楊寧寧 孟詩(shī)悅* 吳朝俊

①(西安理工大學(xué)電氣工程學(xué)院 西安 710048)

②(西安工程大學(xué)電子信息學(xué)院 西安 710048)

1 引言

神經(jīng)系統(tǒng)是一個(gè)龐大而復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，是由眾多神經(jīng)元通過(guò)突觸連接形成的信息網(wǎng)絡(luò)[1]。神經(jīng)元作為神經(jīng)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)和功能單位，能夠感知和傳遞刺激，具有連接和整合輸入信息和傳遞信息的功能[2]。當(dāng)神經(jīng)元受到刺激時(shí)，細(xì)胞膜內(nèi)外的離子濃度會(huì)發(fā)生突變，從而觸發(fā)動(dòng)作電位[3]。這種電生理信號(hào)沿軸突傳輸?shù)酵挥|前端，進(jìn)一步被相鄰神經(jīng)元的突觸后端捕獲和感知，實(shí)現(xiàn)神經(jīng)元之間信號(hào)的傳輸和編碼。單個(gè)神經(jīng)元在受到相鄰神經(jīng)元或外部刺激后，可誘發(fā)多種放電模式，如靜息態(tài)、周期放電態(tài)、混沌放電態(tài)等復(fù)雜的放電模式。在實(shí)際環(huán)境中，神經(jīng)元并不是獨(dú)立存在的，而是彼此通過(guò)突觸相互耦合、相互影響的。因此搭建神經(jīng)元電路為研究其復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為和信息傳輸提供了有效的途徑[4-6]。常見(jiàn)的神經(jīng)元模型有Hodgkin-Huxley模型[7]、FHN模型[8]、Hindmarsh-Rose模型[9]、Izhikevich[10]模型等。

在實(shí)際的生理環(huán)境中，神經(jīng)元會(huì)受到如光照、溫度、外磁場(chǎng)等外部刺激的影響，此時(shí)其輸出電壓可以反映神經(jīng)元電路的興奮性。馬軍[11]在單個(gè)神經(jīng)電路中嵌入不同的物理器件設(shè)計(jì)了光敏神經(jīng)元、熱敏神經(jīng)元等多種功能神經(jīng)元。Liu等人[12]用光電管來(lái)激活FHN神經(jīng)元模型，詳細(xì)地分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)神經(jīng)元放電模式的影響?，F(xiàn)有的基于理想元件的神經(jīng)元電路研究主要集中在整數(shù)階，而研究表明分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元模型更精確，可以提高信息處理的效率。Yao等人[13]分析了分?jǐn)?shù)階FHN神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)特性，并證明了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元更適合與模擬神經(jīng)行為。Yang等人[14]研究了憶阻突觸耦合分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元的同步特性。研究結(jié)果表明隨著分?jǐn)?shù)階階次的變化，神經(jīng)元在周期態(tài)和混沌態(tài)之間過(guò)渡。Abdelaty等人[15]研究表明分?jǐn)?shù)階模型由于額外的自由度，可以豐富模型的靈活性和動(dòng)態(tài)特性。

本文的其余部分組織如下：在第2節(jié)中，提出了分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元模型；在第3節(jié)中，通過(guò)分岔圖、相軌跡圖和時(shí)間序列圖等方法分析了分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為；在第4節(jié)中，采用dSPACE驗(yàn)證了仿真結(jié)果。最后，對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)并說(shuō)明了本文所提出的模型潛在的應(yīng)用前景。

2 分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元數(shù)學(xué)模型

光線進(jìn)入眼睛，在視網(wǎng)膜上感光并觸發(fā)神經(jīng)電活動(dòng)響應(yīng)，從物理過(guò)程來(lái)看視網(wǎng)膜實(shí)現(xiàn)了光電轉(zhuǎn)換，把電磁波能量轉(zhuǎn)化為生物電信號(hào)，并以動(dòng)作電位的方式進(jìn)一步刺激腦視覺(jué)功能區(qū)來(lái)產(chǎn)生響應(yīng)。光敏神經(jīng)元模型可以近似模擬這一物理過(guò)程，而分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元比整數(shù)階模型更精確，動(dòng)力學(xué)行為更豐富，此節(jié)介紹分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元模型。

2.1 分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元

本文在文獻(xiàn)[16]整數(shù)階光敏神經(jīng)元的基礎(chǔ)上，用分?jǐn)?shù)階電容和電感替代整數(shù)階神經(jīng)元電路中的理想元件，得到了分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元電路模型，如圖1所示。其中 NR 是非線性電阻，C表示分?jǐn)?shù)階電容，L為分?jǐn)?shù)階電感，R是與感應(yīng)線圈串聯(lián)的電阻，iS代表外部刺激電流，E為施加的恒定電壓源，VS為余弦電壓源，RS為支路的電阻。

