摘 要：針對適于山地軌道交通的齒軌鐵路，建立基于顯式時(shí)間積分的三維齒軌輪對-軌道瞬態(tài)接觸有限元模型，模型可分析齒輪齒條嚙合和輪軌滾動(dòng)接觸間中、高頻耦合動(dòng)力作用。輪對和軌道真實(shí)幾何，齒輪與車輪輪徑差導(dǎo)致“車輪悖論”現(xiàn)象及結(jié)構(gòu)振動(dòng)等均有考慮，齒輪齒條嚙合和輪軌接觸采用集成庫侖摩擦的“面-面”接觸算法求解。對比零和非零輪軌摩擦系數(shù)工況，解構(gòu)“車輪悖論”現(xiàn)象對動(dòng)態(tài)接觸的影響。以初步設(shè)計(jì)的Strub型齒軌鐵路為例，分析速度為10km/h和0‰、240‰、480‰坡度下動(dòng)態(tài)接觸現(xiàn)象。結(jié)果表明，受齒輪嚙合影響，齒條、輪軌接觸力均呈現(xiàn)周期性波動(dòng)，但垂向接觸總力和總牽引扭矩分別在重力載荷與牽引扭矩附近波動(dòng)?！败囕嗐Ｕ摗笔过X條垂向力和法向接觸應(yīng)力減小，而輪軌垂向力和法向接觸應(yīng)力增加，齒面切向接觸應(yīng)力與接觸斑內(nèi)滑移區(qū)面積相應(yīng)增加，在坡度240‰下，輪軌摩擦系數(shù)由0增至0.2，齒條、輪軌最大法向接觸應(yīng)力由248.69、752.66MPa增至195.17、757.44MPa，最大切向接觸應(yīng)力相應(yīng)由24.48、152.84MPa變成21.31、2.14MPa。輪軌接觸斑因發(fā)生顯著蠕滑呈現(xiàn)全滑移。相同速度及摩擦條件下，坡度增加使齒條垂向力和牽引力增加，輪軌垂向力和牽引力減小，接觸應(yīng)力呈同相變化。

關(guān)鍵詞：齒軌列車；顯式有限元法；瞬態(tài)接觸；接觸應(yīng)力；車輪悖論

中圖分類號(hào)：U234" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.01.006

Analysis of the coupling mechanism between gear-rack meshing and wheel-rail rolling contact of rack railway

Abstract：A three-dimensional transient contact finite element model based on explicit time integration is developed for the rack railway suitable for mountain rail transit.The medium and high frequency coupling dynamic interaction between gear-rack meshing and wheel-rail rolling contact can be analyzed in time domain.Factors such as the true geometry of the wheelset and track，the ‘wheel paradox’ caused by the diameter difference between the gear and the wheel，and structural vibration are taken into account.The gear and rack meshing and wheel-rail contact are both solved by a surface-to-surface contact algorithm with the Coulomb friction integrated.Considering the zero and non-zero wheel-rail friction coefficients，the influence of the ‘wheel paradox’ on the gear-rack meshing and wheel-rail rolling contact can be deconstructed.Taking the Strub rack railway as an example，the dynamic contact phenomena under a running speed of 10km/h and slopes of 0‰，240‰ and 480‰ are investigated.The results show that the contact forces of gear-rack and wheel-rail show periodic fluctuations due to gear meshing，but the vertical total force and total traction torque fluctuate near gravity load and traction torque，respectively.The wheel paradox makes the vertical contact force and normal stress of the rack decrease，while the vertical contact force and normal stress of the wheel-rail increase.In terms of the tangential contact solution，the tangential contact stress of the tooth surface and the slip area in the contact spot increase.Under the condition of slope 240‰，the wheel-rail friction coefficient increases from 0 to 0.2，the maximum normal contact stress of rack and wheel-rail increases from 248.69 and 752.66MPa to 195.17 and 757.44MPa，and the maximum tangential contact stress changes from 24.48 and 152.84MPa to 21.31 and 2.14MPa.The wheel-rail contact presents full sliding contact due to significant creep.Under the same speed and friction conditions，the increase of slope makes the vertical force and traction force of rack increase，the vertical force and traction force of wheel and rail decrease，and the contact stress has the same change.

Key words：rack trains；explicit finite element method；transient meshing contact；contact stress；wheel paradox

一般鐵路機(jī)車車輛的驅(qū)動(dòng)力源自輪軌黏著，通常運(yùn)行于最大坡度不超過30‰的軌道[1]，這無法滿足山地軌道交通需求。而齒軌列車驅(qū)動(dòng)力由齒輪齒條嚙合實(shí)現(xiàn)，最大攀爬坡度可達(dá)480‰[2]，是一種可選的山地軌道交通模式，尤其適于客流量大的山地旅游景點(diǎn)[3]。2019 年，四川省發(fā)布了我國第一項(xiàng)齒軌鐵路標(biāo)準(zhǔn)——《山地 （齒軌） 軌道交通技術(shù)規(guī)范》[4]，現(xiàn)已開始用于規(guī)劃建造都四、重慶、張家界等齒軌線路。

