江蘇如皋市外國語學(xué)校 （226500） 丁 洪

周長和面積是測量專題教學(xué)的兩個(gè)重要內(nèi)容。事實(shí)上，物體表面的周長和面積同時(shí)存在，如數(shù)學(xué)書封面一周邊線的長就是它的周長，數(shù)學(xué)書封面的大小就是它的面積；封閉平面圖形的周長和面積兼而有之，如長方形一周邊線的長就是它的周長，長方形內(nèi)部的大小就是它的面積。應(yīng)該說，對于同一個(gè)測量對象而言，周長和面積顯然“和諧共生”，不可分割，但是它們明顯“合而不同”。

考慮“怎么教”之前首先要考慮“教什么”。就周長和面積而言，先教周長，后教面積，是現(xiàn)行大部分教材編排的選擇。從知識(shí)本位角度來看，這樣的編排遵循了知識(shí)的內(nèi)在邏輯，它較為理性地從“一維的線”逐步過渡到“二維的面”，專題教學(xué)似乎試圖通過時(shí)間差，努力實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的個(gè)別強(qiáng)化和穩(wěn)步推進(jìn)，線性處理的痕跡一覽無余。但是，從學(xué)生本位角度來看，這樣的編排有人為割裂之嫌，一方面它忽視了知識(shí)的整體建構(gòu)，使得周長的教學(xué)對面積“視而不見”，面積的教學(xué)也對周長“避而不談”，學(xué)生獲得的只是單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，而非是對測量對象的結(jié)構(gòu)把握；另一方面它忽視了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，因?yàn)樾W(xué)生空間觀念的建立存在特殊性，根據(jù)“混而不錯(cuò)”的現(xiàn)實(shí)路徑，學(xué)生完整經(jīng)歷的是體—面—線—面—體的體驗(yàn)過程，進(jìn)一步說，學(xué)生對面積大小的感覺要比對周長長短的感覺更為強(qiáng)烈，如果單純學(xué)習(xí)周長而壓抑對面積的認(rèn)知，或者是單純凸顯面積不去關(guān)聯(lián)周長，教師的教會(huì)顯得不自由，學(xué)生的學(xué)會(huì)顯得不自在，空間觀念的滲透會(huì)顯得不自然。

想要走出現(xiàn)實(shí)困境需要付諸行動(dòng)。教學(xué)先從學(xué)生熟悉的平面圖形入手，以“外描線段”引出周長，以“內(nèi)刷表面”引出面積，然后緊扣周長和面積的本質(zhì)內(nèi)涵，通過看、數(shù)、悟等不同層次的鏈?zhǔn)綄Ρ龋行颉吧L”出相關(guān)的概念、判斷和推理的能力，最終在變與不變的思辨中實(shí)現(xiàn)智慧學(xué)習(xí)。

一、聯(lián)中比——生長出概念

（一）猜一猜

師（出示積木）：仔細(xì)觀察，你看到了哪些熟悉的立體圖形？請說出它的名字和特征。

（學(xué)生辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱等立體圖形，并用手勢和語言描述各圖形的特征。）

