黃翔東 宋金水 李燕平

(天津大學(xué) 天津 300072)

1 引言

非合作目標(biāo)的載頻估計(jì)是通信偵察中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，旨在從寬范圍監(jiān)測(cè)頻帶中快速、高精度地捕獲目標(biāo)頻率位置。其接收機(jī)通常采用超外差結(jié)構(gòu)，即將射頻信號(hào)與本振信號(hào)相混頻，并借助中頻濾波器提取出其固定頻帶，再進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換與數(shù)字譜分析；然而該方法因依賴混頻器、本振和中頻濾波器等模擬器件(當(dāng)進(jìn)行大范圍載頻捕獲時(shí)，甚至需要設(shè)置多級(jí)混頻)，存在硬件成本高、功耗大、不易小型化的缺點(diǎn)[1-3]。為克服該缺陷，將數(shù)字采樣從中頻段前移至射頻段是載頻估計(jì)的趨勢(shì)。然而，若在射頻端直接采用經(jīng)典奈奎斯特采樣模式，需使用高速模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital Converter,ADC)，這對(duì)系統(tǒng)的硬件成本和功耗都提出很高要求。因而，欠采樣下的非合作目標(biāo)的載頻估計(jì)是當(dāng)前頻譜分析迫切需要解決的問題，而欠采樣下的頻率估計(jì)難點(diǎn)在于解決混疊頻率的解模糊問題。

為解決混疊頻率的解模糊問題，常用方法有以下3種。(1)利用中國(guó)余數(shù)定理(Chinese Remainder Theorem, CRT)完成折疊整數(shù)的計(jì)算[4,5]，然而直接用這些CRT算法處理具體欠采樣波形時(shí)，只能適用于復(fù)數(shù)信號(hào)，不能適應(yīng)于實(shí)數(shù)信號(hào)，其原因是CRT必須依賴多路欠采樣，即使對(duì)于單頻信號(hào)，其單通道實(shí)數(shù)波形必然對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)指數(shù)譜邊帶，從而m ≥2路多通道采樣就會(huì)產(chǎn)生2m個(gè)余數(shù)，故必然對(duì)僅需m個(gè)余數(shù)的CRT重構(gòu)造成余數(shù)選取模糊問題。(2)借助多通道互素欠采樣，利用查找表或頻率配準(zhǔn)完成混疊頻率的解模糊[6,7]。這種方法依賴多通道欠采樣率的互素關(guān)系，頻率檢測(cè)范圍受限于多通道欠采樣率的最小公倍數(shù)，不適用于在大帶寬頻率檢測(cè)范圍內(nèi)對(duì)非協(xié)作信號(hào)的頻率估計(jì)。(3)借助欠采樣譜分析方法估計(jì)出全景譜避免欠采樣導(dǎo)致的頻率混疊問題，再利用其他手段完成頻率校正。目前主流的方法為借助基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)化器(Modulated Wideband Converter, MWC)的譜分析方法估計(jì)出信源在整個(gè)頻率檢測(cè)范圍的頻譜支撐，再通過將每個(gè)頻譜切片移動(dòng)到頻譜中的適當(dāng)位置并疊加生成奈奎斯特采樣序列，進(jìn)而完成頻率估計(jì)[8-10]。顯然，基于MWC的譜分析并恢復(fù)奈奎斯特采樣序列完成載頻估計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn)在于正確估計(jì)出信源的頻譜支撐。

具體來(lái)說，基于MWC的頻率估計(jì)方法采用多路并行欠采樣結(jié)構(gòu)，在每路ADC前用乘法器、高頻脈沖發(fā)生器和模擬低通濾波器替代了超外差的混頻器、本振和中頻濾波器，故其模擬電路成本和功耗有所降低；在譜重構(gòu)算法設(shè)計(jì)方面，MWC通常采用壓縮感知重構(gòu)算法以構(gòu)造全景譜。近年來(lái)，該方法被用于非合作目標(biāo)的聯(lián)合到達(dá)角和載頻的估計(jì)方法中[11-13]。

