徐小琴 肖涵臏

［摘? 要］ 知識的“廣度”“深度”“厚度”是高三復習課應(yīng)把握好的三個基本維度，也是對數(shù)學知識的高度概括、凝練與深化． 高三復習課對已學知識查漏補缺，也為知識“再現(xiàn)”“再認識”“再創(chuàng)造”提供良好的保障，是知識內(nèi)化、升華的重要階段． 文章以一堂“函數(shù)的對稱性”的復習課為例，從知識“廣度”的延伸、知識“深度”的挖掘、知識“厚度”的積淀進行研究，并倡導數(shù)學復習課應(yīng)把握好“廣度”“深度”“厚度”三個維度．

［關(guān)鍵詞］ 高三復習；函數(shù)對稱性；廣度；深度；厚度

背景

復習是高三數(shù)學教學的主旋律，它通過對已有知識的回顧，實現(xiàn)對高中數(shù)學知識的重建構(gòu)、再完善，進而實現(xiàn)學生學習能力和核心素養(yǎng)的再提升［1］． 高三復習課應(yīng)注重對知識“廣度”的延伸、對知識“深度”的挖掘、對知識“厚度”的積淀． 三個維度的學習是全方位的學習，不僅對知識橫縱的遷移有廣度要求，對知識難易的深化也有深度要求，對知識積淀有厚度要求．

對稱性是函數(shù)重要的性質(zhì)之一，函數(shù)問題的重要解題策略就是從性質(zhì)出發(fā)，這樣能簡化形式復雜的函數(shù)問題． 然而，在實際教學中，大部分高中生在“知識層面、表征形式和認知意識”上對函數(shù)對稱性的理解存有偏差，在數(shù)學活動上也未能較好地提升函數(shù)應(yīng)用技能和數(shù)學學科核心素養(yǎng). 基于此，探討教師“慧教”，促進學生“妙學”，對突破教學的重點和難點有積極意義． 本文以一堂名師復習研討課為例，從“廣度”“深度”“厚度”三個維度對函數(shù)對稱性的復習進行深入分析．

教學過程簡錄

1. 軸對稱推證

問題1 求證：y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱？圳ｆ（ｘ）＝ｆ（2ａ－ｘ）．

師：如何證明這個等價命題呢？請同學們先獨立嘗試完成證明，稍后我們再一起來研究．

（學生獨立嘗試自主探究2分鐘，但較少學生能呈現(xiàn)完整的證明過程.）

師：剛剛看到很少有同學能完整證明上述命題，鑒于此，現(xiàn)在我們共同來研究這個等價命題的證明． 要證明命題等價，即要分別證明命題的“充分性”和“必要性”．

（學生跟隨教師的思路解題，但整體反應(yīng)與互動并不強烈，學生的參與度較低.）

師：用a+x替換x，得到f（a+x）=f（a－x），這也能表示函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱（簡圖如圖1所示）．

評 此對稱性推證的過程，教師共用時13分鐘，約占整堂課時長的三分之一，這是大多數(shù)中學數(shù)學教師采用的講授方式． 但是，理解此證明方法的學生或許不過半，一周后讓學生再推證，能推證的學生可能屈指可數(shù)． 究其原因是大多數(shù)教師過分注重對推證過程的演示，沒有揭示推證方法的本質(zhì)，忽略了對推證方法的引導． 倘若教師在推證過程中，先引導學生去揭示推證方法的本質(zhì)，這樣會在一定程度上提升學生對“本質(zhì)”的認知． 抓住方法的本質(zhì)，是推證命題充分性和必要性的關(guān)鍵． 這需要教師對知識的“深度”進行挖掘．

在深度教學中，教師必須超越具體知識和技能深入到思維層面，由具體的方法和策略過渡到一般性思維策略的教學與思維品質(zhì)的提升，還應(yīng)幫助學生學會學習，真正成為學習的主人［2］． 深度教學還要求教師幫助學生深度聯(lián)結(jié)經(jīng)驗與知識，引導學生深度體驗學習過程，讓學生在情境脈絡(luò)中更好地理解知識，深度運用知識．

2. 軸對稱的應(yīng)用

例1 （2018年高考全國卷Ⅱ理科數(shù)學第11題）已知f（x）是定義域為（－∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1－x）=f（1+x）． 若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（? ）

A． －50 B． 0

C． 2？搖？搖？搖？搖 D． 50

師：接下來，我們一起感受巧用“對稱性”的求解策略．大家來看看例1，根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）是定義域（－∞，+∞）內(nèi)的奇函數(shù)，我們能得到什么？