師（出示圖1）：如果像他們這樣分別描出立體圖形的一個(gè)面，你猜描出是什么平面圖形？

圖1

（學(xué)生在搶答中快速確認(rèn)描出的是長方形、正方形、三角形和圓。）

（二）描一描

師：長方形是由幾條線段圍成的？正方形和三角形呢？描一描、數(shù)一數(shù)。

生1：長方形是由4條線段圍成的。

生2：正方形也是由4條線段圍成的。

生3：三角形是由3條線段圍成的。

師：像這樣，就能描出平面圖形的所有邊線（操作略）。

（三）刷一刷

師：這里有一把小刷子，咱們一起給長方形內(nèi)部刷上顏色。

師（在長方形內(nèi)部橫著刷一部分，指著留白的地方）：刷好了嗎？

生4：沒有。

師：為什么？

生5：還有空白，還要刷。

師：再刷一刷子，這樣就——

生6：刷好了。

師（出示正方形和三角形）：這兩個(gè)圖形的內(nèi)部可以怎樣刷色？

（學(xué)生回答略）

（四）理一理

師（出示圖2）：長方形所有邊線的長度，就是它的周長。長方形整個(gè)表面的大小，就是它的面積。顯然，長方形既有周長，也有面積。那正方形和三角形呢？

圖2

生7：正方形既有周長，也有面積。

生8：三角形既有周長，也有面積。

師（出示其他平面圖形，圖略）：這些平面圖形也有周長和面積嗎？

生9：都有。

師：看來，平面圖形既有自己的周長，也有自己的面積。今天，我們就來認(rèn)識(shí)它們。（板書課題：認(rèn)識(shí)周長和面積）

【思考：概念的建立是理性認(rèn)識(shí)的初級階段。新概念往往表現(xiàn)出基礎(chǔ)性、生長性和發(fā)展性的特征。首先，“描一描”調(diào)用了“長方形和正方形的直觀認(rèn)知”和“線段認(rèn)知”，如果把“描”出的每一根線段看成是局部理解（有具體長度），那么“描出平面圖形的所有邊線”就為平面圖形周長概念的建構(gòu)做了鋪墊。其次，“刷一刷”調(diào)用了“長方形和正方形的直觀認(rèn)知”和“面的大小感知”，“刷好了嗎？”的追問是激活學(xué)生對圖形大小的經(jīng)驗(yàn)，而后續(xù)更換刷色對象則是遷移和強(qiáng)化認(rèn)知體驗(yàn)，使得要求“刷出平面圖形的整個(gè)表面”變得像呼吸一樣自然。最后，“編筐編簍重在收口”，一方面直觀地揭示了周長和面積的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了概念從“感性”到“理性”的必要切換；另一方面通過結(jié)構(gòu)化定性“長方形既有周長也有面積”，驅(qū)動(dòng)學(xué)生即時(shí)練習(xí)、遷移內(nèi)化和形成表象，使學(xué)生經(jīng)歷概念從“特殊”到“一般”的螺旋上升的過程?！?/p>

二、看中比——生長出判斷

（一）剝一剝

師（拿出一個(gè)長方形塑料板，請學(xué)生用手指描一描周長，用手掌刷一刷面積）：接下來，老師要變個(gè)魔術(shù)——把長方形塑料板的一周邊線全部“剝”下來，請仔細(xì)觀察。

師：現(xiàn)在終于“剝”完了它的一周邊線。把它拉直了，其實(shí)就是——

生1：一根長長的線段。

師：它里面包含幾根小線段？

生2：4根。

師：這根線段的長度就是這個(gè)長方形的——

生3：周長。

（二）辨一辨

師（出示圖3）：大家表現(xiàn)得真好！給大家獎(jiǎng)勵(lì)一顆五角星。如果要將這顆五角星的周長描下來，這樣描對嗎？

圖3

生4：不對，少描了一條線段。

師：要想表示五角星面積，該怎么樣去刷色？

生5：把它刷滿，就像左邊五角星的樣子。

師：看來，周長就是一周邊線的長度，一條邊都不能缺（板書：一周邊線的長）。面積就是圖形內(nèi)部的大小，一塊面都不能少（板書：圖形內(nèi)部的大小）。

（三）比一比

師（出示圖4）：這里有兩個(gè)長方形，用一種顏色的水彩筆描出它的周長，用另一種顏色的水彩筆涂出它的面積，請動(dòng)手試一試。

圖4

（在學(xué)生畫完后，教師組織學(xué)生重點(diǎn)交流“周長在哪里”和“面積在哪里”。）

師：哪個(gè)圖形的面積比較大？哪個(gè)圖形的周長比較長？

師：借助所畫作品，與同桌說清楚“周長怎么比？面積怎么比？”。

生6：面積比的是圖形內(nèi)部的大小，我能直接看出來，左邊長方形的面積比較大。周長比的是一周邊線的長，分別比上邊、下邊、左邊和右邊，一共比4次，我發(fā)現(xiàn)左邊長方形的周長比較長。

