系統(tǒng)具有十分重要的研究價值。

鑒于碰撞過程具有明顯的多尺度耦合現(xiàn)象，用于描述碰撞過程的模型被相繼提出。其中，瞬時沖擊模型利用恢復(fù)系數(shù)的概念提高了碰撞研究的計算效率，成為學(xué)者們研究碰撞振動系統(tǒng)的首要選擇。例如， DIMENTBERG等［3］就單自由度碰撞振動系統(tǒng)受高斯白噪聲激勵的隨機響應(yīng)進行了探究。LI，YANG等[4-5]借助改進的隨機平均法研究了單自由度碰撞系統(tǒng)在隨機激勵下的動力學(xué)響應(yīng)以及分岔現(xiàn)象。此外，ZHU[6]成功將指數(shù)多項式閉合方法推廣到碰撞振動系統(tǒng)的隨機振動研究中。徐偉等[7]運用等效非線性系統(tǒng)化方法探究了Duffing-Rayleigh 碰振系統(tǒng)的隨機P-分岔行為。CHEN等[8]應(yīng)用迭代加權(quán)殘值法獲得了單自由度碰撞振動系統(tǒng)受高斯白噪聲激勵時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)閉合解。MA等[9]改進傳統(tǒng)廣義胞映射方法得到了三維碰撞系統(tǒng)的概率密度響應(yīng)等。碰撞振動系統(tǒng)的研究借助瞬時沖擊模型得以廣泛開展，模型中被定義為常數(shù)的Newton恢復(fù)系數(shù)更是給相關(guān)的研究帶來了便捷，但諸多研究結(jié)果[10-12]表明，Newton恢復(fù)系數(shù)雖提高了計算效率卻降低了計算精度。為克服上述不足，有學(xué)者[13]提出了一種變恢復(fù)系數(shù)接觸-碰撞模型用于描述工程中的接觸-碰撞現(xiàn)象。相關(guān)的研究更是指出[14]：當(dāng)碰撞的相對速度較高時，碰撞過程進入材料的彈塑性混合階段甚至是純塑性階段，恢復(fù)系數(shù)不應(yīng)只是常數(shù)。其中，MA等[15]基于能量原理給出了恢復(fù)系數(shù)與碰撞速度的具體表達式，并借助相關(guān)實驗進行了驗證，該模型對碰撞過程的簡潔表述也為后繼的研究提供了新的視角。值得指出的是，QIAN等[16]也已證實該模型相較于傳統(tǒng)的瞬時沖擊模型確實具有一定的優(yōu)勢。

本研究引入修正的恢復(fù)系數(shù)模型取代經(jīng)典的Newton恢復(fù)系數(shù)模型，對一類寬帶噪聲激勵下雙邊碰撞振動系統(tǒng)的隨機響應(yīng)進行研究。首先，考慮到碰撞與位置勢能的相關(guān)性，系統(tǒng)運動被分為雙邊碰撞振動與自由振動兩種模式。隨后，兩類運動的平均漂移和擴散系數(shù)可借助能量包線隨機平均法求解獲得。在此基礎(chǔ)上，建立并求解對應(yīng) FPK方程可獲系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。最后，為了驗證所提方法的有效性，以Duffing 振子作為算例，討論了關(guān)鍵參數(shù)屈服速度、剛性約束面的位置和噪聲激勵對響應(yīng)的影響，并用蒙特卡羅模擬闡明了所述方法的可靠性。

1 隨機激勵下的雙邊碰撞振動系統(tǒng)

圖1為受寬帶噪聲激勵的單自由度雙邊碰撞振動系統(tǒng)，運動方程為

本研究采用了MA等[15]提出的恢復(fù)系數(shù)相關(guān)速度的表達式，即

式中，Ω表示與材料性質(zhì)和尺寸相關(guān)的系數(shù)，與屈服速度的關(guān)系為

Ω=V6C（5）

2 自由振動系統(tǒng)

