賈勝錫，陳俊屹，張 皓，顏 密，田小濤

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西 西安 710065)

0 引言

對(duì)彈箭武器而言,機(jī)動(dòng)性是武器突防能力的體現(xiàn)。機(jī)動(dòng)飛行時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)隨著機(jī)體的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng),發(fā)動(dòng)機(jī)本身還在轉(zhuǎn)動(dòng),如此就會(huì)產(chǎn)生附加的陀螺力矩,此外不同的機(jī)動(dòng)動(dòng)作還會(huì)產(chǎn)生其他機(jī)動(dòng)載荷,如附加離心力、慣性力、剛度效應(yīng)和阻尼效應(yīng)等。對(duì)于彈用渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng),這些載荷的影響尤其突出[1-2]。

早期國(guó)外對(duì)機(jī)動(dòng)飛行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的研究始于一系列飛行試驗(yàn),主要是為了解決型號(hào)轉(zhuǎn)子振動(dòng)問(wèn)題。如波音公司的商務(wù)飛行試驗(yàn)[3];Sherf等對(duì)F15戰(zhàn)機(jī)轉(zhuǎn)子的仿真研究[4];Spence等對(duì)直升機(jī)轉(zhuǎn)子與機(jī)身的耦合問(wèn)題的研究[5];Ananthan對(duì)直升機(jī)轉(zhuǎn)子在戰(zhàn)術(shù)飛行時(shí)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的研究[6]等。這些研究表明,機(jī)動(dòng)飛行會(huì)影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的正常工作,特別是響應(yīng)特性和穩(wěn)定性。

一般而言,機(jī)動(dòng)飛行帶來(lái)的附加載荷可以看作是對(duì)基礎(chǔ)的激勵(lì),因此可以通過(guò)基礎(chǔ)激勵(lì)研究機(jī)動(dòng)飛行狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子特性。Duchemin等研究了柔性轉(zhuǎn)子在基礎(chǔ)位移激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為,利用拉格朗日方程和瑞利-里茲法分析了臨界轉(zhuǎn)速附近的轉(zhuǎn)子彎曲特性[7]。Fawzi等研究了諧波激勵(lì)下剛性轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為[8]。Sakata等分析了基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下柔性懸臂轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性[9]。徐敏等以雙盤(pán)懸臂轉(zhuǎn)子為對(duì)象,研究了水平盤(pán)旋、俯沖拉起時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性[10]。林富生等對(duì)Jeffcott轉(zhuǎn)子以飛機(jī)在鉛垂面和水平面內(nèi)做恒定角速度、恒定加速度為運(yùn)動(dòng)條件研究機(jī)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響規(guī)律[11]。祝長(zhǎng)生等利用Lagrange方程詳細(xì)推導(dǎo)了任意機(jī)動(dòng)下多盤(pán)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程[12-13]。Hou等研究了機(jī)動(dòng)飛行狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性行為[14]。以上理論研究的對(duì)象都是簡(jiǎn)單模型轉(zhuǎn)子,只能得到定性的結(jié)論。然而,真實(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)復(fù)雜,要準(zhǔn)確分析復(fù)雜轉(zhuǎn)子在機(jī)動(dòng)飛行狀態(tài)下的動(dòng)力特性,有必要發(fā)展有限元法。

鑒于以上問(wèn)題,文中從相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角度出發(fā),建立了非慣性系中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,相比于拉格朗日方法,可以更清楚揭示機(jī)動(dòng)載荷的來(lái)源;在此基礎(chǔ)上,給出了基于有限元法的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性分析方法,計(jì)算分析了機(jī)動(dòng)載荷對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

1 機(jī)動(dòng)飛行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

1.1 轉(zhuǎn)子模型與坐標(biāo)系

運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理建立機(jī)動(dòng)飛行狀態(tài)下轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程。

彈用渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)一般為小推力渦噴發(fā)動(dòng)機(jī)和小涵道比渦扇發(fā)動(dòng)機(jī),其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通常由2～3級(jí)離心壓氣機(jī)或離心與軸流組合壓氣機(jī),與單級(jí)向心渦輪組成,采用懸臂或簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)。為了研究轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題,使模型及計(jì)算方法更具通用性,以居中盤(pán)轉(zhuǎn)子和懸臂盤(pán)轉(zhuǎn)子為例,采用如圖1所示的坐標(biāo)系。以地面固定坐標(biāo)參考系OXYZ來(lái)描述彈體重心的平移運(yùn)動(dòng)以及彈體坐標(biāo)系oxyz描述彈體的轉(zhuǎn)動(dòng),假設(shè)機(jī)體的重心和轉(zhuǎn)子一端重合,彈體坐標(biāo)系即是轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系。

