許 琛，牛智奇，駱 盛，杜鳳懷，韓 迪，王 洋

(1 西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西 西安 710065；2 西京學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 西安 710123)

0 引言

比例制導(dǎo)律作為一種經(jīng)典的制導(dǎo)方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各類(lèi)導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中[1]。但是,傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律存在著突防能力較弱、魯棒性不強(qiáng)等問(wèn)題,這些都對(duì)制導(dǎo)算法的性能提出了更高的要求。如果采用終端約束角度的方式來(lái)打擊目標(biāo),既可以提升突防效果,也能優(yōu)化毀傷效能,實(shí)現(xiàn)這種攻擊方式的制導(dǎo)方法就是角度約束制導(dǎo)律[2]。

為了提升角度約束制導(dǎo)律的性能,許多學(xué)者基于先進(jìn)控制理論開(kāi)展了相關(guān)研究。其中,王洋等[3-4]為了提升角度約束制導(dǎo)律在目標(biāo)機(jī)動(dòng)、未建模動(dòng)態(tài)等不確定干擾下的魯棒性能,提出了基于滑?？刂?、自適應(yīng)控制等方法的角度約束制導(dǎo)律。而近年來(lái),隨著有限時(shí)間控制理論的發(fā)展,Ding等[5]提出了基于有限時(shí)間穩(wěn)定方法的角度約束制導(dǎo)律。相比于傳統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定方法,有限時(shí)間角度約束制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)誤差的有限時(shí)間,保證了收斂的快速性與高精度。Zhang等[6]將有限時(shí)間控制與滑?？刂平Y(jié)合,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間角度約束制導(dǎo)律。為解決傳統(tǒng)有限時(shí)間滑?？刂频亩墩駟?wèn)題,基于有限時(shí)間收斂二階滑模控制方法,郭建國(guó)等[7]設(shè)計(jì)了連續(xù)無(wú)抖振的有限時(shí)間收斂的角度約束制導(dǎo)律。目前,有限時(shí)間角度約束制導(dǎo)律仍然存在兩方面的問(wèn)題:1)其收斂時(shí)間與系統(tǒng)初值有關(guān),當(dāng)初值較大時(shí)收斂速度可能會(huì)受到影響;2)現(xiàn)有方法都是采用全部狀態(tài)進(jìn)行反饋,而實(shí)際上,部分導(dǎo)彈狀態(tài)可能是難以測(cè)量,同時(shí)由于體積以及成本等的限制,存在導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭無(wú)法直接測(cè)量視線角速率以及相對(duì)距離變化率的情況[8]。

近年來(lái),固定時(shí)間控制理論得到了發(fā)展[9-10]?；诠潭〞r(shí)間控制理論,Cheng等[11]針對(duì)固定目標(biāo)設(shè)計(jì)了角度約束制導(dǎo)律。Tian等[12-13]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)設(shè)計(jì)了固定時(shí)間角度約束制導(dǎo)律。另一方面,觀測(cè)器技術(shù)的發(fā)展為開(kāi)展部分狀態(tài)可測(cè)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)[14]?；诟咴鲆鏍顟B(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了部分狀態(tài)可測(cè)下的制導(dǎo)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定[8]。王洋等[15]基于線性擴(kuò)張狀態(tài)干擾觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了部分狀態(tài)反饋的高速攔截彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)。

文中在視線角速率以及相對(duì)距離變化率不可測(cè)條件下,提出一種固定時(shí)間收斂角度約束制導(dǎo)律。首先,基于一致精確魯棒微分器(URED)算法設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)不可測(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)。隨后,設(shè)計(jì)了固定時(shí)間收斂的積分滑模面,并提出了固定時(shí)間制導(dǎo)律,繼而基于固定時(shí)間穩(wěn)定理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時(shí)間收斂特性。最后,仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 制導(dǎo)模型

如圖1所示,點(diǎn)T表示目標(biāo),點(diǎn)M表示導(dǎo)彈。導(dǎo)彈的位置為(xM,yM),目標(biāo)位置為(xT,yT)。vM表示導(dǎo)彈的飛行速度,vT為目標(biāo)的速度,?M與?T分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的彈道傾角,r為彈目相對(duì)距離,q為視線角,aM與qT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向控制加速度。

導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置變化為:

(2)

由此建立導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。

由式(1)可得推出:

(3)

(4)

(5)

(6)

2 模型轉(zhuǎn)換及相關(guān)引理

(7)

其中

(8)

定義1:針對(duì)如下的系統(tǒng)

(9)

式中x(t)為系統(tǒng)變量。對(duì)于任意初始狀態(tài)x(0)∈R,如果當(dāng)時(shí)間t≥tf時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)x(t)=0,同時(shí)都存在正常數(shù)Tm使得tf≤Tm,則稱(chēng)上述系統(tǒng)為固定時(shí)間收斂的。

