朱國(guó)成

(廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院 人文教育學(xué)院, 廣東 東莞 523960)

0 引言

在概率猶豫模糊集多屬性群決策(probabilistic hesitant fuzzy sets multiple-attribute group decision making,PHFSMAGDM)問(wèn)題中,主要從決策專(zhuān)家的權(quán)重確認(rèn)方法[1-2]、屬性權(quán)重的計(jì)算方法[3-4]、決策算法[5-6]等3方面進(jìn)行研究.由于給予決策專(zhuān)家賦權(quán)時(shí),主觀賦權(quán)受外界的影響因素廣泛,故隨意性較大.同時(shí),客觀賦權(quán)法僅從數(shù)據(jù)出發(fā),雖然具有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論依據(jù),但是在實(shí)際決策問(wèn)題中決策者非常容易從情感層面淡化對(duì)于屬性的重要性感知.鑒于此,為了克服決策專(zhuān)家主客觀單獨(dú)賦權(quán)方法的不足,組合賦權(quán)法[7]被采用(將主觀賦權(quán)法與客觀賦權(quán)法進(jìn)行結(jié)合).本文為了確認(rèn)決策專(zhuān)家的權(quán)重,基于離差最大化思想計(jì)算決策專(zhuān)家的客觀權(quán)重,再根據(jù)客觀權(quán)重與主觀權(quán)重的相離程度最終確定決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重.在計(jì)算屬性權(quán)重方法方面,一般做法有熵值法[8]和離差最大化方法[9]等,二者都是從各個(gè)方案在屬性上的決策數(shù)據(jù)信息差異角度考慮,進(jìn)而計(jì)算出屬性的權(quán)重(在此種情形計(jì)算出的屬性權(quán)重本文稱(chēng)為整體權(quán)重).目前鮮有文獻(xiàn)從單個(gè)方案在所有屬性上的內(nèi)部決策數(shù)據(jù)信息差異考慮,進(jìn)而算出該方案在所有屬性上的內(nèi)部得分值差異大小,然后再計(jì)算出所有方案在所有屬性上的內(nèi)部得分差異值,最終根據(jù)各方案在各屬性下的內(nèi)部得分差異程度計(jì)算出屬性的權(quán)重(在此種情形計(jì)算出的屬性權(quán)重本文稱(chēng)為個(gè)體權(quán)重),最后,再利用屬性的整體權(quán)重與個(gè)體權(quán)重來(lái)計(jì)算屬性的綜合權(quán)重.在決策算法方面,王志平等[10]建立了一種將逼近理想解的排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution,TOPSIS)與前景理論相結(jié)合的決策模型;付超等[11]在TOPSIS框架下解決了概率猶豫直覺(jué)模糊集多屬性群決策問(wèn)題.

有別于前人針對(duì)PHFSMAGDM問(wèn)題的研究,本文首先引入了一個(gè)新的概念——加權(quán)概率猶豫模糊集(weighted probabilistic hesitant fuzzy sets,WPHFS).WPHFS中的元素稱(chēng)為加權(quán)概率猶豫模糊元(weighted probabilistic hesitant fuzzy elements,WPHFE),其主要特點(diǎn)是,每個(gè)可能作為隸屬度值的數(shù)值都被賦予了決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重,用來(lái)對(duì)隸屬度值的重要性進(jìn)行注解.其次,將加權(quán)概率猶豫模糊數(shù)(weighted probabilistic hesitant fuzzy numbers,WPHFN)用三維點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行刻畫(huà),在此基礎(chǔ)上提出了WPHFE的相關(guān)運(yùn)算(計(jì)算WPHFE的三維得分值、三維離差值和2個(gè)加權(quán)概率猶豫模糊元的幾何距離等),利用WPHFE的相關(guān)運(yùn)算給出了計(jì)算屬性的綜合權(quán)重方法.再次,根據(jù)離差最大化思想來(lái)計(jì)算決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重.結(jié)合決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重與屬性的綜合權(quán)重提出了一種確定正理想方案與負(fù)理想方案的方法,并基于TOPSIS思想建立一種新的貼近度公式,利用新的貼近度公式來(lái)達(dá)到排序方案目的.最后,通過(guò)一個(gè)具體算例來(lái)驗(yàn)證文中方法的可行性.