早在1911年，WEBER等［5］總結(jié)了早期齒軌鐵路的軌道類型和車輛結(jié)構(gòu)尺寸。近來，HANSEN[6]介紹了華盛頓山齒軌鐵路的建造過程和車輛結(jié)構(gòu)。牛悅丞等[2]根據(jù)現(xiàn)有齒軌車輛轉(zhuǎn)向架的驅(qū)動(dòng)模式、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)用實(shí)例，討論了我國齒軌車輛的發(fā)展方向。舒睿洪等[7]依據(jù)齒輪設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，開展了面向Strub型齒軌軌道的齒形設(shè)計(jì)。

齒軌車輛與軌道間相互作用，是近年來齒軌相關(guān)研究的重點(diǎn)之一。NAKAMURA等[8]利用靜態(tài)有限元法，建立了兩軸齒軌車輛的靜態(tài)嚙合接觸模型，變化牽引載荷的軸際分配，分析了輪齒在嚙合過程中接觸位置、接觸應(yīng)力等，確定了兩軸牽引力的最佳比值。陳雙喜[9]在SIMPACK中建立了齒軌車輛動(dòng)力學(xué)模型，研究了齒輪齒條變位系數(shù)對250‰坡度下齒軌列車動(dòng)力學(xué)指標(biāo)的影響。陳再剛等[10]拓展傳統(tǒng)車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)方法，建立了包含齒軌導(dǎo)入裝置的齒軌車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析了齒輪齒條嚙合引發(fā)的系統(tǒng)振動(dòng)及動(dòng)態(tài)接觸力等。趙冠闖等[11]在SIMPACK中建立了齒軌車輛動(dòng)力學(xué)模型，探究了車體重心高度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對運(yùn)行平穩(wěn)性和安全性等的影響。上述動(dòng)力學(xué)研究，均采用多體動(dòng)力學(xué)方法，將齒輪齒條嚙合簡化為準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)下推導(dǎo)出的嚙合剛度[10]。

拓展基于顯式有限元法的三維高速輪軌瞬態(tài)滾動(dòng)接觸時(shí)域建模方法[12]，么超凡等[13]建立了變軌距輪對-軌道瞬態(tài)接觸模型，實(shí)現(xiàn)了輪軸-車輪間花鍵接觸與輪軌間滾動(dòng)接觸的耦合動(dòng)力作用分析。范偉[14] 將損傷輪齒的影響考慮在內(nèi)，建立了機(jī)車傳動(dòng)齒輪副的瞬態(tài)嚙合接觸模型。此類模型可將磨耗齒形、輪齒和系統(tǒng)柔性、慣性力等因素考慮在內(nèi)，嚙合剛度將“面-面”接觸計(jì)算算法隱含其中，且可得到接觸斑內(nèi)應(yīng)力分布的隨時(shí)變化。

本研究進(jìn)一步拓展輪軌瞬態(tài)接觸建模方法[12-14]，建立齒軌輪對-軌道瞬態(tài)接觸模型，于時(shí)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)齒輪齒條嚙合和輪軌滾動(dòng)接觸間耦合動(dòng)力作用模擬，分析不同坡度下齒輪齒條嚙合和輪軌滾動(dòng)接觸界面的時(shí)變接觸力、接觸應(yīng)力、黏滑分布等，為齒軌列車動(dòng)態(tài)服役行為研究提供基礎(chǔ)工具。

1 齒軌列車中的“車輪悖論”

“車輪悖論”早在亞里士多德時(shí)代已被發(fā)現(xiàn)，即車輪任一位置處角速度相同、不同半徑圓周處相同時(shí)段內(nèi)的位移也相同的悖論[15]，如圖1所示。最近XU等[16]開展的速度分析，再次證實(shí)：車輪滾動(dòng)圓周以恒速純滾動(dòng)（無滑動(dòng)）時(shí)，內(nèi)部更小半徑圓周上的點(diǎn)同時(shí)發(fā)生滾動(dòng)和滑動(dòng)。

對于Strub型齒軌鐵路，齒軌列車車輪，因服役中不可避免地磨耗和鏇修，半徑不斷減小，同樣過盈安裝于車軸的齒輪，半徑則基本不變。因此，車輪和齒輪常處于半徑不同的狀態(tài)。當(dāng)齒輪在某一轉(zhuǎn)速下驅(qū)動(dòng)時(shí)，齒輪嚙合曲率半徑?jīng)Q定了列車速度，半徑不一致的車輪必然發(fā)生明顯滑動(dòng)。伴隨車輪滑動(dòng)的輪軌蠕滑力，反過來會(huì)影響和惡化齒輪動(dòng)態(tài)嚙合，加速齒輪損傷。本研究擬針對上述齒軌列車的“車輪悖論”現(xiàn)象，建立瞬態(tài)接觸分析模型，揭示齒輪齒條嚙合與輪軌滾動(dòng)接觸間耦合動(dòng)力作用機(jī)理。

