偏序集上的弱Scott拓?fù)渑c弱測(cè)度拓?fù)?/h1>
2024-04-15 13:11:54李旭東
關(guān)鍵詞：定義
王 武, 李旭東
(天津理工大學(xué) 中環(huán)信息學(xué)院, 天津 300380)
Domain理論[1]屬于格論、拓?fù)鋵W(xué)、范疇論及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的交叉領(lǐng)域,目前已經(jīng)發(fā)展為數(shù)學(xué)與理論計(jì)算機(jī)的一個(gè)重要分支.Domain理論的提出源于2個(gè)不同的背景:理論計(jì)算機(jī)中函數(shù)式語(yǔ)言的語(yǔ)義研究和偏序結(jié)構(gòu)與內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞募償?shù)學(xué)研究[2-4].為了將domain理論進(jìn)行推廣,許多學(xué)者[5-6]在一般的偏序集上定義了連續(xù)和擬連續(xù)結(jié)構(gòu),并不斷向信息科學(xué)、邏輯學(xué)、分析學(xué)及各種應(yīng)用學(xué)科滲透,得到了很多有意義的數(shù)學(xué)模型,為計(jì)算機(jī)高級(jí)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言提供了數(shù)學(xué)模型.2000年,Martin[7]在研究計(jì)算問(wèn)題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時(shí),于連續(xù)dcpo(即domain)上引入了μ拓?fù)?證明了這種內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)鋵?shí)際上是由domain上具有一定條件的測(cè)度所誘導(dǎo)的.文獻(xiàn)[8]在一般的偏序集上引入了測(cè)度拓?fù)浜腿珳y(cè)度的概念,同時(shí)討論了連續(xù)偏序集上的測(cè)度拓?fù)浜腿珳y(cè)度的性質(zhì).文獻(xiàn)[9-11]廣泛研究了偏序集上的s2連續(xù)性,并得到了很多有意義的結(jié)論.本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討s2連續(xù)偏序集以及弱Scott拓?fù)涞囊恍┬再|(zhì),定義了弱測(cè)度拓?fù)?并研究了弱測(cè)度拓?fù)渑c其它內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)溟g的關(guān)系,利用測(cè)度拓?fù)淇坍嬃似蚣膕2交連續(xù)性,同時(shí)研究了弱Scott拓?fù)涞倪B通性.這一工作提供了認(rèn)識(shí)偏序集連續(xù)性的一個(gè)新方向,有助于偏序集理論的研究.
1 預(yù)備知識(shí)
首先介紹偏序集的一些基本概念[12].設(shè)L為偏序集,任給A?L,記
↑A={x∈L:?a∈A,a≤x},↓A={x∈L:?a∈A,x≤a}.
若A為單點(diǎn)集{a},則記↑A=↑a,↓A=↓a.如果↑A=A,則稱A為上集;同理可定義下集.用A↑與A↓分別表示A的所有上界和所有下界的集合.令A(yù)δ=(A↑)↓,稱Aδ為A的正規(guī)完備化算子,顯然Aδ為下集,令δ(L)={Aδ:A?L}.設(shè)L為偏序集,任給x,y∈L,如果對(duì)任意定向集D?L,y∈Dδ意味著D∩↑x≠?,則稱x逼近y,記為x?y.記
x={y:x?y},x={y:y?x},K(L)={x∈L:x?x}.
定義 1.1[12]設(shè)L為偏序集,w(L)為L(zhǎng)的所有非空有限子集的集合:
1) 若任意x∈L,定向集D?L,x∈Dδ蘊(yùn)含x∈clσ2(D∩↓x),則稱L為s2交連續(xù)偏序集;
命題 1.1[12]設(shè)L為偏序集,則L是s2連續(xù)偏序集當(dāng)且僅當(dāng)L是s2擬連續(xù)的和s2交連續(xù)的.
