摘 要：為了研究矩形腔體側(cè)向正弦周期加熱條件下對流擾動的成長和傳熱特性，本研究對流體力學(xué)方程組進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明：隨著格拉曉夫數(shù)Gr的增加，對流擾動的最大振幅Amax的成長率變大，線性成長階段的時間變短。對于高寬比A=10，腔體寬度d=2cm的腔體，普朗特數(shù)Pr=6.949的流體，對流擾動的成長率γm隨著格拉曉夫數(shù)Gr變化的經(jīng)驗式為γm=9×10－8Gr1.2343；對于高寬比A=10、腔體寬度d=6cm的腔體，普朗特數(shù)Pr=0.703的流體，成長率γm隨著格拉曉夫數(shù)Gr的變化關(guān)系式為γm=8×10－4Gr0.52。當(dāng)Pr=0.0272時，熱壁面平均努塞爾數(shù)Nu和格拉曉夫數(shù)Gr的關(guān)聯(lián)式為Nu=0.00002Gr1.17；當(dāng)Pr=6.949時，Nu=0.00024Gr1.05。隨著格拉曉夫數(shù)Gr數(shù)增加，右壁面的傳熱能力增強。

關(guān)鍵詞：矩形腔體；側(cè)向正弦周期加熱；對流擾動；成長率；傳熱能力

中圖分類號：O357" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.01.021

Growth of convective disturbances and heat transfer characteristics

under sinusoidal heating from side

Abstract：In order to study the growth of convective disturbance and heat transfer characteristics of rectangular cavity with sinusoidal periodic heating， the hydrodynamic equations were numerically simulated.The results showed that with the increase of Grashof number Gr， the growth rate of maximum amplitude Amax of convective disturbance increases while the time of linear growth phase decreases. For a cavity with aspect ratio A=10 and a width d=2cm and for the fluid with Prandtl number Pr=6.949， the empirical formula of the growth rate γm of convective disturbance varying with Graschof number is γm=9×10－8Gr1.2343. For a cavity with A=10 and" d=6cm and for the fluid with Pr=0.703， the empirical formula of the growth rate γmvaring with Graschof number is γm=8×10－4Gr0.52. At Pr=0.0272， the correlation between the average Nusselt numberNu of the hot wall and Graschof number isNu=0.00002Gr1.17； at Pr=6.949，the correlation is Nu=0.00024Gr1.05.The heat transfer capacity of the right wall increases with the increase of Graschof number.

Key words：rectangular cavity；sinusoidal periodic heating from side；convective disturbance；growth rate；heat transfer capacity

從底部加熱的矩形腔體內(nèi)的Rayleigh-Bénard對流已經(jīng)有一百多年的歷史[1-2]。對它的研究由最初的實驗、理論分析發(fā)展到現(xiàn)在的基于流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬[3-13]，一直吸引著大量的研究者，并已經(jīng)獲得了很大的進(jìn)展。特別在混合流體分離比為負(fù)值情況下發(fā)現(xiàn)了行波現(xiàn)象，導(dǎo)致了對該問題的廣泛深入研究。不同結(jié)構(gòu)的局部行波[4-9]、擺動行波[10-11]、具有缺陷的行波[3]、雙局部行波的對流斑圖[12]、局部行波的局部結(jié)構(gòu)與周期性[13]等一系列現(xiàn)象已被發(fā)現(xiàn)。在均勻加熱的基礎(chǔ)上，為適用實際應(yīng)用中熱源不均勻波動的特點，科研人員進(jìn)一步考慮了底部局部加熱和底部周期加熱對對流斑圖的影響，以及水平流動對對流結(jié)構(gòu)及斑圖形成的影響[9，13]。這些研究都是基于Rayleigh-Bénard對流的基本模型，揭示了非平衡對流系統(tǒng)的復(fù)雜而豐富的動力學(xué)特性。

對于矩形腔體，如果從一側(cè)加熱，這將形成另外一種自然對流系統(tǒng)。文獻(xiàn)[14]最早考慮了這樣一個系統(tǒng)。文獻(xiàn)[15]對側(cè)向加熱的對流系統(tǒng)進(jìn)行了實驗研究。文獻(xiàn)[16-20]研究了側(cè)向加熱的對流系統(tǒng)中的非恒定自然對流、傳熱特性、溫度振動、垂直邊界層中的對流不穩(wěn)定性和雙層結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[21]進(jìn)一步探討了側(cè)向加熱的對流系統(tǒng)中的動力學(xué)特性。文獻(xiàn)[22]回顧了側(cè)加熱腔內(nèi)的自然對流的研究，綜述了其進(jìn)展。對側(cè)向加熱的對流系統(tǒng)的研究既有理論價值，同時又具有實際應(yīng)用意義。大部分對側(cè)向加熱的對流系統(tǒng)的研究都是基于小高寬比一側(cè)均勻加熱腔體。為了探討側(cè)向局部周期加熱及側(cè)壁面正弦周期加熱對腔體內(nèi)對流結(jié)構(gòu)的影響，文獻(xiàn)[23-28]進(jìn)行了有益的探索。發(fā)現(xiàn)加熱方式明顯影響對流斑圖的結(jié)構(gòu)和對流斑圖的形成。文獻(xiàn)[29]對傾斜腔體對流進(jìn)行了研究，并發(fā)現(xiàn)了一種對流斑圖，它有著許多不同的動力學(xué)特性。有必要研究較大高寬比腔體側(cè)壁面正弦周期加熱對對流擾動的成長和傳熱特性的影響。

