李 濤，付 博，王齊雙，段辰璐，林時堯

(1 西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西 西安 710065；2 中國兵器科學(xué)研究院，北京 100089)

0 引言

隨著世界新軍事革命的深入,制導(dǎo)武器遠(yuǎn)程化、精確化、信息化已成為現(xiàn)代常規(guī)戰(zhàn)爭的趨勢[1-4]。對于采用旋轉(zhuǎn)體制的制導(dǎo)武器,由于減少了傳感器數(shù)量從而簡化了控制系統(tǒng)組成。此外,旋轉(zhuǎn)削弱了激光攔截武器的打擊,并可以主動借助錐形運(yùn)動引起的螺線彈道進(jìn)行機(jī)動突防[5]。錐形運(yùn)動的誘因主要包括彈體自身的慣性陀螺效應(yīng)、外形結(jié)構(gòu)不對稱和氣動Magnus效應(yīng)等動不平衡因素。

自從20世紀(jì)50年代以來,旋轉(zhuǎn)彈體錐形運(yùn)動的研究一直備受國內(nèi)外學(xué)術(shù)界關(guān)注。早在1953年,Nicolaides就指出旋轉(zhuǎn)彈體存在二圓運(yùn)動特征,隨著章動角的增大,彈體以螺旋前進(jìn)的方式飛行,同時指明旋轉(zhuǎn)彈體應(yīng)避免轉(zhuǎn)速閉鎖導(dǎo)致的災(zāi)變性偏航問題[6]。Thomson指出錐形運(yùn)動的回轉(zhuǎn)軸為彈體的最小主慣性軸時,系統(tǒng)存在由能量耗散導(dǎo)致的錐形運(yùn)動發(fā)散的趨勢[7]。之后,Murphy面向無控旋轉(zhuǎn)彈體,采用一階線性化策略得出了系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定域,得出面外力矩不僅引起一個圓運(yùn)動收斂,還會導(dǎo)致另一個圓運(yùn)動的發(fā)散[8]。此外,Morote分析了旋轉(zhuǎn)彈體卷弧翼帶來的氣動特性,指出翼面產(chǎn)生的馬格努斯效應(yīng)是導(dǎo)致錐形運(yùn)動發(fā)散的一個重要原因[9]。針對錐形運(yùn)動降低制導(dǎo)精度問題,現(xiàn)有研究表明應(yīng)該使關(guān)鍵設(shè)計變量遠(yuǎn)離不穩(wěn)定區(qū)域,而對臨界狀態(tài)鮮有開展更深層的研究[10-11]。

在錐形運(yùn)動應(yīng)對措施方面,研究表明被動削弱彈體錐形運(yùn)動的成效十分有限[12]。Javier等提出在彈體前端增設(shè)一對獨(dú)立的可伸縮翼片來主動抑制錐形運(yùn)動[13]。Platus提出通過姿態(tài)角反饋控制方式來增加彈體固有頻率,以補(bǔ)償彈體滾轉(zhuǎn)導(dǎo)致的錐形共振,使彈體遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)速閉鎖區(qū)域[14]。采用主動抑制法的關(guān)鍵問題在于執(zhí)行機(jī)構(gòu)能否及時準(zhǔn)確地響應(yīng)指令,否則可能加劇錐形運(yùn)動。此外,彈體自旋會引起偏航與俯仰通道之間嚴(yán)重的交叉耦合作用,因而采用傳統(tǒng)分通道設(shè)計自動駕駛儀難以確保彈體錐形運(yùn)動穩(wěn)定性。針對此問題,Yan等建立了考慮慣性耦合、氣動耦合以及控制耦合的滾轉(zhuǎn)彈體姿態(tài)運(yùn)動模型,同時按照非旋轉(zhuǎn)彈體控制回路拓?fù)渌悸吩O(shè)計出旋轉(zhuǎn)彈體姿態(tài)駕駛儀和阻尼控制回路,并且推導(dǎo)出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性條件[15-16]。Li等基于旋轉(zhuǎn)彈的經(jīng)典三回路駕駛儀的回路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),推導(dǎo)出系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)計準(zhǔn)則[17-18]。Zheng等研究了雷達(dá)制導(dǎo)滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動的動態(tài)穩(wěn)定性,提出了一種考慮天線罩寄生回路的復(fù)合數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)了滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動動態(tài)穩(wěn)定性的充要條件[19]。Tian等基于復(fù)變形式的微分方程,獲得了考慮寄生效應(yīng)的偽攻角反饋三回路自動駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定性的充要條件[20]。

