王雯雯， 賴磊捷*， 李朋志， 朱利民

（1.上海工程技術(shù)大學 機械與汽車工程學院，上海 201620；2.格魯斯特大學 計算與工程學院，英國 切爾滕納姆 GL50 2RH；3.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；4.上海交通大學 機械與動力工程學院 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

1 引 言

由壓電陶瓷驅(qū)動器和柔性機構(gòu)組成的壓電微定位平臺在生物顯微操作、納米光刻、光學調(diào)整和超精密制造等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用［1-4］。然而，壓電微動臺中的柔性機構(gòu)通常呈現(xiàn)的低阻尼諧振以及壓電陶瓷驅(qū)動器自身的遲滯和蠕變等非線性特性對平臺的超精密運動控制帶來了巨大挑戰(zhàn)［5-6］。

為了減少遲滯非線性的影響，常用方法是建立一個精確的遲滯模型進而進行實時補償。研究人員建立了多種描述遲滯非線性的數(shù)學模型，如Duhem模型，Bouc-Wen模型［7］，Preisach模型［8］，Prandtl-Ishlinskii（P-I）模型［9-10］等。此外，為了描述壓電驅(qū)動器遲滯非線性固有的率相關(guān)特性，研究人員相繼優(yōu)化或改進了模型參數(shù)，建立了率相關(guān)P-I和廣義率相關(guān)P-I等模型［11］。雖然這些模型能夠很好地反映遲滯特性，但模型參數(shù)的辨識和遲滯逆模型的補償控制比較復雜，并且當遲滯逆模型精度不高或者平臺受到外部干擾時，前饋等補償控制方法效果不佳［12］。

針對平臺低阻尼諧振振動問題，通常采用諸如陷波濾波器或系統(tǒng)逆模型等零極點抵消的方法來消除低阻尼諧振的影響［13-14］，但是這類方法對系統(tǒng)模型比較敏感，負載和環(huán)境等因素的變化引起的模型誤差容易導致控制魯棒性差，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)。此外，Aphale等還提出了利用正位置反饋、正位置速度反饋和積分阻尼控制等主動阻尼方法［15-16］，通過改變系統(tǒng)零極點分布來增加其阻尼比，達到抑制系統(tǒng)低阻尼諧振模態(tài)的目的，但該類方法同樣需要精確獲得平臺動力學模型。

綜合當前研究現(xiàn)狀，針對壓電微動臺遲滯補償和諧振抑制的各類控制方法中，較多依賴于系統(tǒng)的建模精度，極易影響平臺的定位精度和穩(wěn)定性。因此，如何在控制方法中消除對平臺精確數(shù)學模型的依賴性來有效提升平臺控制性能是亟待解決的問題。針對上述問題，國內(nèi)外諸多學者進行了數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型控制方法的研究。如吉林大學的周淼磊等人提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的復合自適應(yīng)控制方法，該方法由校正控制器、無模型自適應(yīng)控制和低通濾波器組成［13］。該團隊此外還設(shè)計了一種使用自適應(yīng)預測控制器的數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法，該方法利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對控制器參數(shù)進行調(diào)整［14］。Mostefa Mesbah等人提出了一種新的基于無模型學習的控制器，利用輸入和輸出數(shù)據(jù)合成控制信號，能達到較好的跟蹤效果［15］。

由以上分析可知，當前的數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型控制方法較多用于補償壓電平臺遲滯等非線性特性，但針對如何利用數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型控制方法同時實現(xiàn)對平臺的遲滯補償和諧振抑制問題研究較少。針對上述問題，本文提出一種數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器相結(jié)合的復合控制方法來解決上述問題。首先搭建了基于壓電陶瓷驅(qū)動器與橋式放大柔性機構(gòu)的微納米定位平臺及其實驗系統(tǒng)。其次，在反饋控制基礎(chǔ)上，使用數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型前饋補償器，迭代優(yōu)化前饋輸入，提高系統(tǒng)的跟蹤精度。同時，設(shè)計了諧振頻率在線提取算法對陷波濾波器中心頻率、深度和寬度等參數(shù)進行自適應(yīng)調(diào)整，來抑制系統(tǒng)的諧振現(xiàn)象。最后，利用無模型前饋控制和自適應(yīng)陷波濾波的復合控制算法對壓電微動臺進行軌跡跟蹤實驗來驗證無模型迭代優(yōu)化和自適應(yīng)諧振抑制的可行性和有效性。

