摘 要：在建立彈性支撐功能梯度薄壁微圓柱殼模型的基礎上，基于修正的偶應力理論和一階剪切變形理論，推導了微圓柱殼的模態(tài)頻率方程，討論了彈性支撐、尺寸效應、溫度梯度、材料組分指數、孔隙以及幾何尺寸等參數對微圓柱殼模態(tài)頻率的影響。結果表明：微尺度下，彈性剛度系數在0～105N/m3范圍內對微圓柱殼的模態(tài)頻率基本無影響，剪切剛度系數在0～5×104N/m范圍內對模態(tài)頻率的影響較大，且增大剪切剛度系數有益于提高微圓柱殼的模態(tài)頻率；由修正的偶應力理論得到的模態(tài)頻率大于由經典連續(xù)體理論得到的模態(tài)頻率；在彈性支撐和尺寸效應有無考慮的4種組合下，模態(tài)頻率隨溫度梯度和微圓柱殼長度的增大而減小，隨陶瓷體積分數指數的增大而增大，隨孔隙體積分數和微圓柱殼厚度的變化規(guī)律不同；溫度梯度對考慮尺寸效應或彈性基礎的微圓柱殼模態(tài)頻率影響較大，而孔隙調節(jié)具彈性支撐微圓柱殼的模態(tài)頻率尤其顯著。

關鍵詞：熱環(huán)境；彈性支撐；功能梯度材料；微圓柱殼；模態(tài)頻率

中圖分類號：V215.4" 文獻標志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.01.023

Study on modal frequency of a functionally graded cylindrical

microshell with an elastic support

Abstract：Based on a functionally graded thin-walled cylindrical microshell model with elastic support，the modal frequency equation was derived by using the modified couple stress theory and the first-order shear deformation theory.The impacts of the elastic support，size effect，temperature gradient，material component index，pore and geometry dimensions on the modal frequencies of the cylindrical microshell were studied.Results indicate that the impacts of elastic stiffness coefficient on the modal frequencies can be neglected in the range of 0 to 105N/m3，but the shear stiffness coefficient has a great influence on the modal frequencies in the range of 0 to 5×104N/m.Moreover，increasing the shear stiffness coefficient is beneficial to increasing the modal frequencies.The modal frequencies obtained by modified couple stress theory are larger than those obtained by classical continuum theory.With or without elastic support and size effect，the modal frequencies decrease with the increase of the temperature gradient and the length of the cylindrical microshell，and increase with the increase of the ceramic volume fraction index.The change laws of the modal frequencies are different with the variation of the pore volume fraction and thickness of the cylindrical microshell.The temperature gradient has a great influence on the modal frequencies of the cylindrical microshell considering size effect or elastic foundation.The influence of pore on the modal frequencies with elastic foundation is especially obvious.

Key words：thermal environment；elastic support；functionally graded material；micro cylindrical shell；modal frequency

功能梯度材料（functionally graded materials，FGMs）因有著傳統(tǒng)復合材料不可比擬的優(yōu)異性能，廣泛應用于航空航天、軍工和醫(yī)學等領域。眾多研究者對功能梯度結構的振動特性、熱應力和屈曲等問題開展了大量研究[1-4]。但是，當功能梯度結構尺寸小至微米級時，其力學性能已不能使用傳統(tǒng)的連續(xù)體理論表征。對此，研究者陸續(xù)提出了應變梯度理論、偶應力理論、非局部理論等理論研究微納米結構。其中，文獻[5]提出的修正的偶應力理論得到了廣泛應用?；谛拚呐紤碚?，文獻[6]研究了微圓柱殼的動力穩(wěn)定響應，文獻[7-8]研究了Timoshenko和Euler-Bernoulli微納米梁的尺寸效應，文獻[9]分析了熱力耦合環(huán)境下微納米層合板的熱穩(wěn)定性。文獻[10]研究了熱環(huán)境下Euler-Bernoulli微納米梁的自由振動問題，文獻[11]研究了含多孔功能梯度微彈性管的非線性彎曲問題，文獻[12]研究了黏彈性系數和材料特征長度對有無流體輸送的微圓柱殼模態(tài)頻率影響。

