李生魁

［摘? 要］ 文章從數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵出發(fā)，認(rèn)為初中生建模一般遵循“現(xiàn)實原型—實際模型—數(shù)學(xué)形式”的過程，并通過對建模的三個水平層次“再現(xiàn)、聯(lián)系與反思”的例析，提出培養(yǎng)學(xué)生的建模能力可分別從以下三方面著手：掌握標(biāo)準(zhǔn)模型，提升建?！霸佻F(xiàn)”水平；借助現(xiàn)實問題，提升建?！奥?lián)系”水平；數(shù)學(xué)綜合實踐，提升建?！胺此肌彼?

［關(guān)鍵詞］ 建模；再現(xiàn)；聯(lián)系；反思

數(shù)學(xué)存在于人類生活的方方面面，將生活知識數(shù)學(xué)化的過程就是抽象數(shù)學(xué)模型的過程，此過程需對生活現(xiàn)象進行細(xì)致入微的觀察. 因此，數(shù)學(xué)建模就是一種源自生活需要，解決生產(chǎn)問題的過程. 研究發(fā)現(xiàn)，關(guān)注數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵對發(fā)展核心素養(yǎng)具有重要價值與意義. 尤其對于初中生而言，建?？蓮臄?shù)學(xué)學(xué)科本身的價值著手，引導(dǎo)學(xué)生進行有深度的思考，體會數(shù)學(xué)與自然、社會的必然聯(lián)系，并感知數(shù)學(xué)的跨學(xué)科作用，為形成良好的建模能力夯實基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

建模屬于數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容之一. 但是，當(dāng)前仍有不少教師無法分辨出數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型思想以及建模活動之間究竟存在怎樣的區(qū)別與聯(lián)系. 為此，研究者借助圖1揭露數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵為：將生活實際中的一些問題轉(zhuǎn)化成一些學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)問題來探索，也就是將原本不屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)范疇以內(nèi)的問題來探索與分析，并將探索而來的結(jié)論再轉(zhuǎn)譯到生活實際中去，實現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的深度融合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)為生活服務(wù)的真諦.

整體而言，數(shù)學(xué)建模循環(huán)模型是指學(xué)生基于模型來探索生活中事物的關(guān)系結(jié)構(gòu)，隨著對模型的分析與演繹，將所獲得的結(jié)論反演到生活實際中去，以更好地解決實際問題［1］. 就數(shù)學(xué)本身而言，建模就是將生活實際數(shù)學(xué)化的過程，也就是通過抽象、簡化與提煉生活實際問題，使之成為數(shù)學(xué)問題，此為初步建構(gòu)模型的過程. 從廣義的角度來分析，數(shù)學(xué)模型涵蓋了公式、定理、概念等，基于狹義的角度分析，數(shù)學(xué)模型是反映特定事物的一種特殊結(jié)構(gòu)形式.

建模過程分析

初中階段的學(xué)生已經(jīng)有了一定的社會閱歷與生活經(jīng)驗，具備了一定的建模能力. 從建模內(nèi)容的角度來分析，此階段學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，一般遵循“現(xiàn)實原型—實際模型—數(shù)學(xué)形式”的過程.

現(xiàn)實原型是指一些真實的生活實際問題，這一類情境常常呈現(xiàn)出雜亂無章的亂象，令人無從下手；實際模型亦可稱為現(xiàn)實模型，是指將現(xiàn)實原型進行簡化與梳理，形成更加精準(zhǔn)、簡潔的表達方式，因此實際模型已經(jīng)初步具備條理性；數(shù)學(xué)形式是指對模型的假設(shè)與簡化，并借助簡潔的數(shù)學(xué)符號或文字語言描述其關(guān)系的一種模式. 遍覽各種版本的初中數(shù)學(xué)教材，其中所呈現(xiàn)的一些實際問題，基本都是編者根據(jù)現(xiàn)實生活提煉而來，包含了大量現(xiàn)實原型與實際模型，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中加以梳理，可將它們形成標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)形式.

建模水平劃分

第一層，再現(xiàn).

當(dāng)學(xué)生面對自己認(rèn)知范圍內(nèi)的情境或問題時，能在短時間內(nèi)快速甄別出其中所蘊含的數(shù)學(xué)模型，并借助該模型來處理問題，屬于數(shù)學(xué)模型的“再現(xiàn)”過程，這是建模水平的最基本的層級. 如常見的銷售類問題：一條褲子先按照成本價提高50%進行標(biāo)價，銷售時給顧客打八折，這條褲子的贏利為28元，那么這條褲子的成本價是多少？

此為從學(xué)生生活實際提取來的問題，該情境將學(xué)生帶入現(xiàn)實生活中，并借助銷售類問題所涉及的標(biāo)價、售價、折扣與贏利等關(guān)鍵詞啟發(fā)學(xué)生的思維，同時，這些關(guān)鍵詞也是學(xué)生分析并解決問題的主要依據(jù).