1 預(yù)備知識(shí)

1) 若s(h1(px))

2) 若s(h1(px))>s(h2(px)),則h1(px)?h2(px);

3) 若s(h1(px))=s(h2(px)) ,則有:

①d(h1(px))>d(h2(px))?h1(px)h2(px),②d(h1(px))

定義 3[13]設(shè)任意2個(gè)PHFEh1(p)與h2(p),二者之間的海明距離dH(h1(p),h2(p))定義為

dH(h1(p),h2(p))=

陳述 1 由定義1可知,PHFS與猶豫模糊集(hesitant fuzzy sets,HFS)相比,在描述決策信息時(shí)更具有優(yōu)勢(shì),因?yàn)闆Q策者在刻畫(huà)屬性信息數(shù)據(jù)時(shí)不但具有更加寬泛的信息表達(dá)能力,而且還能夠體現(xiàn)決策群體的決策意向.故,PHFS能夠更加細(xì)膩地描述決策者的決策行為.然而在利用PHFS來(lái)解決多屬性群決策問(wèn)題時(shí)還具有一定的局限性(在獲取各方案的綜合屬性值時(shí),雖然決策專(zhuān)家的重要性信息可以由集成算子體現(xiàn),但是在原始的PHFS中決策專(zhuān)家的重要性信息卻被忽略了).例如,對(duì)于有3位決策專(zhuān)家(甲乙丙)構(gòu)成的決策問(wèn)題,甲的權(quán)重為0.6,乙、丙的權(quán)重皆為0.2,對(duì)某事物進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí),甲給出了0.6的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù),乙、丙2位專(zhuān)家皆給出了0.8的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù),此時(shí)PHFS可以描述為{0.6(1/3),0.8(2/3)}.由此可知,雖然PHFS中的隸屬度值0.6與0.8蘊(yùn)含了概率信息,但是其分別具有的重要性卻沒(méi)有顯示出來(lái).若對(duì)于隸屬度值0.6與0.8分別關(guān)聯(lián)決策專(zhuān)家的重要性數(shù)據(jù)信息,PHFS可以進(jìn)一步描述為{0.6(1/3,0.6),0.8(2/3,0.4)}.

陳述 2 由定義2可知,在判斷2個(gè)PHFEh1(px)與h2(px)的大小時(shí),利用的是得分函數(shù)與方差,在計(jì)算得分函數(shù)時(shí)只是將隸屬度與之概率這2個(gè)維度的數(shù)據(jù)信息簡(jiǎn)單相乘,這樣做雖然能夠比較2個(gè)PHFEh1(px)與h2(px)的大小,但是也容易造成決策信息失真.同時(shí),在對(duì)PHFE中的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行集結(jié)時(shí),隨著其元素——概率猶豫模糊數(shù)(probabilistic hesitant fuzzy numbers,PHFN)數(shù)量的增加,概率信息數(shù)據(jù)的集結(jié)結(jié)果會(huì)高速趨向于0.為了解決此類(lèi)問(wèn)題,一般做法是對(duì)概率猶豫模糊信息的運(yùn)算進(jìn)行歸一化處理,但是,當(dāng)PHFS中添加了能夠反映決策專(zhuān)家重要性程度的信息以后,定義2則不再適用.

陳述 3 由定義3可知,在計(jì)算2個(gè)PHFEh1(px)與h2(px)海明距離時(shí),2個(gè)PHFE中的內(nèi)部元素個(gè)數(shù)需要一致,若不一致則需按照某種規(guī)則對(duì)PHFEh1(px)與h2(px)添加或減少適量的元素.同時(shí),在具體的運(yùn)算過(guò)程中,只是2個(gè)PHFEh1(px)與h2(px)中相對(duì)應(yīng)位置的元素進(jìn)行測(cè)度,完全忽略了2個(gè)PHFEh1(px)與h2(px)中其他元素之間的關(guān)系.

