孟獻(xiàn)芬

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)觀察具有揭露事實本質(zhì)、促進數(shù)學(xué)理解與提升數(shù)學(xué)審美水平等價值. 觀察能力作為數(shù)學(xué)能力的要素之一，在學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯中具有重要影響. 文章從立足概念教學(xué)、注重解題過程與聚焦反思三個維度，具體談?wù)勅绾卧诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力.

［關(guān)鍵詞］ 觀察能力；思維；解題

布魯姆由淺入深地將認(rèn)知領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為了解、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評價六個層次. 一般認(rèn)為，知道、領(lǐng)會、簡單提取、機械記憶或簡單表征等，屬于低階的了解與理解層次；而理性思辨、問題解決、創(chuàng)造突破等則屬于高階的應(yīng)用、分析、綜合、評價層次. 無論是低價層次的思維活動還是高階層次的思維活動，都是以觀察力為基礎(chǔ)的. 可以說，觀察力是理解數(shù)學(xué)概念、習(xí)得數(shù)學(xué)技能、解決數(shù)學(xué)問題不可或缺的數(shù)學(xué)能力.

數(shù)學(xué)觀察具備的價值

1. 揭露事實本質(zhì)

龐加萊認(rèn)為，真正的發(fā)現(xiàn)者是揭露事實間關(guān)系的人，而非建構(gòu)某些組合的工匠. 這句話闡述“建構(gòu)某些組合的工匠”屬于未加工的事實，而“事實間關(guān)系”的揭露則屬于事物本質(zhì)的發(fā)現(xiàn). 良好的觀察能力具有揭露事實本質(zhì)的功效. 事實的本質(zhì)就是一種模式，一種普遍性特征，想要發(fā)現(xiàn)事實本質(zhì)，必須依靠良好的觀察能力與創(chuàng)造能力.

2. 促進數(shù)學(xué)理解

哲學(xué)家馬赫認(rèn)為，與勞力經(jīng)濟類似，產(chǎn)生思維經(jīng)濟是科學(xué)的重要作用之一. 數(shù)學(xué)觀察能夠讓數(shù)學(xué)問題的概括變成一種可能，這種概括的形成實則為思維經(jīng)濟的形成. 如我們所熟知的代數(shù)公式，隨著研究與應(yīng)用的普遍，人們借助數(shù)字來代替字母，這些代數(shù)公式就將一類數(shù)值問題的答案呈現(xiàn)出來. 正是數(shù)學(xué)觀察的介入，讓代數(shù)概括為人類省去了不斷重新計算的工作.

3. 提升審美水平

良好的數(shù)學(xué)觀察能力，不僅能讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)，還能體驗到數(shù)學(xué)學(xué)科獨有的精神魅力. 如代數(shù)的整體感、幾何的優(yōu)雅、數(shù)形結(jié)合的和諧美等，無不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的神秘妙曼. 建構(gòu)完整的知識體系，可讓各部分知識形成和諧的秩序. 正如數(shù)學(xué)家哈代所認(rèn)為的：不美的數(shù)學(xué)無法獲得永久的容身之地. 我們接觸到的一切數(shù)學(xué)知識，存在即有它的美，不論是簡潔的公式，還是嚴(yán)謹(jǐn)周密的證明過程，無不發(fā)散出一種神奇的美.

提升數(shù)學(xué)觀察能力的具體措施

1. 立足概念教學(xué)，發(fā)展觀察能力

概念反映數(shù)學(xué)對象的基本屬性與特征，是對事物核心的簡單表征. 一方面，數(shù)學(xué)概念反映的是客觀事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式；另一方面，數(shù)學(xué)概念是在抽象理論的基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象而來，有一定的層次性. 任何概念的形成都有一定的理論或現(xiàn)實基礎(chǔ)，立足概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從概念的形成與發(fā)展中感知數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)性、連續(xù)性與嚴(yán)謹(jǐn)性等，能有效促進學(xué)生觀察能力的形成與發(fā)展.

觀察概念形成的過程，會發(fā)現(xiàn)每一個概念的提出都有其必然性. 因此，感知、體悟概念的建立歷程，對促進觀察能力的發(fā)展具有重要意義. 概念教學(xué)促進觀察能力的發(fā)展，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①形成感性認(rèn)識. 以教材所提供的基本事實為素材，可以感到素材的核心與各個側(cè)面，通過分析與類比發(fā)現(xiàn)知識的異同點，從而抽象出新的概念，形成感性認(rèn)識. ②知識積累. 如在概念復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中，用客觀、科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)將概念系統(tǒng)化，實現(xiàn)知識積累. ③更新知識體系. 新概念的學(xué)習(xí)要用到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，隨著新舊知識的銜接，不斷更新學(xué)生的認(rèn)知體系. ④發(fā)展數(shù)學(xué)能力. 在觀察時發(fā)現(xiàn)并提出問題，能有效鞏固對概念的理解程度，提高解決問題的能力.

