周 華 李子杰

(南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 南京 210044)

1 引言

低密度校驗矩陣定義的卷積碼由Jimenez等人[1]1999年首次提出。與分組碼相比，低密度奇偶校驗碼(Low-Density Parity-Check, LDPC)卷積碼在性能上卷積增益更大[2]。由于LDPC卷積碼具有半無限空間交織校驗矩陣結(jié)構(gòu)，故其被命名為空間耦合低密度奇偶校驗(Spatially-Coupled LDPC, SCLDPC)碼[3]，其具有置信傳播(Belief Propagation,BP)譯碼閾值接近對應(yīng)規(guī)則LDPC碼的最大后驗概率(Maximum A Posterior, MAP)譯碼閾值的特性[4,5]。

SC-LDPC碼研究主要包括編碼碼型的構(gòu)造和譯碼方法的優(yōu)化。針對SC-LDPC碼型的構(gòu)造，2016年，Koganei等人[6]提出一種空間耦合強(qiáng)度不均勻的編碼方式，結(jié)果表明該碼與具有均勻度分布的SC-LDPC碼相比，具有更好的譯碼性能。2019年，Kwak等人[7]進(jìn)一步提出了利用線性規(guī)劃方法設(shè)計非均勻度分布的非規(guī)則SC-LDPC碼，一定程度上提升了SC-LDPC碼在二進(jìn)制擦除信道下的譯碼性能。為了降低誤碼率和譯碼復(fù)雜度，Dehaghani等人[8]在2022年提出了一種基于小單鏈和循環(huán)結(jié)構(gòu)相結(jié)合的碼字集成方法。在譯碼研究方面，Iyengar等人[9]在2012年提出應(yīng)用于SC-LDPC碼的滑動窗口譯碼(Sliding Window Decoding, SWD)方法，與傳統(tǒng)方案相比，較大幅度降低了譯碼復(fù)雜度與時延。2018年，Ali等人[10]針對滑窗譯碼提出了提前終止、消息重用(Message Reuse, MR)和有效信息放大3種方法，同時改善了滑窗譯碼的譯碼性能、復(fù)雜度和延時。同年，Zhu等人[11]針對滑窗譯碼中存在錯誤傳播的現(xiàn)象，引入了同步機(jī)制算法。2020年，吳皓威等人[12]將分層譯碼引入窗口譯碼中，進(jìn)一步降低SC-LDPC碼的譯碼延時。張婭妹等人[13]也在當(dāng)年提出了窗口擴(kuò)展(Window Extension SWD, WE-SWD)滑窗譯碼方法，從而提高滑窗譯碼性能。

滑窗譯碼存在時延較高和譯碼性能較差的局限性，窗口內(nèi)更新差異值較小的邊信息對提高譯碼性能收益較低，且由于窗口內(nèi)目標(biāo)符號邊信息更新受到前續(xù)窗口譯碼時關(guān)聯(lián)邊信息的影響，所以其更容易受到錯誤傳播的干擾。為了提高SC-LDPC碼滑窗譯碼性能和抑制錯誤傳播，本文提出基于動態(tài)殘差的滑窗譯碼(Residual SWD, RSWD)算法。該算法通過計算殘差的方式動態(tài)選擇窗口內(nèi)更新前后邊信息差異最大的邊優(yōu)先更新，降低邊信息無效更新的頻率，減少譯碼平均迭代次數(shù)，提高窗內(nèi)譯碼收斂速度。仿真結(jié)果表明：相比于傳統(tǒng)SWD算法，RSWD算法在窗口中各位置的誤比特數(shù)明顯降低，抑制錯誤傳播現(xiàn)象更明顯；在高信噪比區(qū)域或者低迭代次數(shù)的情況下，RSWD算法的誤碼率性能均優(yōu)于SWD算法；將動態(tài)殘差應(yīng)用到消息復(fù)用和窗口擴(kuò)展兩種窗譯碼算法中，以犧牲較少復(fù)雜度為代價，提升窗譯碼性能。