2 齒軌輪對-軌道瞬態(tài)接觸模型

2.1 模型介紹

以Strub型齒軌鐵路為對象，考慮到直線軌道下的系統(tǒng)對稱性，在ANSYS/Ls-dyna中建立包含半個(gè)輪對和半個(gè)直線軌道的有限元模型，如圖2所示。模型考慮平順軌道及輪對和軌道真實(shí)幾何，車輛一系懸掛、齒條和鋼軌離散支撐及道床等對輪對與軌道間高頻動(dòng)力作用具有重要影響的結(jié)構(gòu)也考慮其中。鑒于國內(nèi)尚無齒軌鐵路運(yùn)營，規(guī)劃中齒軌列車具有非山地輪軌驅(qū)動(dòng)和山地齒輪低速驅(qū)動(dòng)2種模式，輪對和軌道結(jié)構(gòu)借鑒了現(xiàn)有地鐵和《山地（齒軌）軌道交通技術(shù)規(guī)范》，車輪半徑取840mm，運(yùn)行在軌距1000mm的無砟軌道，鋼軌選用CN60，齒輪和齒條分別位于輪對和軌道中心，更多參數(shù)見表1。為降低模型規(guī)模，忽略了齒輪內(nèi)部及齒條緊固件等結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)，齒形參考了楊吉忠[17]提出的設(shè)計(jì)原則。需指出，本研究所考慮的系統(tǒng)參數(shù)帶有一定的隨意性，并不能代表未來實(shí)際的齒軌鐵路，但不影響本研究的“車輪悖論”機(jī)理研究。

模型考慮直線軌道、穩(wěn)態(tài)運(yùn)行，忽略輪對橫移，輪對（包括齒輪）、齒條、鋼軌和道床均采用八節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元離散，車輛一系懸掛、軌道扣件和齒條緊固件由分布的彈簧阻尼單元表征，車輛一系懸掛之上的簧上部分由質(zhì)量單元模擬。為保證接觸計(jì)算精度，齒面及輪軌接觸表面分別采用表面尺寸0.95mm×1mm和1mm×1mm的細(xì)化網(wǎng)格，非接觸區(qū)域網(wǎng)格盡可能稀疏，模型總節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)分別為211.3萬和192.3萬。為便于描述，將初始狀態(tài)下處于嚙合狀態(tài)的齒輪和齒條分別編號(hào)為I 和1，按嚙合次序依次遞增（圖2）。模型中定義了整體笛卡爾坐標(biāo)系oxyz，原點(diǎn)位于輪軌接觸斑中心的初始位置，xoz平面與水平面重合，x、y和z軸分別沿軸、垂和縱向。

沿用隱、顯式積分結(jié)合的時(shí)間積分方法[12]，于時(shí)域內(nèi)模擬齒輪齒條間瞬態(tài)嚙合接觸及輪軌間瞬態(tài)滾動(dòng)接觸，具體由基于罰函數(shù)和庫倫摩擦的“面-面”接觸算法求解，最小單元尺寸決定的積分步長為6.65×10-8 s。對整個(gè)模型施加重力，在齒輪中心施加時(shí)變牽引扭矩，并在零時(shí)刻，對輪對施加初始平移速度和角速度（圖2）。邊界條件設(shè)置如下：鋼軌、齒條、軌道板縱向兩端對稱約束;模擬軌道無限長特征;軌道板底面全約束;車軸對稱面施加對稱邊界;一系懸掛兩端節(jié)點(diǎn)橫、縱向耦合，確保重力有效施加。

可以想象，設(shè)置齒輪驅(qū)動(dòng)下輪軌摩擦系數(shù)μwr為0，可去掉“車輪悖論”導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)蠕滑力，對比輪軌摩擦系數(shù)非零工況（齒輪、輪軌共同驅(qū)動(dòng)），可揭示“車輪悖論”的影響?？紤]到齒軌齒條間脂潤滑事實(shí)，其摩擦系數(shù)μg設(shè)為0.1。試算表明，約40ms后初始條件造成的激擾基本消失，之后結(jié)果可用于進(jìn)一步分析。

2.2 齒面接觸狀態(tài)分析

2.2.1 接觸力與接觸應(yīng)力

原始計(jì)算結(jié)果均在整體笛卡爾坐標(biāo)系oxyz中給出，為方便分析齒輪齒條和輪軌接觸結(jié)果，建立原點(diǎn)o′位于輪軌接觸斑中心的移動(dòng)笛卡爾坐標(biāo)系o′x′y′z′，y′和z′分別沿輪軌接觸法向和鋼軌方向，x′與x同向。齒輪齒條嚙合與輪軌接觸力在2個(gè)坐標(biāo)系間變換如下。

Fx′=Fx

Fy′=Fycosα－Fzsinα

Fz′=Fzcosα+Fysinα（1）

式中，α為齒軌鐵路軌道坡度。需指出，上述公式隱含了零坡度下輪軌接觸法向與垂向重合的假設(shè)，這對于本研究分析的零輪對橫移工況近似成立。

任一時(shí)刻下輪齒、輪軌接觸應(yīng)力求解沿用ZHAO等[12]的處理方法，任一節(jié)點(diǎn)P處法向接觸應(yīng)力σn和切向接觸應(yīng)力στ由該時(shí)刻下節(jié)點(diǎn)力按下式求得