引理1(URED算法)[9]:考慮如下的系統(tǒng):

(10)

(11)

隨后可以得到如下兩個(gè)結(jié)論:

1)結(jié)論1:定義如下的Lyapunov函數(shù):

V1=σTPσσ

(12)

(13)

2)結(jié)論2:系統(tǒng)狀態(tài)σ0及σ1將在有限時(shí)間tf內(nèi)收斂到0。同時(shí),收斂時(shí)間tf上界滿(mǎn)足tf≤Tf,max,其中tf,max為正常數(shù)且與初始狀態(tài)σ0(0)及σ1(0)無(wú)關(guān)。

證明:引理1的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[9]的附錄A及B。

引理2[10]:考慮如下的系統(tǒng):

(14)

其中e為系統(tǒng)狀態(tài)。如果常數(shù)參數(shù)滿(mǎn)足Kp>0,Kd>0,Lp>0,Ld>0,0<α1<1,α2=2α1/(α1+1),β1=2α1+1且β2=(2α1+1)/(α1+1),同時(shí)系統(tǒng)的初始狀態(tài)e(0)是有界的,則系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間內(nèi)收斂:

(15)

te≤Te

(16)

這里Te是一個(gè)與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的正常數(shù)。

證明:引理2的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[10]的定理3.1。

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

3.1 固定時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

根據(jù)引理1,設(shè)計(jì)如下的固定時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器:

(17)

下面進(jìn)行觀測(cè)器的穩(wěn)定性分析。

(18)

(19)

綜合式(18)與式(19),可得:

(20)

考慮到(20)滿(mǎn)足引理1的式(10),同時(shí)選取參數(shù)ρ2>0且ρ1與ρ3滿(mǎn)足如下參數(shù)域:

(21)

3.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

基于固定時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器式(17)的估計(jì)值,并受引理2啟發(fā),可以設(shè)計(jì)如下的固定時(shí)間收斂滑模面

(22)

式中:a1,a2,b1及b2為正常數(shù),并將在后面的定理1定義它們的取值。對(duì)s求取導(dǎo)數(shù)并考慮式(17)可得:

(23)

其中

(24)

隨后,可以設(shè)計(jì)如下的部分狀態(tài)反饋固定時(shí)間制導(dǎo)律:

(25)

式中TP,a及dSP為正常數(shù),且0

定理1:對(duì)于式(7)系統(tǒng),采用式(25)制導(dǎo)律,如果選取參數(shù)kp>0,kd>0,lp>0,ld>0,0

h1=0,h2=0,ift≥thf

(26)

thf≤Thf

(27)

式中Thf是一個(gè)與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的正常數(shù)。

證明:將制導(dǎo)律式(25)代入式(23),可得:

(28)

選取如下Lyapunov函數(shù)Vs:

Vs=s2/2

(29)

對(duì)Vs求導(dǎo),同時(shí)考慮式(28)可得:

(30)

則可得:

(31)

假設(shè)Vs(ts)=0,從t=0到t=ts對(duì)式(31)進(jìn)行積分可得:

(32)

考慮到0≤arctan(2Vs(0))≤π/2,因此從式(32)可知:

ts≤TP

(33)

因此

s=0,ift≥ts

(34)

ts≤TP

(35)

則

(36)

同時(shí)考慮式(22)及定理1,式(36)可得:

(37)

(38)

根據(jù)引理2,只要選取參數(shù)kp>0,kd>0,lp>0,ld>0,0

(39)

(40)

(41)

(42)

4 仿真驗(yàn)證

基于文獻(xiàn)[4,6],可設(shè)計(jì)如下的有限時(shí)間滑膜面:

(43)

同時(shí)設(shè)計(jì)如下的有限時(shí)間制導(dǎo)律:

(44)

其中選取參數(shù)k1=0.1,k2=0.24,φ1=0.22,φ2=0.37,k3=0.05,k4=0.05,φ3=0.3,k5=0.001。

所提出的觀測(cè)器式(17)的參數(shù)選取為ρ1=5,ρ2=1,ρ3=2,滑模面式(22)參數(shù)選取為kp=0.1,kd=0.275,lp=1.6,ld=0.85,a1=0.45,所提出的部分狀態(tài)反饋固定時(shí)間制導(dǎo)律式(25)參數(shù)選取為T(mén)P=2,a=0.1,dSP=0.001。

同時(shí),為了對(duì)比部分狀態(tài)反饋與全狀態(tài)反饋的效果,在h2可測(cè)的情況下,將所提出的制導(dǎo)律改造為如下的全狀態(tài)反饋固定時(shí)間制導(dǎo)律:

(45)

其中

(46)

(47)