概念的特性及實用范圍被稱為概念的內(nèi)涵與外延，深入概念的內(nèi)涵與外延，能夠合理地歸納概念的本質(zhì)，為建構(gòu)知識體系、靈活應(yīng)用概念奠定基礎(chǔ). 通過問題1不難看出，只要對概念的內(nèi)涵與外延有充分的認(rèn)識，同時擁有良好的思維能力，就能從不同的情況中觀察到概念恒定不變的本質(zhì).

2. 注重解題過程，發(fā)展觀察能力

牛頓概括數(shù)學(xué)家的研究習(xí)慣為：更容易接納美的結(jié)論，討厭丑的結(jié)果，推崇優(yōu)美雅致的證明，討厭繁雜笨拙的推理. 解題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，首先必須是學(xué)生能接受的形態(tài). 在解題教學(xué)中，教師若片面強調(diào)巧解，結(jié)果就是學(xué)生只會處理自己會做的一類題，難以變通處理其他題.

若想培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的解題能力，首先要培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察能力，其次要培養(yǎng)學(xué)生簡單自然的通法意識，力求讓學(xué)生在解題時既追求簡單自然，又能直擊問題的核心.

（1）注重審題.

審題從讀題開始，分析問題條件與結(jié)論，明晰題意，弄清已知條件、隱含條件、待求結(jié)論等.

問題2 已知在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求角C的大小.

這是一道經(jīng)典題，學(xué)生特別容易忽略掉角C的范圍. 角C的范圍是一個隱含條件，需要學(xué)生通過觀察與思考才能獲得.

（2）關(guān)注條件.

學(xué)生在解決實際問題時，常常找不到題中的一些特殊條件，使解題思維受阻. 還有時候，雖然注意到了特殊條件，卻無法根據(jù)特殊條件探尋出簡便的解題方法. 遇到這些情況并解決，需要學(xué)生從知識的本質(zhì)出發(fā)，通過敏銳的觀察能力探尋出這些特殊條件的用處.

（3）勤于思考.

波利亞強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)主要存在兩個目的：①教會學(xué)生思考的方式；②培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、意志、好奇心等非智力因素. 此處所講的思考是指有目的的“形式與非形式”的思維方式，即猜想與證明問題的能力. 在解題教學(xué)中，我們應(yīng)立足于啟發(fā)學(xué)生思考的角度實施互動與授課，讓學(xué)生的觀察能力在此過程中得以有效發(fā)展.

此為一道未知題，學(xué)生從歸納著手開始分析：先嘗試n=3的情況，證明當(dāng)n=3時不等式成立；然后嘗試n=4，n=5的情況，當(dāng)n=4時不等式也成立，但n=5的運算量非常大，學(xué)生沒有獲得成功，最終不了了之.

再來分析：當(dāng)n=3時，a2+a≥2；當(dāng)n=4時，2a3+a2≥2a+1.至此學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中存在的奧秘. 這里再次嘗試n=3和n=4的情況，雖然只是不完全歸納，卻可以檢驗奧秘是否正確，因此有一定的必要性. 隨著學(xué)生思考的逐步深入，問題水落石出.

（4）分層觀察.

不論從知識結(jié)構(gòu)還是思維習(xí)慣來看，都存在主次與先后的順序. 因此解題時，應(yīng)按照一定的層次來觀察，避免走彎路. 值得注意的是分層觀察習(xí)慣的培養(yǎng)，要避免思維定式的形成.

3. 聚焦反思，發(fā)展觀察能力

反思既是一種重要的學(xué)習(xí)方式，也是學(xué)生對學(xué)習(xí)活動進行回顧、分析與調(diào)整的過程，對各項數(shù)學(xué)能力的發(fā)展具有重要影響. 對學(xué)習(xí)活動的再判斷是反思的核心，需要學(xué)生從數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)出發(fā)，對知識進行再創(chuàng)造，在知識的理解與產(chǎn)生中提升觀察能力.

問題6 已知集合A=｛12，14，16， 18，20｝，B=｛11，13，15，17，19｝，如果從集合A里面取數(shù)a，再從集合B里面取數(shù)b，a>b的概率有多少？

學(xué)生在解題過程中，常常會為了快速獲得結(jié)論而選擇捷徑. 教師提出此問的目的是引發(fā)學(xué)生反思，讓學(xué)生充分感知直覺不一定正確，尤其要注意概率類問題. 反思會讓學(xué)生再次思考成功或失敗的地方，讓思維日趨成熟.

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師對學(xué)生課堂反思關(guān)注得不夠，導(dǎo)致學(xué)生因為缺乏反思的機會對知識深度的理解有所欠缺，出現(xiàn)了“會而不對”的現(xiàn)象. 想要從真正意義上改善這種現(xiàn)象，就必須加強反思活動，不斷優(yōu)化學(xué)生的思維，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得良好的體驗，形成反思意識，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

總之，學(xué)生觀察能力的發(fā)展離不開教師的引導(dǎo). 教師在設(shè)計與實施教學(xué)活動時，要通過豐富的活動內(nèi)容為學(xué)生探索提供機會，為學(xué)生思維搭建“腳手架”，幫助學(xué)生在自主探索與實踐中形成良好的觀察能力.