式中：fx、fy和fz為整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)P的三向節(jié)點(diǎn)力；n為該節(jié)點(diǎn)處接觸外法向向量的模；X、Y、Z為法向量n在整體坐標(biāo)系oxyz中分量；A為節(jié)點(diǎn)所代表的接觸面積。為方便展示，將齒面接觸結(jié)果投影到矩形映射窗口中，如圖3所示，窗口上邊線對應(yīng)齒頂，右邊線為靠近車輪的一側(cè)。

2.2.2 黏滑分布

本研究關(guān)注齒軌輪對的動(dòng)態(tài)滾動(dòng)接觸[18]，齒面接觸斑內(nèi)黏著、滑移區(qū)分布，通過斑內(nèi)任一節(jié)點(diǎn)P 的節(jié)點(diǎn)法向力fn與切向力fτ差值Sf判定[14]。若式（4）滿足，則該節(jié)點(diǎn)處于黏著區(qū)，否則處于滑移區(qū)。

Sf=fn×μg－fτgt;εf（4）

式中：μg為齒輪齒條摩擦系數(shù)；εf為節(jié)點(diǎn)力容差，取值為0.05kN。由于本研究存在輪軌零摩擦工況，鋼軌接觸斑內(nèi)黏著、滑移區(qū)分布無法由節(jié)點(diǎn)力判定，故采用斑內(nèi)任一節(jié)點(diǎn)P的相對滑移速度Sτ判定[18]。若式（5）滿足，則節(jié)點(diǎn)處于黏著區(qū)，否則處于滑移區(qū)。

Sτ=Vτ－Vτ′＜εs（5）

式中：Vτ為P點(diǎn)的切向速度；Vτ′另一接觸面內(nèi)對應(yīng)接觸點(diǎn)的切向速度；εs

為速度容差，取值為0.15m/s。無特殊說明，以下均以齒條和鋼軌側(cè)接觸結(jié)果為分析對象。

3 輪對-齒條-鋼軌耦合動(dòng)態(tài)接觸

以坡度240‰、速度10km/h和牽引系數(shù)μτ（牽引力Fz′與列車總重力G的比值）0.3的加速上坡工況為例，預(yù)測齒軌輪對-齒條-軌道間動(dòng)態(tài)接觸行為。對比有無輪軌摩擦工況，分析“車輪悖論”對齒輪齒條動(dòng)態(tài)嚙合和輪軌動(dòng)態(tài)滾動(dòng)接觸行為的影響。需指出，考慮到山地線路軌面污染可能性大，非零輪軌摩擦系數(shù)μwr取低值0.2。

3.1 齒輪齒條和輪軌接觸力

圖4對比展示了上述2種輪軌摩擦工況下，齒條、鋼軌承載的垂向接觸力、牽引力和牽引扭矩隨時(shí)間的變化。如上所述，源自非完美應(yīng)力初始化[19]的初始段接觸力波動(dòng)約40ms后基本消失，以下分析均針對40ms之后結(jié)果，以剔除初始條件影響。值得指出靜態(tài)輪重力G和所施加的恒定牽引扭矩M分別示于圖4 （a）和4 （c）中，以方便對比。

如圖4 （a）所示，齒條和鋼軌均承載了一定的重力。μwr=0時(shí)，齒條和鋼軌承載的最大垂向力分別為17.2、62.92kN（分別占靜輪重力65.5kN的26.06%和94.6%）。需指出，因上述2個(gè)最大值不同時(shí)發(fā)生，且動(dòng)輪重可能大于靜值，故兩者之和大于靜輪重。當(dāng)μwr=0.2時(shí)，最大齒條垂向力降為11.33kN，而鋼軌最大承載升至65.2kN。此現(xiàn)象的發(fā)生機(jī)理為：非零輪軌摩擦系數(shù)下，“車輪悖論”使得齒條、鋼軌均提供牽引力，鋼軌所傳遞牽引力較零輪軌摩擦?xí)r增加，齒條所傳遞的則相應(yīng)降低，見圖4（b）；齒條、鋼軌所傳遞牽引力變化時(shí)，其垂向分量也相應(yīng)變化，從而使得齒條垂向力降低。另外，齒輪齒條間雙、單齒嚙合狀態(tài)的周期性變化，在非零輪軌摩擦條件下，也造成齒條和鋼軌垂向力的周期性波動(dòng)，見圖4（a）。雙齒嚙合時(shí)段內(nèi)齒條垂向力達(dá)到峰值，單齒嚙合時(shí)段內(nèi)則發(fā)生谷值。值得指出，鋼軌承載垂向力增加時(shí)，齒條承載就相應(yīng)下降，反之亦然。

由圖4 （a）進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，μwr為0和0.2時(shí)鋼軌垂向力的波動(dòng)值（最大和最小值之差）分別為4.88、7.64kN，齒條垂向力波動(dòng)值相應(yīng)為8.1、10.3kN，即輪軌摩擦系數(shù)非零時(shí)垂向力波動(dòng)更加明顯?！败囕嗐Ｕ摗睂?dǎo)致的鋼軌牽引力和輪齒進(jìn)出嚙合，是造成上述現(xiàn)象的根本原因。需指出，2種輪軌摩擦條件下，齒條與鋼軌垂向力之和均在靜輪重上下波動(dòng)，表明了模型計(jì)算的垂向力結(jié)果合理。