2 空間耦合LDPC碼

SC-LDPC碼的構(gòu)造基于原模圖，原模圖是由校驗節(jié)點(diǎn)和變量節(jié)點(diǎn)組成的小型二分圖，其與Tanner圖結(jié)構(gòu)類似。對單個原模圖復(fù)制多次，然后通過邊置換交織和擴(kuò)展[14]的方式進(jìn)行空間耦合可形成不同碼長的SC-LDPC碼[15]。規(guī)則LDPC碼原模圖的度分布為(J, K)，其中J表示原模圖中連接到變量節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)，K表示原模圖中連接到校驗節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)。

圖1展示SC-LDPC碼原模圖的構(gòu)造過程，其中圖1(a)所示是一個度分布為(3, 6)LDPC碼原模圖單元，其中V代表變量節(jié)點(diǎn)，C代表校驗節(jié)點(diǎn)。將單原模圖復(fù)制L次，如圖1(b)所示，形成耦合長度為L的原模圖序列，t為原模圖序列的起始時刻，t+L-1為序列的末尾時刻。圖1(c)展示了邊緣擴(kuò)展的過程，將t時刻原模圖的邊端變量節(jié)點(diǎn)連接到位置為t,t+1,t+2,···,t+w的檢驗節(jié)點(diǎn)上，w為耦合寬度。圖1(d)表示耦合長度為L且w=2時，將圖1(b)中每個時刻的單原模圖重復(fù)圖1(c)中邊緣擴(kuò)展后，形成的SC-LDPC原模圖鏈，在原模圖鏈右側(cè)需要額外的w個校驗節(jié)點(diǎn)終止邊緣擴(kuò)展。

圖1 SC-LDPC碼原模圖的構(gòu)造過程

單原模圖包含Jg個校驗節(jié)點(diǎn)和Kg個變量節(jié)點(diǎn)，其中Jg=J/gcd(J, K),Kg=K/gcd(J, K),gcd(J, K)表示J和K的最大公約數(shù)。該原模圖對應(yīng)的矩陣稱為基矩陣，大小為Jg×Kg。圖1(a)中度分布為(3, 6)單原模圖對應(yīng)的基矩陣為B=[3 3]，對其進(jìn)行邊緣擴(kuò)展之后，基矩陣被劃分為分量基矩陣Bi,i=0,1,2,···,w。圖1(c)中耦合寬度w=2時，對應(yīng)的分量基矩陣B0=B1=B2=[1 1]，將原模圖鏈中的每個單原模圖轉(zhuǎn)為矩陣形式排列可以得到SC-LDPC碼的基矩陣Bsc，如式(1)所示

將Bsc中“1”和“0”分別替換為M0×M0的單位循環(huán)移位矩陣和M0×M0的全零矩陣，M0定義為擴(kuò)展因子，可得到SC-LDPC碼的奇偶校驗矩陣Hsc，大小為(L+w)JgM0×LKgM0。該方法生成的SC-LDPC碼的碼率RL，如式(2)所示

3 SC-LDPC碼滑窗譯碼和錯誤傳播現(xiàn)象

LDPC碼常用的譯碼方法為BP譯碼，將接收到的碼字信息在變量節(jié)點(diǎn)和校驗節(jié)點(diǎn)之間迭代更新，直到滿足奇偶校驗方程或者達(dá)到最大迭代次數(shù)。由于SC-LDPC碼的奇偶校驗矩陣具有對角帶結(jié)構(gòu)，可以在尺寸為W的窗口內(nèi)運(yùn)行BP譯碼[16]，其中W為窗口大小，w+1≤W≤L, W∈Z+。

圖2展示了滑窗譯碼過程，即SWD算法。窗口矩陣HWD的校驗節(jié)點(diǎn)數(shù)量為W×Jg×M0，變量節(jié)點(diǎn)數(shù)量為W×Kg×M0，窗口尺寸為W JgM0×WKgM0。首先窗口矩陣位于校驗矩陣左上角，在整個窗口內(nèi)執(zhí)行BP譯碼，在整個窗口譯碼結(jié)束后只輸出目標(biāo)符號，目標(biāo)符號譯碼完成之后，整個窗口向右下方滑動JgM0行和KgM0列，在下一個窗口內(nèi)繼續(xù)對目標(biāo)符號進(jìn)行譯碼，直到譯碼窗口移出校驗矩陣。

