孫進(jìn)平,劉天趣*,喬亞瓊,胡衛(wèi)東

(1. 北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100191) (2. 國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)基于波形分集和多天線技術(shù)可提升其角度分辨率、抗干擾和緩解衰落等方面的能力[1-2]。MIMO雷達(dá)一般通過(guò)匹配濾波分離回波,因此其對(duì)正交波形集的要求是不同發(fā)射波形兩兩之間的互相關(guān)函數(shù)峰值盡可能低。同時(shí),為實(shí)現(xiàn)良好的目標(biāo)檢測(cè)性能,每個(gè)波形的自相關(guān)函數(shù)旁瓣峰值也是越低越好。針對(duì)MIMO雷達(dá)相位編碼波形集設(shè)計(jì),Multi-CAN[3]利用循環(huán)迭代算法實(shí)現(xiàn)了正交波形集相關(guān)函數(shù)積分旁瓣的最小化,在其基礎(chǔ)上,MM-Corr[4],p-MM[5]等性能更好的正交波形集設(shè)計(jì)算法也被提出。此外,文獻(xiàn)[6]基于原始對(duì)偶(Primal-Dual)算法實(shí)現(xiàn)了目前最優(yōu)的相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣性能。遺傳算法[7]等智能優(yōu)化方法也是可行的方法,但其速度較慢。

隨著數(shù)字射頻存儲(chǔ)(DRFM)技術(shù)的問(wèn)世[8],更先進(jìn)的雷達(dá)干擾技術(shù)得到了迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用,對(duì)MIMO雷達(dá)也形成了很大的威脅。相較于傳統(tǒng)干擾機(jī),基于DRFM的干擾機(jī)具有更強(qiáng)的截獲波形和存儲(chǔ)波形的能力。在此情況下,雖然MIMO雷達(dá)使用的波形比傳統(tǒng)雷達(dá)復(fù)雜,其也容易被新型DRFM干擾機(jī)截獲和干擾,其任務(wù)能力會(huì)受到嚴(yán)重影響。

波形捷變技術(shù)是對(duì)抗DRFM欺騙干擾的一種有效的方法[8]。對(duì)MIMO雷達(dá)而言,除了要求每個(gè)脈沖內(nèi)發(fā)射正交波形集,相鄰脈沖之間的波形集也應(yīng)該相互正交。雖然現(xiàn)有的正交波形設(shè)計(jì)算法可以將MIMO雷達(dá)所需數(shù)量的波形同時(shí)設(shè)計(jì)出來(lái),但其無(wú)法精細(xì)控制組內(nèi)和組間的相關(guān)函數(shù)性能。

本文建立了一種分組正交波形集優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。為最大化利用系統(tǒng)能量和波形自由度、靈活平衡組內(nèi)和組間的正交性,所提模型引入了權(quán)重系數(shù)構(gòu)建了加權(quán)和形式的目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)分為兩部分：一是盡可能降低每組正交波形集內(nèi)部的相關(guān)函數(shù)旁瓣峰值;二是盡可能降低每組波形集合之間的互相關(guān)函數(shù)峰值。為了快速求解所提優(yōu)化模型,本文提出了一種基于MM算法[9]的分組正交波形集設(shè)計(jì)方法。所提方法首先基于p-范數(shù)近似相關(guān)函數(shù)峰值,然后利用MM算法框架將原優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一系列簡(jiǎn)單的子優(yōu)化問(wèn)題的求解,最后基于快速傅里葉變換推導(dǎo)出了可快速求解的迭代表達(dá)式。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提方法可通過(guò)調(diào)節(jié)權(quán)重參數(shù)來(lái)靈活平衡MIMO雷達(dá)的探測(cè)性能和抗干擾性能。

1 分組正交波形集優(yōu)化模型

分組正交波形集優(yōu)化的對(duì)象是多組波形集,設(shè)所需波形為G組,每組波形集內(nèi)有M個(gè)波形。由于總的波形數(shù)較大,本文利用高自由度的恒模相位編碼波形來(lái)實(shí)現(xiàn)組內(nèi)和組間的波形正交性。由于碼片寬度、脈沖寬度和載頻等雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)匹配濾波后的相關(guān)函數(shù)值影響不大,分組正交波形集可被建模為碼長(zhǎng)為N的恒模相位編碼序列,即

xi[n]=ejφi,n,i=1,2,…,GM,n=1,2,…,N

(1)

(2)