圖4 （c）展示了總牽引扭矩的時(shí)變結(jié)果，總牽引扭矩為齒條和鋼軌牽引扭矩之和，各扭矩分量由相應(yīng)牽引力與接觸半徑得到?？梢?，總牽引扭矩在所施加的恒定牽引扭矩M上下波動(dòng)，這也表明了模擬結(jié)果的合理性。

由圖4 （b）可知：μwr=0時(shí)牽引力完全由齒條提供，其值穩(wěn)定在20.08kN附近；μwr=0.2時(shí)齒條和鋼軌共同提供牽引力（即上述中提到的齒輪、輪軌共同驅(qū)動(dòng)），分別在12、9kN附近，各占總牽引力的58%和42%。牽引力波動(dòng)主要發(fā)生在齒輪齒條嚙合副中，其根本原因是齒輪齒條嚙合過程中發(fā)生的高頻振動(dòng)（若計(jì)算時(shí)間延長，該振動(dòng)或逐漸衰減），而輪軌牽引力相對穩(wěn)定。μwr=0時(shí)，齒條牽引力波動(dòng)值達(dá)21.2kN，顯著高于μwr=0.2下的14.1kN，這意味著齒條牽引力波動(dòng)范圍隨著其承載值增加而增大。另外，齒輪齒條嚙合也會(huì)造成齒條牽引力波動(dòng)，在雙齒嚙合時(shí)段內(nèi)達(dá)到峰值，單齒嚙合時(shí)段內(nèi)發(fā)生谷值，而輪軌牽引力存在反向變化。

3.2 齒輪齒條動(dòng)態(tài)嚙合狀態(tài)

選取齒條3號(hào)齒為例，詳細(xì)分析了其工作面的瞬態(tài)接觸狀態(tài)。圖5為μwr=0.2時(shí)齒面法、切向接觸應(yīng)力云圖，包含了其嚙合過程中的9個(gè)時(shí)刻，第一時(shí)刻為41.8ms，相鄰時(shí)刻間隔5ms。該齒在41.8ms之前某時(shí)刻進(jìn)入嚙合，80.5ms之前某時(shí)刻結(jié)束，整個(gè)嚙合過程中齒面接觸斑始終呈長條形，與齒頂平行的接觸斑軸線處接觸應(yīng)力最大，向上下兩側(cè)均逐漸減小。輪齒接觸首先發(fā)生在齒頂附近，逐漸向齒根移動(dòng)，直至脫離接觸。這里考慮的是理想齒形，故接觸應(yīng)力分布呈理想分布形式，考慮到現(xiàn)實(shí)中的幾何誤差、損傷等因素后，應(yīng)力分布會(huì)更加復(fù)雜。

為了更清晰展示應(yīng)力幅值，選取每一時(shí)刻接觸斑內(nèi)最大法、切向接觸應(yīng)力為特征應(yīng)力，其在整個(gè)嚙合期間隨時(shí)間的變化如圖6所示，其中對比展示了2種輪軌摩擦系數(shù)的結(jié)果。由圖6 （a）可見，2種輪軌摩擦條件下齒面最大法向接觸應(yīng)力的整體變化趨勢基本相同，在嚙合初期達(dá)到峰值，之后逐漸減小，最后脫離接觸而降為0；μwr=0，0.2條件下應(yīng)力峰值分別為248.69、195.17MPa，與圖4中齒條接觸總力因摩擦存在而降低的結(jié)果相對應(yīng)。值得指出，圖6中應(yīng)力波動(dòng)也與圖4中齒條接觸總力波動(dòng)相對應(yīng)。

2種輪軌摩擦系數(shù)下的最大切向接觸應(yīng)力結(jié)果對比，如圖6 （b）所示，展現(xiàn)了不同的時(shí)變趨勢。

μwr=0時(shí)，嚙合初期存在顯著的切向接觸應(yīng)力，變化趨勢與法向接觸應(yīng)力基本相同，發(fā)生了21.31MPa的峰值，但在約38ms之后迅速降低，之后又經(jīng)歷一個(gè)峰值，于55ms開始趨于零值，即輪齒之間發(fā)生了近似純滾動(dòng)接觸。μwr=0.2時(shí)，由于“車輪悖論”導(dǎo)致的蠕滑力存在，齒面切向接觸應(yīng)力不再趨向于零，而是呈現(xiàn)類似法向應(yīng)力的變化趨勢，意味著輪齒之間發(fā)生了顯著的蠕滑現(xiàn)象。