圖1 轉(zhuǎn)子模型及坐標(biāo)系Fig.1 Structure of rotor and coordinate system

1.2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

現(xiàn)在分析軸向位置為(x,y,zi)的轉(zhuǎn)盤(pán)運(yùn)動(dòng)情況。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在機(jī)動(dòng)飛行情況下可以看成是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系,而x或y方向上的振動(dòng)可以看成相對(duì)于轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的平動(dòng)運(yùn)動(dòng),根據(jù)理論力學(xué)基本知識(shí)可建立盤(pán)心相對(duì)于轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程[15]:

miar=F-miae-miac=F+FIe+FIC

(1)

式中:ar為相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度;F為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到的合力;FIe為牽連慣性力;FIC為盤(pán)心a點(diǎn)的哥氏慣性力;ae為牽連加速度,其定義由下文推導(dǎo)給出。

盤(pán)心的速度可表示為:

v=ω×r=(ωxi+ωyj+ωzk)×
(xi+yj+zik)=(ωyzi-ωzy)i+
(ωzx-ωxzi)j+(ωxy-ωyx)k

(2)

式中ωx,ωy,ωz表示機(jī)動(dòng)的角速度。式(2)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)可得加速度a:

a=α×r+ω×v=α×r+ω×(ω×r)

(3)

忽略z方向(軸向)振動(dòng),則x方向、y方向的牽連慣性力可表示為:

(4)

哥氏慣性力可表示為:

(5)

轉(zhuǎn)子非慣性系中的受力還包括:圓盤(pán)處軸剛度作用的彈性力Fk、阻尼力Fc、偏心質(zhì)量引起的不平衡力Fu以及由于空間機(jī)動(dòng)飛行所產(chǎn)生的力FR。

機(jī)動(dòng)飛行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程通過(guò)聯(lián)合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)建立。剛體運(yùn)動(dòng)的微分方程為[15]:

(6)

機(jī)動(dòng)時(shí),轉(zhuǎn)盤(pán)所受的慣性加速度與機(jī)體質(zhì)心處的加速度相等,因此,慣性力與FR大小相等方向相反,其值等于慣性加速度和盤(pán)質(zhì)量的乘積。將式(4)和式(5)以及式(6)前3項(xiàng)代入式(1)中,就可得到式(7)中的前兩個(gè)方程。轉(zhuǎn)子隨飛機(jī)旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生慣性力矩。將慣性力矩加到轉(zhuǎn)子振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)自由度中,就得到式(7)中的后兩個(gè)方程。

(7)

1.3 機(jī)動(dòng)飛行產(chǎn)生的附加載荷

表1 典型機(jī)動(dòng)飛行帶來(lái)的附加載荷Table 1 Additional loads caused by typical maneuvers

2 機(jī)動(dòng)載荷的影響

借助轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)有限元計(jì)算軟件SAMCEF/Rotor研究典型機(jī)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響。

2.1 初始轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性

首先計(jì)算初始狀態(tài)的動(dòng)力特性,即僅有不平衡量載荷作用下的轉(zhuǎn)子特性。轉(zhuǎn)子模型見(jiàn)圖1。轉(zhuǎn)軸長(zhǎng)800 mm,半徑為15 mm。圓盤(pán)厚度為15 mm,半徑為50 mm。左右支承剛度為5×106N/m,各作用阻尼為500 N/(m/s)。材料屬性為:密度為7 800 kg/m3、泊松比為0.3、彈性模量為2×1011Pa。居中盤(pán)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)盤(pán)位于中間,懸臂盤(pán)轉(zhuǎn)子的右支承位于中間。不平衡量載荷設(shè)置為0.1 mm的質(zhì)量偏心,工作轉(zhuǎn)速設(shè)定為6 000 r/min。圖2給出了在SAMCEF/Rotor中對(duì)居中盤(pán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速為4 454.4 r/min,達(dá)到該轉(zhuǎn)速時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為1.52 mm,經(jīng)過(guò)臨界轉(zhuǎn)速后,達(dá)到6 000 r/min的工作轉(zhuǎn)速時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為0.063 mm。表2給出了兩種轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)臨界轉(zhuǎn)速、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果匯總。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)初始動(dòng)力學(xué)特性Table 2 Influence of aerodynamic load