本研究通過對流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬，研究了矩形腔體側(cè)向正弦周期加熱條件下對流擾動的成長和傳熱特性。針對高寬比A=10，腔體寬度d=2cm的腔體，普朗特數(shù)Pr=6.949的流體，和高寬比A=10、腔體寬度d=6cm的腔體，普朗特數(shù)Pr=0.703的流體，探討其對流擾動的成長率γm隨著格拉曉夫數(shù)Gr變化的經(jīng)驗式。發(fā)現(xiàn)隨著格拉曉夫數(shù)Gr的增加，對流擾動的最大振幅Amax的成長率變大，線性成長階段的時間變短。建立了Pr=0.0272和Pr=6.949時，熱壁面平均努塞爾數(shù)Nu和格拉曉夫數(shù)Gr的關(guān)聯(lián)式。發(fā)現(xiàn)隨著格拉曉夫數(shù)Gr數(shù)增加，右壁面的傳熱能力增強。

1 數(shù)學(xué)物理模型

1.1 流體力學(xué)方程組

基于Boussinesq假定，描述側(cè)向加熱對流問題的流體力學(xué)方程組可以表述為

1.2 邊界條件與初始條件

下面給出速度及溫度的邊界條件。

式中：u、w分別表示水平流速、垂向流速；Γ為計算區(qū)域高度；d為計算區(qū)域?qū)挾?；TL為左壁面溫度；TR為右壁面溫度。初始流速條件為u=w=0， 初始溫度為邊壁面突然加溫。

1.3 加熱條件

左壁面溫度保持恒定，右壁面溫度TR周期變化，即

式中：ΔT′=TRmax-TL，TRmax表示右壁面最大溫度；n為系數(shù)。

圖1是腔體高寬比A=10時左右壁面的溫度分布。

1.4 數(shù)值方法

利用有限容積法對流體力學(xué)方程組進(jìn)行了離散，采用SIMPLE算法求解流體方程組，對流項采用二階迎風(fēng)格式，時間項采用一階隱格式。計算區(qū)域

2 側(cè)向正弦加熱下對流擾動的成長和傳熱特性

2.1 側(cè)向正弦加熱下對流擾動的成長

2.1.1 對流擾動的成長率

對于側(cè)向周期加熱的矩形腔體，突然加熱后觀察腔體中對流擾動的成長，這時，對流擾動的最大振幅Amax可表示為[3]

式中：γm是初始小擾動成長階段的成長率；t是擾動時間。由式（6）可以看出，隨著擾動時間的增加，對流擾動的最大振幅Amax指數(shù)成長。對流擾動的成長階段最大振幅Amax的成長率可被定義為

γm=d（lnAmax）/dt（7）

取腔體中鉛垂方向速度場最大值為對流最大振幅。在對流擾動成長的初始階段最大振幅Amax的成長率應(yīng)該為常數(shù)。

2.1.2 普朗特數(shù)Pr=6.949時對流擾動的成長

對于高寬比A=10，腔體寬度d=2cm的腔體，普朗特數(shù)Pr=6.949的流體，側(cè)向正弦周期加熱條件下，選擇3個格拉曉夫數(shù)Gr從初始狀態(tài)開始計算，觀察腔體中對流擾動的成長。

