文/謝曉華
二次函數(shù)一直是初中數(shù)學(xué)中考中重點考查的內(nèi)容,其考查范圍主要包括:二次函數(shù)的概念、求解二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、用二次函數(shù)解決實際問題等?,F(xiàn)以2023 年江蘇省南京市中考第25 題第(3)問為例,剖析一元二次方程根的分布情況的問題。
例已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3(a為常數(shù),a≠0)。若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點(x1,0)、(x2,0),且-1<x1<x2<4,則a的取值范圍是________。
【分析】二次函數(shù)y=ax2-2ax+3(a為常數(shù),a≠0)的圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2-2ax+3=0的根,二次函數(shù)y=ax2-2ax+3 過定點(0,3),且對稱軸為直線x=1,由于a的符號未知,故分a>0和a<0兩種情況討論。
解:二次函數(shù)y=ax2-2ax+3的對稱軸為直線x=1,過定點(0,3),頂點坐標(biāo)為(1,3-a),二次函數(shù)y=ax2-2ax+3 與x軸有兩個公共點且滿足-1<x1<x2<4。
如圖1,當(dāng)a>0 時,二次函數(shù)圖像開口向上,可得3-a<0,∴a>3。
圖1
如圖2,當(dāng)a<0 時,二次函數(shù)圖像開口向下,可得
圖2
綜上,a的取值范圍為a>3 或a<-1。
【點評】解決一元二次方程根的分布問題的一般思路:首先,結(jié)合二次函數(shù)的表達(dá)式尋找二次函數(shù)已經(jīng)確定的條件(開口方向、對稱軸、定點等);其次,根據(jù)已有條件,畫出二次函數(shù)的大致圖像,需注意如有確定不了的條件要分類討論;最后,結(jié)合圖像,以開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、判別式、端點處函數(shù)值等為思考方向,找到問題成立的限制條件,并正確求解。
下面我們以二次函數(shù)y=ax2-2x+3(a為常數(shù),a>0)與x軸有兩個交點為例,改變交點的取值范圍來探究交點存在的條件。
變式1若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點(x1,0)、(x2,0),且x1<4<x2,則a的取值范圍是________。
【分析】此二次函數(shù)開口向上,過定點(0,3),與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)一個大于4、另一個小于4,由此畫出其大致圖像(如圖3)。
圖3
【點評】二次函數(shù)開口向上時,如果此函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程的兩個根x1、x2滿足x1<z<x2,則應(yīng)滿足二次函數(shù)在z處函數(shù)值小于0。
變式2已知二次函數(shù)y=ax2-2x+3(a為常數(shù),a>0)。若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點(x1,0)、(x2,0),且1<x1<x2,則a的取值范圍是________。
【分析】此二次函數(shù)開口向上,過定點(0,3),與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均大于1,可以畫出其大致圖像(如圖4)。由條件“與x軸有兩個公共點”,可知b2-4ac>0 或頂點處縱坐標(biāo)小于0;由條件1<x1<x2,可知對稱軸大于1,且二次函數(shù)在端點1處的函數(shù)值大于0。
圖4
解:如圖4,由題意知,
【點評】二次函數(shù)開口向上時,如果此函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程的兩個根x1、x2滿足m<x1<x2,則應(yīng)滿足對稱軸大于m,b2-4ac>0,端點m處函數(shù)值大于0。同理,兩根x1、x2滿足x1<x2<n,則應(yīng)滿足對稱軸小于n,b2-4ac>0,端點n處函數(shù)值大于0。
變式3若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點(x1,0)、(x2,0),且1<x1<x2<4,則a的取值范圍是________。
【分析】已知二次函數(shù)開口向上,過定點(0,3),與x軸兩個交點介于1、4 之間,由此畫出其大致圖像(如圖5)。由條件“與x軸有兩個公共點”,可知b2-4ac>0 或頂點處縱坐標(biāo)小于0;由條件1<x1<x2<4 可知對稱軸在1、4 之間,二次函數(shù)在端點1、4處的函數(shù)值都要大于0。
圖5
解:如圖5,由題意知,
【點評】二次函數(shù)開口向上時,如果該函數(shù)對應(yīng)的二次方程的兩個根x1、x2滿足m<x1<x2<n(m<n),則應(yīng)滿足對稱軸大于m且小于n,b2-4ac>0,端點m、n處的函數(shù)值都大于0。
變式4若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點(x1,0)、(x2,0),且1<x1<3<x2<4,則a的取值范圍是________。
【分析】二次函數(shù)開口向上,過定點(0,3),與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)一個介于1、3 之間,另一個介于3、4 之間,畫出其大致圖像(如圖6)。
圖6
解:如圖6,由題意知,
【點評】二次函數(shù)開口向上時,如果此函數(shù)對應(yīng)的二次方程的兩個根x1、x2滿足m<x1<z<x2<n,此二次函數(shù)需滿足端點m處函數(shù)值大于0,端點z處函數(shù)值小于0,端點n處函數(shù)值大于0。