生7：對于周長，我只要比2 次。先豎著比，發(fā)現(xiàn)它們一樣長，再橫著比，發(fā)現(xiàn)左邊的長。這樣左邊長方形的周長就長一些。

師：無論是對應(yīng)地比4 次，還是根據(jù)長方形對邊相等的特點(diǎn)巧妙地比2 次，比周長都是在比什么？

生（齊）：一周邊線的長。

【思考：判斷的運(yùn)用是理性認(rèn)識(shí)的第二階段。一般概念形成之后，必然跟進(jìn)相應(yīng)的判斷。具體來說，是否“剝”下了長方形的“一周邊線”是第一次判斷，其間的追問和互動(dòng)都指向周長的本質(zhì)內(nèi)涵，即圖形一周邊線的長，不是一根或幾根，而是所有邊線的總和才能稱為周長；五角星的周長“描得對嗎？”是第二次判斷，通過現(xiàn)場指認(rèn)、示范修正和描述解釋，周長的概念逐漸完整，從而深入人心；第三次判斷發(fā)生在兩個(gè)長方形之間的比較，對于“哪個(gè)圖形的面積比較大？”“哪個(gè)圖形的周長比較長？”都需要講清楚“比哪里？”“怎么比？”，無論是一一對應(yīng)比4次，還是簡化之后比2次，其實(shí)都是基于概念的判斷行為，看似形式不同，其實(shí)本質(zhì)相通?！?/p>

三、數(shù)中比——生長出推理

師：有一面白色的墻面，需要貼上正方形的瓷磚，先貼上第1塊，這一塊瓷磚有周長和面積嗎？

生（齊）：有。

（師生互動(dòng)，邊貼邊數(shù)第一排瓷磚。）

師（整體出示第二排到第四排瓷磚，并介紹兩塊花瓷磚，在出示第五排瓷磚之前追問）：墻面貼滿了嗎？

師（出示圖5）：這兩塊花瓷磚，你還能一下子看出哪個(gè)周長比較長，哪個(gè)面積比較大嗎？

圖5

生1（用手比畫）：左邊的花瓷磚橫著長，豎著短；右邊的花瓷磚橫著短，豎著長，看不出來。

師：怎么辦？

師：把小正方形的邊長看成1 個(gè)長度單位，數(shù)一數(shù)并標(biāo)出周長有幾個(gè)小正方形邊長；把小正方形的面積看成1 個(gè)面積單位，數(shù)一數(shù)并標(biāo)出面積有幾個(gè)小正方形面積。組內(nèi)交流“怎么數(shù)”和“怎么比”。

生2：左邊花瓷磚的周長有12 條小正方形邊長這么長，右邊花瓷磚的周長也有12 條小正方形邊長這么長，它們的周長相等。

生3：左邊花瓷磚的面積有8 個(gè)小正方形這么大，右邊花瓷磚的面積有9 個(gè)小正方形這么大。右邊花瓷磚的面積大。

師（出示圖6）：我們是先確定數(shù)的單位，再數(shù)出單位的個(gè)數(shù)，然后順利比出結(jié)果。

圖6

【思考：推理的介入是理性認(rèn)識(shí)的第三階段。具體來說，第一階段是看著不好比，其實(shí)質(zhì)是部分判斷之間雖然有聯(lián)系，但是對于整體“一周邊線”而言，并不能將這些單個(gè)的判斷有機(jī)整合而形成新的判斷，換句話說，“推理”在這里難以進(jìn)行；第二階段是數(shù)著比，其實(shí)質(zhì)是借助小正方形瓷磚的邊長為1個(gè)長度單位，分別數(shù)出“周長有12 條小正方形邊長這么長”，借助小正方形的面積為1 個(gè)面積單位，分別數(shù)出“面積有8 個(gè)小正方形這么大”和“面積有9個(gè)小正方形這么大”。這樣，無論是周長，還是面積，因?yàn)橛辛寺?lián)結(jié)的工具，即“相同單位”，所以可以產(chǎn)生新的判斷，最終順利推理出“它們的周長相等”和“右邊花瓷磚的面積大一些”的結(jié)論。最后，借助動(dòng)態(tài)演示和過程梳理，使得推理的要點(diǎn)和路徑得以可視化、結(jié)構(gòu)化和一般化?！?/p>