設(shè)L為偏序集,任給子集U?L,如果U=↑U且對(duì)任意的定向子集D?L,Dδ∩U≠?意味著D∩U≠?,則稱U為σ2開(kāi)集.所有的σ2開(kāi)集構(gòu)成一個(gè)拓?fù)?稱為弱Scott拓?fù)鋄12],記為σ2(L).設(shè)L為偏序集,則L的所有上集構(gòu)成一個(gè)集合,稱為Alexandrov拓?fù)?記為α(L).對(duì)偶地,L的全體下集形成的拓?fù)?稱為對(duì)偶Alexandrov拓?fù)?記為α*(L).以{L↓x:x∈L}為開(kāi)子基形成的拓?fù)浞Q為下拓?fù)?記為ω(L);稱σ2拓?fù)渑c下拓?fù)涞墓餐蛹?xì)λ2(L)=ω(L)∨σ2(L)為弱Lawson拓?fù)?
命題 1.2[12]設(shè)L為偏序集,則:
1) 如果L是s2連續(xù)偏序集,則{x:x∈L}為弱Scott拓?fù)涞幕?
2) 如果L是s2擬連續(xù)偏序集,令F={x:F?x},則{F:F∈w(L)}為弱Scott拓?fù)涞幕?
定義 1.2設(shè)L為偏序集,B?L,若x∈L,?Bx?B∩x,使Bx是定向集且x∈(Bx)δ,則稱B為L(zhǎng)的基.
命題 1.3[13]設(shè)P、Q為偏序集,f:P→Q,則f是σ2連續(xù)的,即f:(P,σ2(P))→(P,σ2(Q))連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)任意定向集D?P,f(Dδ)?(f(D))δ.
定義 1.3[14]設(shè)X為拓?fù)淇臻g,如果X中不存在2個(gè)非空閉集A、B使A∪B=X且A∩B=?,則稱X是連通空間.如果X的子集A作為子空間是連通空間,則稱A是X的連通子集.
眾所周知,拓?fù)淇臻gX是連通空間當(dāng)且僅當(dāng)X中不存在2個(gè)非空開(kāi)集A、B使得A∪B=X且A∩B=?.
定義 1.4[15]設(shè)L為偏序集:
命題 1.4[15]設(shè)L為s2代數(shù)偏序集,任意x,y∈L,x?y,則存在k∈K(L)使得x≤k≤y.
2 s2連續(xù)偏序集的伴隨性質(zhì)
定義 2.1[16]設(shè)P、Q為偏序集,g:P→Q,d:Q→P,若g、d都是保序的,且x∈P,y∈Q,g(x)≥y當(dāng)且僅當(dāng)x≥d(y),則稱映射(g,d)為P,Q間的伴隨,此時(shí)稱g為d的上伴隨,d為g的下伴隨.
易知(g,d)為P,Q間的一個(gè)伴隨當(dāng)且僅當(dāng)d°g≤1P,g°d≥1Q.
命題 2.1設(shè)P、Q是s2連續(xù)偏序集,映射(g,d)為P、Q間的一個(gè)伴隨,則下列等價(jià):
1) g是σ2連續(xù)的;
2) U∈σ2(Q),↑d(U)∈σ2(P);
3) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y).
證明1)?2) 如果x∈↑d(U),則存在u∈U使得x≥d(u),則g(x)≥u.由U∈σ2(Q)知存在u′∈U使得u′?u≤g(x),所以u(píng)′?g(x).設(shè)D?P是定向集,且dg(x)∈Dδ.由于g是σ2連續(xù)的,則g(Dδ)?(g(D))δ,即gdg(x)∈g(Dδ)?(g(D))δ.由g°d≥1Q知g(x)≤gdg(x),則g(x)∈(g(D))δ.因?yàn)閡′?g(x),則存在d∈D使得u′≤g(d).而d(u′)≤dg(d)≤d,d(u′)?dg(x)≤x,即d(u′)?x.則任意x∈↑d(U)∈σ2(P),存在d(u′)∈↑d(U)使得d(u′)?x,所以↑d(U)∈σ2(P).