圖1 分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元電路示意圖

根據(jù)基爾霍夫定律、伏安關(guān)系及分?jǐn)?shù)階電容、電感模型[17,18]得到圖1的電路方程為

非線性電阻 NR的電壓和電流之間的關(guān)系表達(dá)式為[16]

其中，ρ,V0是電阻的歸一化參數(shù)；V是非線性電阻的電壓。

對(duì)電路方程式(1)采用以下的無(wú)量綱變換

從而得到分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)方程[19]

其中，x表示膜電位，y表示恢復(fù)變量對(duì)應(yīng)的慢電流， 0＜q ≤1 是分?jǐn)?shù)階的階數(shù)，a,b,c,ξ是系統(tǒng)參數(shù)。外部激勵(lì)源和光電管輸出為uS=B1cosωτ，且ug=B2cosωτ。其中B1、B2和ω分別表示激勵(lì)和光電管的幅值和頻率。也就是說(shuō)，光電管可以用作電壓源，產(chǎn)生時(shí)變刺激，激活神經(jīng)回路。

2.2 穩(wěn)定性分析

從分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)中移除外部電壓源和光電管輸出，對(duì)此神經(jīng)元進(jìn)行穩(wěn)定性分析

假設(shè)平衡點(diǎn)為 (x0,y0)，此點(diǎn)的雅可比矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

相應(yīng)的特征值為

如果其中一個(gè)特征值滿足

平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。顯然，它是由參數(shù)a,b,c和參數(shù)ξ決定的。

3 數(shù)值仿真及動(dòng)力學(xué)分析

在本節(jié)中，通過(guò)數(shù)值仿真分析分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)特性。系統(tǒng)的歸一化參數(shù)選取為a=0.7，b=0.8，c=0.1，ξ=0.175，變量初始值為(x0,y0)=(0.2,0.1)。

3.1 分?jǐn)?shù)階階次q =0.99

取參數(shù)B1=0.8，ω=0.4，B2=0.2，繪制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)隨參數(shù)B1和ω變化的分岔圖，如圖2所示?？梢钥闯?，改變外界驅(qū)動(dòng)參數(shù)B1和ω，可以使系統(tǒng)在周期放電和混沌放電之間過(guò)渡。

圖2 q=0.99時(shí)不同分岔參數(shù)下的分岔圖

當(dāng)固定其他參數(shù)不變時(shí)，隨著參數(shù)B1的增大，系統(tǒng)由單周期放電過(guò)渡到混沌放電狀態(tài)，而后轉(zhuǎn)變?yōu)殡p周期放電狀態(tài)(圖3)。若只改變參數(shù)ω，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)單周期放電、尖峰放電過(guò)渡到混沌放電，而后轉(zhuǎn)為雙周期放電狀態(tài)(圖4)。結(jié)果表明，在不同的參數(shù)選擇下，系統(tǒng)膜電位可以呈現(xiàn)出不同的放電模式，即周期放電態(tài)、尖峰放電態(tài)及混沌放電態(tài)。

圖3 q=0.99時(shí)參數(shù)B1取不同值時(shí)的相圖及時(shí)間序列圖

圖4 q=0.99時(shí)參數(shù)ω取不同值時(shí)的相圖及時(shí)間序列圖

3.2 分?jǐn)?shù)階階次q =0.9

取參數(shù)B1=0.8，ω=0.4，B2=0.2，隨參數(shù)B1和ω變化的分岔圖如圖5所示?？梢钥闯觯S著分?jǐn)?shù)階階次的降低，系統(tǒng)的混沌區(qū)域減少且時(shí)間滯后，神經(jīng)系統(tǒng)對(duì)外界信號(hào)的適應(yīng)能力增強(qiáng)。

圖5 q=0.9時(shí)不同分岔參數(shù)下的分岔圖

當(dāng)固定其他參數(shù)不變時(shí)，隨著參數(shù)B1的增大，系統(tǒng)在周期放電狀態(tài)和混沌放電狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換(圖6)。若只改變參數(shù)ω，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)周期放電過(guò)渡到混沌放電，而后轉(zhuǎn)回單周期放電狀態(tài)(圖7)。結(jié)果表明，在不同的參數(shù)選擇下，系統(tǒng)膜電位可以呈現(xiàn)出不同的放電模式，即周期放電態(tài)、尖峰放電態(tài)及混沌放電態(tài)。