根據(jù)陳述1、陳述2和陳述3,本文對(duì)PHFS進(jìn)行了再定義(給予PHFS中的隸屬度添加了相應(yīng)的決策專(zhuān)家綜合權(quán)重來(lái)定義了WPHFS,并以點(diǎn)坐標(biāo)形式描述WPHFS),給出了判斷2個(gè)WPHFEh1(px)與h2(px)的大小規(guī)則以及建立了測(cè)度2個(gè)PHFEh1(px)與h1(px)的距離模型(幾何距離),有定義4、定義5、定義6如下.

定義 5WPHFEhx(px,ωx),稱(chēng)

(1)

為WPHFEhx(px,ωx)的三維得分值,稱(chēng)

d(hx(px,ωx))=

為WPHFEhx(px,ωx)的三維離差值.

在三維得分值與三維離差值的基礎(chǔ)上,判斷2個(gè)WPHFEh1(px,ωx)與h2(px,ωx)的大小準(zhǔn)則定義為:

1) 若s(h1(px,ωx))

2) 若s(h1(px,ωx))>s(h2(px,ωx)),則h1(px,ωx)?h2(px,ωx);

3) 若s(h1(px,ωx))=s(h2(px,ωx)) ,則有:

①d(h1(px,ωx))>d(h2(px,ωx))?h1(px,ωx)h2(px,ωx),②d(h1(px,ωx))

定義 5中WPHFEhx(px,ωx)的三維得分值類(lèi)似于定義2中PHFEhx(px)的得分函數(shù),但是,定義5中WPHFEhx(px,ωx)的三維得分值可以有效減緩隨著WPHFEhx(px,ωx)中元素?cái)?shù)量的增加導(dǎo)致的概率信息數(shù)據(jù)及決策專(zhuān)家權(quán)重?cái)?shù)據(jù)在集結(jié)時(shí)快速趨向于0的問(wèn)題.定義5中的WPHFEhx(px,ωx)的三維離差值類(lèi)似于定義2中PHFEhx(px)的方差,二者都能直觀反應(yīng)PHFE中內(nèi)部元素的相離程度,因?yàn)樵谟?jì)算三維得分值與三維離差值時(shí),皆是WPHFEhx(px,ωx)內(nèi)部相同維度的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行測(cè)度,只是在計(jì)算最終結(jié)果時(shí)才將不同維度的信息數(shù)據(jù)進(jìn)行糅合,所以該做法可以盡量避免在計(jì)算WPHFEhx(px,ωx)值的過(guò)程中的信息丟失.綜上,可以依據(jù)定義5對(duì)2個(gè)WPHFEh1(px,ωx)與h2(px,ωx)進(jìn)行大小比較.

以1個(gè)例子來(lái)說(shuō)明定義5的有效性及添加決策專(zhuān)家綜合權(quán)重的必要性.

例 1比較PHFEh1(p)={0.6(0.5),0.4(0.5)},h2(p)={0.6(0.6),0.5(0.4)}的大小.

解若按照文獻(xiàn)[14]針對(duì)2個(gè)PHFE的大小判斷準(zhǔn)則,可得PHFEh1(p)、h2(p)的得分函數(shù)值為s(h1(p))=0.5,s(h2(p))=0.56,即有h1(p)h2(p).

若在PHFEh1(p)、h2(p)中給予隸屬度添加決策專(zhuān)家平均權(quán)重,此時(shí)可將WPHFEh1(p)、h2(p)描述為h1(p)={(0.6,0.5,0.5),(0.4,0.5,0.5)},h2(p)={(0.6,0.6,0.5),(0.5,0.4,0.5)}.按照定義5的比較方法,可得s(h1(p))=0.435 0,s(h2(p))=0.449 3,即有h1(p)h2(p).