2)?1) 任意U∈σ2(Q),若證g是σ2連續(xù)的,只需證g-1(U)∈σ2(P).下證g-1(U)=↑d(U).任意x∈g-1(U),則g(x)∈U,則存在u∈U使得u?g(x),則d(u)≤x,因此x∈↑d(U).反之,任意x′∈↑d(U),存在u′∈U使d(u′)≤x′,則u′≤g(x′),而U是上集,所以g(x′)∈U,x′∈g-1(U)．因此g-1(U)=↑d(U),從而g是σ2連續(xù)的.
1)?3) 設(shè)x,y∈Q,若x?y.設(shè)D?P為定向集,d(y)∈Dδ.由g為σ2連續(xù)的,則g(Dδ)?(g(D))δ.又y≤gd(y),則x?gd(y),因此存在d∈D使得x≤g(d),則d(x)≤dg(d)≤d,所以d(x)?d(y).
3)?1) 任意U∈σ2(Q),若證g是σ2連續(xù)的,只需證g-1(U)∈σ2(P).事實(shí)上,任意x∈g-1(U),g(x)∈U,由s2連續(xù)知存在u∈U使得u?g(x),則d(u)?dg(x)≤x,而gd(u)≥u∈U,因此d(u)∈g-1(U),則x∈d(u)∈g-1(U),則g-1(U)∈σ2(P),g是σ2連續(xù)的.
命題 2.2設(shè)P、Q是s2連續(xù)偏序集,映射d:Q→P是保序的:
1) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y);
2) d(K(Q))?K(P),則1)?2),如果Q是s2代數(shù)連續(xù)的,則1)與2)等價(jià).
證明1)?2) 顯然成立;
2)?1) 如果Q是s2代數(shù)連續(xù)的,設(shè)x,y∈Q,x?y,由Q是s2代數(shù)的,存在k∈K(Q)使得x≤k≤y,又d(k)∈K(P),則d(x)?d(y).
推論 2.1設(shè)P是s2連續(xù)偏序集,Q是s2代數(shù)連續(xù)的,映射(g,d)為P,Q間的一個(gè)伴隨,則下列等價(jià):
1) g是σ2連續(xù)的;
2) U∈σ2(Q),↑d(U)∈σ2(P);
3) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y);
4) d(K(Q))?K(P).
3 弱測(cè)度拓?fù)?/h2>
3.1 s2連續(xù)偏序集與弱測(cè)度拓?fù)?/p>
定義 3.1稱偏序集L上的σ2拓?fù)浜蛯?duì)偶Alexandrov拓?fù)涞墓餐蛹?xì)α*(L)∨σ2(L)為L(zhǎng)上的弱測(cè)度拓?fù)?記為μ2(L).
由定義顯然有弱Lawson拓?fù)浯钟谌鯗y(cè)度拓?fù)?即有σ2(L)?λ2(L)?μ2(L).
命題 3.1設(shè)L是s2連續(xù)偏序集,則B={x∩↓y:x,y∈L}是μ2(L)的一個(gè)基.
證明因?yàn)閤和↓y分別是σ2拓?fù)浜蛯?duì)偶Alexandrov拓?fù)渲械拈_(kāi)集,則B?μ2(L).而{x:x∈L}和{↓y:y∈L}分別是σ2拓?fù)浜蛯?duì)偶Alexandrov拓?fù)涞幕?故μ2(L)有子基{x:x∈L}∪{↓y:y∈L}.而x∈U∈μ2(L),則存在有限集E,F?L使得x∈(∩e∈Ee)∩(∩f∈F↓f)?U.從而e?x≤f對(duì)任意的e∈E,f∈F都成立.由L的s2連續(xù)得知x定向,從而存在z∈x使得任意e∈E,e≤z?x.于是有z∩↓x∈B且x∈z∩↓x?U,這說(shuō)明B是μ2(L)的基.
命題 3.2設(shè)L是s2連續(xù)偏序集,U∈σ2(L),W為下集,則↑(U∩W)∈σ2(L).