為評(píng)估分組正交波形集的相關(guān)函數(shù)性能,本文將相關(guān)函數(shù)分為組內(nèi)和組間兩部分來(lái)考慮,對(duì)組內(nèi)M個(gè)波形的相關(guān)函數(shù),可采用峰值旁瓣電平(PSL)評(píng)估,第g組的PSLg定義為

(3)

Kg={i,j,k|i,j∈[M(g-1)+1,Mg],i≠jork≠0}

(4)

式中：Kg表示第g組內(nèi)部波形之間的相關(guān)函數(shù)索引的集合,注意Kg不包含大小恒等于N的自相關(guān)函數(shù)峰值的索引。不同組之間只存在互相關(guān)函數(shù),無(wú)需考慮自相關(guān)函數(shù)。定義如下的組間峰值互相關(guān)電平(PCL)來(lái)評(píng)估組間的互相關(guān)函數(shù)峰值

(5)

(6)

式中：G為所有組間互相關(guān)函數(shù)索引的集合。

(7)

其中目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式包含卷積運(yùn)算和取最大值運(yùn)算,而且優(yōu)化變量具有非凸的恒模約束,所以優(yōu)化模型式(7)是一個(gè)復(fù)雜的多目標(biāo)極小化極大值問(wèn)題,其求解難度較高。因此,本文首先用p-范數(shù)近似max(·)函數(shù),將p設(shè)置為較大值,用p-ISLg和p-ICL來(lái)近似原來(lái)的PSLg和PSL,接著引入權(quán)重系數(shù)w將原目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù),最后將原優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下更易求解的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

(8)

式中：p-ISLg(g=1,2,…,G)和p-ICL定義為

(9)

(10)

(11)

根據(jù)式(11)可知,原優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

(12)

通過(guò)加權(quán)和p-范數(shù)近似,原分組正交波形集優(yōu)化模型被轉(zhuǎn)化為式(12)所示的一個(gè)多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題。

2 基于MM算法的分組正交波形集設(shè)計(jì)

本文采用MM算法框架來(lái)快速求解優(yōu)化問(wèn)題式(12),其核心思路是構(gòu)造原目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)“代理函數(shù)”,從而將復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為迭代求解一系列簡(jiǎn)單代理函數(shù)極小值的過(guò)程。MM算法原理如圖1所示,其中g(shù)(x)表示目標(biāo)函數(shù)曲線,f(x,x(l))表示第l次迭代時(shí)的代理函數(shù),其極小值對(duì)應(yīng)的自變量為x(l+1),則顯然g(x(l+1))

圖1 MM算法原理示意

(13)

(14)

(15)

其中

(16)

式(15)中的4次目標(biāo)函數(shù)的極小值仍然難以求解,所以下文將利用矩陣不等式關(guān)系進(jìn)一步構(gòu)造出一個(gè)簡(jiǎn)單易于求解的代理函數(shù)。首先,定義向量

(17)

(18)

(19)

式中：vec{·}表示矩陣按列向量化;矩陣S為

(20)

(21)

式中：°表示矩陣的哈達(dá)瑪積;矩陣T定義為

(22)

(23)

因此,優(yōu)化問(wèn)題式(15)可轉(zhuǎn)化為

(24)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知λmax(T°(v(l)v(l)H))=λmax(T),利用λmax(R-T°(v(l)v(l)H))≤‖R‖∞+‖T‖∞,并基于文獻(xiàn)[10]中的引理1可將式(24)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(25)

根據(jù)優(yōu)化模型式(25)不難得出原優(yōu)化問(wèn)題的迭代求解表達(dá)式為v(l+1)=ejarg(-z)。根據(jù)R的表達(dá)式可知

(26)

根據(jù)文獻(xiàn)[11],Toeplitz矩陣Rij可以分解為

(27)

進(jìn)而可得到矩陣乘積Rv(l)的快速計(jì)算方法如下

(28)

式中：2N×N的矩陣F的元素為Fm,n=e-jπ(m-1)(n-1)/N;Diag(x)為對(duì)角線為向量x的對(duì)角矩陣;FFT為快速傅里葉變換。式(28)可利用快速傅里葉變換高效計(jì)算。不難發(fā)現(xiàn)式(25)中的(T°(v(l)v(l)H))v(l)可化簡(jiǎn)為(T1GMN×1)v(l),其中1表示元素全為1的向量或矩陣。根據(jù)式(22)可知矩陣T與R的結(jié)構(gòu)幾乎相同,同理可基于快速計(jì)算Rv(l)的方法來(lái)快速計(jì)算(T1GMN×1)v(l)。最后,可以使用SQUAREM算法[12]來(lái)加速該算法。本文所提MIMO雷達(dá)分組正交波形集設(shè)計(jì)算法的步驟可總結(jié)如下：