圖2給出了不同格拉曉夫數(shù)Gr情況下對流擾動成長初始階段的最大振幅Amax隨著時間t的變化。在格拉曉夫數(shù)Gr=57004的情況下，時間t≤14s時，最大振幅Amax隨著時間t線性變化。直線的斜率是一個常數(shù)。也就是說，對流擾動的成長階段最大振幅Amax的成長率是一個常數(shù)。當(dāng)時間t≥14s后，最大振幅Amax隨著時間t的變化偏離直線，最大振幅Amax的增加變小。系統(tǒng)進(jìn)入非線性階段。對于不同的格拉曉夫數(shù)，直線的斜率是不同的常數(shù)，也就是說，對流擾動的成長階段最大振幅Amax的成長率不一樣。隨著格拉曉夫數(shù)的減小，對流擾動的成長階段最大振幅Amax的成長率變小，線性成長階段的時間變長。通過不同格拉曉夫數(shù)情況下，線性成長階段直線的斜率可獲得相應(yīng)的成長率。圖3給出了成長率γm隨格拉曉夫數(shù)Gr的變化?？梢钥闯?，對流擾動的成長階段最大振幅Amax的成長率隨著格拉曉夫數(shù)Gr的增加而增加。對圖3的資料進(jìn)行擬合分析，可獲得成長率γm和格拉曉夫數(shù)Gr的經(jīng)驗式為γm=9×10－8Gr1.2343，擬合可決系數(shù)R2=0.963。

2.1.3 普朗特數(shù)Pr=0.703時對流擾動的成長

對于高寬比A=10，考慮到Boussinesq假定，腔體寬度d=6cm的矩形腔體，普朗特數(shù)Pr=0.703的流體，側(cè)向正弦周期加熱條件下，選擇4個格拉曉夫數(shù)Gr從初始狀態(tài)突然加熱開始計算，觀察腔體中對流擾動的成長。

普朗特數(shù)Pr=0.703時不同格拉曉夫數(shù)Gr情況下對流擾動初始成長階段的最大振幅Amax隨著時間t的變化如圖4所示。在格拉曉夫數(shù)Gr=13480的情況下，時間t≤14s時，對流最大振幅Amax隨著時間t線性變化。線性變化的直線斜率是1個常數(shù)。也就是說，對流擾動的初始成長階段成長率是1個常數(shù)。當(dāng)時間t≥14s后，最大振幅Amax隨著時間t偏離直線變化，最大振幅Amax的增加變小。對流系統(tǒng)進(jìn)入非線性范圍。當(dāng)格拉曉夫數(shù)Gr=23480，53480，67398時，對流系統(tǒng)最大振幅由線性轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性成長的時間t=10s，8s，6s。可見，隨著格拉曉夫數(shù)的增加，對流擾動的最大振幅線性成長階段的時間變短。同時可以發(fā)現(xiàn)，隨著格拉曉夫數(shù)的增加，對流最大振幅Amax隨著時間t直線變化的角度變大，直線的斜率變大，也就是說，對流擾動的最大振幅Amax的成長率變大。通過不同格拉曉夫數(shù)情況下，線性成長階段直線的斜率可獲得相應(yīng)的成長率。線性成長階段的成長率γm隨格拉曉夫數(shù)Gr的變化如圖5所示?？梢钥闯觯瑢α鲾_動的成長率隨著格拉曉夫數(shù)Gr的增加而增加。對圖5的資料進(jìn)行擬合分析，可獲得對流擾動的成長率γm隨著格拉曉夫數(shù)Gr的變化關(guān)系式為γm=8×10－4Gr0.52，擬合可決系數(shù)R2=0.9077。

2.2 熱壁面?zhèn)鳠崮芰?/p>

正弦周期加熱情況下，普朗特數(shù)Pr=6.949和Pr=0.0272時熱壁面平均努塞爾數(shù)Nu的比較如圖6所示。可知，對于給定的Pr，隨著格拉曉夫數(shù)Gr的增大，熱壁面平均努塞爾數(shù)Nu增大，熱壁面的傳熱能力越強。對于不同Pr，Pr越大，熱壁面平均努塞爾數(shù)Nu增大，熱壁面的傳熱能力越強。對于圖6中數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析， 給出了2種Pr下熱壁面平均努塞爾數(shù)Nu隨著格拉曉夫數(shù)Gr變化的關(guān)系式，可決系數(shù)及應(yīng)用條件如表1所示。

3 結(jié) 論

本研究通過對流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬，研究了矩形腔體側(cè)向正弦周期加熱條件下對流擾動的成長和傳熱特性?？梢缘玫揭韵陆Y(jié)論。

1）對于側(cè)向正弦周期加熱矩形腔體，對流擾動的最大振幅Amax的成長率隨著格拉曉夫數(shù)Gr的增加變大，線性成長階段的時間隨著格拉曉夫數(shù)Gr的增加變短。

2）對于高寬比A=10，腔體寬度d=2cm的腔體，普朗特數(shù)Pr=6.949的流體，對流擾動的成長率γm隨著格拉曉夫數(shù)Gr變化的經(jīng)驗式為γm=9×10－8Gr1.2343；對于高寬比A=10、腔體寬度d=6cm的腔體，普朗特數(shù)Pr=0.703的流體，成長率γm隨著格拉曉夫數(shù)Gr的變化關(guān)系式為γm=8×10－4Gr0.52。

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