杜旭東

(甘肅省禮縣實(shí)驗(yàn)中學(xué),甘肅 隴南 742200)

在高中物理的學(xué)習(xí)中,容易知道,物體如果處于平衡狀態(tài),則物體所受到的合外力為零;同樣地,如果物體所受到的合外力為零,則物體處于平衡狀態(tài).在對(duì)物體平衡進(jìn)行受力分析時(shí),要考慮全面,而且也要熟悉相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).因?yàn)橹袑W(xué)物理模型中的幾何關(guān)系,在很多時(shí)候會(huì)成為求解問(wèn)題的瓶頸,所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意積累數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí).下面對(duì)力學(xué)中涉及物體平衡的?？碱}型進(jìn)行分類(lèi)解析.

1 力的合成與分解

例1[1]如圖1所示,有三根質(zhì)量和形狀都相同的光滑圓柱體,它們的重心位置不同,擱在兩墻間,為了方便,將它們的重心畫(huà)在同一截面上,重心的位置分別用1、2、3標(biāo)出(重心2與圓心重合,三個(gè)重心位置均在同一豎直線上),FN1、FN2、FN3分別為三根圓柱體對(duì)墻的壓力, 則( ).

圖1 例1題圖

A.FN1=FN2=FN3B.FN1

C.FN1>FN2>FN3D.FN1=FN2>FN3

分析對(duì)于球形或圓柱形物體的受力分析,我們見(jiàn)得較多的是均勻結(jié)構(gòu)的物體,其重心在物體的球心或圓柱橫截面的圓心,對(duì)其重力進(jìn)行分解時(shí),往往是從重心處向與該物體相互作用的彈力作用點(diǎn)進(jìn)行分解.如將這一思維方式帶入本題,對(duì)圓柱體的重力進(jìn)行分解,就是在圖1中的三個(gè)重力的作用點(diǎn)處進(jìn)行分解,由圖1可知重心在3處的兩個(gè)分力的夾角最大,重心在1處的兩個(gè)分力的夾角最小.在合力不變的條件下,兩分力的夾角越大,兩個(gè)分力越大,應(yīng)該是B選項(xiàng)正確,這難道是錯(cuò)的嗎? 如果出錯(cuò)了,那錯(cuò)誤出現(xiàn)在什么地方呢? 應(yīng)該說(shuō)錯(cuò)誤出現(xiàn)在兩個(gè)地方: 第一,重力的作用效果確實(shí)是壓墻角,而墻角對(duì)圓柱體的支持力與圓柱體對(duì)墻角的壓力是一對(duì)作用力與反作用力,它們是作用在同一條直線上的,重力的分力與圓柱體對(duì)墻的壓力應(yīng)在同一直線上,而墻角對(duì)圓柱體的支持力應(yīng)垂直于過(guò)墻角與圓柱面相切的平面,則此支持力的作用線必定通過(guò)圓柱橫截面的圓心,而重力的分力的作用線也應(yīng)在支持力的作用線上,是要通過(guò)圓柱體的圓心的,而在圖中的分力沒(méi)有經(jīng)過(guò)圓心;第二,在研究平衡問(wèn)題時(shí),力的分解和合成均是對(duì)于共點(diǎn)力而言的,顯然重力作用點(diǎn)1、2均不是共點(diǎn)力所共的點(diǎn),所以錯(cuò)誤.事實(shí)上,例1中三個(gè)圓柱體所受到的支持力均是通過(guò)圖中的圓心O的.

解析由于三根圓柱體的三個(gè)重心位置均在同一豎直線上,兩墻角對(duì)光滑圓柱體的彈力均指向圓心,與豎直方向的夾角相等.由于對(duì)稱(chēng)性,這兩個(gè)彈力的大小相等,合力一定沿兩力夾角的平分線,即豎直向上.合力與圓柱體的重力相平衡,三圓柱體的重力相等,所以三根圓柱體受到的彈力也相等.反過(guò)來(lái),三根圓柱體對(duì)墻的壓力也相等.所以A選項(xiàng)正確.

還可對(duì)圓柱體的重力進(jìn)行分解: 圓柱體的重力作用線均過(guò)圓心O,沿著重力作用線移動(dòng)重力的作用點(diǎn)不會(huì)改變重力作用效果,所以可將重力作用點(diǎn)不在圓心的重力移到圓心處, 重力沿兩墻角分解的情況相同,也就是重力分解在兩墻角的分量相同,三根圓柱體對(duì)墻的壓力也相等.故A選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng)上述的兩種解答途徑,均是在共點(diǎn)力所共的點(diǎn)O處進(jìn)行合成與分解的.應(yīng)該說(shuō)本題運(yùn)用分解的思路比合成的思路簡(jiǎn)捷、直觀.

2 整體法與隔離法

例2如圖2所示,四塊質(zhì)量均為m的磚塊被水平壓力F夾在兩豎直木板之間,處于靜止?fàn)顟B(tài).試求第1塊磚對(duì)第2塊磚的摩擦力f12和第3塊磚對(duì)第2塊磚的摩擦力f32.