想要弄清問題中多個關(guān)鍵詞所表達的實際含義，就需要在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)符號準(zhǔn)確地表達出成本、售價與贏利之間的關(guān)系. 因此，解決這個問題最直接的方法就是構(gòu)建方程模型，學(xué)生直接套用標(biāo)準(zhǔn)模型就能順利解決問題，因此，此過程屬于數(shù)學(xué)建模的“再現(xiàn)”層級.

第二層，聯(lián)系.

數(shù)學(xué)模型的“聯(lián)系”是指在稍復(fù)雜的問題背景下，通過對知識的組合、遷移與轉(zhuǎn)化，借助標(biāo)準(zhǔn)模型進行組合與變形，以解決實際問題的過程. 如某種傳染病疫情暴發(fā)之后，“方艙醫(yī)院”成了家喻戶曉的一個名詞，那么修建方艙醫(yī)院會涉及不少信息，教師可借助PPT展示如下內(nèi)容：

為了應(yīng)對突發(fā)疫情，某地準(zhǔn)備建立一個方艙醫(yī)院，具體信息如下：①方艙醫(yī)院主要由病房、醫(yī)療功能區(qū)、醫(yī)療廢棄物處置區(qū)以及技術(shù)保障區(qū)四部分組成；②預(yù)期整個方艙的面積為8萬平方米；③醫(yī)療廢棄物處置區(qū)占到整個方艙面積的5%；④病房的整體面積是該方艙醫(yī)院技術(shù)保障區(qū)面積的4倍；⑤病房面積和醫(yī)療功能區(qū)面積之和占整個醫(yī)院總面積的85%以下. 那么，該方艙醫(yī)院的醫(yī)療功區(qū)最大面積是多少？

這是一個源自生活實際的問題，情境中呈現(xiàn)的信息雖然很多，但并不全面，有很多信息需要學(xué)生在原有信息的基礎(chǔ)上進一步進行假設(shè)、抽象或簡化，并借助簡潔的數(shù)學(xué)符號來表示待求面積. 由此可以看出，此情境涵蓋了兩個模型，分別為“方程模型”與“不等式模型”，學(xué)生只要直接進行模型的組合就能順利解決問題. 由此可確定，此為處于“聯(lián)系”水平的數(shù)學(xué)建模問題.

第三層，反思.

數(shù)學(xué)建模的“反思”是指在異常復(fù)雜的問題情境中，通過檢驗、類比、評價與模型的改建等，用創(chuàng)造性的方法解決問題的過程. 如水是生命的源泉，但地球上的水資源并不充足，因此我們在日常生活中應(yīng)盡可能地節(jié)約用水. 有人提出“洗澡時應(yīng)盡可能淋浴，可以節(jié)水”. 真相是怎樣的呢？現(xiàn)在一起來看下面這個問題：

如果家里有一個長、寬、高（內(nèi)部測量）分別為1.3 m、0.7 m、0.7 m的長方體浴缸，假設(shè)泡澡水深恒為0.5 m；還有一個淋浴房，淋蓬頭的水速可調(diào)節(jié)，分別為15 L/min與10 L/min. 請問淋浴與泡澡兩種方式，哪種更節(jié)水？

洗澡是學(xué)生異常熟悉的生活場景，在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上拓展“洗澡”這個問題，通過對關(guān)鍵信息的探索與分析，不難發(fā)現(xiàn)想要從真正意義上了解哪種洗澡方式更節(jié)水，就要考慮水流速度與沐浴時間等綜合因素，此為解決問題的關(guān)鍵. 對于一個源自學(xué)生生活的實際問題，可通過假設(shè)并借助相應(yīng)的模型來分析與探索問題. 當(dāng)然，此過程對學(xué)生的思維要求較高，屬于建模水平的較高層次，即“反思”水平層級. 處理好這個問題，對于學(xué)生個體建模思想的發(fā)展具有重要的價值與意義.

大部分教材所呈現(xiàn)的模型類問題均屬于“再現(xiàn)”水平，利用這一類模型來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力具有重要價值. 鑒于此，教師在教學(xué)實踐中，需引導(dǎo)學(xué)生在積極思考與類比中發(fā)展反思能力與建模水平，為培育創(chuàng)新意識，發(fā)展核心素養(yǎng)做鋪墊.

培養(yǎng)建模能力的策略

1. 掌握標(biāo)準(zhǔn)模型，提升數(shù)學(xué)建模

“再現(xiàn)”水平

模型思想是促進生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系的紐帶，數(shù)學(xué)建模與解模對培育數(shù)學(xué)方程、函數(shù)思想等具有特殊意義，它不僅能體現(xiàn)出生活事物間存在的數(shù)量關(guān)系，還能借助數(shù)學(xué)符號建立一些模型，讓學(xué)生深入理解問題的結(jié)論與結(jié)論所蘊含的實際意義.

為了讓學(xué)生能順利建構(gòu)模型思想，編者在撰寫教材時，常會關(guān)注到生活實際中的一些現(xiàn)象與數(shù)學(xué)知識間存在的關(guān)聯(lián)性，并通過應(yīng)用類的生活現(xiàn)實問題引導(dǎo)學(xué)生用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識來解決問題. 學(xué)生因親歷用知識解決實際問題的過程而實現(xiàn)初步建模，感知到數(shù)學(xué)知識的價值與意義［2］.