工程實際中，有很多結構服役時常與彈性介質接觸，并受其動態(tài)沖擊的作用，如潛艇機身、火箭外殼和海底沉管隧道等。文獻[13-14]應用Winkler-Pasternak模型描述彈性介質對結構的作用?；谠撃Ｐ停墨I[15]研究了與彈性介質接觸圓柱殼的自由振動，文獻[16]推導了彈性支撐功能梯度Timoshenko梁振動響應的精確解，文獻[17]研究了彈性支撐功能梯度板的動力穩(wěn)定性。針對彈性支撐微米結構的振動，同樣引起了研究者的關注。文獻[18]研究了彈性支撐夾芯微復合梁多場耦合致自由振動問題，文獻[19]分析了彈性支撐微米梁系統(tǒng)的多頻激勵問題。

雖然研究者應用Winkler-Pasternak模型和修正的偶應力理論對功能梯度結構的振動問題開展了大量研究，但鮮有研究者探究彈性支撐功能梯度微圓柱殼的振動特性。本研究以Winkler-Pasternak型彈性支撐功能梯度薄壁微圓柱殼為對象，基于修正的偶應力理論和一階剪切變形理論，建立微圓柱殼的模態(tài)頻率方程，探究溫度梯度、孔隙以及幾何尺寸等參數對模態(tài)頻率的影響，為功能梯度微圓柱殼的動力學設計提供參考。

1 功能梯度微圓柱殼模型

如圖1所示，受彈性支撐功能梯度薄壁微圓柱殼的長、壁厚和中面半徑分別為L、h和R。彈性支撐包含環(huán)向均勻分布的彈簧層和剪切層。在微圓柱殼中性層建立坐標系，x、θ和z分別表示軸向、環(huán)向和徑向，u、v和w分別表示相應的位移。

假設微圓柱殼由多孔材料制成，且殼內孔隙沿厚度方向均勻分布。殼內表面為ZrO2，殼外表面為Ti-6Al-4V。微圓柱殼材料的物理性能沿厚度方向連續(xù)變化，其表達式為[20]

式中：P（z，T）代表微圓柱殼的有效材料屬性；Pm和Pc分別是金屬和陶瓷的材料屬性；zb是微圓柱殼中性層距內表面的距離；N表示微圓柱殼的陶瓷體積分數指數；e0是孔隙體積分數。

假定微圓柱殼在非線性溫度場下工作，溫度沿圓柱殼厚度方向的表達式為[21]

式中：T是微圓柱殼內沿厚度方向任意點的溫度值；Tcm=Tc-Tm，Tc和Tm分別是微圓柱殼內、外表面溫度；κc和κm分別是陶瓷和金屬的熱傳導系數。

考慮溫度對材料的影響，功能梯度材料的熱物理屬性P的表達式為[22]

P=P0P－1T－1+1+P1T+P2T2+P3T3

（3）

材料屬性P表示彈性模量E、密度ρ、泊松比SymboluA@、熱膨脹系數α和熱傳導系數κ，P-1、P0、P1、P2和P3是材料的溫敏系數，其值如表1所示。

2 功能梯度微圓柱殼的運動方程

2.1 微圓柱殼的能量方程

由一階剪切變形理論可知微圓柱殼的位移分量表達式為

式中：ux、uy和uz分別表示微圓柱殼內任一點的各向位移；u、v和w為中面上點的各向位移；ψx和ψθ分別表示微圓柱殼中面法線沿x和θ方向的轉角。

熱環(huán)境下，微圓柱殼的應力-應變關系為[23]

σ=C（ε－αΔT）（5）

式中：σ是應力向量；C是縮減剛度矩陣；ε是應變向量；α是熱膨脹系數向量；ΔT=T-Tm。各向量和矩陣的具體表達式為

式中：σxx和σθθ分別為微圓柱殼x和θ方向的正應力；σxθ為xθ面內的剪應力；σzθ和σxz為z方向的剪應力；εxx、εθθ和εxθ、εzθ、εxz分別為相應方向上的正應變和剪應變；αxx和αθθ分別表示x和θ方向的熱膨脹系數。矩陣C中各縮減剛度系數定義為