2 數(shù)據(jù)驅(qū)動迭代前饋控制器

2.1 數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型迭代前饋控制器設(shè)計

假設(shè)單輸入單輸出壓電微動臺動態(tài)系統(tǒng)可以用以下輸入-輸出非線性映射來描述：

其中：i（t）和o（t）分別是系統(tǒng)Σ的輸入和輸出，H是描述輸入-輸出映射的非線性算子。式（1）的離散時間形式表示為：

其中，i（k），o（k）和Hd分別是離散形式的輸入、輸出和非線性算子。

在系統(tǒng)模型未知條件下，本文采用結(jié)合反饋和前饋的控制方法對壓電微動臺實現(xiàn)高精控制，其中前饋部分采用數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型迭代學習前饋控制方法，反饋部分可首先選擇比例-積分（Proportional Integral，PI）PI等常規(guī)反饋控制器，其控制框圖如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)驅(qū)動前饋-反饋控制回路框圖Fig.1 Block diagram of a data-driven feedforward-feedback control loop

如圖1所示，系統(tǒng)的控制律設(shè)計為：

其中：i1（k）為PI反饋控制器的輸出，i2（k）為數(shù)據(jù)驅(qū)動迭代前饋控制器的輸出。兩者合成為一個有界的離散時間控制信號i（k），該信號能夠使輸出信號o（k）在很寬的頻率范圍內(nèi)跟蹤平滑的離散時間參考信號r（k）。

前饋控制律為：

其中：X（k）是迭代學習控制器的增益向量；γ（k）是由參考信號值r（k）及其過去N個值組成的N+1維列向量，分別表示為：

迭代學習增益向量X（k）的更新過程如下：

其中：r1（k）是延遲的參考信號值，l是延遲值，可以根據(jù)參考信號r（k）的變化率來確定；參數(shù)λ是學習率，控制跟蹤誤差e（k）的收斂速度。

2.2 穩(wěn)定性和收斂性分析

為了證明所設(shè)計控制器的穩(wěn)定性和收斂性，首先假設(shè)由H表示的壓電微動臺非線性系統(tǒng)是輸入嚴格無源（Input Strictly Passive， ISP）和有限L2增益穩(wěn)定的，分別定義如下。

定義1：由映射H：i→o表示的壓電微動臺非線性系統(tǒng)是輸入嚴格無源。即如果存在常數(shù)α和ε大于0，滿足以下無源不等式：

其中：|| ||2表示信號的L2范數(shù)，<，>表示內(nèi)積運算。

定義2：用映射H：i→o表示的系統(tǒng)，如果存在一個常數(shù)η，滿足公式（11），則稱為系統(tǒng)具有有限L2增益或有限增益穩(wěn)定。

定理1：假設(shè)圖1所示單獨前饋補償控制系統(tǒng)是有限L2增益穩(wěn)定的輸入嚴格無源系統(tǒng)，則權(quán)向量X（k）和信號i2（k），y（k）和e（k）對于所有k都是有界的。證明過程如下：

將公式（7）改寫為：

保留公式（12）中X（k）的非受迫部分，用來說明X（k）的有界性，因此X（k）可進一步改寫為：

考慮如下形式的Lyapunov函數(shù)：

只要證明V(k)-V(k-1)≤0，就可以保證公式（13）的穩(wěn)定性，從而保證了X（k）的有界性。

由式（13）可得：

根據(jù)式（16）和式（17），可以得出：

根據(jù)定理1和公式（18），得出：

因此，根據(jù)Lyapunov理論，系統(tǒng)（13）是穩(wěn)定的，學習控制器X（k）的參數(shù)是有界的。利用X（k）的有界性，進而推出信號i2（k），o（k）和e（k）的有界性。

3 自適應(yīng)陷波濾波器

為進一步提升平臺跟蹤精度，有效抑制平臺諧振，在反饋控制器中增加自適應(yīng)陷波濾波器對壓電微動臺的低阻尼諧振進行有效抑制。為了更準確地調(diào)節(jié)陷波濾波器參數(shù)，本文在PI控制基礎(chǔ)上加入了改進型陷波濾波器，其傳遞函數(shù)為：