然而MWC方法仍存在欠采樣通道數(shù)目多、載頻估計(jì)精度低和對(duì)信源頻帶分布稀疏度約束條件高等缺陷。原因在于：(1) MWC的譜重構(gòu)方法是基于壓縮感知原理的，要求欠采樣通道數(shù)目m ＞2U，U為譜成分?jǐn)?shù)目；(2) 壓縮感知譜重構(gòu)算法只能將載頻定位在有限的譜支撐區(qū)上，奈奎斯特序列的生成只是簡(jiǎn)單的頻譜切片合并，其頻率估計(jì)精度受限于頻譜支撐的準(zhǔn)確性；(3) 壓縮感知重構(gòu)條件要求信源稀疏分布，當(dāng)多信源呈現(xiàn)密集分布時(shí)(如信源跨越多個(gè)譜支撐區(qū)情況)，MWC方法即失效。因此，目前MWC方法的最新研究進(jìn)展都在于提高頻譜支撐估計(jì)的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[9]通過判斷2次重構(gòu)的子帶能量之間的相關(guān)性判斷MWC壓縮采樣重構(gòu)是否準(zhǔn)確。文獻(xiàn)[10]改進(jìn)了譜重構(gòu)中使用的貪心算法(即最短距離正交匹配跟蹤算法)，不僅將譜重構(gòu)的復(fù)雜度降低50%，而且具有更好的譜支撐集估計(jì)精度。

為根本解決當(dāng)前主流的MWC欠采樣譜分析方法的3個(gè)問題，本文提出基于互素譜相位差校正的通信信號(hào)載頻估計(jì)方法，該方法只需在兩路互素欠采樣條件[14,15]下，即可實(shí)現(xiàn)包含多個(gè)通信信號(hào)的高精度載頻估計(jì)，且適合于跨頻段和密集譜估計(jì)。

2 互素欠采樣概述及問題分析

經(jīng)典互素譜分析流程如圖1所示。

圖1 經(jīng)典互素譜分析流程圖

圖1中，M, N為互素整數(shù)對(duì), 設(shè)定載頻估計(jì)上限頻率為FN(對(duì)應(yīng)Nyquist采樣周期T=1/FN，快拍周期為MNT)，則兩路互素欠采樣速率設(shè)置為FS1=FN/N,FS2=FN/M。圖1中子濾波器Hk(z),Gl(z) 是由截止頻率為 π/M, π/N的原型低通濾波器H(z),G(z)做多相分解而得[14,15]

從圖1可看出，兩路欠采樣序列x(Nn),x(Mn)分別經(jīng)過多相濾波(上、下通道的支路濾波器分別為H0(z),...,HM-1(z),G0(z),...,GN-1(z)), IDFT運(yùn)算和通道間各支路的互相關(guān)掃描，即得互素譜輸出Sxx(ωi),i=0,1,...,MN-1 其 中ωi=iΔω,Δω=2π/MN。

然而，作為離散譜分析方式，互素譜的頻率分辨率受限于 Δω=2π/MN[15](對(duì)應(yīng)的模擬頻率分辨率為 Δf=FN/MN)，該分辨率仍無(wú)法滿足實(shí)際載波頻率估計(jì)精度要求。為提升精度，一方面需挖掘載頻與互素譜通道的映射關(guān)系，基于此設(shè)計(jì)互素譜校正方法，實(shí)現(xiàn)高精度載頻估計(jì)；另一方面需設(shè)計(jì)提升互素譜分析的分辨率的措施。

3 載頻估計(jì)方法

3.1 載頻與互素譜通道映射關(guān)系分析

以單頻帶二進(jìn)制相移鍵控調(diào)制(Binary Phase Shift Keying, 2PSK)信號(hào)為例說明該映射關(guān)系，2PSK信號(hào)為