全狀態(tài)反饋固定時(shí)間制導(dǎo)律的參數(shù)kp,kd,lp,ld,TP,a,a1,dSP與前面的部分狀態(tài)反饋固定時(shí)間制導(dǎo)律參數(shù)相同。

(48)

式中參數(shù)ξ取80。

為了方便表達(dá),分別標(biāo)記3種制導(dǎo)律:

1)Guidance law 1,固定時(shí)間制導(dǎo)律(部分狀態(tài)反饋);

2)Guidance law 2,固定時(shí)間制導(dǎo)律(全狀態(tài)反饋);

3)Guidance law 3,有限時(shí)間制導(dǎo)律。

考慮如下兩個(gè)場(chǎng)景:

1)場(chǎng)景1(小初始誤差),考慮期望角度為qd=-83°,即初始角度誤差h1=1.124°。

2)場(chǎng)景2(大初始誤差),考慮期望角度為qd=-83°,即初始角度誤差h1=7.124°,因此,場(chǎng)景2的初始角度誤差是場(chǎng)景1的近6倍。

場(chǎng)景1與2的仿真結(jié)果分別見(jiàn)圖2及圖3,同時(shí)收斂時(shí)間匯總在表1,脫靶量匯總在表2中。

表1 收斂時(shí)間Table 1 Convergence time s

表2 脫靶量Table 2 Off target m

圖2 景1仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results for case 1

圖3 景2仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results for case 2

從圖2(a)、圖2(b)及表1的數(shù)據(jù)可知,3種方法都能保證角度誤差h1及視線角速率誤差h2在5 s內(nèi)收斂到0。從圖2(d)可知所提出的固定時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器可以保證估計(jì)誤差在0.1 s內(nèi)收斂到0。同時(shí),從表1可知,3種方法都能保證導(dǎo)彈脫靶量不高于0.25 m,可以滿(mǎn)足打擊精度要求。因此在場(chǎng)景1下3種制導(dǎo)方法都能取得近似的控制效果。

從圖3(a)、圖3(b)及表1可以看出,當(dāng)初始角度誤差擴(kuò)大到7.124°之后,所提出的固定時(shí)間制導(dǎo)律仍然可以保證角度誤差h1及視線角速率誤差h2在5 s內(nèi)收斂到0,而有限時(shí)間制導(dǎo)律無(wú)法在制導(dǎo)時(shí)間段內(nèi)保證角度誤差h1及視線角速率收斂到0。產(chǎn)生這樣結(jié)果的原因是有限時(shí)間制導(dǎo)律收斂時(shí)間與初始誤差相關(guān),當(dāng)初始誤差加大時(shí)其收斂時(shí)間也將隨之加大。而固定時(shí)間制導(dǎo)律始終能夠保證收斂時(shí)間的上限與初始誤差無(wú)關(guān)。從表2還能看出,由于制導(dǎo)誤差無(wú)法收斂到0,有限時(shí)間制導(dǎo)律的脫靶量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于固定時(shí)間制導(dǎo)律。從圖3(d)可知所提出的固定時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器仍然可以保證估計(jì)誤差在0.1 s內(nèi)收斂到0。此外,從圖2、圖3及表2的結(jié)果可以看出,對(duì)于采用部分狀態(tài)反饋的固定時(shí)間制導(dǎo)律與采用全狀態(tài)反饋的固定時(shí)間制導(dǎo)律兩種方法來(lái)說(shuō),它們的制導(dǎo)誤差收斂效果及脫靶量都基本相同,因此所提出的方法可以在僅使用部分狀態(tài)反饋的情況下實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間制導(dǎo)效果。

5 結(jié)論

文中提出了一種采用部分狀態(tài)反饋的固定時(shí)間收斂角度約束制導(dǎo)律。其制導(dǎo)誤差收斂時(shí)間的上界不受初始制導(dǎo)誤差影響,可以在各類(lèi)初始條件下都能保證快速收斂性能,且只需部分狀態(tài)進(jìn)行反饋,可以有效簡(jiǎn)化制導(dǎo)系統(tǒng)的硬件組成。

由仿真對(duì)比看,在大初值條件下,所提出的制導(dǎo)律相比于有限時(shí)間制導(dǎo)律能取得更快的收斂速度與更小的脫靶量;同時(shí),在部分狀態(tài)反饋的條件下,所提出的制導(dǎo)律只采用部分狀態(tài)反饋就可以取得與全狀態(tài)反饋方法基本相同的收斂速度與脫靶量。

文中只針對(duì)二維縱向平面場(chǎng)景開(kāi)展了研究,未來(lái)需要將該方法擴(kuò)展到三維場(chǎng)景中。此外,利用sigmoid函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)會(huì)犧牲一定的性能,擬開(kāi)展理論分析,進(jìn)一步提升制導(dǎo)精度。