其中：ωn為陷波濾波器中心頻率，k=k1/k1為陷波濾波器深度表示陷波濾波器寬度。

陷波濾波器中心頻率ωn的取值通過諧振頻率在線檢測獲得中心頻率，中心頻率是快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）后頻譜圖里幅值最大對應(yīng)的頻率點f。

頻率特性在線檢測過程如圖2所示，首先對誤差信號進行采樣和FFT頻譜分析，完成誤差信號時域到頻域的轉(zhuǎn)換，再將頻域值表示為復數(shù)R（n）存儲在系統(tǒng)緩沖器中，設(shè)計如圖2所示的諧振頻率提取算法。過程中首先求出R（n）點的頻率幅值|R（n）|，只有|R（n）|>幅值閾值Hset，若也滿足|R（n）|>|R（n-1）|，|R（n）|>|R（n+1）|和|R（n）|>Temp，此時將|R（n）|存儲到變量Temp中。接著進入下一次循環(huán)，直到n=Nf，結(jié)束循環(huán)，最后從Temp中獲得諧振頻率點n。幅值閾值Hset取值為0.025 dB。通過以上算法求出諧振頻率點n，如果采樣頻率為fs，采樣點數(shù)為Nf，則計算出諧振頻率為：f=(n-1)*fs/Nf。

圖2 諧振頻率提取算法流程圖Fig.2 Flow chart of resonant frequency extraction algorithm

陷波濾波器深度參數(shù)k也是抑制諧振的重要參數(shù)。k的設(shè)定數(shù)值越小，陷波深度越深，諧振抑制效果越好，但是幅度過大會造成相位滯后，反而會加強振動。k的設(shè)定數(shù)值由FFT后的諧振點處的幅值Hmax和陷波后的信號幅值Hf來確定，表示如式（22）所示：

陷波濾波器寬度Bw一般是指陷波中心頻率兩側(cè)，幅度降低到3dB兩個頻率點的差。在加入陷波濾波器后，幅值衰減到設(shè)置的幅值閾值Hset，幅值閾值水平線與諧振頻率兩側(cè)的FFT曲線有兩個交點，頻率點分別為ω1和ω2，陷波濾波器的帶寬由式（23）確定：

4 軌跡跟蹤實驗

4.1 壓電微動臺實驗系統(tǒng)

壓電驅(qū)動微納定位平臺實驗系統(tǒng)由壓電陶瓷驅(qū)動器PAL40VS12（行程為38 μm，剛度為25 N/μm），壓電控制器PDS21（輸入0~10 V對應(yīng)輸出0~120 V），電容傳感器（0~10 V對應(yīng)0~200 μm），數(shù)據(jù)采集卡PCI-6221，Matlab/Simulink半實物實時仿真系統(tǒng)以及柔性機構(gòu)等組成，各組成部分連接關(guān)系如圖3所示。柔性機構(gòu)采用復合橋式放大機構(gòu)實現(xiàn)對壓電驅(qū)動器輸出位移進行有效放大，輸出端采用雙平行四邊形機構(gòu)來減少寄生位移。半實物實時仿真的控制周期設(shè)置50 μs。

圖3 微納定位平臺實驗系統(tǒng)Fig.3 Micro/nanopositioning stage experimental system

4.2 軌跡跟蹤實驗

在Simulink中搭建基于自適應(yīng)陷波濾波器和數(shù)據(jù)驅(qū)動迭代學習前饋補償?shù)膹秃峡刂苹芈氛w框圖（圖4）。在實驗過程中，為了驗證所設(shè)計控制算法有效性，首先只利用PI控制器對平臺進行軌跡跟蹤，分別設(shè)置PI控制器的比例和積分增益為2.5和160，此時系統(tǒng)出現(xiàn)較為嚴重的諧振現(xiàn)象（圖5（a））。在此基礎(chǔ)上，依次加入自適應(yīng)陷波濾波器和數(shù)據(jù)驅(qū)動前饋控制器，自適應(yīng)陷波濾波器置于PI控制器前對系統(tǒng)的偏差信號進行采樣，對1個跟蹤周期內(nèi)采集到的誤差信號進行FFT頻譜分析，在線獲得平臺諧振特性，對陷波濾波器參數(shù)進行在線自適應(yīng)調(diào)整，實現(xiàn)平臺諧振的在線抑制（圖5（b））。隨后在自適應(yīng)陷波濾波器的基礎(chǔ)上加入數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型前饋控制器，進行軌跡跟蹤實驗（圖5（c）和圖5（d）），可見無模型前饋控制器可以有效減少穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，使跟蹤誤差實現(xiàn)逐步收斂，反饋控制器能夠改善閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，并確保對建模誤差、噪聲和干擾的魯棒性，最終達到較高的跟蹤精度。