其中，載頻fc=(i+δ)Δf,fc＜FN/2 ,Δf=FN/MN, i是載頻的整數(shù)部分 (0≤i ≤MN/2-1),δ是載頻的小數(shù)部分 (-0.5≤δ ＜0.5)。a[u]是2PSK調(diào)制符號(hào)序列，TB為符號(hào)周期，g(t)是脈寬為TB的脈沖整形函數(shù)。

顯然，x(t) 的 Nyquist樣本為(為方便，將s(nT)表示為s(n))

則在采樣率為FS1的上通道中，第個(gè)時(shí)延器的輸出為

進(jìn)而對(duì)x(N(n-))做抽取因子為M的下采樣后，其各路子濾波器實(shí)際工作在FS1/M的低速率上，由于MN個(gè)Nyquist樣本組成1個(gè)快拍，則對(duì)于第v個(gè)快拍，子濾波器(z)的輸入信號(hào)可等價(jià)表示為

考慮到欠采樣可能會(huì)使得式(7)中的角頻率(i+δ)2π/M超過 2π，因此該角頻率可表示為

同理，在下通道中，角頻率(m+δ)2π/N也可表示為

其中“ [·]”為四舍五入取整。聯(lián)立式(10)、式(11)，則可推導(dǎo)出如下數(shù)字載頻值fc/Δf與互素譜IDFT輸出支路序號(hào)對(duì)(k, l)、頻偏之間的映射關(guān)系

其中，fc/Δf實(shí)際為 (i+δ)，故從式(13)中可推出，兩個(gè)待定折疊整數(shù)可通過對(duì)全景譜序號(hào)i作如式(14)的模除下取整操作而確定，即

因而，精確載頻估計(jì)的關(guān)鍵在于：(1)準(zhǔn)確獲知譜序號(hào)i(即要求產(chǎn)生無(wú)偽峰全景譜)；(2)精確估計(jì)出頻偏值δ(可通過本文提出的相位差校正方法求得)。

3.2 兩路并行互素譜分析

本文設(shè)計(jì)出如圖2所示的兩路并行互素譜分析器，不僅可消除經(jīng)典互素譜分析的偽峰效應(yīng)[16]，而且還可將頻率分辨率提升1倍。

圖2 兩路并行互素譜分析器

圖2中H(1)(z),G(1)(z),H(2)(z),G(2)(z)為本文設(shè)計(jì)的最小尺寸全相位濾波器，使用其作為互素譜分析中的原型濾波器可以降低載頻估計(jì)方法的計(jì)算復(fù)雜度。該設(shè)計(jì)要求對(duì)理想原型濾波器頻率響應(yīng)H(jω),G(jω)做最小尺寸采樣，可得如式(15)的兩個(gè)最短頻率采樣向量

為構(gòu)造兩路并行互素譜分析，不妨對(duì)向量H,G作如式(16)的對(duì)半分解

進(jìn)而采用文獻(xiàn)[17]的基于偶對(duì)稱頻率采樣的全相位濾波器設(shè)計(jì)法，可推導(dǎo)出與這4個(gè)頻率向量相對(duì)應(yīng)的H(1)(z),G(1)(z),H(2)(z),G(2)(z)對(duì)應(yīng)的原型濾波器系數(shù)分別為

其中，wc(n)為 單窗卷積窗函數(shù)[17]，將H(1)(z),G(1)(z)進(jìn)行多相分解所得的子濾波器代入圖2的第1路互素譜分析，將H(2)(z),G(2)(z)進(jìn)行多相分解所得的子濾波器代入其第2路互素譜分析，則可分別在如下兩個(gè)頻點(diǎn)集合Γ1,Γ2中得到各自的功率譜估計(jì)結(jié)果