考慮尺寸效應的作用，微圓柱殼的偶應力和曲率的關系為[5]

m=2l2μz，Tχ（8）

式中：l為微圓柱殼的材料特征長度；μ（z，T）為材料的剪切模量；m和χ分別表示偶應力向量和曲率向量，具體表達式為

式中：mxx、mθθ、mzz、mxθ、mzθ和mxz分別表示微圓柱殼各方向上的偶應力分量；χxx、χθθ、χzz、χxθ、χzθ、χxz分別表示微圓柱殼各方向上的曲率分量。

薄壁微圓柱殼的應變能為

U=UC+UMC（10）

式中：UC和UMC分別表示基于經典連續(xù)體理論和考慮尺度效應的應變能，表達式分別為

薄壁微圓柱殼的動能為

外力做的功為

W=WF+WT（13）

式中：WF和WT表示彈性力和熱應力做功。

假設kw和kg分別為彈性支撐的彈性剛度系數和剪切剛度系數，彈性力做功為[24]

式中：下標中的逗號表示偏導。

假設NTxx是微圓柱殼內沿x方向溫度內力，熱應力做功為[25]

2.2 微圓柱殼的運動方程

定義微圓柱殼的能量方程為

Π=K－U+W（16）

將能量方程代入Hamilton方程[26]可推出微圓柱殼的運動方程，即

式中：Nxx和Nθθ分別是微圓柱殼沿x和θ方向的內力；Nxθ是xθ面的內力；Mxx、Mθθ和Mxθ分別是各向彎矩；Qxz和Qzθ分別是沿z方向的剪力；Yxx、Yθθ、Yzz、Yxθ、Yxz和Yzθ分別是各向偶應力；Tθθ、Txz和Tzθ分別是各向偶應力矩；I1、I2和I3為廣義慣性常數。各參數的具體表達式為

式中，ks為剪切修正系數，取ks=5/6[27]。

2.3 微圓柱殼的模態(tài)頻率方程

假設微圓柱殼兩端簡支，針對任意單一階振動模態(tài)，適用于兩端簡支邊界條件的微圓柱殼振型函數近似為

式中：m和n分別表示微圓柱殼的軸向半波數和環(huán)向波數；H1mn、H2mn、H3mn、H4mn和H5mn是微圓柱殼的振型系數；ω為微圓柱殼的模態(tài)頻率。

將振型函數代入到運動方程，推出微圓柱殼的模態(tài)頻率方程

式中：K是微圓柱殼的剛度矩陣；KT是關于Tcm的系數矩陣；M是微圓柱殼的質量矩陣；H是振型系數向量。

令系數矩陣的行列式等于零，可求解微圓柱殼的模態(tài)頻率。將彈性支撐功能梯度微圓柱殼模型簡化為不考慮孔隙和彈性基礎的單一材料圓柱殼，然后通過方程（24）得到的退化結果與現有文獻的結果作對比，從而可以間接地驗證本研究理論模型的正確性。定義無量綱模態(tài)頻率

ω=ωRρ/E （25）

數值計算時，ρ和E分別取微圓柱殼外表面材料的密度和彈性模量。為進行模型有效性驗證，假設微圓柱殼由單一材料制成，其幾何尺寸和材料參數如表2所示。表3結果表明，本研究模型得到的結果與文獻[28]的計算結果基本吻合，驗證了本研究模型是有效的。

3 分析與討論

算例分析中，取微圓柱殼的幾何尺寸L=18μm、h=0.24μm、R=6μm；孔隙體積分數e0=0.2；陶瓷體積分數指數N=1、材料特征長度l=14μm；溫度梯度Tcm=400K；彈性剛度系數kw=1×104N/m3，剪切剛度系數kg=1×104N/m。圖2～7分別討論了彈性支撐、溫度梯度、材料組分、孔隙、殼厚與長度對模態(tài)頻率的影響。

圖2結果表明：微尺度下，彈性剛度系數kw在0～105N/m3范圍內對模態(tài)頻率的影響不明顯，而剪切剛度系數kg在0～5×104N/m范圍內對模態(tài)頻率影響較大，且模態(tài)頻率隨著剪切剛度系數kg的增大而逐漸增大，但速率越來越小。分析認為，這主要是由于彈簧層主要影響微圓柱的徑向振動，而剪切層主要影響微圓柱殼的軸向和環(huán)向振動。由于彈簧層和剪切層作用方向和程度的不同導致出現這種現象。因為薄壁結構頻帶較窄，設計人員可在不改變微圓柱殼尺寸的情況下，適當調節(jié)剪切剛度系數kg可使結構避免發(fā)生共振。