現(xiàn)有考慮隔離度寄生回路的滾轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動穩(wěn)定性的研究中,主要引入經(jīng)典三回路/偽攻角反饋三回路等常見過載駕駛儀,分析雷達(dá)導(dǎo)引頭天線罩誤差/捷聯(lián)導(dǎo)引頭慣性器件標(biāo)度因數(shù)偏差導(dǎo)致的導(dǎo)引頭隔離度問題。但基于增穩(wěn)回路直接采取加速度反饋的新型三回路過載駕駛儀,開展?jié)L轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動動態(tài)穩(wěn)定性的研究較少。文中針對上述問題,基于平臺圖像導(dǎo)引頭干擾力矩引起的隔離度寄生回路,分析推導(dǎo)了考慮寄生效應(yīng)的加速度反饋增穩(wěn)新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈體穩(wěn)定性條件,進(jìn)一步分析隔離度、總延遲角和加速度計安裝位置等滾轉(zhuǎn)彈重要參數(shù)對包含隔離度寄生回路的滾轉(zhuǎn)彈體動態(tài)穩(wěn)定域的影響,為包含隔離度寄生回路的多種回路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)過載駕駛儀制導(dǎo)系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性研究提供理論參考。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 滾轉(zhuǎn)彈動力學(xué)模型

為研究存在隔離度寄生回路情況下的滾轉(zhuǎn)彈體動態(tài)穩(wěn)定性問題,依據(jù)文獻(xiàn)[16-18],引入非滾轉(zhuǎn)框架下滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的六自由度動力學(xué)方程:

(1)

通過定義復(fù)角度αc=β+jα和δ=δv+jδz,可以得到滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的線性化復(fù)微分方程:

(2)

1.2 新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)系統(tǒng)模型

在經(jīng)典三回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)中,中間增穩(wěn)回路的信號采取角速率的積分。在文獻(xiàn)[21]提出的新型三回路駕駛儀結(jié)構(gòu)中,增穩(wěn)回路直接采用加速度計的測量信號,其結(jié)構(gòu)如圖2所示,下面基于該新型過載駕駛儀開展?jié)L轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定性研究。

圖2 新型過載駕駛儀Fig.2 New overload autopilot

基于滾轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)原理,引入圖2所示的新型駕駛儀模型與隔離度Rd,建立圖3所示的考慮隔離度寄生回路的新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)系統(tǒng)模型。

圖3 包含隔離度寄生回路的新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)模型Fig.3 Guidance model of the new autopilot considering disturbance rejection rate

2 新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈制導(dǎo)系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定條件推導(dǎo)

因?yàn)榇嬖诟綦x度寄生回路,滾轉(zhuǎn)彈的動態(tài)穩(wěn)定性不僅取決于新型駕駛儀,還會受隔離度Rd、導(dǎo)航比N以及彈目相對接近速度Vc的影響?？紤]隔離度寄生回路的新型駕駛儀制導(dǎo)指令可表示為:

(3)

(4)

通過定義復(fù)角δc=δyc+jδzc和φ=ψV+jθ,則舵機(jī)的指令可表示為:

(5)

滾轉(zhuǎn)彈的俯仰與偏航通道的舵機(jī)動力學(xué)采取二階動力學(xué)模型,舵機(jī)輸出與輸入間的關(guān)系表示為:

δ=kskr(-δzcsinγd+δyccosγd)+
jkskr(δzccosγd+δycsinγd)=
kskr(cosγd+jsinγd)δc

(6)