若在PHFEh1(p)、h2(p)中給予隸屬度添加決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重,不妨將2個(gè)WPHFE描述為h1(p)={(0.6,0.5,0.9),(0.4,0.5,0.1)},h2(p)={(0.6,0.6,0.4),(0.5,0.4,0.6)}.按照定義5的比較方法,可得s(h1(p))=0.459 9,s(h2(p))=0.453 9,即有h1(p)?h2(p).

由上述例1可知,若將決策專(zhuān)家的平均權(quán)重注入PHFE中,則不會(huì)改變2個(gè)WPHFE的大小,因而說(shuō)明了定義5的有效性(與文獻(xiàn)[14]得出的排序結(jié)果相同).若將決策專(zhuān)家不同的權(quán)重加入PHFE中,則得到了2個(gè)WPHFE相反的排序結(jié)果,這說(shuō)明在2個(gè)PHFE的大小比較中,決策專(zhuān)家的權(quán)重所起到的作用不容忽視.進(jìn)一步說(shuō)明了將決策專(zhuān)家權(quán)重注入PHFS中的必要性,考慮到?jīng)Q策專(zhuān)家的綜合權(quán)重相較于其主觀權(quán)重或客觀權(quán)重能夠更全面地反映決策作用.故可知,本文在PHFS中添加決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重更加科學(xué).

定義 62個(gè)WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′),其中

h1(px,ωx)={(γl,pl,ωl)|l=1,2,…,

h2(px′,ωx′)={(γl′,pl′,ωl′)|l′=

1,2,…,|h2(px′,ωx′)|,

則WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′)之間的幾何距離定義為

δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))=

(3)

容易證明δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))∈[0,1],δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))與定義3中的2個(gè)PHFEh1(p)與h2(p)的海明距離相比,(3)式的幾何距離充分考慮了WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′)內(nèi)部之間的所有元素之間的關(guān)系,故δd(h1(px,ωx),h2(px′,ωx′))計(jì)算的結(jié)果所包含的信息更加全面也更具普遍性.同時(shí),在具體計(jì)算時(shí),WPHFEh1(px,ωx)與h2(px′,ωx′)之間的內(nèi)部元素?cái)?shù)量也無(wú)需相等.

2 主要方法與結(jié)果

2.1 計(jì)算決策專(zhuān)家綜合權(quán)重(ωzt)

第1步 計(jì)算每位決策專(zhuān)家關(guān)于某個(gè)方案在某個(gè)屬性上的權(quán)重

t=1,2,…,T.

(4)

第2步 計(jì)算每位決策專(zhuān)家針對(duì)所有方案在某個(gè)屬性上的權(quán)重

(5)

第3步 計(jì)算每位決策專(zhuān)家關(guān)于所有方案在所有屬性上的客觀權(quán)重

(6)

2) 計(jì)算ωzt.本文根據(jù)決策專(zhuān)家客觀權(quán)重與主觀權(quán)重相離程度來(lái)最終確定其綜合權(quán)重,二者相離程度越大說(shuō)明決策過(guò)程中該專(zhuān)家發(fā)揮作用越不穩(wěn)定,則將該決策專(zhuān)家的權(quán)重相應(yīng)越小.

t=1,2,…,T.

(7)

2.2 計(jì)算屬性綜合權(quán)重本文屬性的綜合權(quán)重由屬性的整體權(quán)重與個(gè)體權(quán)重兩部分計(jì)算得出.首先,根據(jù)所有方案在所有屬性上的得分差異值來(lái)計(jì)算屬性的權(quán)重(此種計(jì)算屬性權(quán)重的方法叫熵值法),得出的屬性權(quán)重稱(chēng)為整體權(quán)重.另外一種計(jì)算屬性權(quán)重的方法得出的屬性權(quán)重稱(chēng)為個(gè)體權(quán)重,計(jì)算方法為:①確定單個(gè)方案在所有屬性上的得分值(由WPHFE信息數(shù)據(jù)構(gòu)成),并計(jì)算WPHFE的三維離差值,進(jìn)而算出該方案在所有屬性上的三維離差值占比;②計(jì)算所有方案在所有屬性上的三維離差值占比;③根據(jù)所有方案在所有屬性上的三維離差值占比之間的差異程度值確定屬性的權(quán)重;④取屬性的整體權(quán)重與個(gè)體權(quán)重之和的一半作為屬性的綜合權(quán)重.具體計(jì)算過(guò)程如下.