證明設(shè)D是L的定向子集,且Dδ∩↑(U∩W)≠?,令d∈Dδ∩↑(U∩W)≠?,則存在x∈U∩W使得x≤d,則x∈Dδ.由L是s2連續(xù)且U∈σ2(L),存在t∈U使t?x≤d.于是由x∈Dδ和t?x知存在d′∈D∩↑t.再由x∈W和W為下集知t∈W,即t∈U∩W.于是d′∈D∩↑(U∩W).由σ2開(kāi)集的定義知↑(U∩W)∈σ2(L).
命題 3.3設(shè)L是s2連續(xù)偏序集,則下列成立:
1) 若U∈μ2(L),則↑U∈σ2(L).進(jìn)一步地,如果U是上集,則U∈μ2(L)當(dāng)且僅當(dāng)U∈σ2(L);
2) x∈L是緊元當(dāng)且僅當(dāng){x}∈μ2(L);
3) 若A?L是上集,intσ(A)=intλ(A)=intμ(A);
4) 若B?L是下集,則clσ(A)=clλ(A)=clμ(A).
證明1) 設(shè)U∈μ2(L),t∈↑U.不妨設(shè)u≤t,u∈U,則存在x,y∈L使得u∈x∩↓y?U,則t∈↑(x∩↓y).由命題3.2知↑(x∩↓y)∈σ2(L),這說(shuō)明在σ2拓?fù)渲?t為↑U的內(nèi)點(diǎn).由t∈↑U的任意性知↑U中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則↑U∈σ2(L).如果U是上集,顯然U∈μ2(L)當(dāng)且僅當(dāng)U∈σ2(L).
3) 設(shè)A?L是上集.由σ2(L)?λ2(L)?μ2(L)知intσ(A)?intλ(A)?intμ(A).因?yàn)閕ntμ(A)?↑intμ(A)?↑A=A且由1)得↑intμ(A)∈σ2(L),則intσ(A)?intμ(A).從而有intσ(A)=intλ(A)=intμ(A).
4) 由3)知顯然.
易知如果U為弱測(cè)度拓?fù)渲械拈]集,則↓U對(duì)定向集的正規(guī)完備算子一般不封閉.
3.2 s2交連續(xù)偏序集與弱測(cè)度拓?fù)淦蚣膕2連續(xù)性可以保證弱測(cè)度拓?fù)涞暮芏嘈再|(zhì),但弱測(cè)度拓?fù)洳⒉荒苡脕?lái)刻畫s2連續(xù)偏序集.事實(shí)上,弱測(cè)度拓?fù)渑cs2交連續(xù)偏序集息息相關(guān).下一定理表明,利用偏序集上的弱測(cè)度拓?fù)淇梢钥坍媠2交連續(xù)性.
定理 3.1設(shè)L是偏序集,則下列條件等價(jià):
1) L是交連續(xù)偏序集;
2) U∈σ2(L),x∈L,則↑(U∩↓x)∈σ2(L);
3) U∈σ2(L),A為下集,↑(U∩A)∈σ2(L);
4) U∈μ2(L),有↑U∈σ2(L).
證明1)?2) 由文獻(xiàn)[9]中引理4.2可得.
2)?3) 設(shè)U∈σ2(L),A為下集,則
3)?4) 設(shè)U∈μ2(L),任意t∈↑U,則存在u∈U,u≤t.由U∈μ2(L)知存在V∈σ2(L)以及下集A使得u∈V∩A?U,t∈↑(V∩A).由已知可知↑(V∩A)∈σ2(L),則在σ2拓?fù)湎?t是↑U的內(nèi)點(diǎn).由任意性知↑U∈σ2(L).
4)?2) 設(shè)U∈σ2(L),x∈L,有(U∩↓x)∈μ2(L),則↑(U∩↓x)∈σ2(L).
命題 3.4設(shè)L是s2擬連續(xù)偏序集,則B={F∩↓y:F∈w(L),y∈L}是μ2(L)的基.
證明與命題3.1類似,不再贅述.
命題 3.5設(shè)L是偏序集,則下列等價(jià):
1) L是s2連續(xù)偏序集;
2) L是s2擬連續(xù)偏序集且如果U∈σ2(L),A為下集,↑(U∩A)∈σ2(L);
3) L是s2擬連續(xù)偏序集且如果U∈μ2(L),有↑U∈σ2(L).