圖7進(jìn)一步展示了3號(hào)齒嚙合過程中，6個(gè)典型時(shí)刻下接觸斑內(nèi)的黏滑分布，其中藍(lán)色實(shí)心方塊表示滑移節(jié)點(diǎn)，綠色空心圓表示黏著節(jié)點(diǎn)。μwr=0時(shí)，嚙合初期接觸斑內(nèi)存在顯著的滑移區(qū)，之后因處于近似純滾狀態(tài)，斑內(nèi)幾乎全為黏著區(qū)，在嚙合后期隨齒條承載減弱，斑內(nèi)存在部分滑移。μwr=0.2時(shí)，輪齒間顯著的蠕滑使得接觸斑內(nèi)以滑移區(qū)為主，但由于處于非穩(wěn)態(tài)嚙合接觸，斑內(nèi)黏滑分布存在無規(guī)則波動(dòng)，部分時(shí)刻也存在黏著區(qū)。

將3號(hào)齒接觸斑內(nèi)法、切向接觸應(yīng)力沿圖7中所示虛線的二維分布結(jié)果，進(jìn)一步示于圖8。

其中，黑色實(shí)線為庫倫摩擦極限（法向接觸應(yīng)力與嚙合摩擦系數(shù)之積），藍(lán)色虛線為切向接觸應(yīng)力。所示結(jié)果吻合上文提到的現(xiàn)象：μwr=0時(shí)，輪齒間先發(fā)生顯著滑移，逐漸趨于純滾動(dòng)，嚙合后期存在部分滑移；而μwr=0.2時(shí)，接觸斑內(nèi)大部分時(shí)刻下存在顯著滑移（切向接觸應(yīng)力與庫倫摩擦極限重合），但如上文提及的無規(guī)則波動(dòng)，部分時(shí)刻存在切向應(yīng)力小于庫侖摩擦極限的情況。

大致隨機(jī)選取9個(gè)不同時(shí)刻，2種輪軌摩擦條件下齒條3號(hào)齒接觸斑面積及其內(nèi)部黏著、滑移區(qū)面積隨時(shí)變化如圖9所示?？梢姡ㄏ虺休d更大的μwr=0工況中（圖4a），而接觸斑面積（圖9中柱子總高）普遍大于μwr=0.2工況，相應(yīng)的最大接觸斑面積分別為413、354mm2，黏著、滑移區(qū)面積的變化與上文分析相對應(yīng)。值得注意的是，μwr=0.2條件下接觸斑面積變化存在更為明顯的波動(dòng)，對應(yīng)圖4 （a）中更劇烈的齒條垂向載荷波動(dòng)。

3.3 輪軌滾動(dòng)接觸狀態(tài)分析

如上所述，齒輪齒條嚙合決定著車輪速度，滾動(dòng)半徑更大的輪軌間必然存在顯著滑移。采用滑移速度判斷輪軌接觸斑內(nèi)黏著、滑移區(qū)，上述2種工況53ms時(shí)刻的結(jié)果如圖10（a）和11（a）所示，圖10（b）和11（b）中進(jìn)一步展示了沿圖10（a）和11（a）中虛線的二維接觸應(yīng)力分布。“車輪悖論”導(dǎo)致輪軌間存在顯著滑移，故斑內(nèi)均為滑移區(qū)，μwr=0時(shí)，由于輪軌摩擦系數(shù)為零，切向接觸應(yīng)力均為0；μwr=0.2時(shí)，輪軌切向接觸應(yīng)力分布均趨于其極限。

圖12 展示了齒條3號(hào)齒嚙合過程中輪軌間最大法、切向接觸應(yīng)力的時(shí)變結(jié)果。2種輪軌摩擦條件下輪軌最大接觸應(yīng)力變化存在差異，μwr=0時(shí)法向應(yīng)力峰值為757.44MPa，μwr=0.2時(shí)鋼軌承載增加使得其最大法向應(yīng)力增至762.23MPa。因此，μwr=0.2時(shí)“車輪悖論”加劇了法向應(yīng)力波動(dòng)。最大切向應(yīng)力結(jié)果與上述結(jié)果相符，切向應(yīng)力在μwr=0時(shí)基本為0，μwr=0.2時(shí)則與法向應(yīng)力變化趨勢大致相同。

4 軌道坡度影響

對0‰、240‰、480‰這3個(gè)坡度進(jìn)程變化，速度、牽引系數(shù)和輪軌摩擦系數(shù)均與上一節(jié)保持一致，探究軌道坡度變化對齒輪齒條、輪軌動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)的影響。

圖13 （a）展示了40ms后鋼軌、齒條垂向接觸力均值（柱子高度）及波動(dòng)范圍（誤差線）隨坡度的變化情況。隨著坡度增加，齒條垂向力均值由0‰坡度下的2.16kN增至240‰坡度下的4.57kN，再至480‰坡度下的7.05kN，相應(yīng)3種坡度條件下波動(dòng)范圍分別為5.18、8.48、9.64kN。相應(yīng)的鋼軌垂向力均值則由0坡度下64.1kN，降至240‰坡度下的62kN，再至480‰坡度下57.85kN，波動(dòng)范圍分別為4.48、6.64和11.04kN?？傊?，隨坡度增加，齒條垂向力均值增加，鋼軌垂向力均值相應(yīng)減小，但兩者波動(dòng)范圍均增大。