四、悟中比——生長出智慧

（一）初次變

師（出示圖7）：大正方形瓷磚由9 塊小正方形組成。接下來，我要變魔術(shù)了，你說變，它就變！

圖7

生（齊）：變！變！變！

師（出示圖8）：與原來大正方形瓷磚相比，你能一下子判斷下面瓷磚的面積和周長哪個(gè)變了嗎？

圖8

生1：面積肯定變了，因?yàn)槎忌倭艘恍┬≌叫巍?/p>

師：有道理。那么，周長到底變了沒有？請沿著現(xiàn)在的瓷磚一周邊線數(shù)一數(shù)和比一比。

生2：左邊瓷磚的周長有12 條小正方形邊長這么長。與原來相比，周長不變。

生3：中間瓷磚的周長有12 條小正方形邊長這么長。與原來相比，周長也不變。

生4：右邊瓷磚的周長有14 條小正方形邊長這么長。與原來相比，周長變了。

師：看來，瓷磚面積都發(fā)生變化，但是瓷磚一周邊線的長度，有的不變，有的變了。

（二）再次變

師：老師又要變魔術(shù)了，先將大正方形瓷磚平均分成兩塊小長方形，然后拼接；或者，將大正方形瓷磚平均分成兩塊小三角形，然后拼接。你說變，它就變！

生（齊）：變！變！變！

師（出示圖9-1、圖9-2）：與原來大正方形瓷磚相比，你能判斷現(xiàn)在瓷磚的面積和周長哪個(gè)沒有變嗎？

圖9-1

圖9-2

生5：面積沒有變，因?yàn)闆]有多一塊，也沒有少一塊。

師：描一描現(xiàn)在瓷磚的一周邊線，與大正方形瓷磚相比，哪一部分一樣長，哪一部分變化了？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再組內(nèi)交流，最后匯報(bào)。）

生6：我來說圖9-1 的瓷磚。它橫著的4 條邊線與正方形的4 條邊線一樣長，豎著的2 條邊線是多出來的，所以周長變了。

生7：我來說圖9-2 的瓷磚。它橫著的2 條邊線與正方形橫著的2 條邊線一樣長，斜著的兩條邊線比正方形豎著的邊線要長，所以周長變了。

師：先確定一樣長的部分，再確定變化的部分，最后合起來推理得到結(jié)論。為你們點(diǎn)贊！

（三）終極變

師（出示圖10）：老師將大正方形瓷磚分割后變成——

圖10

生（齊）：七巧板。

師：七巧板可以拼接成有趣的圖案，你看到了什么？

生（齊）：小魚、小鵝和小羊。

師：你猜，拼成的圖案和原來正方形相比，面積變了嗎？周長呢？這個(gè)問題留給同學(xué)們課后思考。

【思考：智慧的演繹是理性認(rèn)識(shí)的綜合階段。只有在認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)和稍復(fù)雜的境遇下，智慧才能找到迸發(fā)的土壤和契機(jī)。具體來說，圖形第一次的變化較為“溫和”，解決面積的變化問題時(shí)，有的學(xué)生根據(jù)“圖形內(nèi)部的大小在減少”，運(yùn)用概念直接判斷，有的學(xué)生借助“單位思想”逐步量化，間接地解決問題；解決周長的變化問題時(shí)，學(xué)生選擇了“單位思想”，量化后再比較。這對于三年級的學(xué)生來說是可行的，畢竟智慧生長離不開方法的基礎(chǔ)遷移。圖形第二次的變化較為“劇烈”，原因不在面積（因?yàn)榭梢越柚庇^演示，運(yùn)用概念直接判斷），關(guān)鍵是周長的變化問題，在問題“與大正方形瓷磚相比，哪一部分一樣長，哪一部分變化了？”的引導(dǎo)下，學(xué)生將“一周邊線”解構(gòu)成兩個(gè)部分，先各個(gè)擊破，然后再有機(jī)重構(gòu)和推理。因?yàn)殡A段結(jié)構(gòu)認(rèn)知和理解水平的局限，有時(shí)學(xué)生智慧的生長仍然需要教師的適時(shí)點(diǎn)撥。圖形第三次的變化較為“深遠(yuǎn)”，與前面變化不同的是，七巧板的分割內(nèi)容和拼接情況更為復(fù)雜，這里不需要學(xué)生即時(shí)回答，而是留下“未完待續(xù)”的活動(dòng)，巧妙地將學(xué)習(xí)從課堂引向課外，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作、對比思考和感悟規(guī)律。顯然，這樣處理，智慧生長的空間已經(jīng)從“有限精彩”走向了“無限可能”?！?/p>