生1：f（－x）=－f（x），f（0）=0．

師：由已知條件f（1－x）=f（1+x）又能想到什么呢？

生2：用x+1替換x，能得到等式f（－x）=f（x+2）=－f（x）．

師：從f（－x）=f（x+2）=－f（x）可得到函數(shù)f（x）的周期是多少？

生3：周期T=4，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可以算出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0．

生4：再由函數(shù)的周期性，可以算出f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0．

師：大家回答得都很好，進而可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2，選C．

評 此題要運算的項數(shù)不少，想快速解題并得到準確的答案，需要教師引導學生回顧與思考“函數(shù)的重要性質(zhì)”——對稱性和周期性，這是解決該題的突破口． 在教學中，教師的引導可提升學生的元認知水平．

此題突破后不難計算，但值得深思的是，教師僅僅是“為了講題而講題”嗎？答案肯定是否定的． 與學生探究完此題之后，教師應(yīng)引導學生用恒等關(guān)聯(lián)式進行總結(jié)，如f（mk+1）+f（mk+2）+…+f（mk+n）=0？搖（m∈R+，k∈Z，n∈N*），還要培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識和數(shù)學素養(yǎng)，引導學生在“做中學”中領(lǐng)悟恒等關(guān)聯(lián)式的含義，即m表示函數(shù)的周期，k表示函數(shù)周期的倍數(shù)，n表示周期函數(shù)的循環(huán)節(jié)數(shù)．這個恒等關(guān)聯(lián)式不僅可以運用于此題的解決，還可以運用于關(guān)于周期數(shù)的求和問題的解決． 這就是知識“厚度”的積淀．

例2 （2017年高考全國卷Ⅲ理科數(shù)學第11題）已知函數(shù)f（x）=x2－2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點，則a=（? ）

師：有了剛才例1的思路，繼續(xù)看看這道題怎么解決，有沒有同學找到了策略技巧？

（沉默無聲，無人發(fā)言，學生一直望著講臺.）

師：可以先對二次項進行配方，得到f（x）=（x－1）2－1+a（ex-1+e-x+1），配方后發(fā)現(xiàn)，這與函數(shù)的對稱性有關(guān). 通過觀察配方得到f（1+x）=x2－1+a（ex+e-x），f（1－x）=x2－1+a（e-x+ex），所以f（1+x）=f（1－x）. 現(xiàn)在大家能從對稱性得到什么？

師：對的，看來有些同學能通過例1的求解經(jīng)驗和我所給的提示發(fā)現(xiàn)巧用“對稱性”就可以解決此題． 但目前有些同學還不太熟悉“巧解”，因此“一題多解”也是一種有效的方法，現(xiàn)在我給大家提供另外兩種解題方法：方法1，通過求導，判斷函數(shù)的極值點進行解答，這需要同學們熟悉復合函數(shù)的求導方法；方法2，把函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為方程有解，通過換元得到關(guān)于a的表達式（令為新函數(shù)），判斷為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合求出答案．

評 巧用對稱性可快速求解此題，當然，在實際應(yīng)用中不可能所有學生都是熟知巧算的，因此教師在講授時要“以生為本”，“一題多解”的“廣度”延伸在復習課中應(yīng)該大力踐行． 不同求解策略適應(yīng)不同水平的學生，這樣拓展求解策略的“廣度”，能讓不同水平的學生得到不同的發(fā)展．

例3 若方程f（x+3）·f（1－x）=0有五個不相等的實數(shù)根，則這五根之和為（? ）

A． 10 B． 5

C． －10？搖？搖？搖？搖 D． －5

師：同學們漸漸熟悉“對稱性”這個性質(zhì)了，我們再來看最后一道關(guān)于軸對稱的題. 大家能不能嘗試自行求解這道題？

（學生紛紛說出自己的解題思路）

師：看來大家現(xiàn)在對“函數(shù)的對稱性”有了更深層次的認知了，解題的速效和正確率都提高了． 研究完軸對稱，接下來我們研究中心對稱的相關(guān)知識．

評 此題除了選用學生提出的解題思路外，教師還可以根據(jù)實際情況，適當補充假設(shè)法、反證法等求解方法——假設(shè)法和反證法也是中學數(shù)學常用的求解方法，不同方法的拓展也是對知識“廣度”的延伸．