圖2 例2題圖

分析要求兩塊磚的接觸面間的摩擦力,應(yīng)考慮從兩塊磚的接觸面處將物體隔離,將其接觸面內(nèi)側(cè)具有對(duì)稱(chēng)性的部分視為整體,如要求木板與第1塊磚間的摩擦力,由對(duì)稱(chēng)性知左側(cè)板與第1塊磚間的作用力和右側(cè)板與第4塊磚間的作用力具有對(duì)稱(chēng)性,若將四塊磚整體作為研究對(duì)象,其受力如圖3所示,則由平衡條件,便可求出摩擦力f的大小.同樣,如果要求第1塊磚與第2塊磚間的摩擦力,則以2、3兩塊磚整體為研究對(duì)象,也可以分析出類(lèi)似于圖3所示的受力示意圖,因而也容易求出磚1、2或者磚3、4之間的摩擦力.而對(duì)于磚2、3之間的摩擦力,由對(duì)稱(chēng)性判斷,它們彼此間的摩擦力要么同時(shí)向上,要么同時(shí)向下,這是與牛頓第三定律相違背的,因而它們之間是不可能存在摩擦力的.當(dāng)然,這一結(jié)果也可假定磚2、3之間存在著摩擦力,然后隔離2(或3),通過(guò)磚1、2之間的相互作用力和平衡條件求解.

圖3 整體法

解析如圖3所示,先以四塊磚為整體作為研究對(duì)象,它受到豎直向下的重力4mg,木板對(duì)它豎直向上的兩個(gè)靜摩擦力f,水平方向的兩個(gè)壓力F.顯然有2f=4mg,故f=2mg.

再以第1塊磚為研究對(duì)象,如圖4所示,它受到豎直向下的重力mg,木板對(duì)它豎直向上的靜摩擦力f、磚塊2對(duì)它豎直向上的靜摩擦力f21(此力方向待定,不妨假設(shè)其豎直向上)、水平方向的壓力F和N.于是有f+f21=mg,解得f21=-mg.

圖4 隔離1塊

即磚塊2對(duì)磚塊1的靜摩擦力f21豎直向下,也就是第1塊磚對(duì)第2塊磚的摩擦力f12=mg,方向豎直向上.

同樣,以1、2兩塊磚為研究對(duì)象, 如圖5所示,它受到豎直向下的重力2mg,木板對(duì)它豎直向上的靜摩擦力f、磚塊3對(duì)它的豎直向上的靜摩擦力f32(此力方向待定,不妨假設(shè)其豎直向上)、水平方向的壓力N和N′.于是有f+f32=2mg,所以f32=0.

綜上所述,第1塊磚對(duì)第2塊磚的摩擦力f12=mg,方向豎直向上;第3磚塊對(duì)第2塊磚的靜摩擦力f32=0.

點(diǎn)評(píng)兩板夾磚塊的問(wèn)題是中學(xué)階段受力分析的典型訓(xùn)練習(xí)題之一,在分析各磚塊之間的相互作用力時(shí),必須交替應(yīng)用整體法與隔離法[2],同時(shí),還應(yīng)具備對(duì)稱(chēng)分析的物理思想.

3 正交分解法

例3如圖6所示,輕繩AC與天花板的夾角α=30°,輕繩BC與天花板的夾角β=60°.設(shè)AC、BC繩能承受的最大拉力均不能超過(guò)100 N,CD繩的強(qiáng)度足夠大,CD繩下端懸掛的物重G不能超過(guò)多少?

圖6 例3題圖

分析對(duì)于本題,應(yīng)注意到兩方面的問(wèn)題: 一是C處為一結(jié)點(diǎn),它可使兩段輕繩中的拉力不相等,這一點(diǎn)與C點(diǎn)所放置的是滑輪或者活套不同;二是要注意到當(dāng)懸掛的物重G增加時(shí),繩AC與BC的拉力FA、FB也同步增加,當(dāng)它們中之一達(dá)到所能承受的最大值時(shí),所掛物體的物重G即是所求.

解析如圖7所示,以結(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析,并建立坐標(biāo)系,由共點(diǎn)力的平衡條件有

圖7 正交分解求物重

∑Fx=FBcos60°-FAcos30°=0,

①

∑Fy=FAsin30°+FBsin60°-FC=0.

②

③

顯然,AC繩與BC繩實(shí)際所受的拉力滿(mǎn)足FB>FA,BC繩先于AC繩達(dá)到所能承受的最大拉力.

由題意知,當(dāng)FB=100 N時(shí), 物重G有最大值Gmax.

點(diǎn)評(píng)在判斷所能懸掛的最大物重的過(guò)程中,必須對(duì)三者的大小關(guān)系進(jìn)行比較才能作出正確的判斷.在本題中,由于兩繩所能承受的最大拉力相等,故只需直接比較兩繩所受的拉力大小關(guān)系,如果兩繩所能承受的最大拉力不等,則需比較它們實(shí)際承受的拉力的大小關(guān)系與它們所能承受的最大拉力的大小關(guān)系,以確定哪根繩子所受的作用力先達(dá)到最大值;或者是比較AC繩或BC繩在假定另一根繩所能承受的拉力足夠大的情況下,所能懸掛的最大物重, 從而比較得出所能懸掛的最大物重.

4 結(jié)束語(yǔ)

物體在外力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),所受合外力必然為零,即∑F=0.當(dāng)物體所受的合外力為零時(shí),物體在任意方向上的合外力也為零.為了研究問(wèn)題的方便,通常將物體所受的合外力向兩個(gè)正交的方向(x方向與y方向)上分解,此時(shí),物體的平衡條件可表示為∑Fx=0和∑Fy=0,這就是我們常說(shuō)的正交分解法[3].正交分解法是處理物體平衡問(wèn)題時(shí),對(duì)物體進(jìn)行受力分析與計(jì)算各種力的有效方法.