4 σ2拓?fù)涞倪B通性
定義 4.1[17]設(shè)L為偏序集,x∈L:
命題 4.1[17]設(shè)L是偏序集,則L不序連通當(dāng)且僅當(dāng)存在L的2個(gè)非空子集A、B使得A∪B=L,A∩B=?且A、B既是上集又是下集.
命題 4.2設(shè)L是偏序集,則L為序連通的當(dāng)且僅當(dāng)(L,σ2(L))連通.
證明設(shè)(L,σ2(L))是連通的,用反證法.若L不序連通,由命題4.1得L中存在2個(gè)非空子集A、B使得A∪B=L,A∩B=?且A、B既是上集又是下集.此時(shí),對(duì)A中任一定向集D,由于A既是上集又是下集,則Dδ?A時(shí),故A是σ2閉集.同理A是σ2閉集,這樣便得(L,σ2(L))不連通,矛盾,則L為序連通.反之,設(shè)L為序連通的,假設(shè)(L,σ2(L))不是連通的,則存在2個(gè)非空開(kāi)集A、B使A∪B=X且A∩B=?,則A、B均是上集.設(shè)x∈A,y≤x,如果y∈A,則y∈B,由B為上集知x∈B,與x∈A矛盾,故A為下集.同理B為下集.與L為序連通的矛盾,故(L,σ2(L))是連通的.
推論 4.1設(shè)L是偏序集,若(L,σ2(L))連通,則空間(L,λ2(L)),(L,μ2(L))均連通.
致謝2021年高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目(CMC20210115)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.
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↑A={x∈L:?a∈A,a≤x},↓A={x∈L:?a∈A,x≤a}.
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x={y:x?y},x={y:y?x},K(L)={x∈L:x?x}.
定義 1.1[12]設(shè)L為偏序集,w(L)為L(zhǎng)的所有非空有限子集的集合:
1) 若任意x∈L,定向集D?L,x∈Dδ蘊(yùn)含x∈clσ2(D∩↓x),則稱L為s2交連續(xù)偏序集;
命題 1.1[12]設(shè)L為偏序集,則L是s2連續(xù)偏序集當(dāng)且僅當(dāng)L是s2擬連續(xù)的和s2交連續(xù)的.
設(shè)L為偏序集,任給子集U?L,如果U=↑U且對(duì)任意的定向子集D?L,Dδ∩U≠?意味著D∩U≠?,則稱U為σ2開(kāi)集.所有的σ2開(kāi)集構(gòu)成一個(gè)拓?fù)?稱為弱Scott拓?fù)鋄12],記為σ2(L).設(shè)L為偏序集,則L的所有上集構(gòu)成一個(gè)集合,稱為Alexandrov拓?fù)?記為α(L).對(duì)偶地,L的全體下集形成的拓?fù)?稱為對(duì)偶Alexandrov拓?fù)?記為α*(L).以{L↓x:x∈L}為開(kāi)子基形成的拓?fù)浞Q為下拓?fù)?記為ω(L);稱σ2拓?fù)渑c下拓?fù)涞墓餐蛹?xì)λ2(L)=ω(L)∨σ2(L)為弱Lawson拓?fù)?
命題 1.2[12]設(shè)L為偏序集,則:
1) 如果L是s2連續(xù)偏序集,則{x:x∈L}為弱Scott拓?fù)涞幕?
2) 如果L是s2擬連續(xù)偏序集,令F={x:F?x},則{F:F∈w(L)}為弱Scott拓?fù)涞幕?
定義 1.2設(shè)L為偏序集,B?L,若x∈L,?Bx?B∩x,使Bx是定向集且x∈(Bx)δ,則稱B為L(zhǎng)的基.
命題 1.3[13]設(shè)P、Q為偏序集,f:P→Q,則f是σ2連續(xù)的,即f:(P,σ2(P))→(P,σ2(Q))連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)任意定向集D?P,f(Dδ)?(f(D))δ.