基于獲得的復(fù)數(shù)模型,可使用復(fù)系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)來推導(dǎo)滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的動態(tài)穩(wěn)定性條件。將式(5)代入到式(6)中,可得:

(7)

將式(7)代入式(2)可得:

(8)

(9)

制導(dǎo)系統(tǒng)對應(yīng)的特征方程為:

(10)

根據(jù)附錄A,PN/新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈體制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為:

(11)

3 動態(tài)穩(wěn)定條件仿真驗(yàn)證

3.1 隔離度寄生回路對動態(tài)穩(wěn)定條件的影響

為驗(yàn)證所推導(dǎo)的穩(wěn)定條件,滾轉(zhuǎn)彈的參數(shù)如表1所示。在仿真中的其他參數(shù)設(shè)置為:ω=8π rad/s,N=4,kac=0.0017,C=0,α0=4°。

表1 滾轉(zhuǎn)彈參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting of rolling missile

3.1.1 不考慮隔離度寄生回路

不考慮隔離度寄生回路,此時駕駛儀決定了PN/新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈體制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。按照設(shè)計新型駕駛儀的穩(wěn)定條件,設(shè)計參數(shù)選取為:kA=0.0088,kg=0.14,ωI=0.0315。則初始擾動α0=4°作用下,不考慮隔離度寄生回路的PN/新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈體制導(dǎo)系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不考慮隔離度寄生回路的滾轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定狀態(tài)Fig.4 Stable state of rolling missile disregarding disturbance rejection rate

若不考慮隔離度寄生回路,在初始擾動影響下系統(tǒng)狀態(tài)逐漸收斂至零,說明新型駕駛儀設(shè)計參數(shù)可消除由初始攻角誤差引起的錐形運(yùn)動,從而保證滾轉(zhuǎn)彈的動態(tài)穩(wěn)定。此外,由于俯仰與偏航通道存在交聯(lián)耦合,縱向平面內(nèi)的初始攻角誤差會引起側(cè)向平面的運(yùn)動。

3.1.2 考慮隔離度寄生回路

當(dāng)考慮隔離度寄生回路時,PN/新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈體制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)。選用滿足新型駕駛儀穩(wěn)定的設(shè)計參數(shù),即kA=0.0088,kg=0.14,ωI=0.0315。分別選取了NVcRd=50,NVcRd=367兩種情況進(jìn)行仿真驗(yàn)證,結(jié)果如圖5～圖6所示。

圖5 NVcRd=50時滾轉(zhuǎn)彈穩(wěn)定狀態(tài)Fig.5 Stable state of rolling missile considering NVcRd=50

圖6 NVcRd=367時滾轉(zhuǎn)彈失穩(wěn)狀態(tài)Fig.6 Instable state of rolling missile considering NVcRd=367

隔離度在一定程度上延緩了制導(dǎo)系統(tǒng)的響應(yīng)速度。當(dāng)NVcRd=50時,隔離度組合參數(shù)滿足穩(wěn)定性的限制條件,在初始擾動α0=4°影響下,制導(dǎo)系統(tǒng)快速收斂至零;當(dāng)NVcRd=367時,隔離度組合參數(shù)超出穩(wěn)定性限制邊界,初始擾動影響下制導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)散。

3.2 制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)對動態(tài)穩(wěn)定條件的影響

新型過載駕駛儀制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性會受隔離度寄生回路組合參數(shù)的影響,合理選取新型過載駕駛儀設(shè)計參數(shù)及其他制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù),可減弱隔離度的不良影響,從而抑制制導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)散、提升制導(dǎo)系統(tǒng)響應(yīng)速度。

3.2.1 不同駕駛儀參數(shù)對動態(tài)穩(wěn)定條件的影響

選取滾轉(zhuǎn)彈轉(zhuǎn)速為ω=8π rad/s,導(dǎo)航系數(shù)N=4,駕駛儀加速度反饋增益kac=0.0017,彈體參數(shù)見表1。求得不同駕駛儀設(shè)計參數(shù)穩(wěn)定域如圖7所示。