圖2 SC-LDPC碼滑窗譯碼

在SC-LDPC碼中，由于原模圖鏈中相鄰的w個原模圖單元具有耦合關(guān)系，即目標(biāo)符號的校驗節(jié)點(diǎn)與相鄰原模圖的部分信息節(jié)點(diǎn)相連，因此每個窗口內(nèi)目標(biāo)符號的信息更新受到前續(xù)窗口譯碼時關(guān)聯(lián)邊信息的影響，相關(guān)的邊信息也將參與每個窗口的奇偶校驗判斷。

圖3為w=2的窗口譯碼示意圖，編號①的碼塊信息是來自時刻p的窗口的輸出對數(shù)似然比，該碼塊將作為目標(biāo)符號相關(guān)信息參與到第p+1時刻窗口的譯碼中。依據(jù)耦合寬度w的取值，第p時刻的碼塊信息將會對連續(xù)w個時刻窗口譯碼產(chǎn)生影響，因此如果當(dāng)前窗口未能譯碼成功，不可靠的目標(biāo)符號的判決對數(shù)似然比信息會傳遞到后續(xù)的w個窗口中從而可能觸發(fā)一系列碼塊的譯碼錯誤，這種現(xiàn)象稱為滑窗譯碼的錯誤傳播[11]。在這種情況下，錯誤傳播在窗與窗之間有可能引發(fā)“譯碼失控”，產(chǎn)生“爆炸式”的譯碼錯誤。

圖3 滑窗譯碼中的錯誤傳播

下面介紹兩種SC-LDPC碼滑窗譯碼算法的優(yōu)化算法，本文所提算法將與其進(jìn)行對比。

SWD算法將目標(biāo)符號接收先前窗口的判決對數(shù)似然比作為目標(biāo)符號相關(guān)信息參與當(dāng)前窗口譯碼。文獻(xiàn)[10]中提出消息復(fù)用滑窗譯碼(MR-SWD)算法，將先前窗口的邊信息(非判決信息)作為只讀數(shù)據(jù)參與當(dāng)前窗口譯碼。當(dāng)窗口位置滑動離開初始位置后，窗口僅對新進(jìn)入窗口的區(qū)域初始化，且目標(biāo)符號相關(guān)信息位置開始接收先前窗口保留的只讀邊信息對數(shù)似然比。

SWD算法中窗口尺寸固定不變，文獻(xiàn)[13]提出窗口擴(kuò)展滑窗譯碼(WE-SWD)算法，根據(jù)目標(biāo)符號的平均對數(shù)似然比調(diào)節(jié)窗口大小。首先設(shè)置窗口初始大小Wmin和窗口最大值Wmax，定義閾值θ為碼字在特定信噪比所有窗口從初始值Wmin到最大值Wmax計算出的對數(shù)似然比累計平均值。如果計算出的目標(biāo)符號對數(shù)似然比小于閾值θ，則遞增當(dāng)前窗口大小并重新開始迭代譯碼，重復(fù)該過程直到目標(biāo)符號滿足閾值條件或者窗口大小達(dá)到預(yù)設(shè)最大值。

4 SC-LDPC碼殘差滑窗譯碼算法

在信息傳輸過程中，由于受噪聲和干擾的影響，接收序列中會出現(xiàn)一些可靠性較低的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)可能導(dǎo)致譯碼算法難以收斂。在某種意義上，可靠性較低的節(jié)點(diǎn)比可靠性較高的節(jié)點(diǎn)更需要接收新的有用信息以便完成正確的判決[17]。在一個窗口內(nèi)并不是所有的信息更新對實(shí)現(xiàn)譯碼收斂都具有相同的作用，更新前后差異較小的邊信息值對譯碼收斂幾乎是冗余的，且對譯碼性能提升幾乎無益，優(yōu)先更新迭代前后差異較大的邊信息更有助于譯碼收斂和提高譯碼效率。本文提出的RSWD算法，通過動態(tài)選擇窗口內(nèi)可靠度最低的邊信息優(yōu)先傳輸，降低邊信息無效更新的頻率，加快窗口內(nèi)譯碼的收斂速度，提高譯碼效率，減少譯碼平均迭代次數(shù)，從而提高譯碼性能和降低整體譯碼時延。