定義 1.3[14]設(shè)X為拓?fù)淇臻g,如果X中不存在2個(gè)非空閉集A、B使A∪B=X且A∩B=?,則稱X是連通空間.如果X的子集A作為子空間是連通空間,則稱A是X的連通子集.
眾所周知,拓?fù)淇臻gX是連通空間當(dāng)且僅當(dāng)X中不存在2個(gè)非空開(kāi)集A、B使得A∪B=X且A∩B=?.
定義 1.4[15]設(shè)L為偏序集:
命題 1.4[15]設(shè)L為s2代數(shù)偏序集,任意x,y∈L,x?y,則存在k∈K(L)使得x≤k≤y.
2 s2連續(xù)偏序集的伴隨性質(zhì)
定義 2.1[16]設(shè)P、Q為偏序集,g:P→Q,d:Q→P,若g、d都是保序的,且x∈P,y∈Q,g(x)≥y當(dāng)且僅當(dāng)x≥d(y),則稱映射(g,d)為P,Q間的伴隨,此時(shí)稱g為d的上伴隨,d為g的下伴隨.
易知(g,d)為P,Q間的一個(gè)伴隨當(dāng)且僅當(dāng)d°g≤1P,g°d≥1Q.
命題 2.1設(shè)P、Q是s2連續(xù)偏序集,映射(g,d)為P、Q間的一個(gè)伴隨,則下列等價(jià):
1) g是σ2連續(xù)的;
2) U∈σ2(Q),↑d(U)∈σ2(P);
3) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y).
證明1)?2) 如果x∈↑d(U),則存在u∈U使得x≥d(u),則g(x)≥u.由U∈σ2(Q)知存在u′∈U使得u′?u≤g(x),所以u(píng)′?g(x).設(shè)D?P是定向集,且dg(x)∈Dδ.由于g是σ2連續(xù)的,則g(Dδ)?(g(D))δ,即gdg(x)∈g(Dδ)?(g(D))δ.由g°d≥1Q知g(x)≤gdg(x),則g(x)∈(g(D))δ.因?yàn)閡′?g(x),則存在d∈D使得u′≤g(d).而d(u′)≤dg(d)≤d,d(u′)?dg(x)≤x,即d(u′)?x.則任意x∈↑d(U)∈σ2(P),存在d(u′)∈↑d(U)使得d(u′)?x,所以↑d(U)∈σ2(P).
2)?1) 任意U∈σ2(Q),若證g是σ2連續(xù)的,只需證g-1(U)∈σ2(P).下證g-1(U)=↑d(U).任意x∈g-1(U),則g(x)∈U,則存在u∈U使得u?g(x),則d(u)≤x,因此x∈↑d(U).反之,任意x′∈↑d(U),存在u′∈U使d(u′)≤x′,則u′≤g(x′),而U是上集,所以g(x′)∈U,x′∈g-1(U)．因此g-1(U)=↑d(U),從而g是σ2連續(xù)的.
1)?3) 設(shè)x,y∈Q,若x?y.設(shè)D?P為定向集,d(y)∈Dδ.由g為σ2連續(xù)的,則g(Dδ)?(g(D))δ.又y≤gd(y),則x?gd(y),因此存在d∈D使得x≤g(d),則d(x)≤dg(d)≤d,所以d(x)?d(y).
3)?1) 任意U∈σ2(Q),若證g是σ2連續(xù)的,只需證g-1(U)∈σ2(P).事實(shí)上,任意x∈g-1(U),g(x)∈U,由s2連續(xù)知存在u∈U使得u?g(x),則d(u)?dg(x)≤x,而gd(u)≥u∈U,因此d(u)∈g-1(U),則x∈d(u)∈g-1(U),則g-1(U)∈σ2(P),g是σ2連續(xù)的.
命題 2.2設(shè)P、Q是s2連續(xù)偏序集,映射d:Q→P是保序的:
1) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y);
2) d(K(Q))?K(P),則1)?2),如果Q是s2代數(shù)連續(xù)的,則1)與2)等價(jià).
證明1)?2) 顯然成立;
2)?1) 如果Q是s2代數(shù)連續(xù)的,設(shè)x,y∈Q,x?y,由Q是s2代數(shù)的,存在k∈K(Q)使得x≤k≤y,又d(k)∈K(P),則d(x)?d(y).