3. 中心對稱定理的推證

問題2 求證：y=f（x）的圖象關(guān)于（a，0）中心對稱？圳f（x）+f（2a－x）=0？圳f（a－x）+f（a+x）=0．

師：此命題的推證由同學們課后完成，思考后還是無思路的同學，可以相互討論或與我探討交流．

評 從軸對稱到中心對稱，這是知識“廣度”的延伸，拓展學生數(shù)學思維的同時，為學生的后續(xù)學習打下了基礎(chǔ)．

學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是在教師的啟發(fā)和引導下，通過獨立思考或者與他人交流，最終自己“悟”出來的. 因此，在教學活動中，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、精心設(shè)計合適的教學方案就非常重要［3］．

4. 中心對稱定理的應(yīng)用

師：大家初看這道題，是不是感覺和剛才的關(guān)于軸對稱的題差不多，大家先動筆算一算，看看有什么新的發(fā)現(xiàn).

（學生動手演算）

師：對了，回答得很好.大家思考一下：軸對稱的“對稱性”與中心對稱的“對稱性”的區(qū)別在哪里？聯(lián)系又在哪里？

生7：軸對稱的本質(zhì)是關(guān)于直線對稱，而中心對稱的本質(zhì)是關(guān)于點對稱．

評 此題是關(guān)于中心對稱的問題，與軸對稱有緊密的聯(lián)系，但在知識上又各有差異． 將知識的共同點巧妙地串聯(lián)起來，能激發(fā)學生的數(shù)學思維． 在教學過程中，舉一反三的教學方法值得借鑒和學習，教師應(yīng)利用循序漸進的教學原則，引導學生加深對“知識模板”的理解，對已有知識進行“深度”研究．

師：在知道中心對稱定理的基礎(chǔ)上，請大家看看這道題，能不能完成此題的解答？

生8：理解題意后，我找到了解題的突破口是f（－x）=－f（x+4）這個關(guān)系式. 由它可得f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）中心對稱．

師：對，分析得很正確．接下來應(yīng)該怎么考慮呢？

師：整個解題思路很清晰，也是正確的． 解決此題的關(guān)鍵是將關(guān)系式f（－x）=－f（x+4）轉(zhuǎn)化為f（2－x）=－f（x+2），進而得出函數(shù)f（x）關(guān)于點（2，0）中心對稱．

評 求解此題同樣是對中心對稱定理的應(yīng)用，在前面解題經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，學生能較好地完成此題的求解． 解題思路環(huán)環(huán)相扣，讓看似枯燥的數(shù)學變得靈活生動．

對于此題的拓展，教師應(yīng)協(xié)助學生緊扣函數(shù)的對稱性，共同探究等式的轉(zhuǎn)化，使學生明白巧妙轉(zhuǎn)化等式，得出函數(shù)的對稱性是解決此類問題的關(guān)鍵所在． 在舊問題上拓展新問題，積淀知識的“厚度”．

例6 若函數(shù)f（x）=（x2－2x）sin（x－1）+x+1在［－1，3］上的最大值為M，最小值為m，則M+m=_______．

師：課堂最后給大家留一道思考題，下節(jié)課我請同學們來分享自己的解題策略． 給大家一點提示，聯(lián)系今天我們所學的知識內(nèi)容，大家在做題前應(yīng)該先熟悉一下函數(shù)的重要性質(zhì)．

評 此題作為課堂最后的思考題，具有一定的積極意義． 解決此題需要學生回顧目前所學的知識內(nèi)容，熟悉函數(shù)性質(zhì)、導數(shù)求導法則和極值問題. 此題綜合性較強，考查學生較高的基本技能與數(shù)學素養(yǎng)，將“廣度”“深度”與“厚度”三者有機結(jié)合起來，為培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)提供了良好的保障．

數(shù)學學科核心素養(yǎng)以數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能為載體，培養(yǎng)學生數(shù)學綜合能力（外顯表現(xiàn)），引導學生形成數(shù)學思維與數(shù)學態(tài)度（內(nèi)隱特質(zhì)）［4］．

高三復習課應(yīng)把握好的三個維度

1. 把握知識的“廣度”，融會貫通

從研究軸對稱到中心對稱，師生在課堂活動中展現(xiàn)出了一定的示范作用，教師的教學環(huán)節(jié)完整、知識覆蓋面廣，將函數(shù)“軸對稱”“中心對稱”的推證和應(yīng)用緊密地聯(lián)系在一起，拓展數(shù)學教學的“廣度”，該“廣度”覆蓋教材例題、模擬測試題和高考真題．