進(jìn)而將Γ1,Γ2的兩路譜分析結(jié)果合并，即可得全景譜Sxx(ω),ω ∈Γ1∪Γ2。既然Sxx(ω)的觀測(cè)頻點(diǎn)數(shù)相比于經(jīng)典互素譜分析增加了1倍，其頻率分辨率也相應(yīng)提升1倍。需指出的是，源于最小尺寸全相位濾波器對(duì)半分解的作用，全景譜Sxx(ω)可根本消除經(jīng)典互素譜分析的偽峰效應(yīng)，保證了可從互素譜輸出中準(zhǔn)確取得式(14)所需的全景譜序號(hào)i。

令M=23, N=19,FN=6.555 GHz，則Δf=FN/MN=15 MHz ，對(duì)頻率為 130.48Δf、幅值為2、初始相位為 3π/7的余弦信號(hào)進(jìn)行欠采樣譜分析。圖3(a)、圖3(b)分別給出了經(jīng)典互素譜分析和本文提出的兩路并行互素譜分析的全景譜估計(jì)結(jié)果(由于為實(shí)信號(hào)，只給出了左半頻率軸)。

圖3 經(jīng)典互素譜分析、兩路并行互素譜分析的全景譜

從圖3(a)可看出，除期望位置i=130處，經(jīng)典互素譜分析還產(chǎn)生了3根冗余偽峰；而圖3(b)本文提出的分析器則完全消除了偽峰效應(yīng)，僅從譜峰位置即可確認(rèn)全景譜序號(hào)i。

3.3 基于相位差的互素譜校正方法

本文提出基于相位差的互素譜校正方法用于估計(jì)式(13)中的頻偏值δ，以提升載頻估計(jì)精度。將從全景譜觀察到的頻率fc的序號(hào)i、頻率f的序號(hào)i*分別代入式(12)，可分別得到與fc對(duì)應(yīng)的余數(shù)對(duì)(k,l) 和與對(duì)應(yīng)的 (k*,l*)。

注意到圖1的互素譜分析過程只涉及移相、濾波、加法和IDFT等線性運(yùn)算，從而整體上可將其視為線性系統(tǒng)。故可基于線性性質(zhì)，推導(dǎo)相鄰快拍激勵(lì)下的IDFT輸出(k)與v+1(k)之間的相位關(guān)系。

不妨將式(3)的當(dāng)前第v個(gè)快拍的激勵(lì)表達(dá)為

式(19)的基帶信號(hào)s(n)實(shí)際表征通信載頻包絡(luò)，當(dāng)符號(hào)率不高時(shí)，其相鄰快拍采樣值可視為不變，即s(n+MN)≈s(n) ，基于此，可推出第v+1個(gè)快拍的激勵(lì)表達(dá)式為

聯(lián)立式(19)、式(20)可發(fā)現(xiàn):對(duì)于ωc成分，相鄰快拍之間的激勵(lì)變化可完全由復(fù)增益ejωcMN來(lái)表述，從而根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，上通道的第v個(gè)快拍和第v+1 個(gè)快拍的IDFT輸出值(k),v+1(k)存在如式(21)的簡(jiǎn)單相位關(guān)系

式(22)中未知整數(shù)m*引起的整周模糊度可通過如下模除求余操作而消除

既然δ ∈[-0.5,0.5)，進(jìn)而可推導(dǎo)出上通道第v個(gè)快拍第k路IDFT輸出的頻偏估計(jì)

類似地，也可獲得下通道第v個(gè)快拍第l路IDFT輸出的頻偏估計(jì)值。并在L個(gè)快拍范圍內(nèi)對(duì),作平均，即可得到更高精度的頻偏估計(jì)

進(jìn)而結(jié)合兩路并行互素譜分析器觀測(cè)到的全景譜序號(hào)i,可得到如式(26)的載頻估計(jì)值

3.4 算法流程總結(jié)

容易將以上過程推廣至多頻帶通信信號(hào)情況，其載頻估計(jì)流程可總結(jié)為算法1所示。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 多頻帶數(shù)字已調(diào)信號(hào)的載頻估計(jì)