考慮如下的自由振動系統(tǒng)，即

上述系統(tǒng)（式6）的總能量為

式中

其中，G（X）表示式（6）系統(tǒng)的勢能。由式（6）可知，系統(tǒng)在X=±Δ處發(fā)生碰撞。當(dāng)XSymbolNC@（Symbolm@@Δ，Δ）無碰撞發(fā)生，因此系統(tǒng)的振動周期為

式中，A表示H=G（X）的最大正根，并且隨著總能量H的增長而持續(xù)增加，當(dāng)Hgt;G（Δ）時系統(tǒng)發(fā)生碰撞。假設(shè)振子的首次碰撞發(fā)生在X=Δ處，此時系統(tǒng)的總能量為

式中，H1+表示第1次碰撞后系統(tǒng)的總能量。結(jié)合式（10）～（11），第1次碰撞后系統(tǒng)損失的能量δ1H為

此后，系統(tǒng)將無干擾地運動至X=-Δ處，進而再次發(fā)生碰撞?；趦纱闻鲎查g不造成能量損失的假設(shè)，再次碰撞前系統(tǒng)總能量為

假設(shè)系統(tǒng)在X=Δ發(fā)生第一次碰撞后，經(jīng)過1個周期后又回到了同樣的位置，那么系統(tǒng)在1個周期內(nèi)能量耗散的總和δH為

系統(tǒng)碰撞的擬周期為

假設(shè)系統(tǒng)的激勵、阻尼以及能量損失都較小，H（t）是慢變過程，因此式（6）系統(tǒng)的擬周期δ（t）可以被近似認(rèn)為是式（1）系統(tǒng)的運動周期T（H）。此外，若假定系統(tǒng)的第1次碰撞發(fā)生在X=-Δ處也推得同樣的結(jié)果。

3 隨機平均法

引入變換，即

式中

借助變換式（18），式（1）系統(tǒng)可轉(zhuǎn)換為一階微分方程，其形式為

式中

假定系統(tǒng)碰撞過程損失的能量、阻尼系數(shù)及隨機激勵強度都較小，由式（20）和式（21）可知，H（t）是慢變過程，使用隨機平均法[17]可得如下關(guān)于H（t）的平均伊藤方程，即

當(dāng)Hlt;G（Δ），系統(tǒng)不發(fā)生碰撞，平均漂移系數(shù)和擴散系數(shù)的形式為

當(dāng)Hgt;G（Δ），系統(tǒng)發(fā)生碰撞，考慮到碰撞過程中的能量損失，平均漂移系數(shù)和擴散系數(shù)的形式為

式中，δH/T（H）表示一次完整的碰撞周期內(nèi)能量的平均損失。

鑒于H（t）和φ（t）是慢變過程，借助如下的近似可求得系統(tǒng)的漂移系數(shù)和擴散系數(shù)為

結(jié)合式（30）～（32），可得與式（23）相應(yīng)的FPK方程，即

式中，p=p（H，t|H0）是關(guān)于能量的轉(zhuǎn)移概率密度。平均FPK方程的初始條件為

p（H，0|H0）=δ（H－H0）， t=0（34）

相應(yīng)的邊界條件為

p=finite，當(dāng)H=0（35）

p=0， p/H=0，當(dāng)H→（36）

根據(jù)式（33）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度為

式中，C代表歸一化常數(shù)。

4 算 例

考慮寬帶噪聲激勵下的Duffing雙邊碰撞振動系統(tǒng)，運動方程為

式中：ω0、a是常數(shù)； e是小參數(shù)正量；恢復(fù)系數(shù)e由式（3）～（5）定義；碰撞邊界設(shè)置在X=±Δ處；ξ（t）為寬帶噪聲，功率譜密度為

式中，D、ω1、ζ均為常數(shù)。

根據(jù)式（7）和式（8），系統(tǒng)的總能量和勢能為

平均漂移系數(shù)和擴散系數(shù)隨著能量水平的不同對應(yīng)著不同的表達式。當(dāng)Hlt;G（Δ），由式（24）～（26）可得系統(tǒng)的平均漂移系數(shù)和擴散系數(shù)為