圖3結果表明，溫度梯度越大，模態(tài)頻率的下降速率越快。尤其是當Tcm=1600K時，模態(tài)頻率均較室溫時下降了50%左右。究其原因，溫度梯度較大時，FGMs的剛度急劇減小，導致微圓柱殼模態(tài)頻率顯著降低，較低的振動激勵便可引發(fā)微圓柱殼的共振。此時系統(tǒng)安全性降低，在工程應用中需格外重視?？紤]尺寸效應或彈性基礎的微圓柱殼對溫度更為敏感，模態(tài)頻率隨溫度變化顯著，這種現象在高振動波數和低振動波數情況下相同。此外，可以發(fā)現基于修正的偶應力理論所得模態(tài)頻率大于基于經典連續(xù)體理論所得模態(tài)頻率。

由圖4可知，陶瓷體積分數指數從N=0增加到N=30時，微圓柱殼的模態(tài)頻率升高了約20%，且逐漸趨于穩(wěn)定。究其原因，N越靠近0，金屬的占比越大，微圓柱殼的剛度越??；而N越靠近30，陶瓷的占比越大，微圓柱殼的剛度越大。因此，圓柱殼的模態(tài)頻率隨N的增大而逐漸增大。當N為無窮大時，陶瓷占比最大，模態(tài)頻率達到最大值。隨著N逐漸增大，模態(tài)頻率逐漸接近這一最大值，導致曲線變得平滑，即模態(tài)頻率趨于穩(wěn)定。因此，可通過合理改變微圓柱殼中陶瓷的占比來調節(jié)其模態(tài)頻率值。

由圖5可知：當m=n=1時，模態(tài)頻率隨孔隙體積分數的增大均逐漸增大；當m=n=2時，基于修正的偶應力理論和經典連續(xù)體理論的模態(tài)頻率變化規(guī)律表現出不一致性。基于修正的偶應力理論所得模態(tài)頻率隨孔隙體積分數的增大而先減小后增大，但幅度較小。究其原因，孔隙率影響微圓柱殼的材料屬性。在模態(tài)頻率減小階段，孔隙在降低微圓柱殼的模態(tài)頻率上起主導作用，而在模態(tài)頻率增大階段，因孔隙較多，在微圓柱殼內部形成類似桁架結構；基于經典連續(xù)體理論所得模態(tài)頻率隨孔隙體積分數的增大而逐漸增大。在高振動波數和低振動波數情況下，孔隙對具彈性基礎微圓柱殼模態(tài)頻率的影響更為明顯，無彈性基礎微圓柱殼對孔隙敏感性較弱。

由圖6可知：當m=n=1時，有彈性支撐微圓柱殼的模態(tài)頻率均隨厚度的減小逐漸增大；無彈性支撐微圓柱殼的模態(tài)頻率隨厚度的減小而逐漸減小；當m=n=2時，有彈性支撐微圓柱殼的模態(tài)頻率隨厚度的減小而逐漸增大；無彈性支撐時，基于修正的偶應力理論獲得的模態(tài)頻率隨厚度的減小而逐漸增大，而基于經典連續(xù)體理論所得的模態(tài)頻率隨厚度的減小而逐漸減小。相較于微圓柱殼厚度h，改變剪切剛度系數kg和材料特征長度l，可明顯調節(jié)微圓柱殼的模態(tài)頻率。

圖7結果表明：增大微圓柱殼長度會減小模態(tài)頻率；當L/R≤6時，剪切剛度系數kg、材料特征長度l以及微圓柱殼長度L對模態(tài)頻率的影響均較大；隨長度的增大，m=n=1和m=n=2時微圓柱殼的模態(tài)頻率的下降速度均較快。微圓柱殼長度的輕微改變可較大幅度的影響其模態(tài)頻率。工程中應合理選擇微圓柱殼的長度，以提高圓柱殼的共振頻率；當L/R≥6時，微圓柱殼模態(tài)頻率呈現收斂性，此時可通過改變剪切剛度系數kg來調節(jié)微圓柱殼模態(tài)頻率。