算法 1 多頻帶通信信號(hào)載頻估計(jì)流程

設(shè)互素整數(shù)對(duì)M=23, N=19，上限Nyquist頻率FN=6.555 GHz， 兩路欠采樣率分別為FS1=FN/N=345 MHz,FS2=FN/M=285 MHz，原始頻率分辨率Δf=FN/MN=15 MHz。結(jié)合式(17)設(shè)計(jì)出最小尺寸全相位濾波器，構(gòu)造出兩路并行互素譜分析器，其頻率分辨率為 Δf/2=7.5 MHz。測(cè)試信號(hào)為如式(27)所示各自包含U=4個(gè)頻帶的幅移鍵控(Amplitude Shift Keying, ASK), 正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying, QPSK)信號(hào)

其中，sASK(t),sQPSK(t)分別為對(duì)應(yīng)基帶信號(hào)，載頻f1,f2,f3,f4依次為： 28.12Δf,29.88Δf,42.11Δf,86.96Δf，相應(yīng)的通信信號(hào)帶寬分別為0.5Δf, 0.5Δf,1Δf, 3Δf,z(t)是加性高斯白噪聲。向并行互素譜分析器饋入時(shí)長(zhǎng)為100個(gè)快拍的欠采樣樣點(diǎn)(對(duì)應(yīng)上通道饋入100M=2 300個(gè)樣點(diǎn)x1(n)，下通道饋入100N=1 900個(gè)樣點(diǎn)x2(n))。圖4給出信噪比SNR=10 dB時(shí)，兩路并行互素譜分析器對(duì)QPSK信號(hào)估計(jì)的全景譜。

圖4 兩路并行互素譜分析的全景譜

定性而言，從圖4全景譜分布，可發(fā)現(xiàn)其呈現(xiàn)如下特征:

(1)共包含4簇譜線，與真實(shí)源數(shù)目一致，證實(shí)了所提出的兩路并行互素譜分析器可根本消除偽峰；

(2)不僅能識(shí)別帶寬不超過 Δf的窄帶成分(如f1,f2,f3)，而且可識(shí)別超過 Δf的寬帶成分(如帶寬為3 Δf的f4成分)。

(3)可以區(qū)分間距僅為1.76 Δf的密集譜成分f1,f2。

定量而言，在 SNR∈[-18 dB,10 dB]內(nèi)改變信噪比對(duì)本文方法做測(cè)試，分別估計(jì)包含4個(gè)頻帶的ASK信號(hào)、QPSK信號(hào)的載頻，對(duì)每種SNR和每種數(shù)字調(diào)制情況，開展D=1 000次蒙特卡洛試驗(yàn)，每次試驗(yàn)按式(28)算出其相對(duì)誤差ξd進(jìn)而取所有試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)期望，即可得總體相對(duì)誤差ξ=E(ξd)。 對(duì)于QPSK和ASK兩種數(shù)字調(diào)制情況，其載頻估計(jì)的相對(duì)誤差總體測(cè)試曲線如圖5所示。