與此同時，教師應(yīng)引導學生挖掘題目的潛在內(nèi)涵，從題目條件出發(fā)，采用不同角度、不同方法求解、推理證明題目的結(jié)論，意在培養(yǎng)學生數(shù)學思維的廣度，培養(yǎng)學生創(chuàng)新和探索的精神［5］，這樣達到“一題多解”的成效，也體現(xiàn)知識延伸的廣度，注重不同學生在數(shù)學上良好的發(fā)展．

2. 把握知識的“深度”，游刃有余

教師引導學生領(lǐng)悟“軸對稱”的本質(zhì)是關(guān)于直線對稱，“中心對稱”的本質(zhì)是關(guān)于點對稱，并從深層面尋找數(shù)學學習的科學方法，在教學中實現(xiàn)師生的互動與合作，讓學生獲得數(shù)學活動經(jīng)驗． “問題解決”被認為是數(shù)學教學過程中的熱點，教師引導學生在課堂中挖掘知識的深度，既做到了對“舊知識”的“再認知”，又做到了對“新知識”的“再創(chuàng)造”，可謂一舉兩得．

數(shù)學知識的深度教學既是數(shù)學知識的完整性教學，又是指向知識內(nèi)核的深層次教學，數(shù)學知識的深度教學是實現(xiàn)學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的必然要求，這能超越課堂教學的表層化，直達數(shù)學知識的邏輯方法及意義領(lǐng)域［6］．

3. 把握知識的“厚度”，厚積薄發(fā)

教師基于課堂教學知識，在合理容量范圍內(nèi)，積淀知識的“厚度”，這能提高教學效果．不局限于學生得到正確答案，教師能適度引導學生思考與推廣過程，培養(yǎng)學生不同推導過程的推理能力，這些都是教學過程中值得提倡的．

高三復習課的教學任務(wù)很重，學生做了成千上萬道題，若不總結(jié)方法，數(shù)學活動經(jīng)驗的形成可謂“空談”，作為教師，更重要的是在復習課上給學生提供一類試題的解決方法和技巧． 方法和技巧猶如“鑰匙”，而各類試題猶如“鎖”，雖然是“一把鑰匙開一把鎖”，但倘若能一把鑰匙開多把鎖，這樣的認知行為在數(shù)學教學過程中會格外靈動、頗具情愫．

結(jié)束語

研究高三復習課的“三度”教學——延伸知識的“廣度”，挖掘知識的“深度”，積淀知識的“厚度”，有利于在數(shù)學教學活動過程中提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)． 在新高考的背景下，如何助力素質(zhì)教育是目前需要關(guān)注的話題．

一方面，教師要促進自己向?qū)I(yè)化發(fā)展，樹立良好的師德形象，同時做好“言傳”和“身教”的表率作用，為教育教學添磚加瓦；另一方面，教師要培養(yǎng)學生自主探究的能力，運用元認知策略提高學生自主學習的效率．

把整個教學活動作為一個研究對象，通過課堂中的典型案例，深入淺出地闡述數(shù)學核心素養(yǎng)的新理念，高屋建瓴的教學活動為當下教育教學注入了源頭活水，教師“慧教”、學生“妙學”在教學活動中得以展開． “一石激起千層浪，百舸爭流競自由”的教育教學理念值得學習，數(shù)學“三度”教學也應(yīng)該得到大力提倡．

參考文獻：

［1］ 張?。?高三數(shù)學微專題復習的實踐與思考［J］． 教學與管理，2020（04）：55-57．

［2］ 鄭毓信． “數(shù)學深度教學”的理論與實踐［J］． 數(shù)學教育學報，2019，28（05）：24-32．

［3］ 史寧中． 高中數(shù)學課程標準修訂中的關(guān)鍵問題［J］． 數(shù)學教育學報，2018， 27（01）：8-10．

［4］ 朱立明，胡洪強，馬云鵬． 數(shù)學核心素養(yǎng)的理解與生成路徑——以高中數(shù)學課程為例［J］．數(shù)學教育學報，2018，27（01）：42-46．

［5］ 林廷勝． 如何開拓基礎(chǔ)薄弱生思維的廣度——以“一道練習題的解法”教學為例［J］． 高中數(shù)學教與學，2017 （14）：15-16．

［6］ 陳齊榮，馮傳平． 指向數(shù)學核心素養(yǎng)的深度教學例析［J］． 中學數(shù)學月刊，2019（11）：11-13．