第1步 計(jì)算決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重ωzt.

第2步 根據(jù)定義7,將決策專(zhuān)家給予方案的初始信息表轉(zhuǎn)換為由WPHFEhij(pij,ωij)構(gòu)成的數(shù)據(jù)信息表.

第3步 利用定義5計(jì)算WPHFEhij(pij,ωij)的三維得分值s(hij(pij,ωij)=sij.

第1步 計(jì)算決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重ωzt.

第2步 根據(jù)定義7,將決策專(zhuān)家給予方案的初始信息表轉(zhuǎn)換為由WPHFEhij(pij,ωij)構(gòu)成的數(shù)據(jù)信息表.

第3步 利用定義5,計(jì)算WPHFEhij(pij,ωij)的三維離差值d(hij(pij,ωij))=dij.

第5步 求屬性gj下的熵值

3) 確定屬性的綜合權(quán)重

(8)

由(8)式及計(jì)算屬性的整體權(quán)重與個(gè)體權(quán)重過(guò)程可知,屬性的綜合權(quán)重ωgj不但考慮了方案間的整體得分值差異,而且還兼顧了在所有屬性上同一個(gè)方案內(nèi)部之間的得分值差異,故本文計(jì)算出的屬性綜合權(quán)重在實(shí)際應(yīng)用中具有更大應(yīng)用價(jià)值.

2.3 決策步驟

第1步 計(jì)算決策專(zhuān)家的綜合權(quán)重ωzt.

第2步 依據(jù)定義7,將決策專(zhuān)家給予方案的初始評(píng)價(jià)信息表轉(zhuǎn)換為由PHFEhij(pij,ωij)構(gòu)成的數(shù)據(jù)信息表.

第3步 確定屬性的綜合權(quán)重ωgj.

第4步 根據(jù)WPHFEhij(pij,ωij)構(gòu)成的決策數(shù)據(jù)信息表選取正理想方案(a+)與負(fù)理想方案(a-),分別有:

其中

(9)

(10)

第6步 基于TOPSIS思想建立貼近度

(11)

一般情況下,貼近度πi越大其對(duì)應(yīng)的方案ai越優(yōu).

第7步 結(jié)束.

3 算例分析

表 1 論文評(píng)審數(shù)據(jù)信息

表 2 PHFEhij(pij,ωij)(i, j∈{1,2,3,4})決策數(shù)據(jù)信息

d11=0.748 3,d12=0.720 7,d13=0.804 6,d14=0.785 2,d21=0.712 7,d22=0.752 3,d23=0.766 4,d24=0.769 2,d31=0.779 4,d32=0.757 2,d33=0.721 5,d34=0.719 6,d41=0.710 1,d42=0.768 6,d43=0.763 5,d44=0.766 4.

3) 由1)和2)可得評(píng)審維度的綜合權(quán)重ωgj(j∈{1,2,3,4})分別為

ωg1=0.400 3,ωg2=0.171 0,ωg3=0.222 8,ωg4=0.206 1,這里

0.000 2是在計(jì)算過(guò)程中采取四舍五入的方法造成的誤差值.

3.3 決策過(guò)程

第1步 由3.1與3.2節(jié)已知評(píng)審專(zhuān)家的綜合權(quán)重與評(píng)審維度的綜合權(quán)重分別為

ωz1=0.253 8,ωz2=0.256 8,ωz3=0.242 3,ωz4=0.247 1,ωg1=0.400 3,ωg2=0.171 0,ωg3=0.222 8,ωg4=0.206 1.