RSWD算法將邊信息更新前后的變化量稱為殘差，用于篩選窗內(nèi)邊信息更新的優(yōu)先級，如式(3)所示

假設(shè)有碼字序列X=[x1,x2,...,xn]，其中n表示碼長，經(jīng)二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)調(diào)制后，經(jīng)加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise, AWGN)信道傳輸，接收序列表示為Y=[y1,y2,...,yn]，對接收序列進(jìn)行RSWD算法譯碼，其具體步驟描述如下：

步驟1 參數(shù)設(shè)置。輸入擴(kuò)展因子M0、窗口尺寸W、迭代上限I和耦合長度L。

步驟2 窗口初始化。當(dāng)窗口位于校驗矩陣左上角(p=1)時，基于接收序列對譯碼窗口進(jìn)行邊信息初始化，初始化信息的計算如式(4)、式(5)所示，其中Vj表示當(dāng)前窗口第j個變量節(jié)點(diǎn)，rVj表示第j個變量節(jié)點(diǎn)接收的信道觀測值，MVj→Ci表示第j個變量節(jié)點(diǎn)傳遞給第i個校驗節(jié)點(diǎn)的邊信息，E和HR矩陣均初始化為全0矩陣

當(dāng)窗口開始滑動(p＞1)后，如圖2所示，對新進(jìn)入窗口信息窗口右下角區(qū)域初始化(黃色的信息塊)，目標(biāo)符號信息位接收前一窗口的輸出對數(shù)似然比LLR。

步驟3 迭代譯碼。根據(jù)式(3)在窗口內(nèi)計算殘差矩陣HR，并搜索HR獲得最大殘差值對應(yīng)的校驗節(jié)點(diǎn)Ci和變量節(jié)點(diǎn)Vj，更新邊信息ECi→Vj并對該邊信息的殘差值更新置0，分別如式(6)和式(7)所示，i→Vj表示第l次迭代中第i個校驗節(jié)點(diǎn)傳遞給第j個變量節(jié)點(diǎn)的邊信息， HRCi→Vj表示更新前后ECi→Vj的殘差值，→Ci表示第l次迭代中將第j個變量節(jié)點(diǎn)傳遞給第i個校驗節(jié)點(diǎn)的邊信息，N(Ci)/Vj表示除變量節(jié)點(diǎn)Vj外與校驗節(jié)點(diǎn)Ci相連的變量節(jié)點(diǎn)集合

通過式(8)，更新變量節(jié)點(diǎn)Vj與相連校驗節(jié)點(diǎn)Ca{Ca|Ca ∈N(Vj)/Ci} 邊信息，N(Vj)/Ci表示除校驗節(jié)點(diǎn)Ci外與變量節(jié)點(diǎn)Vj相連的校驗節(jié)點(diǎn)集合

通過式(9)，更新校驗節(jié)點(diǎn)Ca與相連變量節(jié)點(diǎn)Vb{Vb|Vb ∈N(Ca)/Vj}所在邊信息的殘差值

步驟4 譯碼判決。通過式(10)計算本次迭代結(jié)束后的目標(biāo)符號輸出對數(shù)似然比，表示第j個變量節(jié)點(diǎn)經(jīng)過l次迭代后輸出的對數(shù)似然比，xVj表示對的硬判決輸出，如式(11)所示

當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)或者 [xV1,xV2,...,xVj]符合奇偶校驗，則當(dāng)前窗口內(nèi)停止迭代，并輸出判決結(jié)果；否則返回步驟3繼續(xù)譯碼。

步驟5 窗口滑動。當(dāng)譯碼窗口完成當(dāng)前目標(biāo)符號譯碼后，輸出目標(biāo)符號譯碼結(jié)果，窗口向右下方滑動JgM0行和KgM0列，然后返回步驟2，譯碼下一個目標(biāo)符號。