推論 2.1設(shè)P是s2連續(xù)偏序集,Q是s2代數(shù)連續(xù)的,映射(g,d)為P,Q間的一個(gè)伴隨,則下列等價(jià):
1) g是σ2連續(xù)的;
2) U∈σ2(Q),↑d(U)∈σ2(P);
3) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y);
4) d(K(Q))?K(P).
3 弱測(cè)度拓?fù)?/h2>
3.1 s2連續(xù)偏序集與弱測(cè)度拓?fù)?/p>
定義 3.1稱偏序集L上的σ2拓?fù)浜蛯?duì)偶Alexandrov拓?fù)涞墓餐蛹?xì)α*(L)∨σ2(L)為L(zhǎng)上的弱測(cè)度拓?fù)?記為μ2(L).
由定義顯然有弱Lawson拓?fù)浯钟谌鯗y(cè)度拓?fù)?即有σ2(L)?λ2(L)?μ2(L).
命題 3.1設(shè)L是s2連續(xù)偏序集,則B={x∩↓y:x,y∈L}是μ2(L)的一個(gè)基.
證明因?yàn)閤和↓y分別是σ2拓?fù)浜蛯?duì)偶Alexandrov拓?fù)渲械拈_(kāi)集,則B?μ2(L).而{x:x∈L}和{↓y:y∈L}分別是σ2拓?fù)浜蛯?duì)偶Alexandrov拓?fù)涞幕?故μ2(L)有子基{x:x∈L}∪{↓y:y∈L}.而x∈U∈μ2(L),則存在有限集E,F?L使得x∈(∩e∈Ee)∩(∩f∈F↓f)?U.從而e?x≤f對(duì)任意的e∈E,f∈F都成立.由L的s2連續(xù)得知x定向,從而存在z∈x使得任意e∈E,e≤z?x.于是有z∩↓x∈B且x∈z∩↓x?U,這說(shuō)明B是μ2(L)的基.
命題 3.2設(shè)L是s2連續(xù)偏序集,U∈σ2(L),W為下集,則↑(U∩W)∈σ2(L).
證明設(shè)D是L的定向子集,且Dδ∩↑(U∩W)≠?,令d∈Dδ∩↑(U∩W)≠?,則存在x∈U∩W使得x≤d,則x∈Dδ.由L是s2連續(xù)且U∈σ2(L),存在t∈U使t?x≤d.于是由x∈Dδ和t?x知存在d′∈D∩↑t.再由x∈W和W為下集知t∈W,即t∈U∩W.于是d′∈D∩↑(U∩W).由σ2開(kāi)集的定義知↑(U∩W)∈σ2(L).
命題 3.3設(shè)L是s2連續(xù)偏序集,則下列成立:
1) 若U∈μ2(L),則↑U∈σ2(L).進(jìn)一步地,如果U是上集,則U∈μ2(L)當(dāng)且僅當(dāng)U∈σ2(L);
2) x∈L是緊元當(dāng)且僅當(dāng){x}∈μ2(L);
3) 若A?L是上集,intσ(A)=intλ(A)=intμ(A);
4) 若B?L是下集,則clσ(A)=clλ(A)=clμ(A).
證明1) 設(shè)U∈μ2(L),t∈↑U.不妨設(shè)u≤t,u∈U,則存在x,y∈L使得u∈x∩↓y?U,則t∈↑(x∩↓y).由命題3.2知↑(x∩↓y)∈σ2(L),這說(shuō)明在σ2拓?fù)渲?t為↑U的內(nèi)點(diǎn).由t∈↑U的任意性知↑U中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則↑U∈σ2(L).如果U是上集,顯然U∈μ2(L)當(dāng)且僅當(dāng)U∈σ2(L).
3) 設(shè)A?L是上集.由σ2(L)?λ2(L)?μ2(L)知intσ(A)?intλ(A)?intμ(A).因?yàn)閕ntμ(A)?↑intμ(A)?↑A=A且由1)得↑intμ(A)∈σ2(L),則intσ(A)?intμ(A).從而有intσ(A)=intλ(A)=intμ(A).