圖6 q=0.9時(shí)參數(shù)B1取不同值時(shí)的相圖及時(shí)間序列圖

圖7 q=0.9時(shí)參數(shù)ω取不同值時(shí)的相圖及時(shí)間序列圖

3.3 隨分?jǐn)?shù)階階次 q 變化

考慮到分?jǐn)?shù)階階次q的變化對(duì)分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元電路動(dòng)力學(xué)特性的影響。取B1=0.8，ω=0.4，B2=0.2，q ∈[0.9,1] 。系統(tǒng)隨階次q變化的分岔圖如圖8所示。由圖可以看出，系統(tǒng)隨階次變化的分岔圖可以分為兩種狀態(tài)：周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)。當(dāng)q ∈[0.9,0.962] , [0.967,0.97] , [0.973,0.974]時(shí)，系統(tǒng)處于周期態(tài)，當(dāng)q ∈[0.962,0.967] , [0.97,0.973],[0.974,1]時(shí)，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出復(fù)雜的混沌狀態(tài)。

圖8 系統(tǒng)隨階次q變化的分岔圖

3.4 基于電突觸耦合策略的分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元的同步控制

神經(jīng)元同步在大腦信息交流和處理的過(guò)程中發(fā)揮了重要的作用。本文采用電突觸耦合方式實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元的同步。如果忽略耦合的時(shí)間延遲，則兩個(gè)光敏神經(jīng)元組成的系統(tǒng)為其中：a,b,c,ξ是參數(shù)，r是耦合強(qiáng)度，0＜q ≤1是分?jǐn)?shù)階的階數(shù)。

設(shè)e1=x1-x2，e2=y1-y2，若t →+∞時(shí)，有e=|e1|+|e2|→0，則兩個(gè)耦合神經(jīng)元達(dá)到完全同步。取定系統(tǒng)的歸一化參數(shù)B1=0.8，ω=0.4，B2=0.2，r=50， 系統(tǒng)初始值為 (x1,y1)=(0.2,0.1),(x2,y2)=(0.02,0.01) ，分?jǐn)?shù)階階次q=0.99和0.9，光敏神經(jīng)元不同階次對(duì)初值的同步如圖9所示。

圖9 光敏神經(jīng)元不同階次對(duì)初值的同步

由圖9可知，在相同的耦合系數(shù)下，當(dāng)q=0.99時(shí)，兩個(gè)分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元之間可以達(dá)到完全同步；當(dāng)q=0.9時(shí)，兩個(gè)光敏神經(jīng)元之間相位同步，尖峰的高度不等，實(shí)現(xiàn)了近似同步。

4 基于dSPACE的分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)

本文利用時(shí)域-頻域轉(zhuǎn)換法，構(gòu)建分?jǐn)?shù)階積分器，對(duì)模型進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求解。然后采用dSPACE工作平臺(tái)(如圖10)對(duì)Simulink輸出信號(hào)經(jīng)比例縮放驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為，其中系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響如圖11-圖14所示，分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元的耦合同步如圖15所示。

圖10 基于dSPACE的工作實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖11 q=0.99時(shí)參數(shù)B1取不同值時(shí)的相圖及時(shí)間序列圖

圖12 q=0.9時(shí)參數(shù)B1取不同值時(shí)的相圖及時(shí)間序列圖

圖13 q=0.99時(shí)參數(shù)ω取不同值時(shí)的相圖及時(shí)間序列圖

圖15 光敏神經(jīng)元不同階次對(duì)初值的同步

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在整數(shù)階光敏FHN神經(jīng)元電路中引入分?jǐn)?shù)階微積分理論，提出了分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元模型。通過(guò)分岔分析，光電流的改變可以誘發(fā)系統(tǒng)豐富的放電模式，如周期放電、尖峰放電和混沌放電狀態(tài)。綜合分析結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元系統(tǒng)對(duì)相同的外部信號(hào)表現(xiàn)出更多的周期性放電區(qū)域，隨著分?jǐn)?shù)階階次的降低，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌區(qū)域減少，光敏神經(jīng)元的活躍度增加，對(duì)外界信號(hào)的適應(yīng)能力增強(qiáng)。數(shù)值仿真和dSPACE實(shí)現(xiàn)結(jié)果表明，當(dāng)選取不同的系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，神經(jīng)元系統(tǒng)在周期放電和混沌放電狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換；當(dāng)參數(shù)選取不同值時(shí)，系統(tǒng)可以誘發(fā)周期放電、混沌放電、尖峰放電等不同的放電模式。此外，使用電突觸耦合的方式連接兩個(gè)分?jǐn)?shù)階光敏神經(jīng)元，并通過(guò)調(diào)整耦合系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)神經(jīng)元之間的相位同步和完全同步。結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的信息編碼和傳輸能力，對(duì)進(jìn)一步研究功能性神經(jīng)電路與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用具有一定的借鑒意義。