圖5 本文方法載頻估計(jì)的相對(duì)誤差曲線

結(jié)合圖5與信源分布，可得以下兩點(diǎn)結(jié)論：

(1) 當(dāng)信噪比高于-10 dB時(shí)，兩種數(shù)字調(diào)制的載頻估計(jì)相對(duì)誤差均低于0.002%。

(2) 由于信源分布包含密集頻帶和大帶寬成分，反映出本文方法對(duì)信源稀疏性不作限制。

4.2 與基于壓縮感知的載頻估計(jì)方法比較

為檢驗(yàn)本文方法的載頻估計(jì)精度，將其與基于MWC欠采樣結(jié)構(gòu)的壓縮感知估計(jì)方法對(duì)比，文獻(xiàn)[10]報(bào)道了該方法的最新研究進(jìn)展(對(duì)支撐區(qū)重構(gòu)算法的改進(jìn))。本文方法的參數(shù)設(shè)置沿用4.1節(jié)不變。而在MWC方法中，設(shè)定其欠采樣通道數(shù)為m=40(其檢測(cè)頻帶數(shù)目理論上限為20)，欠采樣因子B=195，單通道欠采樣率為FS=FN/B=33.6 MHz，MWC中的調(diào)制脈沖周期Tp=1/FS=29.76 ns，在譜重構(gòu)階段，使用文獻(xiàn)[10]所提出的最短距離正交匹配跟蹤算法完成信源頻譜支撐的估計(jì)。測(cè)試信號(hào)選為，在 SNR∈[-20 dB,10 dB]內(nèi)，頻帶數(shù)量在U ∈[2,16]內(nèi) 變化的QPSK信號(hào)(符號(hào)周期同為 0.267 μs，對(duì)應(yīng)信號(hào)帶寬同為 0.5Δf)，U個(gè)載頻均在(0,FN/2)隨機(jī)生成。圖6給出兩種方法的相對(duì)誤差曲線。

圖6 兩種載頻估計(jì)方法的相對(duì)誤差曲線

結(jié)合圖6和兩種方法參數(shù)設(shè)置，本文所提出的載頻估計(jì)方法具有如下優(yōu)勢(shì)：

(1) 本文方法具有遠(yuǎn)比MWC方法更高的載頻估計(jì)精度。 表現(xiàn)在，當(dāng)U=2, 4時(shí)， MWC載頻估計(jì)方法(虛線)相對(duì)誤差低于0.01%的SNR閾值分別為-14 dB, -12 dB；而本文方法(實(shí)線)的相對(duì)誤差在SNR∈[-20 dB,10 dB]范圍內(nèi)始終低于0.01%，且在SNR大于-12 dB時(shí)，相對(duì)誤差甚至低于0.001%。

(2) 本文方法具有遠(yuǎn)比MWC方法更高的稀疏度魯棒性。表現(xiàn)在，當(dāng)成分?jǐn)?shù)量U=8時(shí)，MWC方法的SNR門限為 -4 dB, 而本文方法SNR門限則為-12 dB，在SNR=10 dB時(shí)，本文方法的相對(duì)誤差為MWC方法的1/20；當(dāng)成分?jǐn)?shù)量U=16時(shí)，已無(wú)法繪制出MWC的相對(duì)誤差曲線，而本文方法SNR門限則為 -10 dB。這是因?yàn)椋阂环矫?，MWC的壓縮感知重構(gòu)失敗概率隨信噪比降低會(huì)急劇增大；另一方面，當(dāng)隨機(jī)成分?jǐn)?shù)量U增大時(shí)，產(chǎn)生密集信源分布的可能性增大，使得待估計(jì)信源分布不滿足壓縮感知對(duì)信源稀疏度的要求，導(dǎo)致譜重構(gòu)失敗。而本文方法對(duì)以上兩個(gè)因素不敏感。

(3) 本文方法具有遠(yuǎn)比MWC方法更高的樣本利用率。表現(xiàn)在，MWC方法所需的總采樣率為mFS=1344 MHz ，而本文所需的總采樣率為FS1+FS2=630 MHz，由于兩者觀測(cè)時(shí)段相同，意味著本文方法消耗的樣本數(shù)僅為MWC方法的630/1344=46.88%，即獲得如上所述的載頻估計(jì)性能的全面改善效果。

5 結(jié)論

本文提出互素欠采樣條件下的多頻帶通信信號(hào)高精度載頻估計(jì)，通過將兩路并行互素譜分析與基于相位差的互素譜校正方法結(jié)合起來(lái)，既克服了MWC欠采樣結(jié)構(gòu)的載頻估計(jì)方法存在的欠采樣通道多、精度低、稀疏性要求等不足，又彌補(bǔ)了經(jīng)典互素譜分析存在偽峰效應(yīng)的缺陷，且突破了頻率分辨率限制，提高了載頻估計(jì)的精度。故在通信偵察、電子支援等非合作目標(biāo)載頻捕獲中具有廣闊的應(yīng)用前景。