圖2 居中盤(pán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)初始動(dòng)力學(xué)特性Fig.2 Initial dynamic characteristics of the center disk rotor system

2.2 橫滾機(jī)動(dòng)的影響

機(jī)動(dòng)載荷只是在彈體飛行過(guò)程中某一瞬時(shí)的動(dòng)作,在轉(zhuǎn)子啟動(dòng)過(guò)程中一般不會(huì)進(jìn)行機(jī)動(dòng)。因此,本節(jié)只研究了機(jī)動(dòng)載荷對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響,并設(shè)定機(jī)動(dòng)發(fā)生時(shí),轉(zhuǎn)子以工作轉(zhuǎn)速運(yùn)行。

橫滾機(jī)動(dòng)會(huì)給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來(lái)附加剛度效應(yīng)和附加阻尼效應(yīng)。其中附加剛度由轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量mi與盤(pán)旋θy或俯沖角速度θx的平方之積確定,相較于轉(zhuǎn)子本身的剛度很小,計(jì)算時(shí)忽略這一影響。所產(chǎn)生的附加阻尼效應(yīng)為交叉阻尼項(xiàng)cyx與cxy,其大小為-2miωz,2miωz,交叉阻尼項(xiàng)與主阻尼項(xiàng)可能處于同一數(shù)量級(jí)。對(duì)于居中盤(pán)轉(zhuǎn)子,假定機(jī)動(dòng)時(shí)以3 r/s的速度進(jìn)行橫滾,因此其橫滾角速度設(shè)定為20 rad/s,所產(chǎn)生的附加交叉阻尼以40 N/(m/s)計(jì)算,實(shí)際計(jì)算了5組交叉阻尼,分別為40 N/(m/s),100 N/(m/s),200 N/(m/s),500 N/(m/s)和1 000 N/(m/s)。

表3給出了加載5組交叉阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響,可以看出,在交叉阻尼為主阻尼8%～200%范圍內(nèi)變化時(shí),轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速會(huì)在-0.08%～0.34%范圍內(nèi)響應(yīng)變化,這一變化很小,因此可以忽略橫滾產(chǎn)生的交叉阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響。

表3 交叉阻尼對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響Table 3 Effect of cross damping on critical speed

圖3給出了加載5組交叉阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速附近的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)會(huì)隨著交叉阻尼的增大而減小。當(dāng)由橫滾機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的交叉阻尼為主阻尼的200%時(shí),轉(zhuǎn)子在工作轉(zhuǎn)速上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)降低了1.6%。這一影響相對(duì)于轉(zhuǎn)子整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的響應(yīng)很小,可以忽略。

圖3 交叉阻尼對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.3 Effect of cross damping on harmonic response

以上給出的是正向橫滾機(jī)動(dòng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,也就是指轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向與飛行旋轉(zhuǎn)方向一致;反之,則為反向橫滾機(jī)動(dòng)。對(duì)于反向橫滾機(jī)動(dòng),其產(chǎn)生的交叉阻尼與正向機(jī)動(dòng)的交叉阻尼正好符號(hào)相反,其影響是增大穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅,但是增大的幅度依然很小。

2.3 常規(guī)機(jī)動(dòng)

常規(guī)機(jī)動(dòng)是指盤(pán)旋或俯沖拉起,其最大的特點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生附加陀螺力矩載荷和離心力載荷。除此以外還有附加剛度效應(yīng)和附加阻尼效應(yīng)及慣性力矩。

機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的陀螺力矩為[15]:

M=Ipω×Ω

(8)

式中:Ip為發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子對(duì)旋轉(zhuǎn)軸向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ω和Ω分別表示轉(zhuǎn)子繞軸的旋轉(zhuǎn)角速度和機(jī)體機(jī)動(dòng)的角速度。盤(pán)旋機(jī)動(dòng)和俯沖拉起機(jī)動(dòng)給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來(lái)的附加載荷性質(zhì)一樣,只是不同的機(jī)動(dòng)載荷方向不一樣。