4 結 論

以彈性支撐功能梯度薄壁微圓柱殼為對象，基于修正的偶應力理論和一階剪切變形理論，研究了非線性溫度場下受彈性支撐功能梯度薄壁微圓柱殼模態(tài)頻率的變化規(guī)律。主要結論如下。

1）微尺度下，彈性剛度系數在0～105N/m3范圍內對微圓柱殼的模態(tài)頻率基本無影響，而剪切剛度系數在0～5×104N/m范圍內對模態(tài)頻率的影響較大。因此，工程設計中，可通過改變剪切剛度系數來調節(jié)微圓柱殼模態(tài)頻率，以避免結構發(fā)生低頻共振。

2）微圓柱殼的模態(tài)頻率隨溫度梯度的增大而不斷減小，隨陶瓷體積分數的增大而增大；考慮尺寸效應或彈性支撐時，溫度梯度對微圓柱殼模態(tài)頻率的影響十分明顯；孔隙調節(jié)具彈性基礎微圓柱殼模態(tài)頻率尤其顯著。

3）與微圓柱殼的厚度相比，剪切剛度系數和材料特征長度對模態(tài)頻率的影響更大。微圓柱殼長度較小時，微小長度的改變可較大幅度的改變微圓柱殼的模態(tài)頻率；微圓柱殼長度較大時，模態(tài)頻率呈現收斂性。

參考文獻：

[1] NGUYEN T K，NGUYEN B D.A new higher-order shear deformation theory for static，buckling and free vibration analysis of functionally graded sandwich beams［J］.Composite structures，2016，156（6）：238-252.

[2] 郭琰，蔣亞南，黃斌.基于準三維理論的功能梯度層合板應力分析［J］.應用力學學報，2020，37（3）：1172-1177.

GUO Yan，JIANG Yanan，HUANG Bin.Stress analysis of composite laminates with functionally graded layers based on quasi-three dimensional theory［J］.Chinese journal of applied mechanics，2020，37（3）：1172-1177（in Chinese）.

[3] 劉文光，豐霞瑤，姚婉.功能梯度圓柱殼的熱應力與熱傳導分析［J］.航空材料學報，2019，39（6）：81-89.

LIU Wenguang，FENG Xiayao，YAO Wan.Analysis on thermal stress and heat conduction of functionally graded cylindrical shell［J］.Journal of aeronautical materials，2019，39（6）：81-89（in Chinese）.

[4] WANG Y Q，YE C，ZU J W.Identifying the temperature effect on the vibrations of functionally graded cylindrical shells with porosities［J］.Applied mathematics and mechanics，2018，39（11）：1587-1604.

[5] YANG F，CHONG A C M，LAM D C C，et al.Couple stress based strain gradient theory for elasticity［J］.International journal of solids and structures，2002，39（10）：2731-2743.

[6] SAHMANI S，ANSARI R，GHOLAMI R，et al.Dynamic stability analysis of functionally graded higher-order shear deformable microshells based on the modified couple stress elasticity theory［J］.Composites part B：Engineering，2013，51：44-53.

[7] 鄭雪瑤，周博，薛世峰.基于修正偶應力理論的Euler-Bernoulli 微梁的尺寸效應研究［J］.應用力學學報，2019，36（6）：1442-1450.

ZHENG Xueyao，ZHOU Bo，XUE Shifeng.Study on the size effect of Euler-Bernoulli micro-beam based on modified couple stress theory［J］.Chinese journal of applied mechanics，2019，36（6）：1442-1450（in Chinese）.

[8] 周博，鄭雪瑤，康澤天，等.基于修正偶應力理論的Timoshenko微梁模型和尺寸效應研究［J］.應用數學和力學，2019，40（12）：1321-1334.

ZHOU Bo，ZHENG Xueyao，KANG Zetian，et al.A timoshenko micro-beam model and its size effects based on the modified couple stress theory［J］.Applied mathematics and mechanics，2019，40（12）：1321-1334（in Chinese）.

[9] 張大千，王良秀.基于新修正偶應力理論的Mindlin層合板熱穩(wěn)定性分析［J］.計算力學學報，2019，36（6）：763-767.

ZHANG Daqian，WANG Liangxiu.Thermal buckling analysis of composite laminated Mindlin plate founded in the new modified couple stress theory［J］.Chinese journal of computational mechanics，2019，36（6）：763-767（in Chinese）.