第2步 依據(jù)定義7,將評(píng)審專(zhuān)家給予文章的初始信息表轉(zhuǎn)換為由WPHFEhij(pij,ωij)構(gòu)成的數(shù)據(jù)信息表,見(jiàn)表2.

第3步 確定正理想文章(a+)與負(fù)理想文章(a-),得

a+={(0.88,0.5,0.503 9),(0.88,0.5,0.503 9),(0.92,0.5,0.510 6),(0.88,0.5,0.510 6)},a-={(0.63,0.25,0.242 3),(0.74,0.25,0.242 3),(0.65,0.25,0.242 3),(0.55,0.25,0.242 3)}.

可得

π1=0.434 2,π2=0.403 9,π3=0.443 1,π4=0.418 9,由本文排序規(guī)則可知,4位評(píng)審專(zhuān)家給出的4篇文章排序依次為a3>a1>a4>a2.

3.4 決策模型比較按照文中排序模型,評(píng)審專(zhuān)家與評(píng)審維度分別取不同形式的權(quán)重,依次可得各篇文章的排序結(jié)果,見(jiàn)表3.

表 3 9種決策模型的排序結(jié)果

4 結(jié)論

WPHFS作為PHFS的拓展,可以在原始集合中保留決策專(zhuān)家的重要性信息,采用三維點(diǎn)坐標(biāo)表示的WPHFS可以有效解決陳述1～3中的問(wèn)題,因而WPHFS非常便于處理復(fù)雜的PHFS多屬性群決策問(wèn)題.論文的主要工作有,制定了判斷2個(gè)WPHFE的大小比較規(guī)則,建立了測(cè)度2個(gè)WPHFE的距離模型,探討了計(jì)算決策專(zhuān)家綜合權(quán)重與屬性綜合權(quán)重的計(jì)算方法,并在決策案例中對(duì)本文決策模型進(jìn)行了驗(yàn)證分析,由數(shù)值算例對(duì)比結(jié)果可以得到以下結(jié)論:

1) 從維度的角度出發(fā)定義的WPHFS決策算法可以達(dá)到排序方案的目的.

2) 在決策過(guò)程中,考慮決策專(zhuān)家主客觀權(quán)重進(jìn)而計(jì)算其綜合權(quán)重是必要的.

3) 利用熵值法計(jì)算屬性權(quán)重時(shí),僅考慮從各方案在屬性上的整體得分差異程度計(jì)算屬性權(quán)重的因素不夠全面,因?yàn)楦鱾€(gè)方案在屬性上得分的內(nèi)部差異程度對(duì)屬性權(quán)重的再分配進(jìn)而對(duì)決策結(jié)果的影響至關(guān)重要.

4) 在整個(gè)決策過(guò)程中,屬性綜合權(quán)重對(duì)于方案排序結(jié)果的影響程度大于決策專(zhuān)家綜合權(quán)重對(duì)于排序結(jié)果的影響程度.

文中方法也存在不足之處,需要進(jìn)一步完善,例如對(duì)新定義的WPHFS的科學(xué)性沒(méi)有進(jìn)行理論推導(dǎo)與證明,雖然新定義的WPHFS能夠解決PHFS多屬性群決策問(wèn)題,但是其能否在實(shí)踐中進(jìn)行推廣有待驗(yàn)證;新建立的判斷2個(gè)WPHFE的大小比較規(guī)則與測(cè)度2個(gè)WPHFE的距離模型都能分別達(dá)到應(yīng)用目的,但是其科學(xué)性沒(méi)有理論證明,同時(shí)關(guān)于其分別具備的性質(zhì)也沒(méi)有深入挖掘;文中決策模型缺少與其他文獻(xiàn)中的模型進(jìn)行有效對(duì)比等.對(duì)于以上不足之處,今后作者將進(jìn)一步研究.

致謝廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院特色創(chuàng)新類(lèi)重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2023TSZD05)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.