鑒于前文分析,附加剛度效應(yīng)和附加阻尼效應(yīng)不再考慮。機(jī)動(dòng)載荷產(chǎn)生的慣性力矩是由機(jī)動(dòng)角加速度引起的,其大小為轉(zhuǎn)子繞軸的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的成積,其作用形式與陀螺力矩一樣,也是產(chǎn)生彎矩作用,兩種彎矩的作用方向相互垂直?？烧J(rèn)為陀螺力矩中機(jī)動(dòng)角速度和轉(zhuǎn)子繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的乘積與慣性力矩中機(jī)動(dòng)角加速度和直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的乘積處于同一數(shù)量級(jí),這樣慣性力矩就比陀螺力矩小幾個(gè)數(shù)量級(jí)。因此,在水平盤(pán)旋機(jī)動(dòng)中,重點(diǎn)考慮陀螺力矩和附加慣性力的影響。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中對(duì)機(jī)動(dòng)載荷大小的規(guī)定,數(shù)值模擬時(shí)載荷大小設(shè)定為:3.5 rad/s的機(jī)動(dòng)角速度疊加過(guò)載系數(shù)為1g的附加離心力。

圖4給出了加載機(jī)動(dòng)陀螺力矩后轉(zhuǎn)子的變形。由圖4可知,陀螺力矩對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生彎矩的作用,對(duì)于對(duì)稱轉(zhuǎn)子而言,陀螺力矩產(chǎn)生的變形與轉(zhuǎn)子的二階振型一致,盤(pán)剛好處于節(jié)點(diǎn)上,不產(chǎn)生盤(pán)心偏移。四分之一軸處的變形最大,其數(shù)值為0.002 mm,相比于轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅,該值也比較小;對(duì)于懸臂轉(zhuǎn)子而言,陀螺力矩產(chǎn)生的變形與轉(zhuǎn)子的一階振型一致,盤(pán)處的產(chǎn)生的偏移量最大,其數(shù)值為0.055 mm。

圖4 陀螺力矩的影響Fig.4 Effect of gyroscopic moment

圖5給出了加載附加離心力后轉(zhuǎn)子的變形。圖5結(jié)果表明,附加離心力載荷以體積力的形式作用于轉(zhuǎn)子,無(wú)論是對(duì)稱轉(zhuǎn)子還是懸臂轉(zhuǎn)子,盤(pán)處產(chǎn)生的偏移都最大。對(duì)于對(duì)稱轉(zhuǎn)子,附加離心力引起的盤(pán)心偏移量為0.055 mm,與工作轉(zhuǎn)速處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)處于同一個(gè)數(shù)量級(jí),但遠(yuǎn)小于其臨界轉(zhuǎn)速時(shí)響應(yīng)幅值。對(duì)于懸臂轉(zhuǎn)子,附加離心力引起的盤(pán)心偏移量為0.121 mm,比工作轉(zhuǎn)速處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)大,增加了轉(zhuǎn)子發(fā)生碰磨的可能。為了便于對(duì)比,圖6給出了兩種載荷共同作用下轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的軸心軌跡。

圖5 附加離心力的影響Fig.5 Effect of additional centrifugal force

圖6 陀螺力矩和附加離心力對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.6 Influence of gyroscopic moment and additional centrifugal force on steady-state response of rotor

3 結(jié)論

針對(duì)機(jī)動(dòng)飛行帶來(lái)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理建立了機(jī)動(dòng)飛行轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程,并通過(guò)方程分析了機(jī)動(dòng)飛行給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來(lái)的載荷,借助有限元計(jì)算研究了機(jī)動(dòng)飛行轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性,得到以下主要結(jié)論:

1)橫滾機(jī)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生附加交叉阻尼項(xiàng),影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。反向機(jī)動(dòng)會(huì)增大轉(zhuǎn)子在工作轉(zhuǎn)速時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),正向機(jī)動(dòng)會(huì)減小轉(zhuǎn)子在工作轉(zhuǎn)速時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),但這些影響都很小,可以忽略。

2)常規(guī)機(jī)動(dòng),即盤(pán)旋或俯沖拉起,會(huì)給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來(lái)附加陀螺力矩和附加離心力載荷。附加陀螺力矩對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生彎矩作用,附加離心力載荷對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生體積力作用,兩種載荷會(huì)造成與轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速時(shí)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相當(dāng)?shù)谋P(pán)心偏移,這會(huì)增加轉(zhuǎn)子發(fā)生碰磨的可能性。

需要注意的是,文中機(jī)動(dòng)載荷大小的確定參考的是航空渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于彈用渦輪發(fā)動(dòng)機(jī),其機(jī)動(dòng)載荷會(huì)比航空渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)大,因此機(jī)動(dòng)載荷對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響需要根據(jù)實(shí)際情況評(píng)估。