鋼軌、齒條牽引力均值隨坡度的變化趨勢與它們的垂向力相同，如圖13 （b）所示。齒條牽引力均值由0‰坡度的7.14kN增長至480‰坡度的10.24kN，鋼軌牽引力均值則由12.8kN減至10.2kN。其波動(dòng)范圍變化趨勢則有差異，鋼軌牽引力波動(dòng)范圍依然隨坡度的增加而增大，分別為0.91、1.5、1.98kN，而齒條牽引力波動(dòng)范圍則相應(yīng)下降趨勢，分別為13.62、13.07、9.9kN。

隨機(jī)選取穩(wěn)定后的某一時(shí)刻，以75.6 ms時(shí)刻為例，圖14 （a）展示了齒條3號(hào)齒上接觸斑面積及其內(nèi)部黏著、滑移區(qū)面積隨坡度的變化?？梢?，受載荷分配影響，齒條接觸斑面積由0‰坡度時(shí)176mm2增至240‰坡度下的236mm2，再至480‰坡度時(shí)的295mm2，而鋼軌接觸斑面積則由196mm2減小至178mm2。因“車輪悖論”，鋼軌接觸內(nèi)無黏著區(qū)，全為滑移區(qū)，而齒面接觸斑內(nèi)黏著區(qū)面積隨坡度增加。圖14 （b）進(jìn)一步展示了上述時(shí)刻下齒條3號(hào)齒齒面最大法、切向應(yīng)力隨坡度的變化。最大法、切向接觸應(yīng)力的變化趨勢分別與垂、縱向接觸力隨坡度變化趨勢相符，即齒面接觸應(yīng)力隨坡度增加，而輪軌接觸應(yīng)力相應(yīng)減小。

5 結(jié) 論

以初步設(shè)計(jì)的Strub型米軌齒軌鐵路為對象，建立了基于顯式時(shí)間積分的三維齒軌輪對-軌道瞬態(tài)接觸有限元模型，將輪軌真實(shí)幾何、齒輪與車輪輪徑差造成的“車輪悖論”以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)等因素均考慮在內(nèi)。預(yù)測了速度為10km/h和坡度分別為0‰、240‰、480‰下的齒軌列車輪對動(dòng)態(tài)接觸行為，得到如下結(jié)論。

1）模型預(yù)測的齒條、鋼軌接觸力和接觸應(yīng)力結(jié)果，受齒輪嚙合影響均呈現(xiàn)周期性波動(dòng)，但整體上與現(xiàn)有認(rèn)知相符，驗(yàn)證了模型合理性。

2）“車輪悖論”使得齒條垂向力和法向接觸應(yīng)力減小，而輪軌垂向力和法向應(yīng)力增加，齒條切向接觸應(yīng)力與接觸斑內(nèi)滑移區(qū)面積相應(yīng)增加，輪軌接觸斑因發(fā)生顯著蠕滑而呈現(xiàn)出全滑移狀態(tài)。以坡度240‰工況為例，輪軌摩擦系數(shù)由0增至0.2。齒條、輪軌最大法向接觸應(yīng)力分別由248.69、752.66MPa增至195.17、757.44MPa，最大切向接觸應(yīng)力相應(yīng)由24.48、152.84MPa變?yōu)?1.31、2.14MPa。

3）相同速度及摩擦條件下，坡度增加使得齒條的垂向力和牽引力增加，而輪軌垂向力和牽引力減小，接觸應(yīng)力呈現(xiàn)同相變化。某典型時(shí)刻下3種坡度下齒條最大法向接觸應(yīng)力分別為50、69.7、72.5MPa，輪軌最大法向接觸應(yīng)力對應(yīng)為782.3、755.6、732.5MPa。

工程中存在的系統(tǒng)加工/裝配誤差、輪軌磨耗、磨耗齒形、齒條安裝位置誤差、鋼軌不平順譜、曲線區(qū)段等因素，均會(huì)影響齒軌列車齒輪齒條嚙合與輪軌滾動(dòng)接觸間的耦合動(dòng)力作用，但未在本研究中考慮。未來需開展系統(tǒng)研究，以更好地揭示齒軌列車輪對-軌道間耦合動(dòng)力作用。

山地齒軌列車運(yùn)營環(huán)境惡劣，齒輪齒條接觸暴露在外，受環(huán)境影響大，或造成齒面銹蝕、裂紋和剝離等損傷，本研究建立的三維齒軌輪對模型，為精確分析Strub型山地齒軌鐵路的服役狀態(tài)提供了一種有效的分析手段和預(yù)測方法，對保障未來齒軌列車的安全運(yùn)行、狀態(tài)檢測和運(yùn)營維護(hù)都有實(shí)踐意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] 招陽，魏慶朝，許兆義，等.直線電機(jī)輪軌交通系統(tǒng)牽引坡度及啟/制動(dòng)距離計(jì)算研究[J].都市快軌交通，2007，20（6）：64-67.

ZHAO Yang，WEI Qingchao，XU Zhaoyi，et al.Study on traction grade and starting/braking distance in LIM wheel/rail transit system[J].Urban rapid rail transit，2007，20（6）：64-67（in Chinese）.