(1) 根據(jù)式(25)迭代求解一次得到v(l+1)=ejarg(-z);

(2) 再次迭代得到v(l+2);

(3) 計(jì)算r=v(l+1)-v(l),u=(v(l+2)-v(l+1))-r;

(4) 計(jì)算步長(zhǎng)α=-‖r‖/‖u‖,并根據(jù)反向搜索策略更新步長(zhǎng);

(5) 將v(l)-2αr+α2r代入式(25)迭代更新波形;

(6) 判斷是否收斂,否則重復(fù)步驟(1)～步驟(5)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了測(cè)試本文所提分組正交波形集優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的效果,固定波形參數(shù)M=3,G=2,N=256不變,仿真不同權(quán)重系數(shù)w的取值情況下所得PSL1、PSL2、PCL指標(biāo)值的大小,結(jié)果如圖2所示。可以看出,權(quán)重系數(shù)w的值越小,組內(nèi)PSL值越低,組間PCL值越高。

圖2 M=3, G=2, N=256時(shí)權(quán)重w對(duì)PSL和PCL的影響

圖3和圖4的結(jié)果表明,碼長(zhǎng)越長(zhǎng),所得波形集的PCL和PSL指標(biāo)值就越低,總的波形數(shù)GM越多,得到的PCL值就越高,組內(nèi)PSL指標(biāo)值的大小主要取決于M的大小。圖4a)中PSLmax和PSLmin分別代表G組波形中PSLg的最大值和最小值。

圖3 M=3, G=2時(shí)波形碼長(zhǎng)N對(duì)結(jié)果的影響

假設(shè)發(fā)射波形集在上個(gè)脈沖被截獲,仿真當(dāng)前脈沖MIMO雷達(dá)處理輸出的距離-角度圖像,仿真結(jié)果如圖5所示。圖5中距離單元采樣間隔為100 m,第一個(gè)單元對(duì)應(yīng)的距離為50 km。雷達(dá)位于坐標(biāo)原點(diǎn),發(fā)射陣元數(shù)量為3,按半波長(zhǎng)間距線陣分布,接收陣元數(shù)量為16。仿真設(shè)置真實(shí)目標(biāo)角度、所在距離單元和回波信噪比分別為(-15°, 400, 3 dB)、(0°, 400, 3 dB)、(20°, 400, 3 dB)和(20°, 50, 5 dB)。DRFM的欺騙干擾產(chǎn)生假目標(biāo)所在角度、距離單元和干擾信號(hào)干噪比分別為(-15°, 50, 5 dB)和(0°, 50, 5 dB)。

圖5 不同波形集在DRFM干擾下的距離-角度圖像

圖6繪制了Primal-Dual、p-MM以及本文所提方法設(shè)計(jì)的不同波形集的組內(nèi)相關(guān)函數(shù)和組間互相關(guān)函數(shù)峰值,Random Set表示隨機(jī)數(shù)生成的波形。結(jié)果表明,當(dāng)w=0.1時(shí),相較于其他波形,所提方法得到的組內(nèi)自相關(guān)和互相關(guān)峰值是最低的,而只損失了少量組間互相關(guān)函數(shù)性能。當(dāng)w=0.9時(shí),其可實(shí)現(xiàn)更低的組間互相關(guān)峰值?？傊?所提分組正交波形集設(shè)計(jì)算法可調(diào)整權(quán)重系數(shù)來(lái)靈活平衡干擾抑制和距離壓縮性能,其在未來(lái)的波形博弈和雷達(dá)對(duì)抗領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用價(jià)值[13]。

圖6 M=3, G=2, N=128時(shí)分組正交波形集的相關(guān)函數(shù)曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

為了靈活滿足MIMO雷達(dá)抗干擾的需求,本文首先建立了一種分組正交波形集優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。所提模型引入了權(quán)重系數(shù)來(lái)平衡組內(nèi)、組間正交性能。然后,提出了一種基于MM算法框架的分組正交波形集分組優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。最后,仿真結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的波形可實(shí)現(xiàn)MIMO雷達(dá)抗干擾性能和距離旁瓣的平衡。