上述譯碼流程中，由于當(dāng)前窗口目標(biāo)符號的譯碼結(jié)果將傳遞給后續(xù)窗口，其判定結(jié)果會影響后續(xù)目標(biāo)符號的譯碼準(zhǔn)確性。因此如果在達(dá)到最大的譯碼迭代次數(shù)后仍無法滿足奇偶校驗，不可靠的信息會導(dǎo)致當(dāng)前窗口目標(biāo)符號譯碼失敗，亦或傳遞給后續(xù)窗口，導(dǎo)致各窗口輸出的目標(biāo)符號誤碼率上升。RSWD算法根據(jù)殘差確定信息更新的優(yōu)先順序，在當(dāng)前窗口內(nèi)選擇可靠度最低的邊信息優(yōu)先更新，從初始窗口譯碼目標(biāo)符號開始時就可減少不可靠信息傳遞概率。當(dāng)窗口滑動有新的信息進(jìn)入窗口時，與前窗口傳入的邊信息相比，新進(jìn)入窗口的邊信息殘差值較大，有助于窗口將譯碼重心側(cè)重到新入信息，提高了窗口內(nèi)邊信息更新的精準(zhǔn)性和窗口輸出的可靠性，能夠抑制滑窗譯碼中錯誤傳播現(xiàn)象。

為驗證殘差譯碼的有效性，圖4展示了碼長為714、耦合長度L為24、窗口大小W為8、信噪比為4 dB的RSWD算法和SWD算法在窗口各位置的誤碼率(Bit Error Ratio, BER)曲線。由圖可知，窗口中每個位置RSWD算法的誤碼率均優(yōu)于SWD算法，在窗口內(nèi)使用殘差譯碼能夠有效抑制錯誤傳播。

圖4 SWD算法和RSWD算法窗口各位置的誤碼率比較

5 仿真分析

圖5展示了本文仿真所使用的SC-LDPC碼校驗矩陣。如無特殊說明，仿真采用碼長714、碼率為0.625、耦合長度L為24、耦合寬度w為3、擴(kuò)展因子M0為7的矩陣，即單位矩陣為7×7的SC-LDPC碼，矩陣內(nèi)陰影部分的數(shù)字表示單位矩陣循環(huán)右移的位數(shù)。仿真采用BPSK調(diào)制，基于AWGN信道。

圖5 仿真使用的SC-LDPC碼校驗矩陣

圖6給出了所提RSWD算法同SWD算法、MRSWD算法和MR-RSWD算法在窗口大小為8，最大迭代次數(shù)為50次時誤碼率曲線，MR-RSWD算法是在MR-SWD算法基礎(chǔ)上引入殘差所得。由圖可知，引入殘差的消息復(fù)用滑窗譯碼(MR-RSWD)算法性能最優(yōu)異，殘差滑窗譯碼(RSWD)算法性能優(yōu)于消息復(fù)用滑窗譯碼(MR-SWD)算法和滑窗譯碼(SWD)算法。在誤碼率為10-5時，SWD算法信噪比需要大約4.96 dB, MR-SWD算法需要約4.91 dB, RSWD算法需要約4.78 dB，而消息復(fù)用下的RSWD算法(MR-RSWD)需要4.72 dB，相較于滑窗譯碼、消息復(fù)用下滑窗譯碼、殘差滑窗譯碼分別提升約0.24 dB, 0.19 dB, 0.06 dB。

圖6 SWD算法、MR-SWD算法、RSWD算法和MR-RSWD算法譯碼性能比較

圖7給出了4種算法在信噪比分別為4 dB和5 dB時譯碼性能與最大迭代次數(shù)的關(guān)系。如圖7所示，MR-RSWD算法為達(dá)到相同誤碼率，所需迭代次數(shù)最少，其次是RSWD算法。在信噪比為5 dB、BER為10-5量級時，SWD算法、MR-SWD算法需30次迭代，而RSWD算法、MR-RSWD算法僅需15次迭代，在同等誤碼率情況下，引入殘差可有效降低譯碼迭代次數(shù)，文獻(xiàn)[10]所提MR-SWD算法和MR-RSWD算法在最大迭代次數(shù)30和20次之前時性能相較于SWD算法和RSWD算法有所下降。