[10]JALALI M H，ZARGAR O，BAGHANI M.Size-dependent vibration analysis of FG microbeams in thermal environment based on modified couple stress theory［J］.Iranian journal of science and technology，transactions of mechanical engineering，2019，43（1）：761-771.

[11]BABAEI H，ESLAMI M R.Nonlinear bending analysis of size-dependent FG porous microtubes in thermal environment based on modified couple stress theory［J］.Mechanics based design of structures and machines，2022，50（8）：2714-2735.

[12]RASHVAND K，ALIBEIGLOO A，SAFARPOUR M.Free vibration and instability analysis of a viscoelastic micro-shell conveying viscous fluid based on modified couple stress theory in thermal environment［J］.Mechanics based design of structures and machines，2022，50（4）：1198-1236.

[13]KERR A D.On the formal development of elastic foundation models［J］.Ingenieur-archiv，1984，54（6）：455-464.

[14]NIE G H.Analysis of non-linear behaviour of imperfect shallow spherical shells on pasternak foundation by the asymptotic iteration method［J］.International journal of pressure vessels and piping，2003，80（4）：229-235.

[15]PALIWAL D N，PANDEY R K，NATH T.Free vibrations of circular cylindrical shell on Winkler and Pasternak foundations［J］.International journal of pressure vessels and piping，1996，69（1）：79-89.

[16]CALIM F F.Vibration analysis of functionally graded timoshenko beams on winkler-pasternak elastic foundation［J］.Iranian journal of science and technology，transactions of civil engineering，2020，44（3）：901-920.

[17]LI Q Y，WU D，CHEN X J，et al.Nonlinear vibration and dynamic buckling analyses of sandwich functionally graded porous plate with graphene platelet reinforcement resting on Winkler-Pasternak elastic foundation［J］.International journal of mechanical sciences，2018，148：596-610.

[18]GHORBANPOUR ARANI A，BABAAKBAR-ZAREI H，POURMOUSA P，et al.Investigation of free vibration response of smart sandwich micro-beam on Winkler-Pasternak substrate exposed to multi physical fields［J］.Microsystem technologies，2018，24（7）：3045-3060.

[19]SAADATNIA Z，ASKARI H，ESMAILZADEH E.Multi-frequency excitation of microbeams supported by Winkler and Pasternak foundations［J］.Journal of vibration and control，2018，24（13）：2894-2911.

[20]GHADIRI M，SAFARPOUR H.Free vibration analysis of size-dependent functionally graded porous cylindrical microshells in thermal environment［J］.Journal of thermal stresses，2017，40（1）：55-71.

[21]JAVAHERI R，ESLAMI M R.Thermal buckling of functionally graded plates based on higher order theory［J］.Journal of thermal stresses，2002，25（7）：603-625.

[22]KIM Y W.Temperature dependent vibration analysis of functionally graded rectangular plates［J］.Journal of sound and vibration，2005，284（3/4/5）：531-549.

[23]盛國剛.壓電與功能梯度圓柱殼的力學特性研究[D].上海：上海交通大學，2009.

[24]BAGHERIZADEH E，KIANI Y，ESLAMI M R.Mechanical buckling of functionally graded material cylindrical shells surrounded by Pasternak elastic foundation［J］.Composite structures，2011，93（11）：3063-3071.

[25]LIM C W，MA Y F，KITIPORNCHAI S，et al.Buckling of vertical cylindrical shells under combined end pressure and body force［J］.Journal of engineering mechanics，2003，129（8）：876-884.

[26]GHOLAMI R，ANSARI R，DARVIZEH A，et al.Axial buckling and dynamic stability of functionally graded microshells based on the modified couple stress theory［J］.International journal of structural stability and dynamics，2015，15（4）：1450070.

[27]ISVANDZIBAEI M R，JAMALUDDIN H，RAJA HAMZAH R I.Vibration analysis of supported thick-walled cylindrical shell made of functionally graded material under pressure loading［J］.Journal of vibration and control，2016，22（4）：1023-1036.

[28]TADI BENI Y，MEHRALIAN F，RAZAVI H.Free vibration analysis of size-dependent shear deformable functionally graded cylindrical shell on the basis of modified couple stress theory［J］.Composite structures，2015，120：65-78.