[2] 牛悅丞，李芾，丁軍君，等.齒軌鐵路發(fā)展及應(yīng)用現(xiàn)狀綜述[J].鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，2019，63（12）：37-43.

NIU Yuecheng，LI Fu，DING Junjun，et al.Overview of mountain rack railway development and application[J].Railway standard design，2019，63（12）：37-43（in Chinese）.

[3] 鄢紅英，徐銀光，李艷.齒軌在山地旅游軌道交通中的應(yīng)用及工程化發(fā)展方向[J].工程建設(shè)與設(shè)計(jì)，2018（21）：136-138.

YAN Hongying，XU Yinguang，LI Yan.The application of toothed rail in mountain tourism rail transit and its development direction of engineering[J].Construction amp; design for project，2018（21）：136-138（in Chinese）.

[4] 余浩偉，徐銀光，林世金.《山地（齒軌）軌道交通技術(shù)規(guī)范》主要內(nèi)容解析[J].鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，2020，64（11）：40-43.

YU Haowei，XU Yinguang，LIN Shijin.Analysis of the main contents of technical code of mountain （rack） rail transit[J].Railway standard design，2020，64（11）：40-43 （in Chinese）.

[5] WEBER J，ABT S.Rack-railway locomotives of the swiss mountain railways[J].Proceedings of the institution of mechanical engineers，1911，81（1）：539-577.

[6] HANSEN B.Gearing up：The mount Washington cog railway[J].Civil engineering magazine，2009，79（4）：36-39.

[7] 舒睿洪，陳志輝，楊吉忠，等.山地齒軌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及關(guān)鍵參數(shù)選型設(shè)計(jì)[J].鐵道工程學(xué)報(bào)，2021，38（9）：24-28.

SHU Ruihong，CHEN Zhihui，YANG Jizhong，et al.Structural characteristics and key structure parameter selections of mountain cog railway[J].Journal of Railway Engineering Society，2021，38（9）：24-28 （in Chinese）.

[8] NAKAMURA K，OKUBO K，F(xiàn)UJII T，et al.Optimum power contribution ratio of two pinion gears engaged with rack rail for monorail driven in forest industry[C]//Proceedings of the AASRI Winter International Conference on Engineering and Technology （AASRI-WIET 2013）.Dordrecht，The Netherlands：Atlantis Press，2013：33-37.

[9] 陳雙喜.基于SIMPACK的一種山地齒軌車動(dòng)力學(xué)分析[J].鐵道機(jī)車車輛，2022，42（4）：74-79.

CHEN Shuangxi.Dynamics analysis of a mountain rack-rail train based on SIMPACK[J].Railway locomotive amp; car，2022，42（4）：74-79（in Chinese）.

[10]陳再剛，唐亮，楊吉忠，等.齒軌鐵路導(dǎo)入裝置動(dòng)力學(xué)特性[J].交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2022，22（1）：122-132.

CHEN Zaigang，TANG Liang，YANG Jizhong，et al.Dynamics characteristics of rack railway guiding equipment[J].Journal of traffic and transportation engineering，2022，22（1）：122-132（in Chinese）.

[11]趙冠闖，馮濟(jì)橋，丁軍君，等.車體重心高度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對齒軌車輛動(dòng)力學(xué)性能的影響[J].鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，2021，65（9）：181-186.

ZHAO Guanchuang，F(xiàn)ENG Jiqiao，DING Junjun，et al.Influence of height of gravity center and moment of inertia on vehicle dynamic performance[J].Railway standard design，2021，65（9）：181-186 （in Chinese）.

[12]ZHAO X，WEN Z F，WANG H Y，et al.Modeling of high-speed wheel-rail rolling contact on a corrugated rail and corrugation development[J].Journal of Zhejiang University science a，2014，15（12）：946-963.

[13]么超凡，于子良，齊洪峰，等.間隙配合變軌距輪對與軌道間瞬態(tài)滾滑接觸模擬研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2020，56（24）：115-124.

YAO Chaofan，YU Ziliang，QI Hongfeng，et al.Transient simulations of gauge-adjustable wheelset-rail rolling-sliding contact in consideration of the clearance fit[J].Journal of mechanical engineering，2020，56（24）：115-124（in Chinese）.

[14]范偉.大功率電力機(jī)車牽引齒輪瞬態(tài)嚙合接觸模擬研究[D].成都：西南交通大學(xué)，2022.

[15]DRABKIN I E.Aristotle’s wheel：Notes on the history of a paradox[J].Osiris，1950，9：162-198.

[16]XU H L，YAN X W，WANG Y Y.Understanding aristotle’s wheel paradox from the viewpoint of motion decomposition[J].The physics teacher，2022，60（3）：212-214.

[17]中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司.一種山地齒軌軌道交通用齒輪-齒條的設(shè)計(jì)方法：CN202111286156.7[P].2022-04-29.

[18]ZHAO X，LI Z L.A solution of transient rolling contact with velocity dependent friction by the explicit finite element method[J].Engineering computations，2016，33（4）：1033-1050.

[19]ZHAO X.Dynamic wheel/rail rolling contact at singular defects with application to squats[D].Delft：Delft University of Technology，2012.