圖4 定位系統(tǒng)復合控制回路整體框圖Fig.4 Overall block diagram of the composite control circuit of the positioning system

圖5 不同控制器跟蹤結(jié)果對比Fig.5 Comparison of tracking results between different controllers

上述三種不同控制器的跟蹤誤差對比如表1所示，可以看出所設(shè)計的基于數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器的復合控制器能夠?qū)崿F(xiàn)更好的跟蹤效果。在進入穩(wěn)定響應(yīng)后，復合控制器與單獨的PI控制和加上自適應(yīng)陷波濾波器的PI控制相比較，最大跟蹤誤差分別減小78.25%和70.83%。所設(shè)計的復合控制器在極大提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時，也保證了跟蹤精度，實現(xiàn)了微納米定位平臺的高精度控制。

表1 不同控制器跟蹤誤差結(jié)果對比Tab.1 Comparison of tracking error results of different controllers（μm）

為了研究數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型前饋控制器中學習率λ對收斂速度的影響，分別設(shè)置不同的參數(shù)，通過實驗分析了學習率與收斂速度的關(guān)系，結(jié)果如圖6所示?？梢?，當跟蹤三角波信號周期次數(shù)一致時，隨著學習率λ不斷提高，最大跟蹤誤差逐漸減小，跟蹤精度也隨之提高，然而當學習率λ=0.5時，系統(tǒng)會產(chǎn)生諧振現(xiàn)象。本文學習率λ取值為0.1，N取值為2。

圖6 不同學習率跟蹤誤差收斂效果Fig.6 Convergence effect of tracking error with different learning rates

為進一步驗證復合控制器的有效性，分別對頻率為10 Hz和25 Hz、幅值為0.5 V（10 μm）的三角波信號進行軌跡跟蹤實驗，所得實驗結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同參考軌跡跟蹤效果Fig.7 Different reference trajectory tracking effects

另外，為了更有效地評估本文提出的結(jié)合數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器PI控制的復合控制器對公式（24）所示的變頻變幅值非周期性信號進行軌跡跟蹤實驗，所得實驗結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同控制器對非周期信號跟蹤結(jié)果對比Fig.8 Comparison of non-periodic signal tracking results between different controllers

可見，復合控制器對跟蹤誤差能夠有很好的收斂效果，同時也具有抗干擾能力強、跟蹤精度高等優(yōu)點，能夠?qū)崿F(xiàn)壓電陶瓷驅(qū)動柔性微納定位平臺的高精度軌跡跟蹤控制。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器的復合控制器，實現(xiàn)了壓電驅(qū)動柔性微定位平臺的精準控制。首先建立了數(shù)據(jù)無模型前饋控制器，并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；其次，介紹了自適應(yīng)陷波濾波器，利用FFT分析系統(tǒng)誤差信號，設(shè)計諧振頻率在線提取算法，實現(xiàn)對陷波濾波器參數(shù)的在線實時整定；最后，利用所設(shè)計的復合控制器對三角波信號進行軌跡跟蹤實驗。實驗結(jié)果表明：復合控制器在跟蹤三角波信號時，與單獨的PI控制和加上自適應(yīng)陷波濾波器的PI控制相比較，最大跟蹤誤差分別減小78.25%和70.83%。所設(shè)計的結(jié)合無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器的復合控制器能夠較好的跟蹤不同頻率下各類軌跡信號，低阻尼諧振現(xiàn)象得到了有效抑制；同時，極大提高了系統(tǒng)的跟蹤精度，滿足了微定位平臺高精的控制要求。