圖7 最大迭代次數(shù)對SWD算法、MR-SWD算法、RSWD算法和MR-RSWD算法誤碼率性能的影響

圖8給出了所提RSWD算法同SWD算法和WESWD算法誤碼率性能比較，其中初始窗口大小Wmin為8，最大窗口Wmax為10，最大迭代次數(shù)為50，WE-RSWD曲線是在WE-SWD算法的基礎(chǔ)上引入殘差所得。由圖可見，WE-RSWD算法性能優(yōu)勢明顯，RSWD算法和WE-SWD算法在中低信噪比下性能接近，在信噪比4 ～5 dB，RSWD算法譯碼性能略差于WE-RSWD算法。在BER為10-5量級時，WE-RSWD算法相較于SWD算法、RSWD算法和WE-SWD算法分別有0.45 dB, 0.24 dB和0.18 dB性能優(yōu)勢。

圖8 SWD算法、WE-SWD算法、RSWD算法和WE-RSWD算法譯碼性能比較

圖9所示為在信噪比為4.5 dB下，最大迭代次數(shù)對不同算法誤碼率性能的影響。由圖可見，本文所提算法有明顯的瀑布區(qū)，隨著迭代次數(shù)增多，RSWD算法和WE-SWD算法誤碼曲線下降迅速，WERSWD算法誤碼率性能優(yōu)于其余算法。在誤碼率為7×10-5時，SWD算法、RSWD算法、WE-SWD算法和WE-RSWD算法所需迭代次數(shù)約為50次、18次、14次和8次可達(dá)相同的誤碼性能。綜合上述仿真結(jié)果，通過引入殘差可以有效提高滑窗譯碼及其他窗譯碼算法的譯碼性能，減少平均譯碼迭代次數(shù)，降低整體譯碼時延。

圖9 最大迭代次數(shù)對SWD算法、WE-SWD算法、RSWD算法和WE-RSWD算法誤碼率性能的影響

窗口譯碼的復(fù)雜度與譯碼的迭代次數(shù)有關(guān)，文獻(xiàn)[18]提出滑窗譯碼復(fù)雜度C，表示為C=Ii×W。其中N為窗口滑動的次數(shù)，Ii表示為第i個窗口譯碼結(jié)束所需的平均迭代次數(shù)，W為窗口大小。如圖10所示，對比了6種算法譯碼復(fù)雜度。由圖10可見，對比RSWD算法、SWD算法、MR-SWD算法和WE-SWD算法，WE-SWD算法譯碼復(fù)雜度最高，原因在于其譯碼過程中增加了窗口的尺寸。由于在殘差滑窗譯碼算法中，需要計算窗口內(nèi)殘差值大小再進(jìn)行信息傳遞，因此在SWD算法、MRSWD算法和WE-SWD算法的基礎(chǔ)上增加殘差算法，復(fù)雜度略有上升，在信噪比為3 dB和3.5 dB時復(fù)雜度增加約11%和15%，隨著信噪比升高，整體譯碼算法的復(fù)雜度會降低。

圖10 滑窗譯碼算法復(fù)雜度

6 結(jié)束語

針對空間耦合LDPC碼滑窗譯碼中錯誤傳播導(dǎo)致的高誤碼率問題，該文提出基于動態(tài)殘差的滑窗譯碼算法。該算法利用殘差值的方式篩選掉窗口內(nèi)冗余的信息，在窗口內(nèi)選擇最大殘差所在的邊優(yōu)先更新，降低邊信息無效更新的頻率，提高譯碼誤碼率性能，減少譯碼平均迭代次數(shù)，提高窗口內(nèi)譯碼收斂速度。仿真結(jié)果表明，在高信噪比區(qū)域或者低迭代次數(shù)的情況下，RSWD算法的誤碼率性能均優(yōu)于SWD算法；將動態(tài)殘差應(yīng)用到傳統(tǒng)滑窗譯碼、消息復(fù)用滑窗譯碼和窗口擴(kuò)展滑窗譯碼3種窗譯碼算法中，可以有效地提升窗譯碼性能和減少平均迭代次數(shù)，抑制錯誤傳播效果明顯且復(fù)雜度增加不大。