從內(nèi)容上來分析，學(xué)生常將大部分時間用在數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部學(xué)習(xí)上，如概念、定理、性質(zhì)等，這些可作為標(biāo)準(zhǔn)模型進行教學(xué)，為解決實際問題服務(wù). 如圖2，從建模的過程來分析，數(shù)學(xué)建模涉及的內(nèi)容相當(dāng)多. 因此，實際教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過對實際模型的探索與分析，借助數(shù)學(xué)符號描述模型，促使學(xué)生深度參與建模過程，理解建模原理，從真正意義上提升建模能力.

2. 借助現(xiàn)實問題，提升數(shù)學(xué)建模

“聯(lián)系”水平

讓學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界以及用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一，也是發(fā)展核心素養(yǎng)的主要通道［3］. 數(shù)學(xué)建模其實就是用數(shù)學(xué)的語言來表達現(xiàn)實世界的過程. 鑒于教材布局的局限性，教師可充分挖掘現(xiàn)實世界中的一些生活實際問題來彌補教材中缺少用實際模型類問題發(fā)展學(xué)生“聯(lián)系”水平的缺陷，如在課堂中引入一些逼真、豐富的生活或問題情境等.

然而，生活中的一些原型類問題由于沒有經(jīng)過整理與歸納，顯得雜亂無章，這就要求教師將問題進行一定的梳理，并帶領(lǐng)學(xué)生分析其中的關(guān)系，明確問題的“主干”，消減無用的“枝丫”，理清問題的脈絡(luò)，由此便可順利提出合理的假設(shè)，從而用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號表達問題，為建立合適的模型奠定基礎(chǔ)，這是發(fā)展學(xué)生建模能力“聯(lián)系”水平的關(guān)鍵.

如以上關(guān)于“方艙醫(yī)院”的探索，就鼓勵學(xué)生通過自主閱讀的方式提煉信息，用數(shù)學(xué)的眼光與思維來觀察與探索解決問題的辦法. 此為將生活現(xiàn)象抽象成數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言與符號進行表征的過程，學(xué)生在此過程中不僅自主抽象出相應(yīng)的模型結(jié)構(gòu)，還有效發(fā)展了數(shù)學(xué)建模的“聯(lián)系”水平.

3. 通過綜合實踐，提升數(shù)學(xué)建模

“反思”水平

借助所學(xué)知識探索實際問題，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合實踐能力的主要途徑. 數(shù)學(xué)綜合實踐的主要內(nèi)容有：創(chuàng)設(shè)與實際生活相似的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過自主思考與探索，設(shè)計相應(yīng)的解題方案，從中感知建模的整個歷程. 學(xué)生在建模過程中不斷提升自身的問題意識，增強發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力，此為形成創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要渠道.

受應(yīng)試的影響，不少教師仍存在“知識本位”意識，教學(xué)中尤其關(guān)注數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率、圖形與幾何的教學(xué)，而忽略綜合實踐的教學(xué). 殊不知，數(shù)學(xué)綜合實踐是讓學(xué)生從課堂中更好地了解現(xiàn)實生活的途徑，也是學(xué)生借助豐富的數(shù)學(xué)知識思考現(xiàn)實生活的契機，利用好綜合實踐活動，不僅能提升學(xué)生的建模水平，還能發(fā)展學(xué)生的反思力，讓學(xué)生進一步感知并體驗現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系.

在此背景下，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這個目標(biāo)凌駕于應(yīng)試之上，充分挖掘綜合實踐課程的教學(xué)意義，結(jié)合學(xué)生生活中的實際問題，常態(tài)化地組織綜合實踐活動，讓學(xué)生形成“三會”能力，從而提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)源自生活實際，又反過來應(yīng)用于生活實踐的真理.

針對以上關(guān)于“節(jié)水”的問題，可將條件信息中的一些數(shù)據(jù)剔除，進而將問題的原始狀態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生：有人提出洗澡時用淋浴比用浴缸更節(jié)水，真是這樣嗎？此時，這個問題就成了一個典型的數(shù)學(xué)綜合實踐性問題. 想要解決這個問題，就需要對數(shù)據(jù)進行搜集、整理、分析，并基于數(shù)學(xué)模型的視角進行探索與思考. 學(xué)生親歷探索過程，基于“引模、建模、解模與驗證模型”的歷程，有效提升建模的“反思”水平.

古希臘人提出：世界本就是一個簡單且符合邏輯的能用數(shù)學(xué)所表達的世界. 這一認(rèn)識與如今試圖全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要聯(lián)系. 一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分了解學(xué)生的實際認(rèn)知水平與建模的各個水平階層，設(shè)計出符合學(xué)情的教學(xué)方案，從真正意義上培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的建模能力.

參考文獻：

［1］史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論（第5輯）：自然界中的數(shù)學(xué)模型［M］. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

［2］鄭毓信. 數(shù)學(xué)抽象的基本準(zhǔn)則：模式建構(gòu)形式化原則［J］. 數(shù)學(xué)通報，1990（11）：9-11.

［3］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.