圖7 新型駕駛儀參數(shù)穩(wěn)定域Fig.7 New autopilot parameter stability region

圖8 隔離度對新型駕駛儀參數(shù)穩(wěn)定域的影響Fig.8 The influence of disturbance rejection rate on the new autopilot parameter stability region

圖9 總延遲角對參數(shù)穩(wěn)定域的影響Fig.9 Influence of total delay angle on parameter stability region

增大前向通道增益kA,將會減小系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定域;增大阻尼回路增益kg,將會增加系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定域。此外,隨著隔離度組合參數(shù)NVcRd絕對值的增大,系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定域減小。

3.2.2 不同隔離度對動態(tài)穩(wěn)定條件的影響

對于包含隔離度寄生回路的PN/新型駕駛儀制導(dǎo)系統(tǒng),隔離度無論是負(fù)反饋還是正反饋,都將減小系統(tǒng)參數(shù)的穩(wěn)定域;同時,隨著隔離度絕對值的增加,設(shè)計的前向通道增益kA越小。

3.2.3 不同總延遲角對動態(tài)穩(wěn)定條件的影響

總延遲角對新型駕駛儀前向通道增益kA的影響很小,甚至可以忽略;總延遲角越大,設(shè)計的阻尼回路增益越大,從而保證彈體有足夠的阻尼維持穩(wěn)定。

3.2.4 不同加速度計位置對動態(tài)穩(wěn)定條件的影響

選取滾轉(zhuǎn)彈轉(zhuǎn)速為ω=8π rad/s,導(dǎo)航系數(shù)N=4,設(shè)計臨界穩(wěn)定參數(shù)為:加速度計位置C=0,加速度反饋回路增益kac=0.0017,增穩(wěn)回路增益ωI=0.0315,阻尼回路增益kg=0.14,前向通路增益kA=0.0088,隔離度組合參數(shù)NVcRd=209?；谝陨显O(shè)計參數(shù)進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖10所示。

圖10 C=0時臨界穩(wěn)定的錐形運(yùn)動Fig.10 Coning motion maintain critical stable when C=0

設(shè)計的PN/新型駕駛儀系統(tǒng)參數(shù)使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。使用相同的設(shè)計參數(shù),改變加速度計的位置,仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 加速度計位置對穩(wěn)定性的影響Fig.11 Influence of accelerometer position on stability

當(dāng)C=2時,即加速度計安裝在彈體質(zhì)心之前,可使臨界穩(wěn)定系統(tǒng)趨于穩(wěn)定;當(dāng)C=-1時,即加速度計安裝在彈體質(zhì)心之后,可使臨界穩(wěn)定系統(tǒng)發(fā)散。因此,加速度計安裝在彈體質(zhì)心之前有利于PN/新型駕駛儀制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

4 結(jié)論

針對制導(dǎo)彈箭錐形運(yùn)動不穩(wěn)定導(dǎo)致制導(dǎo)精度變差的問題,基于圖像導(dǎo)引頭干擾力矩引起的隔離度寄生回路問題,開展了滾轉(zhuǎn)彈動態(tài)穩(wěn)定性研究。分析推導(dǎo)了考慮寄生效應(yīng)的加速度反饋增穩(wěn)新型駕駛儀滾轉(zhuǎn)彈體穩(wěn)定性條件;系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定域與隔離度幅值、駕駛儀前向通道增益和舵機(jī)總延遲角成反比,與駕駛儀阻尼回路增益成正比。此外,總延遲角主要影響駕駛儀阻尼回路增益的設(shè)計,加速度計安裝于質(zhì)心之前有利于滾轉(zhuǎn)彈體制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定。因此,滾轉(zhuǎn)效應(yīng)、寄生效應(yīng)與控制指令延遲是導(dǎo)致駕駛儀參數(shù)設(shè)計穩(wěn)定域減小的主要因素,駕駛儀設(shè)計參數(shù)應(yīng)遠(yuǎn)離穩(wěn)定性邊界從而提升錐形運(yùn)動穩(wěn)定性。