其中

式中，A=[（（ω02+4αH）0.5-ω0）/α]0.5。

當(dāng)Hgt;G（Δ），由式（27）～（29）可得平均漂移系數(shù)和擴散系數(shù)為

其中

為了驗證所述方法的有效性，取系統(tǒng)參數(shù)為c=0.025，ω0=1.0，α=0.2，ω1=5.0，ζ=0.4，VC=0.6，D=3.0。圖2計算了不同剛性約束面的位置Δ=0.4，0.8，1.5時系統(tǒng)關(guān)于能量的平穩(wěn)概率密度，其中實線表示由式（37）得到的結(jié)果，符號（□，○，）表示對系統(tǒng)采用蒙特卡羅模擬所獲結(jié)果。由圖2知，系統(tǒng)關(guān)于總能量的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的峰值隨著剛性約束面的位置Δ增大而降低且衰減的速率遞減。此外，圖2中當(dāng)Δ=0.8，1.5時，系統(tǒng)近乎無碰撞發(fā)生以至于碰撞過程中的能量損失非常小，因而，2種情況下的能量概率密度曲線較為靠近。

取系統(tǒng)參數(shù)為c=0.025，ω0=1.0，α=0.2，ω1=5.0，ζ=0.2，Δ=1.0，VC=0.6。圖3給出了不同激勵D=1.0，1.5，2.5下系統(tǒng)關(guān)于能量的平穩(wěn)概率密度，其中實線表示由式（37）得到的結(jié)果，符號（□，○，）表示對系統(tǒng)采用蒙特卡羅模擬所獲結(jié)果。如圖3所示，能量響應(yīng)概率密度函數(shù)的峰值隨著激勵強度D的增加而減小，并且能量概率密度曲線衰減的速率也相應(yīng)減緩。

取系統(tǒng)參數(shù)為c=0.025，ω0=1.0，α=0.2，ω1=5.0，ζ=0.6，Δ=0.4，D=3.0。圖4給出了系統(tǒng)在不同屈服速度VC=0.05，0.5，1.0下的總能量穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線，其中實線表示由式（37）得到的結(jié)果，符號（□，○，）表示對系統(tǒng)采用蒙特卡羅模擬所獲結(jié)果。由圖4可知，較大的屈服速度VC對應(yīng)較小的能量峰值，即系統(tǒng)的能量損失隨著屈服速度VC的增加而增大。需要指出的是，系統(tǒng)隨著屈服速度的增大進入彈性碰撞階段，碰撞過程造成的能量損失值較小，因此，圖4中VC=0.5，1.0時的能量概率密度曲線幾乎重合。

圖2～4都表明理論解析結(jié)果與原方程蒙特卡羅模擬結(jié)果吻合的很好。此外，由于剛性碰撞面的約束，圖2和圖4中系統(tǒng)總能量的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線都出現(xiàn)了拐點，且拐點的位置都H=G（Δ）。

5 結(jié) 論

本研究引入修正的恢復(fù)系數(shù)模型取代經(jīng)典的Newton恢復(fù)系數(shù)模型，考察了一類雙邊碰撞振動系統(tǒng)在寬帶噪聲激勵下的隨機動力學(xué)響應(yīng)?；趯ξ磾_動振動系統(tǒng)的研究，可劃分系統(tǒng)運動狀態(tài)為碰撞振動和自由振動，其中，重點考察了碰撞振動的擬周期及碰撞期間造成的能量損失。進一步地，基于系統(tǒng)的激勵、能量損失以及阻尼都較小的假定，兩種不同運動狀態(tài)下的平均漂移系數(shù)和擴散系數(shù)可借助能量包線隨機平均法求得，進而建立并求解相應(yīng)的FPK方程。以寬帶噪聲激勵下的Duffing碰振系統(tǒng)作為算例分析，討論了激勵強度、剛性約束面的位置以及屈服速度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，并利用Monte Carlo模擬技術(shù)對比驗證了理論解的可靠性。

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