4) 由3)知顯然.
易知如果U為弱測(cè)度拓?fù)渲械拈]集,則↓U對(duì)定向集的正規(guī)完備算子一般不封閉.
3.2 s2交連續(xù)偏序集與弱測(cè)度拓?fù)淦蚣膕2連續(xù)性可以保證弱測(cè)度拓?fù)涞暮芏嘈再|(zhì),但弱測(cè)度拓?fù)洳⒉荒苡脕?lái)刻畫s2連續(xù)偏序集.事實(shí)上,弱測(cè)度拓?fù)渑cs2交連續(xù)偏序集息息相關(guān).下一定理表明,利用偏序集上的弱測(cè)度拓?fù)淇梢钥坍媠2交連續(xù)性.
定理 3.1設(shè)L是偏序集,則下列條件等價(jià):
1) L是交連續(xù)偏序集;
2) U∈σ2(L),x∈L,則↑(U∩↓x)∈σ2(L);
3) U∈σ2(L),A為下集,↑(U∩A)∈σ2(L);
4) U∈μ2(L),有↑U∈σ2(L).
證明1)?2) 由文獻(xiàn)[9]中引理4.2可得.
2)?3) 設(shè)U∈σ2(L),A為下集,則
3)?4) 設(shè)U∈μ2(L),任意t∈↑U,則存在u∈U,u≤t.由U∈μ2(L)知存在V∈σ2(L)以及下集A使得u∈V∩A?U,t∈↑(V∩A).由已知可知↑(V∩A)∈σ2(L),則在σ2拓?fù)湎?t是↑U的內(nèi)點(diǎn).由任意性知↑U∈σ2(L).
4)?2) 設(shè)U∈σ2(L),x∈L,有(U∩↓x)∈μ2(L),則↑(U∩↓x)∈σ2(L).
命題 3.4設(shè)L是s2擬連續(xù)偏序集,則B={F∩↓y:F∈w(L),y∈L}是μ2(L)的基.
證明與命題3.1類似,不再贅述.
命題 3.5設(shè)L是偏序集,則下列等價(jià):
1) L是s2連續(xù)偏序集;
2) L是s2擬連續(xù)偏序集且如果U∈σ2(L),A為下集,↑(U∩A)∈σ2(L);
3) L是s2擬連續(xù)偏序集且如果U∈μ2(L),有↑U∈σ2(L).
4 σ2拓?fù)涞倪B通性
定義 4.1[17]設(shè)L為偏序集,x∈L:
命題 4.1[17]設(shè)L是偏序集,則L不序連通當(dāng)且僅當(dāng)存在L的2個(gè)非空子集A、B使得A∪B=L,A∩B=?且A、B既是上集又是下集.
命題 4.2設(shè)L是偏序集,則L為序連通的當(dāng)且僅當(dāng)(L,σ2(L))連通.
證明設(shè)(L,σ2(L))是連通的,用反證法.若L不序連通,由命題4.1得L中存在2個(gè)非空子集A、B使得A∪B=L,A∩B=?且A、B既是上集又是下集.此時(shí),對(duì)A中任一定向集D,由于A既是上集又是下集,則Dδ?A時(shí),故A是σ2閉集.同理A是σ2閉集,這樣便得(L,σ2(L))不連通,矛盾,則L為序連通.反之,設(shè)L為序連通的,假設(shè)(L,σ2(L))不是連通的,則存在2個(gè)非空開(kāi)集A、B使A∪B=X且A∩B=?,則A、B均是上集.設(shè)x∈A,y≤x,如果y∈A,則y∈B,由B為上集知x∈B,與x∈A矛盾,故A為下集.同理B為下集.與L為序連通的矛盾,故(L,σ2(L))是連通的.
推論 4.1設(shè)L是偏序集,若(L,σ2(L))連通,則空間(L,λ2(L)),(L,μ2(L))均連通.
致謝2021年高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目(CMC20210115)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.
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